Traballos presentados

Resumo
As técnicas de redución da dimensionalidade son procedementos fundamentais na estatística para simplificaren conxuntos de datos perdendo a menor cantidade de información posible. O obxectivo que intenta acadar este traballo é revisar en profundidade algúns destes métodos, prestando especial atención a unha das técnicas máis empregadas que é a Análise de Compoñentes Principais. Ademais, comentaremos outras técnicas non lineais máis novedosas que veñen acadando popularidade nos últimos anos. Finalmente, para enfatizar a importancia destas técnicas na práctica, presentaremos exemplos de aplicación con conxuntos de datos reais co fin de vermos as dificultades de interpretación e procesamento que nos presentan.

Dirección
PATEIRO LOPEZ, BEATRIZ (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
O obxectivo deste traballo consiste en presentar, de maneira clara e concisa, a evolución das matemáticas cun enfoque na lóxica dende os seus inicios na Antiga Grecia ata os séculos XIX e XX. Definiranse os conceptos básicos necesarios e estudarase o desenvolvemento da Teoría de Conxuntos, que engloba conceptos fundamentais como o Axioma da Elección, a Hipótese do Continuo e a Axiomatización de Zermelo-Fraenkel. Ademais, analizarase a relación entre elas e o seu impacto nas matemáticas modernas.

Dirección
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Titoría)

Tribunal
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Titor do alumno)

Resumo
Dado un grafo, é posible asociarlle unha matriz que codifica as conexións entre os diferentes vértices, chamada matriz de adxacencia; outra matriz especialmente relevante é a chamada matriz laplaciana. O estudo dos autovalores destas matrices proporciona información importante sobre a estrutura do grafo. O obxectivo deste traballo é formular algúns resultados sobre teoría espectral de grafos e estudar algún teorema relevante na área, como o chamado teorema de Kirchoff, que permite calcular o número de árbores xeradoras dun grafo a partir do determinante dunha submatriz do laplaciano.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Titoría)

Tribunal
RIVERO SALGADO, OSCAR (Titor do alumno)

Resumo
O obxectivo deste traballo é analizar os resultados básicos da teoría local de curvas no espazo de Lorentz-Minkowski tridimensional. A distinta causalidade das curvas consideradas implica diferenzas na construción das funcións curvatura asociadas. Unha vez obtidas as versións correspondentes do triedro de Frenet, así como a curvatura e a torsión da curva, buscamos obter un Teorema Fundamental que garantice a existencia e a unicidade de curvas con curvatura e torsión prefixadas. A diferenza da situación euclidiana, mentres que os resultados de existencia teñen unha correspondencia natural, a unicidade está lonxe de cumplirse se non se impoñen condicións adicionais sobre a causalidade da curva.

Dirección
GARCIA RIO, EDUARDO (Titoría)
Vázquez Abal, María Elena Cotitoría

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vogal)

Resumo
O obxectivo principal deste traballo será explorar e analizar diferentes métodos de resolución das ecuacións diofánticas nos problemas de olimpíada matemática. Preténdese comprender como estas ecuacións, que requiren solución enteira, poden aplicarse en problemas competitivos e de que maneira os conceptos teóricos se traducen en técnicas para a súa resolución. Deste xeito, o traballo está divido en tres capítulos. O primeiro deles trata sobre a historia destes problemas, o seguinte sobre diferentes tipos de ecuacións diofánticas e a súa resolución. Por último, unha escolma dos diferentes problemas que nos podemos atopar nas olimpíadas locais, nacionais e internacionais.

Dirección
GAGO COUSO, FELIPE (Titoría)
RIVERO SALGADO, OSCAR Cotitoría

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vogal)

Resumo
Neste traballo exporemos algúns dos aspectos fundamentais dos artigos de investigación que constituíron o inicio do estudo das ecuacións en derivadas parciais elípticas con condicións de fronteira sobredeterminadas, isto é, onde se impoñen simultaneamente condicións Dirichlet e Neumann. En primeiro lugar analizaremos o Teorema de Serrin, así como a súa demostración baseada en atopar simetrías empregando o método do plano móbil xunto cos principles do máximo. Así mesmo desenvolveremos tamén unha demostración alternativa proposta por Weinberger, que emprega métodos analíticos máis clásicos para aportar unha demostración máis compacta. Por último proporemos exemplos de casos físicos nos que aparecen ecuacións en derivadas parciais elípticas con condicións de fronteira sobredeterminadas, co obxectivo de mostrar a utilidade e importancia dos estudos realizados neste campo.

Dirección
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Titoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vogal)

Resumo
Os datos circulares son observacións que se identifican como puntos ou vectores na circunferencia do círculo unidade. Neste Traballo de Fin de Grao consideraremos ferramentas clásicas para a análise descritiva de mostras de datos circulares, introduciremos algúns modelos destacados de distribución e presentaremos algúns procedementos inferenciais para este tipo de observacións, entre eles contrastes (uniformidade, bondade de axuste) e estimacións. Os distintos instrumentos estatísticos serán ilustrados con datos simulados e reais, empregando o software R. O traballo organízase en tres capítulos diferenciados. No primeiro deles, exporemos medidas descritivas para mostras circulares (medidas de posición, de dispersión e representacións gráficas); no segundo, repararemos nas distribución circulares máis prominentes e nos métodos dos que dimanan; e no derradeiro capítulo, centrarémonos en coñecer e manexar os útiles que a estatística inferencial pon a nosa disposición.

Dirección
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
O desenvolvemento deste traballo céntrase no estudo teórico e práctico do test ji-cadrado, o cal se utiliza para contrastar certas hipóteses sobre unha mostra de datos. Preséntase, en primeiro lugar, o contexto histórico do test, incluíndo a súa orixe e evolución. No estudo teórico, formalízase o test coa definición do seu respectivo estatístico de contraste e cos principais resultados relacionados co mesmo, incluíndo aqueles sobre a converxencia asintótica do estatístico. Diferéncianse o caso no que a hipótese nula é simple e o caso no que se trata dunha familia paramétrica. No ámbito práctico, realízanse simulacións do test nos seus distintos casos mediante a ferramenta R, coa finalidade de analizar e caracterizar o seu comportamento real. Estúdanse o calibrado do test (casos nos que se cumpre a hipótese nula) e a súa potencia (casos nos que non se cumpre a hipótese nula). Tamén se poñen a proba certas recomendacións prácticas mencionadas durante o grao.

Dirección
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Titoría)
Bolón Rodríguez, Diego Cotitoría

Tribunal
Bolón Rodríguez, Diego (Titor do alumno)
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Titor do alumno)

Resumo
O presente documento aborda o teorema da aplicación de Riemann, un resultado esencial na análise complexa, que establece a existencia de aplicacións conformes entre conxuntos simplemente conexos e o disco unidade. Para iso, introdúcese o marco teórico necesario, comezando cunha breve introdución sobre o teorema, así como algunhas definicións e resultados fundamentais das funcións holomorfas. Máis adiante, profundízase nas transformacións de Möbius, unha ferramenta esencial no desenvolvemento do traballo que, xunto co lema de Schwarz, ten un papel fundamental para caracterizar os automorfismos do disco unidade. Péchase este desenvolvemento teórico co estudo dalgunhas propiedades do espazo das funcións holomorfas, proporcionando así unha base para poder dar unha demostración rigorosa do teorema. Finalmente, destácase a importancia do mesmo, poñendo de manifesto algunhas aplicacións relevantes noutras ramas científicas, como pode ser a mecánica de fluídos na física, e darase un algoritmo para achar de maneira estimativa a aplicación que describe o teorema.

