Trabajos pendientes de presentar

Resumen
La teoría del punto fijo se ha consolidado como una rama de las matemáticas con gran potencial para abordar una amplia variedad de problemas en análisis no lineal, especialmente en la demostración de la existencia, unicidad o multiplicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales e integrales. En concreto, el teorema del punto fijo de Krasnoselskii en conos de expansión-compresión ha sido empleado en numerosos trabajos de investigación para obtener soluciones no triviales a este tipo de problemas. Con el objetivo de alcanzar resultados de existencia para sistemas de ecuaciones diferenciales e integrales con todas sus componentes no triviales, se han desarrollado distintas versiones de este resultado, adaptadas a operadores definidos en espacios producto. En este trabajo introducimos el índice de punto fijo, una potente herramienta con la que probaremos los resultados principales. Asimismo, proponemos una nueva versión vectorial del teorema de Krasnoselskii, en la que las condiciones sobre el operador se expresan en términos de las normas de los espacios que componen el producto en el que trabajamos. Este resultado original motivó pequeñas mejoras sobre versiones previas, que también serán detalladas en este texto. Finalmente, aplicaremos, de entre estos resultados, los más novedosos, estableciendo condiciones que garanticen la existencia de soluciones con componentes positivas en distintos sistemas de ecuaciones diferenciales e integrales.

Dirección
Rodríguez López, Jorge (Tutoría)

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Secretario/a)
GARCIA RIO, EDUARDO (Vocal)

Resumen
El presente trabajo aborda el estudio del problema isoperimétrico desde sus raíces más clásicas hasta su formulación en contextos geométricos más avanzados. Dicho problema aspira a comprender qué regiones de un espacio ambiente dado minimizan el área de su frontera bajo una restricción de volumen fijo. En su formulación clásica en el plano euclídeo R2, se demuestra rigurosamente que entre todas las curvas de Jordan la que encierra mayor área es la circunferencia, hecho que se formaliza mediante la desigualdad isoperimétrica en el plano. Además, se generaliza el problema isoperimétrico a dimensión superior, mostrando que en Rn la esfera es la única hipersuperficie compacta y conexa que minimiza el área para un volumen fijado. Esto se llevará a cabo probando el teorema de Alexandrov y las propiedades variacionales de las hipersuperficies de curvatura media constante. Este trabajo extiende el análisis del problema isoperimétrico al marco de las variedades riemannianas, donde la resolución del problema isoperimétrico resulta ser de gran dificultad. En este contexto, se introduce la constante isoperimétrica de Cheeger, definida como el ínfimo de los cocientes entre área de frontera y volumen de dominios regulares. Esta constante posee además propiedades analíticas profundas, ya que proporciona una cota inferior para el primer autovalor del operador de Laplace Beltrami con condiciones de Dirichlet. Además, el presente trabajo estudia en detalle el cálculo explícito de la constante isoperimétrica de Cheeger en cierta familia de espacios geométricos de gran importancia, como es el caso de los grupos de Lie resolubles y simplemente conexos con métrica invariante a la izquierda, donde dicha constante puede expresarse en términos de la traza de la representación adjunta del álgebra de Lie. Finalmente, se analiza un caso particularmente interesante: los espacios simétricos de tipo no compacto. Cada uno de estos espacios resulta ser isométrico a un grupo de Lie resoluble y simplemente conexo con métrica invariante a la izquierda, permitiendo calcular en ellos la constante de Cheeger mediante herramientas estructurales como la descomposición en espacios de raíces y la descomposición de Iwasawa. Además, se explicitará el cálculo de la constante de Cheeger en el caso concreto de los espacios hiperbólicos real y complejo.

Dirección
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Tutoría)
RODRIGUEZ VAZQUEZ, ALBERTO Cotutoría

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Secretario/a)
GARCIA RIO, EDUARDO (Vocal)

Resumen
l objetivo de este trabajo es hacer una primera aproximación a las categorías de modelos y a su categoría de homotopía. Para ello, además de profundizar en las definiciones pertinentes, estudaremos dos ejemplos en dos contextos distintos de las matemáticas. Por un lado, probaremos una estructura de categoría de modelos en espacios topológicos. Por otro, iremos a un contexto puramente algebraico, el de complejos de cadenas. Además, introduciremos el argumento del objeto pequeño de Quillen.

Dirección
Gómez Tato, Antonio M. (Tutoría)
MOSQUERA LOIS, DAVID Cotutoría

Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Secretario/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Vocal)

Resumen
En este trabajo desarrollamos métodos algebraicos y combinatorios en la robótica topológica. Más en concreto, estudiamos invariantes homotópicos relacionados con el problema de planificación de movimientos, como la categoría de Lusternik-Schnirelmann o la complejidad topológica, a partir de una noción que los unifica: la distancia homotópica. Las técnicas que utilizamos combinan tanto herramientas clásicas de topología algebraica, como los grupos de homotopía o la (co)homología, así como recursos de topología combinatoria y computacional, gracias a los complejos simpliciales. Esto nos permite definir nuevos invariantes originales que mejoran estrictamente cotas y resultados existentes en la literatura, a la vez que diseñar algoritmos que, mediante la implementación de programas computacionales de cálculo simbólico, hallan estos invariantes para cualquier espacio triangulable.

