Traballos pendentes de presentar

Resumo
A teoría do punto fixo consolidouse como unha rama das matemáticas con gran potencial para abordar unha ampla variedade de problemas en análise non lineal, especialmente na demostración da existencia, unicidade ou multiplicidade de solucións de ecuacións diferenciais e integrais. En concreto, o teorema do punto fixo de Krasnoselskii en conos de expansión-compresión foi empregado en numerosos traballos de investigación para obter solucións non triviais a este tipo de problemas. Co obxectivo de acadar resultados de existencia para sistemas de ecuacións diferenciais e integrais con todas as súas compoñentes non triviais, desenvolvéronse distintas versións deste resultado, adaptadas a operadores definidos en espazos produto. Neste traballo introducimos o índice de punto fixo, unha potente ferramenta coa que probaremos os resultados principais. Así mesmo, propoñemos unha nova versión vectorial do teorema de Krasnoselskii, na que as condicións sobre o operador se expresan en termos das normas dos espazos que compoñen o produto no que traballamos. Este resultado orixinal motivou pequenas melloras sobre versións previas, que tamén serán detalladas neste texto. Finalmente, aplicaremos de entre estes resultados os máis novidosos, establecendo condicións que garanten a existencia de solucións con compoñentes positivas en distintos sistemas de ecuacións diferenciais e integrais.

Dirección
Rodríguez López, Jorge (Titoría)

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Secretario/a)
GARCIA RIO, EDUARDO (Vogal)

Resumo
O presente traballo aborda o estudo do problema isoperimétrico desde as súas raíces máis clásicas ata a súa formulación en contextos xeométricos máis avanzados. Devandito problema aspira a comprender que rexións dun espazo ambiente dado minimizan a área da súa fronteira baixo unha restrición de volume fixo. Na súa formulación clásica no plano euclídeo R2, demóstrase rigorosamente que entre todas as curvas de Jordan a que encerra maior área é a circunferencia, feito que se formaliza mediante a desigualdade isoperimétrica no plano. Ademais, xeneralízase o problema isoperimétrico a dimensión superior, mostrando que en Rn a esfera é a única hipersuperficie compacta e conexa que minimiza a área para un volume fixado. Isto levará a cabo probando o teorema de Alexandrov e as propiedades variacionales das hipersuperficies de curvatura media constante. Este traballo estende a análise do problema isoperimétrico ao marco das variedades riemannianas, onde a resolución do problema isoperimétrico resulta ser de gran dificultade. Neste contexto, introdúcese a constante isoperimétrica de Cheeger, definida como o ínfimo dos cocientes entre área de fronteira e volume de dominios regulares. Esta constante posúe ademais propiedades analíticas profundas, xa que proporciona unha cota inferior para o primeiro autovalor do operador de Laplace Beltrami con condicións de Dirichlet. Ademais, o presente traballo estuda en detalle o cálculo explícito da constante isoperimétrica de Cheeger en certa familia de espazos xeométricos de gran importancia, como é o caso dos grupos de Lie resolubles e simplemente conexos con métrica invariante á esquerda, onde dita constante pode expresarse en termos da traza da representación adxunta do álxebra de Lie. Finalmente, analízase un caso particularmente interesante: os espazos simétricos de tipo non compacto. Cada un destes espazos resulta ser isométrico a un grupo de Lie resoluble e simplemente conexo con métrica invariante á esquerda, permitindo calcular neles a constante de Cheeger mediante ferramentas estruturais como a descomposición en espazos de raíces e a descomposición de Iwasawa. Ademais, explicitarase o cálculo da constante de Cheeger no caso concreto dos espazos hiperbólicos real e complexo.

Dirección
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Titoría)
RODRIGUEZ VAZQUEZ, ALBERTO Cotitoría

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Secretario/a)
GARCIA RIO, EDUARDO (Vogal)

Resumo
O obxectivo deste traballo é facer unha primeira aproximación ás categorías de modelos e á súa categoría de homotopía. Para iso, ademais de profundizar nas definicións pertinentes, veremos dous exemplos de categorías de modelos en dous contextos distintos das matemáticas. Por un lado, probaremos unha estructura de categoría de modelos en espazos topolóxicos. Polo outro, iremos a un contexto alxébrico, o dos complexos de cadeas. Para poder desenvolver esta teoría introducimos tamén o argumento do obxecto pequeno de Quillen.

Dirección
Gómez Tato, Antonio M. (Titoría)
MOSQUERA LOIS, DAVID Cotitoría

Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Secretario/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Vogal)

Resumo
Neste traballo desenvolvemos métodos alxébricos e combinatorios na robótica topolóxica. Máis en concreto, estudamos invariantes homotópicos relacionados co problema de planificación de movementos, como a categoría de Lusternik-Schnirelmann ou a complexidade topolóxica, a partir dunha noción que os unifica: a distancia homotópica. As técnicas que utilizamos combinan tanto ferramentas clásicas de topoloxía alxébrica, como os grupos de homotopía ou a (co)homoloxía, así como recursos de topoloxía combinatoria e computacional, grazas aos complexos simpliciais. Isto permítenos definir novos invariantes orixinais que melloran estritamente cotas e resultados existentes na literatura, á vez que deseñar algoritmos que, mediante a implementación de programas computacionales de cálculo simbólico, achan estes invariantes para calquera espazo triangulable.