Dirección
CAO LABORA, DANIEL (Titoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
O presente documento aborda o modelo de Ising, amplamente utilizado no estudo das transicións de fase, tanto desde unha perspectiva teórica como computacional. Introdúcense brevemente conceptos relacionados cos fenómenos críticos, seguidos dunha descrición do modelo e dalgúns desenvolvementos e resultados teóricos coñecidos en redes unidimensionais e bidimensionais con interacción entre primeiros veciños. Posteriormente, lévase a cabo un estudo computacional no que se introducen os algoritmos de Metropolis e Wolff, demostrando a súa ergodicidade e o cumprimento da ecuación de balance detallado en ambos casos. Compáranse estes dous algoritmos, evidenciando que o de Wolff presenta unha converxencia máis rápida preto do punto crítico. A través dun código desenvolvido para este traballo, caracterízanse as transicións de fase en redes de unha a catro dimensións con interacción entre primeiros veciños, e impleméntase o modelo en redes complexas do tipo small world, tanto unidimensionais como bidimensionais.

Dirección
MENDEZ MORALES, TRINIDAD (Titoría)
Montes Campos, Hadrián Cotitoría

Tribunal
ZAS ARREGUI, ENRIQUE (Presidente/a)
GARCIA FEAL, XABIER (Secretario/a)
FONDADO FONDADO, ALFONSO (Vogal)

Resumo
Este traballo desenvolve un modelo farmacocinético/farmacodinámico (PK/PD) co fin de optimizar a administración de fármacos en tratamentos de quimioterapia. O obxectivo é atopar unha distribución de dose que minimice o volume do tumor, mantendo constante a cantidade total de fármaco administrado. Considérase un modelo baseado en ecuacións diferenciais, empregando unha versión modificada do modelo Gompertz, que posteriormente se implementa en MATLAB. Para este modelo, contrástanse os resultados numéricos cas solucións exactas e reprodúcense resultados da literatura. A continuación, preséntase o problema de optimización con restricións clínicas, vinculando o modelo descrito. Os resultados teóricos indican que a solución óptima consiste en administrar un maior número de dose de xeito equitativo, sempre que se cumpran as restricións impostas. Os resultados bibliográficos reproducidos coinciden cas predicións do modelo, o que valida a súa implementación. Conclúese que existen estratexias de tratamentos máis eficaces que as empregadas normalmente, e sublíñase a importancia de seguir avanzando cara a aplicacións clínicas máis realistas, destacando o potencial das ferramentas matemáticas na planificación terapéutica personalizada.

Dirección
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
O obxectivo deste traballo é ser un punto de partida para o estudo dos grupos Spin a través do formalismo das álxebras de Clifford. Para iso, primeiro defínense e constrúense estas álxebras a través das álxebras tensoriais, estúdanse as súas propiedades principais como superálxebras, a súa definición en base a xeradores e relacións e a súa conexión coa álxebra exterior. Despois, realízase unha primeira clasificación das álxebras de Clifford reais de baixa dimensión facendo uso do produto tensor Z_2-graduado para logo proceder á clasificación completa das mesmas ---nos casos real e complexo---usando varios isomorfismos probados ao longo do texto xunto coa coñecida como periodicidade de Bott. Posteriormente, procedemos a definir o grupo Spin como un subgrupo das unidades da álxebra de Clifford e, tras estudar a acción destas últimas sobre a totalidade da álxebra, comprobamos facendo uso desta acción que os grupos Spin son un revestimento dobre do grupo especial ortogonal SO(n). Tamén estudamos algunhas propiedades adicionais destes grupos e clasificamos algúns casos de baixa dimensión.

Dirección
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Titoría)
Lorenzo Naveiro, Juan Manel Cotitoría

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
Este traballo busca ser un primeiro estudo, tanto desde o punto de vista teórico como experimental, da desintegración B+ to mumutaunu no contexto do experimento LHCb. En primeiro lugar, lévase a cabo un desenvolvemento teórico baseado en fontes bibliográficas, no que se realiza un cálculo similar co obxectivo de comprender os mecanismos implicados e adaptalos á situación de interese; o obxectivo último desta análise é obter un primeiro valor numérico de referencia para o branching ratio (BR) desta desintegración. A continuación, deseñamos unha análise coa finalidade de poder detectar un pico de sinal desta desintegración ou establecer unha cota superior para o BR; para iso, solventamos o problema da información ausente debido á imposibilidade de detección do neutrino mediante a introdución da masa corrixida, e presentamos os criterios de selección dos datos, a eliminación do fondo combinatorio a través de ferramentas de machine learning e un estudo da capacidade de diferenciar un pico de sinal mediante simulacións e axustes, xunto con ferramentas estatísticas como o teorema de Wilks. Por último, presentamos os avances acadados nesta primeira análise, rematando co traballo que se deberá desenvolver nunha futura ampliación deste estudo.

Dirección
CID VIDAL, XABIER (Titoría)
FERNANDEZ GOMEZ, MIGUEL Cotitoría

Tribunal
ZAS ARREGUI, ENRIQUE (Presidente/a)
GARCIA FEAL, XABIER (Secretario/a)
FONDADO FONDADO, ALFONSO (Vogal)

Resumo
Neste traballo partimos de conceptos básicos relacionados con problemas de fluxo en redes para posteriormente indagar sobre outros máis específicos que nos axudarán no noso principal obxectivo: a explicación de distintos algoritmos para resolver o problema do camiño máis curto. No primeiro capítulo introduciremos nocións de teoría de grafos e explicaremos conceptos importantes para os seguintes capítulos como o concepto de nó, arco ou custo. Ademais, falaremos dos problemas de fluxo en redes con custo mínimo engadindo a súa formulación matemática. Por último, introduciremos unha propiedade moi importante á hora de resolver este tipo de problemas: a unimodularidade; xunto con algunhas propiedades que facilitan a resolución dos mesmos. No segundo capítulo centrarémonos no problema do camiño máis curto, explicando que hai distintos tipos de algoritmos para a súa resolución e focalizándonos especialmente no algoritmo de Dijkstra. Ademais, tamén agregaremos algunhas implementacións para o mesmo ou outros algoritmos que poden axilizar a obtención da solución do problema. As explicacións desta sección ilustraranse con algún exemplo para facilitar a comprensión dos respectivos algoritmos. Por último, no último capítulo mostraremos unha aplicación real do cálculo do camiño máis curto no ámbito da red ferroviaria española. Detallaremos o programa implementado en Python, describiremos os datos empregados e presentaremos unha visualización gráfica das rutas obtidas.

Dirección
GONZALEZ RUEDA, ANGEL MANUEL (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
Este Traballo de Fin de Grao ten como obxectivo estudar a inestabilidade baroclínica na atmosfera a través dunha análise teórica e simulacións numéricas. Na parte teórica, explicaranse os factores clave que inflúen neste fenómeno, como a cizalla vertical do vento, os gradientes térmicos e a estratificación atmosférica, ademais do papel da rotación planetaria e a forza de Coriolis. A continuación, realizaranse simulacións numéricas para analizar o impacto das variacións nos perfís de temperatura e vento no crecemento das perturbacións baroclínicas. Os resultados permitirán avaliar como estas condicións atmosféricas afectan á evolución das ondas baroclínicas, comparando as simulacións coas predicións teóricas. Finalmente, discutirase a concordancia entre teoría e simulacións, destacando as condicións que favorecen o desenvolvemento da inestabilidade baroclínica e as súas posibles aplicacións na predición meteorolóxica.