Dirección
Gómez Tato, Antonio M. (Tutoría)
MOSQUERA LOIS, DAVID Cotutoría

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Secretario/a)
GARCIA RIO, EDUARDO (Vocal)

Resumen
Este Trabajo Fin de Máster aborda el estudio de los grupos de homotopía de las esferas, uno de los temas clásicos y fundamentales de la Topología Algebraica. En primer lugar, se introducen algunas construcciones topológicas básicas, como los la suma puntual, las suspensiones (de esferas) y el producto smash, así como una breve introducción a la teoría de categorías. Posteriormente, desarrollaremos los grupos de homotopía de orden superior. Analizaremos su definición mediante clases de homotopía de aplicaciones del tipo $Sn \longrightarrow X$, algunas de sus propiedades principales y la noción de grupos de homotopía relativa, que permite estudiar una sucesión exacta larga entre sus grupos de homotopía. También se presentan herramientas clave como el Teorema de escisión y el Teorema de suspensión de Freudenthal, útiles para calcular $\pi_n(Sn)$, entre otros. Finalmente, se introduce el concepto de fibración, especialmente la fibración de Hopf dada por $S1 \longrightarrow S3 \overset{p}{\longrightarrow}S2$ que permite estudiar el grupo de homotopía $\pi_3(S2)=\mathbb{Z}$.

Dirección
Gómez Tato, Antonio M. (Tutoría)

Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Secretario/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Vocal)

Resumen
Las ecuaciones diferenciales singulares presentan algún término que, en algún punto de su dominio, tiende al infinito, lo cual ocurre habitualmente al tratar con problemas de electromagnetismo o mecánica. En este trabajo, tras exponer algunas técnicas útiles en el estudio de problemas de frontera periódicos, introduciremos el concepto de ecuación diferencial singular a través de ejemplos y comentaremos las dos clasificaciones de las singularidades más comunes en los textos. Posteriormente, aplicaremos las técnicas mencionadas para probar la existencia de solución periódica positiva para distintas familias de ecuaciones diferenciales singulares de segundo orden, distinguiendo entre aquellas sin rozamiento, esto es, en las que no interviene la derivada primera, de aquellas con rozamiento.

Dirección
Rodríguez López, Rosana (Tutoría)

Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Secretario/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Vocal)

Resumen
Este trabajo se centra en la construcción y estudio de la función L p-ádica asociada a una forma modular. Se comienza introduciendo algunos conceptos de formas modulares y símbolos modulares y sus propiedades básicas. A continuación se hace la construcción de la función L p-ádica, para la cual se introducen las funciones L y se estudian algunas de las propiedades y conceptos relacionados, probando la algebraicidad de algunos de sus valores concretos y utilizando el teorema de control de Stevens (cuya prueba es abordada con posterioridad) para acabar construyendo la función L p-ádica asociada a una forma modular y probar su propiedad de interpolación, bajo ciertas hipótesis. La última parte se centra en estudiar lo que ocurre cuando el peso de la forma modular varía y analizando los casos crítico y Eisenstein.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Tutoría)

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Secretario/a)
GARCIA RIO, EDUARDO (Vocal)

Resumen
Este trabajo pretende realizar una introducción a la teoría de Iwasawa, comenzando por el estudio de la estructura de los módulos finitamente generados sobre Zp[[T]], que se puede entender como una generalización del teorema de clasificación de módulos sobre un dominio de ideales principales. A su vez, esto nos permite establecer el teorema de control de Iwasawa para el número de clases de los cuerpos ciclotómicos. En la segunda parte, presentamos resultados más recientes que permiten entender mejor la estructura algebraica de las Zp-extensiones, formulando la conjetura principal de Iwasawa, que relaciona dicha estructura algebraica con un objeto puramente analítico, la función zeta p-ádica. Finalmente explicamos la estrategia general empleada en la demostración de ese resultado y acabamos ilustrando algunas tendencias actuales de investigación en el tema.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Tutoría)

Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Secretario/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Vocal)

Resumen
En este trabajo profundizamos en los fundamentos teóricos de los conocidos métodos de las series de potencias y de las subsoluciones y sobresoluciones, y los combinamos con diferenciación automática para elaborar dos programas en Python. El primero de ellos permite la construcción del polinomio de Taylor del grado deseado de la solución de un problema de valor inicial asociado a una ecuación diferencial, bajo la hipótesis de que la función dato sea analítica, caso en el cual está garantizado el buen funcionamiento del método de las series de potencias. El segundo de los programas trata con un problema de frontera de tipo Dirichlet asociado a una EDO con función dato continua, y no pretende ya aproximar su solución, sino demostrar su existencia mediante la construcción de una subsolución y una sobresolución para el mismo.

Dirección
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER Cotutoría

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Secretario/a)
GARCIA RIO, EDUARDO (Vocal)