Dirección
Gómez Tato, Antonio M. (Titoría)
MOSQUERA LOIS, DAVID Cotitoría

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Secretario/a)
GARCIA RIO, EDUARDO (Vogal)

Resumo
Este Traballo Fin de Máster aborda o estudo dos grupos de homotopía das esferas, un dos temas clásicos e fundamentais da Topoloxía Algebraica. En primeiro lugar, introdúcense algúns conceptos topolóxicos básicos, como a suma puntual, as suspensións (de esferas) e o produto smash, xunto cunha breve introdución á teoría de categorías. Posteriormente, desenvolveremos os grupos de homotopía de orde superior. Analizaremos a súa definición mediante clases de homotopía de aplicacións do tipo $Sn \longrightarrow X$, algúns dos seus principais propiedades e a noción de grupos de homotopía relativa, que permite estudar unha sucesión exacta longa entre os seus grupos de homotopía. Tamén se presentan ferramentas clave como o Teorema de escisión e o Teorema de suspensión de Freudenthal, útiles para calcular $\pi_n(Sn)$, entre outros. Finalmente, introdúcese o concepto de fibración, especialmente a fibración de Hopf dada por $S1 \longrightarrow S3 \overset{p}{\longrightarrow}S2$, que permite estudar o grupo de homotopía $\pi_3(S2) = \mathbb{Z}$.

Dirección
Gómez Tato, Antonio M. (Titoría)

Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Secretario/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Vogal)

Resumo
As ecuacións diferenciais singulares presentan algún termo que, nalgún punto do seu dominio, tende ao infinito, o cal ocorre habitualmente ao tratar con problemas de electromagnetismo ou mecánica. Neste traballo, tras expoñer algunhas técnicas útiles no estudo de problemas de fronteira periódicos, introduciremos o concepto de ecuación diferencial singular a través de exemplos e comentaremos as dúas clasificacións das singularidades máis comúns nos textos. Posteriormente, aplicaremos as técnicas mencionadas para probar a existencia de solución periódica positiva para distintas familias de ecuacións diferenciais singulares de segunda orde, distinguindo entre aquelas sen rozamento, é dicir, nas que non intervén a derivada primeira, daquelas con rozamento.

Dirección
Rodríguez López, Rosana (Titoría)

Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Secretario/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Vogal)

Resumo
Este traballo céntrase na construción e estudo da función L p-ádica asociada a unha forma modular. Comézase introducindo algúns conceptos de formas modulares e símbolos modulares e as súas propiedades básicas. A continuación faise a construción da función L p-ádica, para a cal se introducen as funcións L e estúdanse algunhas das propiedades e conceptos relacionados, probando a alxebricidade dalgúns dos seus valores concretos e utilizando o teorema de control de Stevens (cuxa proba é abordada con posterioridade) para acabar por construír a función L p-ádica asociada a unha forma modular e probar a súa propiedade de interpolación, baixo certas hipóteses. A última parte céntrase en estudar o que acontece cando o peso da forma modular varía e analizando os casos crítico e Eisenstein.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Titoría)

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Secretario/a)
GARCIA RIO, EDUARDO (Vogal)

Resumo
Este traballo pretende realizar unha introdución á teoría de Iwasawa, comezando polo estudo da estrutura dos módulos finitamente xerados sobre Zp[[T]], que se pode entender como unha xeneralización do teorema de clasificación de módulos sobre un dominio de ideais principais. Á súa vez, iso permítenos establecer o teorema de control de Iwasawa para o número de clases dos corpos ciclotómicos. Na segunda parte, presentamos resultados máis recentes que permiten entender mellor a estrutura alxébrica das Zp-extensións, formulando a conxectura principal de Iwasawa, que relaciona dita estrutura alxébrica cun obxecto puramente analítico, a función zeta p-ádica. Finalmente explicamos a estratexia xeral empregada na demostración dese resultado e acabamos ilustrando algunhas tendencias actuais de investigación no tema.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Titoría)

Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Secretario/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Vogal)

Resumo
Neste traballo profundizamos nos fundamentos teóricos dos coñecidos métodos das series de potencias e das subsolucións e sobresolucións, e combinámolos con diferenciación automática para elaborar dous programas en Python. O primeiro deles, permite a construción do polinomio de Taylor do grao desexado da solución dun problema de valor inicial asociado a unha ecuación diferencial, baixo a hipótese de que a función dato sexa analítica, caso no que temos garantido o bo funcionamento do método das series de potencias. O segundo dos programas trata cun problema de fronteira de tipo Dirichlet asociado a unha EDO con función dato continua, e non pretende xa aproximar a solución do mesmo, senón demostrar a súa existencia mediante a construción dunha subsolución e unha sobresolución para o mesmo.

Dirección
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Titoría)
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER Cotitoría

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Secretario/a)
GARCIA RIO, EDUARDO (Vogal)