Dirección
MIGUEZ MACHO, GONZALO (Titoría)
CRESPO OTERO, ALFREDO Cotitoría

Tribunal
ZAS ARREGUI, ENRIQUE (Presidente/a)
GARCIA FEAL, XABIER (Secretario/a)
FONDADO FONDADO, ALFONSO (Vogal)

Resumo
As ecuacións diferenciais ordinarias (EDOs) son unha ferramenta fundamental para modelar procesos dinámicos en diversas disciplinas. Este traballo céntrase na aplicación das EDOs a modelos biolóxicos, en particular aqueles relacionados coa propagación de enfermidades infecciosas. Analízase en detalle o modelo SIR e as súas extensións, como os modelos SEIR e SIRS, co obxectivo de comprender a dinámica epidemiolóxica e a estabilidade dos estados estacionarios. Ademais, preséntase un estudo específico sobre a propagación do VIH en Cuba empregando unha extensión non linear do modelo SIR. A análise inclúe solucións analíticas e numéricas, e tamén a avaliación do impacto de diferentes estratexias de control e erradicación. Os resultados obtidos subliñan a importancia do número de reprodución básico R0 e das intervencións como a vacinación para mitigar a propagación de enfermidades.

Dirección
Rodríguez López, Jorge (Titoría)

Tribunal
Rodríguez López, Jorge (Titor do alumno)

Resumo
Este traballo estuda o teorema de punto fixo de Brouwer e o seu impacto en diversas áreas das matemáticas. Preséntase a formulación clásica e varios resultados e formulacións históricas equivalentes, facendo énfase no teorema de non-retracción. Ademais, inclúese unha construción do grao de Brouwer, empleado nunha demostración directa do teorema. Ao longo da segunda parte, estúdanse aplicacións ás ecuacións diferenciais, como o método de tiro e a existencia de solucións periódicas. Finalmente, abórdanse dúas xeralizacións do teorema de punto fixo de Brouwer: o teorema de Kakutani e o teorema de Schauder, así como o seu uso no contexto da teoría de xogos e da resolución de ecuacións diferenciais, respectivamente.

Dirección
Rodríguez López, Jorge (Titoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
Os problemas de horarios consisten na asignación eficiente de recursos limitados a un conxunto de tarefas, tendo en conta determinadas restricións temporais e criterios de optimalidade. No primeiro capítulo comezamos detallando a notación que empregaremos ao longo do traballo. A continuación, no segundo e terceiro capítulos faremos unha revisión de diferentes versións nas que se poden presentar ditos problemas, presentando en cada caso o algoritmo correspondente para atopar unha solución óptima, xunto con certas propiedades teóricas. No cuarto capítulo inclúese a implementación dos algoritmos mediante código de R. Finalmente, no quinto capítulo recóllense as conclusións, onde se destaca a relevancia destes problemas tanto en contextos da vida cotiá como no ámbito profesional.

Dirección
GONZALEZ RUEDA, ANGEL MANUEL (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
É ben sabido que non existe unha norma xeral de resolución de EDOs (ecuacións diferenciais ordinarias) de primeira orde, senón unha pluralidade de métodos, moitos dos cales se poden expresar na linguaxe de factores integrantes. Desafortunadamente, non se coñece ningunha técnica que permita obter de forma explícita factores integrantes para unha ecuación diferencial arbitraria. Porén, o matemático noruegués Sophus Lie (1842-1899) desenvolveu, a partir das simetrías das ecuacións diferenciais, un procedemento unificado para a súa obtención. O obxectivo deste traballo é estudar as simetrías e factores integrantes como método de resolución para as ecuacións diferenciais ordinarias de primeira orde.

Dirección
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Titoría)
SANMARTIN LOPEZ, VICTOR Cotitoría

Tribunal
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Titor do alumno)
SANMARTIN LOPEZ, VICTOR (Titor do alumno)

Resumo
Neste traballo estudaremos os sistemas de ecuacións diferenciais, as ecuacións en diferenzas e os modelos matriciais aplicados á modelización da evolución poboacional. Comezaremos co estudo do caso dunha única especie e, posteriormente, analizaremos a evolución conxunta de varias especies que coexisten nunha mesma contorna. Esta segunda parte estruturarase segundo a clasificación clásica das interaccións interespecíficas: competencia, mutualismo e depredación, facendo especial fincapé nesta última e nas adaptacións que experimentan os modelos correspondentes en función de distintas características biolóxicas.

Dirección
Diz Pita, Érika (Titoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
As álxebras de evolución son álxebras conmutativas mais, xeralmente, non asociativas, introducidas no 2006 para modelizar situacións de herdanza xenética nas que no se seguen as leis mendelianas. A partir dese momento, autores, entre os que destaca J.P. Tian, desenvolven a teoría deste tipo de álxebras, tratando as súas propiedades e as relacións que presenta con outros ámbitos de estudo, como son as álxebras non asociativas, a teoría de grafos e a bioloxía. O fin deste traballo é explorar as interaccións entre as álxebras de evolución, a bioloxía e a teoría de grafos, estudando primeiro as propiedades destas álxebras para despois profundizar nos grafos dirixidos asociados e en situacións prácticas a nivel biolóxico.

Dirección
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Titoría)

Tribunal
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Titor do alumno)

Resumo
A avespa asiática ou Vespa velutina nigrithorax converteuse nunha das especies invasoras máis problemáticas na comunidade galega debido ao seu gran impacto ecolóxico. O principal obxectivo deste traballo será o estudo da distribución espacial da especie, facendo uso dos niños avistados en todo o territorio galego, dende os seus comezos no ano 2014 ata o pasado 2024. Ao longo do traballo farase uso de varias técnicas estatísticas avanzadas como a estimación non paramétrica da densidade tipo núcleo, a partir da cal se obteñen as rexións de elevada densidade, e estratexias de ponderación dos datos. Os resultados obtidos mostran a presenza dun claro nesgo na base de datos; ao empregar os datos sen ponderar, as zonas rurais quedan infrarrepresentadas pola falta de posibles observadores. Con todo, as conclusións cambian por completo tras as ponderacións, obtendo unha análise máis adecuada á realidade. En conclusión, a metodoloxía empregada neste traballo ofrece conclusións axustadas á situación real, facilitando o labor das entidades públicas á hora da planificación e a xestión do control de pragas, podendo adoptar os métodos deste estudo a diversos campos e situacións.

Dirección
SAAVEDRA NIEVES, PAULA (Titoría)
ALONSO PENA, MARIA Cotitoría

Tribunal
ALONSO PENA, MARIA (Titor do alumno)
SAAVEDRA NIEVES, PAULA (Titor do alumno)

Resumo
O obxectivo deste traballo é ofrecer un estudo exhaustivo sobre as curvas elípticas, un caso particular de curvas alxébricas que ten ocupado un lugar destacado en diversas ramas das matemáticas, como a xeometría alxébrica e a teoría de números, e que ten atopado importantes aplicacións na criptografía moderna. Coa fin de ofrecer unha análise polo miúdo tanto dos aspectos teóricos como das súas aplicacións, o traballo comeza introducindo conceptos e resultados da xeometría alxébrica que constitúen o marco fundamental para o desenvolvemento posterior. A continuación, preséntase tanto a definición formal de curva elíptica como a súa clasificación en función do invariante j. Tras abordar unha das súas características máis importantes, a súa estrutura de grupo, examínanse as propiedades teóricas das curvas elípticas sobre corpos finitos, que son o obxecto de interese para a parte final, na que se explora o seu uso práctico na criptografía.

Dirección
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Titoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
Este traballo estuda as bases da Computación Cuántica de forma íntegramente matemática, abstraéndose dos sistemas físicos reais detrás desta idealización. En primeiro lugar, estúdanse os fundamentos da Mecánica Cuántica, explorando conceptos e propiedades dos espazos de Hilbert sobre o corpo dos números complexos. A continuación, defínense os conceptos de cúbit e p-cúbit, así como as portas lóxicas cuánticas que actúan sobre eles. Por último, desenvolverase unha serie de algoritmos importantes con aplicacións concretas que demostran o interese por este tipo de lóxica. O obxectivo deste traballo é ser unha introdución, dende os conceptos traballados no Grao de Matemáticas, ao mundo da Computación Cuántica sen precisar de coñecementos previos sobre Física, de forma que dea un acceso máis sinxelo ao entendemento de algoritmos cuánticos ou ao seu desenvolvemento.

Dirección
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Titoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
Unha liña importante de investigación na área da computación cuántica está dirixida á detección e mitigación de ruído. Neste traballo, centrarémonos nos métodos de medida da temperatura efectiva, unha magnitude empregada para estimar a poboación residual do estado excitado dun cubit, debida ás fluctuacións térmicas no dispositivo. En primeiro lugar, estúdanse os sistemas físicos dos cubits superconductores tipo transmón e o seu proceso de lectura dispersiva, que son dos que se dispón no QMIO. A partir deles, desenvólvese unha simulación estocástica sobre a cal poidan validarse os métodos de medida. Finalmente, estúdase un método de medida da temperatura efectiva baseado en oscilacións de Rabi e-f , validando as súas hipóteses e obtendo resultados por simulación.

Dirección
MAS SOLE, JAVIER (Titoría)
Gómez Tato, Andrés Cotitoría

Tribunal
MIRA PEREZ, JORGE (Presidente/a)
CID VIDAL, XABIER (Secretario/a)
MOSQUEIRA REY, JESUS MANUEL (Vogal)

Resumo
Neste traballo abordamos a análise de condicións de equidade en problemas de optimización a través do estudo de tres problemas. En primeiro lugar, tratamos a optimización de rutas de vehículos en condicións de axuda humanitaria, o cal precisa dun enfoque equitativo pola natureza da situación. En segundo lugar, analizamos condicións de equidade relativas á localización dun conxunto de instalacións, presentando diversas formulacións do problema. Por último, estudamos a equidade na asignación de recursos hídricos, para o cal realizamos a análise dun caso real.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Titoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotitoría

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
Neste traballo abordamos o estudo de métodos numéricos para o cálculo aproximado da integral definida a través de fórmulas de cuadratura, técnicas fundamentais cando descoñecemos o valor da integral. Centrámonos nas fórmulas de tipo interpolatorio polinómico que aproximan o valor real a partir da integral dun polinomio de interpolación. Estudamos en profundidade tres métodos principais de cuadratura. Primeiro as fórmulas de Gauss, caracterizadas pola súa alta precisión empregando poucos nodos. Despois, estudamos o método de Romberg, que combina a regra do trapecio composta coa extrapolación de Richardson. E por último, o uso de correccións extremais para as regras de trapecio e Simpson compostas. Para cada método exploraremos a súa formulación teórica, o comportamento do erro e os requisitos para a exactitude dos métodos. Ademais, aportaremos exemplos e táboas nas que representen a variación do erro para cada método.

Dirección
López Pouso, Óscar (Titoría)
BARRAL RODIÑO, PATRICIA Cotitoría

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
O presente traballo céntrase no estudo matemático e computacional da resolución dun sudoku, partindo da súa conexión cos cadros latinos. Analízase a súa existencia e enumeración, sentando as bases dun marco teórico sólido para comprender a estrutura subxacente do sudoku. A continuación, descríbese o xogo nun contexto histórico e formal, estudando as súas regras e propiedades, o número total de taboleiros posibles, e, ademais, o problema do número mínimo de pistas necesarias para garantir unha solución única. Tamén se describen as técnicas de resolución manual máis empregadas, tanto básicas como avanzadas. A parte principal do traballo explora distintas metodoloxías de resolución mediante programación matemática, como a programación lineal, algoritmos de retroceso, métodos evolutivos (como o algoritmo xenético) e o recocido simulado, así como modelos baseados en grafos. Ademais esténdese a análise a algunhas variantes do sudoku. Finalmente, preséntase unha avaliación comparativa da eficiencia computacional de todas as metodoloxías propostas, baseada en implementacións na linguaxe R.

Dirección
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Titoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotitoría

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
Os espazos modelo para superficies con curvatura de Gauss constante non negativa correspóndense co plano e as esferas. Pero, o Teorema de Hilbert establece a imposibilidade da existencia de superficies regulares completas con curvatura de Gauss constante e negativa no espazo euclídeo de dimensión tres. Por iso, empregaremos a xeometría de Lorentz e, en particular, a métrica de Minkowski en tres dimensións para construír modelos da xeometría hiperbólica. Analizamos os modelos do hiperboloide e do disco de Poincaré, prestando especial atención ao comportamento das súas xeodésicas.

Dirección
GARCIA RIO, EDUARDO (Titoría)
Vázquez Abal, María Elena Cotitoría

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vogal)

Resumo
Desde o seu redescubrimento nos anos 50, a clase de algoritmos coñecida como transformadas rápidas de Fourier (FFTs) foi fundamental en numerosos campos das matemáticas, a ciencia e a enxeñaría. Non é de sorprender que o algoritmo de Cooley-Tukey (coñecido comunmente como a FFT) sexa amplamente recoñecido como un dos algoritmos máis importantes do século XX. Neste traballo, buscamos ofrecer un enfoque estruturado e ben fundamentado para o desenvolvemento de FFTs. Comezamos cos fundamentos matemáticos dos espazos Lp e a transformada continua de Fourier, que proporcionan unha nova forma de ver funcións a través do seu espectro de frecuencias. Máis adiante, introducimos a transformada discreta de Fourier (DFT) como unha ferramenta numérica que permite aplicar os métodos de Fourier. O cálculo da DFT para entradas de gran tamaño só é viable grazas á FFT. Finalmente, presentamos unha breve introdución a dous dos grandes ámbitos de aplicación: o procesamento de sinais dixitais e a compresión de datos. En particular, revisamos os filtros de audio dixital e examinamos o papel das FFTs na compresión de imaxes JPEG.

Dirección
LOPEZ SOMOZA, LUCIA (Titoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vogal)

Resumo
Neste traballo abordarase o estudo das secuencias de ADN empregando os métodos estadísticos como ferramenta fundamental. Estudaranse diversas cuestión relacionadas co proceso de ensamblado que forma parte da secuenciación dun xenoma. Previamente levarase a cabo o estudo dos conceptos de probabilidades e variables aleatorias, así como unha introdución dos procesos estocásticos, en concreto, dos procesos de Poisson, que son necesarios para modelizar o proceso de secuenciación. Finalmente, presentarase o estudo dun caso práctico relacionado co xenoma bacteriano, accedendo a bases de datos xenéticas e empregando un software especializado no ensamblado de secuencias.

Dirección
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
O concepto matemático de módulo cruzado foi introducido por J.H.C Whitehead no ano 1940 co obxectivo de modelar os espazos 2-tipo homotópicos. Os módulos cruzados existen para unha gran variedade de estructuras alxébricas; neste traballo considerarase exclusivamente a estructura de grupo. Neste contexto, un módulo cruzado de grupos é un homomorfismo de grupos \mu: M \to N xunto cunha acción do grupo N sobre o grupo M por automorfismos, tal que se cumpren dúas condicions fundamentais: a equivarianza de \mu e a identidade de Peiffer. Os módulos cruzados posúen diversas propiedades alxébricas e son equivalentes, no sentido categórico, a estructuras como os Cat1 -grupos, os 2-grupos estritos e os grupos categóricos estritos. Describir tales propiedades e equivalencias será o obxectivo fundamental deste traballo.

Dirección
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Titoría)
RAMOS PEREZ, BRAIS Cotitoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
Esta memoria presenta un estudo completo e detallado do concepto de medida, comezando polas medidas positivas e estendendo progresivamente a análise a casos máis xerais, como as medidas reais e complexas. Dedícase unha atención especial a un dos resultados fundamentais da Teoría da Medida: o Teorema de Radon Nikodym, que xunto co Teorema de Descomposición de Lebesgue, é unha ferramentas esenciais para comprender a estrutura e o comportamento das medidas. Para facilitar o desenvolvemento destes temas, introdúcense os coñecementos previos necesarios en Teoría da Medida e Análise Funcional, incluíndo definicións clave, proposicións auxiliares e resultados intermedios que permiten unha formulación e demostración rigorosa dos teoremas. Ademais, inclúese unha recensión histórica que destaca as achegas de Henri Lebesgue, Johann Radon e Otton Nikodym sobre o desenvolvemento do teorema que leva os seus nomes. O estudo complétase cun exemplo académico detallado que ilustra a aplicación do Teorema de Radon Nikodym nun contexto concreto. En conxunto, este traballo busca ofrecer unha comprensión sólida e accesible dun dos teoremas máis relevantes da análise matemática contemporánea.

Dirección
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Titoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
A Diferenciación Automática é unha técnica de derivación que combina as ideas da diferenciación simbólica e da diferenciación numérica co obxectivo de avaliar de maneira exacta as derivadas dunha función nun punto dado. Existen dous enfoques principais para a súa aplicación: o método progresivo e o método retroactivo. Neste traballo, centrarémonos principalmente no segundo, aínda que tamén se tratará o método progresivo, pero de maneira introdutoria, para contextualizar este novo tipo de diferenciación. Estudarase o beneficio de empregar o enfoque retroactivo no cálculo de gradientes de funcións que dependan de multitude de variables, a extensión do método a varias variables independentes e a diferentes graos de derivación, así como a creación do grafo computacional necesario para proporcionar un código que permita a súa implementación en MATLAB. Por último, exploraranse as súas aplicacións prácticas como, por exemplo, o cálculo de gradientes nos procesos de optimización de redes neuronais.

Dirección
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Titoría)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO Cotitoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
As cadeas de Markov son procesos nos que a probabilidade dos eventos futuros non depende da historia pasada, senón que depende unicamente do momento actual. Este caso particular de cadeas é de gran utilidade para o estudo de moitos campos científicos como poden ser a bioloxía, a química, a física ou a informática. Neste traballo realizarase unha análise sobre as cadeas de Markov e aplicarase o estudado a algúns xogos de azar como o Blackjack e o Serpes e Escaleiras. Nestes xogos, ademáis de depender da aleatoriedade, vense influídos pola estratexia dos xogadores en moitas ocasións, polo que coñecer a teoría que os sustenta pode axudar aos xogadores a tomar mellores decisións.

Dirección
AMEIJEIRAS ALONSO, JOSE (Titoría)
Bolón Rodríguez, Diego Cotitoría

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
Estudaránse algúns problemas modelados mediante ecuacións diferenciais ordinarias. Aínda que a perspectiva será numérica, o acceso ás solucións realizarase empregando software existente, sen que sexa necesaria unha tarefa importante de programación. O/a estudante poderá escoller algúns problemas da seguinte lista, extraída da que será a referencia fundamental deste traballo: Eliminación da cafeína do torrente sanguíneo. Problemas clásicos de persecución. Problema do paracaidista. Teoría de vigas e a resistencia dos espaguetes. Estados propios da ecuación de Schrödinger. Adxuntos e optimización. Lúa, sol e mareas. Péndulo non lineal. Modelo SIR para epidemias. Non unicidade deseñada. Metaestabilidade, radiactividade e efecto túnel cuántico. Caos nunha rede alimentaria. Traxectorias linearizadas de Lorenz. Transición á turbulencia nun tubo. Envío dunha nave espacial a un destino. Reacción química de Arrhenius. Ocos de banda e frecuencias prohibidas. Por que fai máis calor en Nova York ca en San Francisco? Función seno de Jacobi. Solitóns e a ecuación de KdV.

Dirección
López Pouso, Óscar (Titoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vogal)

Resumo
Durante a historia da computación, os problemas de rutas suscitaron un gran interese debido ás súas múltiples aplicacións en diferentes campos, como son a planificación e a loxística. Este traballo céntrase no problema do viaxante de comercio ou TSP. En concreto, nas técnicas para resolvelo de forma aproximada nun tempo polinómico, as metaheurísticas. O obxectivo principal deste estudo é proporcionar unha guía para comprender catro das máis importantes, tanto no ámbito teórico como no computacional. Para iso, realizouse unha revisión bibliográfica, atopando información relevante destas e sintetizándoa. As metaheurísticas son: a procura tabú, o tépedo simulado, o algoritmo xenético e a optimización da colonia de formigas. Para a parte computacional, realizáronse implementacións en R de todas as metaheurísticas e avaliáronse con distintas instancias da librería TSPLIB. Como resultado, obtívose que non hai unha metaheurística mellor que o resto en todos os aspectos. A procura tabú e a optimización da colonia de formigas obteñen resultados moi prometedores en termos de distancia ao custo óptimo; con todo, son temporalmente máis custosas que as outras dúas. O tépedo simulado obtén uns resultados algo peores que os anteriores, pero de forma moi rápida. Por último, o algoritmo xenético obtén moi malos resultados nun tempo, relativamente, aceptable. En conclusión, este traballo serve como guía ás persoas que queiran comprender estes conceptos.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Titoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vogal)

Resumo
Na actualidade existen múltiples ferramentas para realizar procesos de clasificación de imaxes, tales como as redes neuronais convolucionales e os transformers. Con todo, a marca Zara continúa realizando a etiquetaxe de maneira manual, o que deriva nun conxunto de etiquetas inexactas. Por esta razón, neste traballo explórase a implementación de métodos automatizados que melloren os resultados obtidos de forma manual. O propósito desta investigación é avaliar e analizar a eficacia do servizo de {AWS Rekognition Custom Labels para etiquetar pezas de vestir. A estratexia adoptada pretende identificar os límites do servizo para a referida tarefa a través dunha análise da viabilidade do conxunto de datos orixe. O desenvolvemento do proxecto comeza cunha análise preliminar do conxunto de datos para determinar a súa idoneidade para o adestramento de modelos. Posteriormente, realízase un exame das restricións do servizo, considerando cinco variables principais: o número total de imaxes, a interrelación entre as etiquetas, o tipo de etiqueta, a cantidade de imaxes dispoñibles para cada etiqueta e a influencia de cada etiqueta sobre as demais. Para logralo, utilizaranse varios recursos como o propio servizo, un conxunto de datos inicial e unha API REST desenvolvida para este proxecto. Entre os principais achados destácanse a baixa relevancia do número total de imaxes, así como as limitacións asociadas ao tipo de etiqueta e a importancia de que as etiquetas non estean excesivamente relacionadas.

Dirección
Carreira Nouche, María José (Titoría)
Rodríguez Díez, Helio Cotitoría

Tribunal
ARIAS RODRIGUEZ, JUAN ENRIQUE (Presidente/a)
Querentes Hermida, Raquel Esther (Secretario/a)
PIÑEIRO POMAR, CESAR ALFREDO (Vogal)

Resumo
Neste traballo realizarase unha introdución ao modelo de regresión lineal múltiple e aos mo- delos de regresión paramétricos, así como ás hipóteses clásicas que se supoñen sobre os mesmos. Unha delas é a hipótese de linealidade, respectivamente a forma paramétrica considerada, do modelo; que derivará en que nos centremos no contraste de bondade de axuste presentado por Stute (1997), o cal resulta de grande utilidade á hora de verificar se un modelo especificado ve- rifica unha certa forma paramétrica. Debido á complexidade á hora de estimar a distribución do estatístico proposto para dito contraste, presentarase unha aproximación bootstrap, máis concre- tamente un wild bootstrap sobre os residuos do modelo considerado para levar a cabo o calibrado do test na práctica. Máis adiante, programaremos dito contraste en R e realizaremos un estudo de simulación co obxectivo de comprobar o bo comportamento do contraste de xeito empírico; verificando que respeta o nivel de significación baixo a hipótese nula e que amosa unha boa potencia, é dicir, que é capaz de rexeitar a hipótese nula cando consideramos modelos baixo a hipótese alternativa. Por último, presentaremos unha aplicación a datos reais que nos permitirá ilustrar a utilidade do procedemento presentado na práctica.

Dirección
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
A teoría de xogos é unha disciplina matemática que estudia problemas de decisión que involucran a varios axentes. Distinguimos xogos cooperativos, os cales se diferencian na existencia ou non de mecanismos para establecer acordos vinculantes. Dous conceptos básicos son o valor de Shapley e o equilibrio perfecto en subxogos, tomados dos xogos cooperativos con utilidade transferible e os xogos en forma extensiva. Neste traballo utilizaremos as ferramentas mencionadas anteriormente para comprender e explicar unha investigación recente no ámbito dos dispositivos de concentración de peixes. Isto conduxo á posibilidade dun incremento nos beneficios das firmas pesqueiras paralelamente a unha contribución beneficiosa para o medio ambiente en términos da reduccción do consumo de carburante e así das emisión de CO.2 Xunto coas consideracións teóricas prenténdese mostrar un análise empírico deste problema.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Titoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vogal)

Resumo
O obxectivo deste TFG é o estudo do teorema de densidade de Chebotarev, traballando algunhas das súas aplicacións, especialmente a factorización de polinomios módulo p. Na primeira parte, realizaremos unha primeira aproximación á conexión entre a teoría de Galois e a factorización de polinomios módulo p, traballando a relación con outros resultados como a lei de reciprocidade cadrática. A continuación, explicaremos o papel que desempeña o teorema de densidade de Chebotarev e discutiremos outras aplicacións do mesmo.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Titoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
Nesta publicación realizaremos un estudo dalgúns dos métodos numéricos máis utilizados á hora de resolver ecuacións diferenciais. Comprobaremos as súas propiedades teóricas mediante a resolución dun problema físico de valor inicial. Remataremos cunha comparación entre os métodos dispoñibles e os que emprega un software comercial para a modelización de fluídos, como é Ansys Fluent.

Dirección
Ferrín González, José Luis (Titoría)

Tribunal
Ferrín González, José Luis (Titor do alumno)

Resumo
Unha metaheurística é un procedemento de procura de alto nivel deseñado para guiar heurísticas subordinadas co obxectivo de explorar eficazmente espazos de solucións en problemas de optimización complexos, especialmente aqueles onde os métodos exactos resultan computacionalmente inviables. Estas técnicas non garanten atopar a solución óptima, pero buscan obter solucións de boa calidade en tempos razoables, o que as fai especialmente útiles en contornas reais. Dentro deste marco, destacan os algoritmos evolutivos, que se inspiran en principios da evolución biolóxica para explorar espazos de procura complexos. Entre eles, os algoritmos xenéticos e meméticos son especialmente relevantes. Os algoritmos xenéticos empregan mecanismos como a selección, o cruzamento e a mutación para xerar novas solucións, mentres que os algoritmos meméticos combinan esta exploración global con estratexias de mellora local para optimizar aínda máis cada solución. Estes métodos foron aplicados con éxito na resolución de diversos problemas complexos, entre eles os problemas de roteiros. Estes consisten en atopar o conxunto óptimo de camiños que debe seguir unha frota de vehículos para atender a un conxunto de clientes. Unha xeneralización dos problemas de roteiros é o problema de roteiros de camións e tráileres multicompartimento (MC-TTRP). Este problema considera dous tipos de vehículos compartimentados, camións e tráileres que deben ir remolcados, e dous tipos de clientes con diferentes restricións de servizo e que requiren múltiples tipos de carga, o que dá lugar á existencia de múltiples tipos de roteiros para optimizar a distribución. Neste traballo exploráronse os algoritmos xenéticos e meméticos, estudando como funcionan os operadores utilizados e como obter un algoritmo memético que é capaz de abordar un problema complexo. Tamén se estudaron os problemas de roteiros, cunha maior énfase no MC-TTRP, ofrecendo un modelo de programación lineal e enteira mixta que permita modelar o problema de maneira matemática. Utilizando estes coñecementos implementouse un algoritmo en C++ que facilita a obtención dos roteiros óptimos para calquera instancia do MC-TTRP.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
A computación cuántica é un campo da informática que utiliza principios da física cuántica para a resolución de problemas de maneira máis eficiente que a computación clásica, especialmente en áreas como a optimización. Doutra banda, a bioinformática é un campo que combina elementos da bioloxía e a informática para analizar grandes conxuntos de datos biolóxicos. Un exemplo destacado desta disciplina é a xenómica, que inclúe a xeración de árbores filoxenéticos, ferramentas clave para entender a evolución biolóxica de especies. A reconstrución destas árbores representa un problema computacional moi complicado de resolver pola súa complexidade. Este traballo explora se a computación cuántica pode ofrecer solucións efectivas para abordar o devandito problema. Neste contexto, estudouse o funcionamento da computación cuántica e dos algoritmos cuánticos de optimización, facendo énfase en Quantum annealing e no algoritmo cuántico de optimización aproximada (QAOA). Baseándose nestes enfoques, desenvolveuse un algoritmo cuántico capaz de reconstruír filoxenias mediante o corte de grafos. O algoritmo proposto foi implementado e probado en hardware cuántico dispoñible actualmente, obtendo resultados satisfactorios que demostran o seu potencial para resolver problemas complexos na área da bioinformática.

Dirección
Fernández Pena, Anselmo Tomás (Titoría)
PICHEL CAMPOS, JUAN CARLOS Cotitoría

Tribunal
ARIAS RODRIGUEZ, JUAN ENRIQUE (Presidente/a)
Querentes Hermida, Raquel Esther (Secretario/a)
PIÑEIRO POMAR, CESAR ALFREDO (Vogal)

Resumo
Publicado no ano 1973, o modelo de Black-Scholes supuxo un importante avance na teoría de valoración de opcións financeiras, xa que explicitaba unha solución para o prezo teórico das opcións europeas. O obxectivo deste traballo é realizar unha introdución a este modelo. O documento comeza explicando conceptos financeiros básicos e, posteriormente, aborda os fundamentos matemáticos necesarios sobre os que se sustenta o modelo. Destacan o movemento browniano xeométrico e o Lema de Itô. A continuación, co apoio destas ferramentas, dedúcese formalmente a ecuación diferencial de Black-Scholes para, seguidamente, presentar a fórmula explícita para opcións europeas. Tamén se exemplifica un caso práctico no que se pode apreciar a utilidade deste modelo en casos reais. Por último, preséntanse unha serie de factores que limitan o modelo en escenarios reais actuais, así como se discuten posibles extensións e modificacións do mesmo que se adapten a estas situacións.

Dirección
AMEIJEIRAS ALONSO, JOSE (Titoría)
GINZO VILLAMAYOR, MARIA JOSE Cotitoría

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
Neste traballo preséntase unha revisión dos métodos estatísticos para a análise de táboas de frecuencias. En primeiro lugar, recórdanse as distribucións de probabilidade das variables discretas mais relevantes e relacionadas coas táboas de frecuencias: Binomial, Multinomial, Poisson e Hiperxeométrica. Despois, faise un repaso dos conceptos fundamentais da Inferencia Estatística e a súa aplicación a táboas de continxencia. Mais adiante estúdanse as táboas de continxencia bidimensionais, empezando polas táboas $2\times2$ e seguindo coas táboas xerais $I\times J$. Revísanse os test chi-cadrado, de razón de verosimilitudes e exacto de Fisher. Ademais de exemplos ilustrativos, empréganse métodos gráficos moi visuais, como os diagramas de barras amontoadas, os gráficos de catro campos, os diagramas de peneira e os diagramas de mosaico. Remata o traballo co estudo das táboas de continxencia multidimensionais, que implican o estudo de táboas parciais e marxinais, o que culmina cos tests de Mantel-Haenszel e de Breslow-Day-Tarone. As Odds-Ratios reveláronse como unha ferramenta de gran utilidade para a análise das formas de asociación nunha táboa de continxencia. O traballo foi acompañado de exemplos, así como de códigos en linguaxe R para a implementación dos métodos estatísticos que se foron considerando.

Dirección
SANCHEZ SELLERO, CESAR ANDRES (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
Ao considerar un conxunto de datos, podemos atoparnos con observacións independentes ou con observacións que presenten algún tipo de dependencia espacial ou temporal, como é o caso das series temporais. Ao ter en conta esta dependencia, xorde naturalmente a teoría estatística da análise de series temporais, na que nos adentramos nas seguintes páxinas. O obxectivo deste traballo é a descrición e comparación dos diferentes modelos e metodoloxías de análise de series temporais. Partindo desta base, comparáronse en canto a rendemento, sinxeleza, interpretabilidade e eficiencia computacional, chegando á conclusión de que os modelos máis axeitados varían en cada caso.

Dirección
PATEIRO LOPEZ, BEATRIZ (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
Neste traballo abórdase o fenómeno do Concept Drift, que se manifesta en contornos dinámicos e non estacionarios, onde as relacións estatísticas entre as variables do modelo varían co tempo, afectando ao rendemento dos algoritmos de aprendizaxe automática. Como obxectivo principal, desenvólvese unha modificación do algoritmo KSWIN, pertencente á libraría RiverML, baseado no contraste de Kolmogorov-Smirnov. A proposta incorpora contrastes múltiples e a corrección de Benjamini-Hochberg, co fin de mellorar a robustez estatística do test e reducir a taxa de falsos positivos. Proponse diversas configuracións do detector, orientadas tanto á monitorización de datos procedentes de distribucións continuas como á avaliación de métricas de rendemento. Para este último enfoque, introdúcese un mecanismo para a identificación do tipo de drift, aplicando técnicas de inferencia non paramétrica. No primeiro caso, deseñouse un entorno de probas con datos xerados artificialmente. No segundo, intégrase a comparativa desenvolvida nun Traballo de Fin de Grao do Grao en Enxeñaría Informática, centrado na avaliación de múltiples detectores presentes na literatura. Os experimentos realizados amosan unha redución significativa na taxa de falsos positivos sen comprometer a potencia do contraste, mellorando a eficacia do algoritmo orixinal e doutros detectores clásicos. Ademais, a capacidade de identificación do tipo de drift achega un valor engadido a unha das configuracións propostas.

Dirección
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
Neste traballo compáranse distintas técnicas para a detección e adaptación ao Concept Drift, un fenómeno que se manifesta en contornas dinámicas e non estacionarias, onde as relacións estatísticas entre as variables do modelo cambian co tempo, afectando nalgúns casos ao seu rendemento. O obxectivo principal consiste en avaliar diversos detectores de drift presentes na Literatura, xunto cunha análise de diferentes técnicas de adaptación tras a súa detección. O estudo desenvólvese nun entorno experimental con datasets artificiais que simulan distintos tipos de drift, aplicados sobre un modelo de clasificación. Analízanse algoritmos clásicos da biblioteca RiverML, en escenarios con e sen información previa do entorno, aplicando no primeiro caso unha optimización de hiperparámetros mediante un método novidoso baseado en Random Search. Sobre KSWIN, un dos algoritmos avaliados, incorpórase unha modificación desenvolvida de forma complementaria no Traballo de Fin de Grao en Matemáticas, que introduce técnicas estatísticas como contrastes múltiples e a corrección de Benjamini Hochberg para mellorar o proceso de detección, así como un sistema de identificación do tipo de drift mediante inferencia non paramétrica, considerado innovador na Literatura. Os resultados poñen de manifesto as fortalezas e limitacións tanto dos detectores como das estratexias de adaptación analizadas. Aínda que algúns algoritmos, como HDDMW, amosan un bo rendemento xeral, a elección do detector máis axeitado depende en grande medida do caso de uso e do tipo de drift presente. Así mesmo, a adaptación baseada en mini batches ofrece un comportamento sólido fronte ao reentrenamento periódico. Ademais, a modificación proposta sobre KSWIN mellora o resto dos detectores no equilibrio entre falsos positivos e falsos negativos durante o proceso de detección, e senta unha base sólida no método de identificación do tipo de drift.

Dirección
MERA PEREZ, DAVID (Titoría)

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
LOPEZ FANDIÑO, JAVIER (Secretario/a)
VIDAL AGUIAR, JUAN CARLOS (Vogal)

Resumo
A resolución mediante separación de variables de, por exemplo, a ecuación de ondas nun dominio espacial circular, lévanos ás funcións de Bessel como funcións básicas para obter as solucións en series. Neste TFG trátase de estudar as funcións de Bessel, e outras funcións especiais, e amosar a súa utilidade na resolución de EDPs en dominios espaciais circulares ou cilíndricos.

Dirección
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Titoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vogal)

Resumo
O seleniuro de cromo 1T CrSe2 é un material de van der Waals formado por capas fortemente enlazadas por covalencia no plano e unidas entre si por forzas débiles de van der Waals fóra do mesmo. Estes sistemas exhiben un comportamento intermedio entre o dos electróns localizados, con momentos magnéticos ben definidos en cada núcleo atómico, e o dos electróns itinerantes, deslocalizados ao longo de bandas de condución sen que se lles poida asignar un momento neto a cada átomo. Para estudar a orde magnética e as inestabilidades electrónicas realizáronse cálculos ab initio co código WIEN2k, empregando o método FP (L)APW lo e a aproximación de gradiente xeneralizado PBE. Primeiro caracterizouse a monocapa ríxida 1 por 1: o seu estado fundamental resulta ferromagnético e a súa densidade de estados está dominada por orbitais t2g de Cr no nivel de Fermi, indicio de inestabilidades electrónicas. Para capturar as ondas de densidade de carga (CDW) asociadas a modos de Peierls construíronse superceldas 2 por 2 e raiz(3) por raiz(3). A relaxación da 2 por 2 revela tetrámeros de Cr e un gap parcial propio dun mecanismo de Peierls unidireccional. A reconstrucción raiz(3) por raiz(3) trimeriza simultaneamente os tres orbitais t2g, abrindo pseudogaps por enriba e por abaixo do nivel de Fermi e deixando só unha banda plana residual. Dado que a DFT pura tende a subestimar a interacción de Coulomb local, implementamos a corrección LDA U sobre os orbitais d de Cr. Para valores moderados de U refórzase a apertura do pseudogap e estabilízase aínda máis a fase CDW ferromagnética, mentres que un U excesivo provoca reordenacións de subbandas que reintroducen picos de densidade de estados en EF.

Dirección
PARDO CASTRO, VICTOR (Titoría)

Tribunal
MIRA PEREZ, JORGE (Presidente/a)
CID VIDAL, XABIER (Secretario/a)
MOSQUEIRA REY, JESUS MANUEL (Vogal)

Resumo
Neste traballo preséntase unha aplicación do modelo de aprendizaxe supervisada Random Forest a datos deportivos. En concreto, a datos asociados ós equipos da NBA nas últimas tempadas. No primeiro capítulo realízase unha breve introdución ós algoritmos de aprendizaxe supervisada, facendo especial énfase no dilema nesgo-varianza, problema fundamental neste tipo de modelos. A continuación, realízase unha descrición sistemática das árbores de decisión. Estas son uns dos modelos máis sinxelos de aprendizaxe supervisada, pero son pezas fundamentais noutros modelos máis complexos como o Random Forest. No Capítulo 3 introdúcese o modelo Random Forest tal e como o definiu Leo Breiman no ano 2001. Ademais, preséntanse algúns resultados fundamentais relacionados coa redución do seu erro relativo e da súa varianza. Finalmente, no último capítulo aplícase o modelo Random Forest a datos de estatística avanzada dos equipos da NBA. Analizarase tanto un caso de clasificación coma un de regresión. En ambos casos, estudarase a dependencia dos modelos cos seus hiperparámetros e compararanse os resultados con outros modelos habituais neste tipo de problemas.

Dirección
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
O obxectivo principal deste traballo é desenvolver un sistema automatizado para a detección e segmentación de glioblastomas, un tipo agresivo de tumor cerebral, en modelos animais (ratos e ratas) mediante imaxes de resonancia magnética preclínica (RM). Para iso, empréganse técnicas de aprendizaxe supervisada coa fin de segmentar automaticamente o glioblastoma e calcular o seu volume de forma precisa. No Capítulo 3 preséntase o modelo U-Net, unha rede neuronal convolucional especializada en tarefas de segmentación médica. Este modelo entrénase utilizando imaxes de RM de ratos con segmentacións manuais (ground truth), co obxectivo de localizar automaticamente o glioblastoma en novas imaxes. Explórase o impacto de diferentes configuracións de hiperparámetros e avalíase o rendemento do modelo mediante métricas específicas de segmentación. O Capítulo 4 aborda o desenvolvemento de modelos predictivos para estimar o volume tumoral en ratos, a partir das mesmas imaxes utilizadas no capítulo anterior. O proceso inclúe a extracción de variables radiómicas, a súa comparación coas obtidas previamente pola investigadora Sara Ortega, a selección das variables máis relevantes, e o adestramento de modelos de regresión. Novamente, analízanse distintas combinacións de hiperparámetros para estudar a súa influencia na calidade das predicións. No Capítulo 5, reprodúcese o procedemento anterior, esta vez empregando imaxes de ratas. Ademais, lévase a cabo unha análise sobre o impacto do aumento do tamaño mostral no rendemento dos modelos predictivos, adestrando os algoritmos con distintas cantidades de datos. Finalmente, considerouse a posibilidade de construír un modelo para predicir a supervivencia dos animais a partir das imaxes. Porén, unha análise preliminar revelou que os datos dispoñibles eran insuficientes para obter predicións fiables, polo que esta posibilidade se formulou como unha futura liña de investigación.

Dirección
IGLESIAS REY, RAMON (Titoría)

Tribunal
Pérez Muñuzuri, Vicente (Presidente/a)
GALLAS TORREIRA, ABRAHAM ANTONIO (Secretario/a)
RODRIGUEZ GONZALEZ, JUAN ANTONIO (Vogal)

Resumo
As ecuacións das augas pouco profundas teñen unha importante presenza en hidráulica e nas ciencias medioambientais. Ter un modelo matemático sinxelo que describa a realidade con precisión trae consigo grandes beneficios. Seguindo esta motivación, este traballo está dedicado a introducir as ecuacións das augas pouco profundas e á súa resolución, abordada tanto dende o punto de vista analítico coma numérico. Comézase estudando as propiedades matemáticas do correspondente sistema de leis de conservación hiperbólicas para despois obter algunhas solucións particulares e finalmente abordar o deseño e validación de métodos numéricos para a súa resolución. O código Matlab desenvolto está baseado en esquemas de volumes finitos de primeira orde e permite resolver de modo aproximado o problema de Riemann clásico.

Dirección
VAZQUEZ CENDON, MARIA ELENA (Titoría)
BUSTO ULLOA, SARAY Cotitoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
A investigación da teoría de superficies minimais, aínda plenamente vixente, comezou no século XVIII con valiosas contribucións de ilustres matemáticos coma L. Euler ou J. Lagrange. Iniciamos este traballo recollendo os primeiros achegamentos e definicións, ás veces dende distintas perspectivas -como a física, a xeométrica ou a analítica- das superficies minimais. Un dos avances máis significativos nesta materia sucedeu entre 1861 e 1864 coa incorporación da Análise Complexa ao estudo das superficies minimais, culminando no que hoxe coñecemos como Representación de Weirstrass-Enneper, que tamén tratamos neste texto. Por último, pasamos a estudar unha das principais ferramentas no contexto da teoría de superficies: o Principio do máximo. Este resultado permite comparar e distinguir superficies a través da análise das súas respectivas curvaturas medias.

Dirección
SANMARTIN LOPEZ, VICTOR (Titoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
Na Estatística, un dos obxectivos principais é estimar o valor dun parámetro que caracteriza unha poboación. Así mesmo, interesa estudar as propiedades desas estimacións como, por exemplo, a incerteza asociada ao estimador. Iso é o que pretende o método jackknife, sobre o cal xurdiu o método bootstrap como unha versión mellorada. O bootstrap uniforme, que é a versión máis sinxela, resulta útil nun contexto onde a distribución poboacional é totalmente descoñecida e só dispoñemos da mostra. Con todo, cando se coñecen certas propiedades da distribución subxacente, poden empregarse outras variantes con mellores resultados que o uniforme. Neste traballo expóñense os distintos procedementos bootstrap así como os algoritmos asociados en combinación co método Monte Carlo. Actualmente, as aplicacións do bootstrap son moi numerosas. Unha das máis relevantes é a construción de intervalos de confianza para distintos parámetros. Neste traballo compáranse, segundo o seu erro de cobertura, o método baseado na Normal asintótica e tres variantes do bootstrap: o método percentil básico, o percentil-t e o percentil-t simetrizado. Estes tres procedementos, cuxa construción se fundamenta no método pivotal, diferéncianse na definición do pivote empregado, destacando que o pivote estudentizado en valor absoluto usado no percentil-t simetrizado, proporciona intervalos de confianza máis precisos.

Dirección
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
A análise de datos funcionais e a rama da estatística que se centra no estudo de funcións como obxectos probabilísticos, expandindo a visión tradicional ocupada unicamente con escalares ou vectores. O obxectivo deste traballo é proporcionar unha introdución á estatística dos datos funcionais, establecendo as súas bases teóricas e prestando especial atención á análise da regresión. Formúlanse dous modelos de regresión lineal funcional, segundo o carácter escalar ou funcional da resposta, e preséntanse distintas técnicas de estimación e contraste de significación aplicables a cada un dos modelos.

Dirección
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
A motivación deste traballo baséase nun problema concreto e moi importante que houbo que resolver uns anos atrás e deixou ao mundo paralizado: a crise da COVID. A distribución inicial das máscaras é fundamental para limitar a expansión do virus, polo que os diferentes estados tiveron que afrontar un problema de repartimento polo seu territorio dun ben escaso. Neste traballo estúdase o problema de bancarrota, un modelo clásico que pode estudarse por si mesmo ou dentro da teoría de xogos, e que representa situacións nas que un conxunto de axentes reclama máis do que hai dispoñible dun recurso limitado. Este tipo de problemas xorde en numerosos contextos sociais e económicos, onde é necesario repartir un ben escaso entre diferentes partes interesadas, como xeopolítica, economía de empresa, xestión de bens públicos... O obxectivo principal do traballo é realizar unha revisión bibliográfica das distintas solucións propostas para este tipo de situacións, estudando as súas propiedades matemáticas, a súa xustificación conceptual e as súas aplicacións potenciais, xa sexa empregando os modelos de teoría de xogos existentes ou creando modelos específicos. Analízanse regras como a división proporcional, a solución do Talmud, o valor de Shapley, as regras de prioridade ou as regras xeométricas, entre outras, comparando os seus comportamentos en termos de equidade, consistencia e eficiencia, e todo iso aplicado ao caso práctico.

Dirección
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
As funcións L son funcións definidas no plano complexo que permiten obter información aritmética a partir de propiedades analíticas como a localización dos seus ceros, polos ou o cumplimento de certa ecuación funcional. Ademáis, permítenos conectar obxectos de distinta natureza como as curvas elípticas, de natureza xeométrica, e as formas modulares, de natureza analítica, a través do teorema de modularidade que establece unha correspondencia entre ambos a través das suas funcións L asociadas. Neste traballo centrarémonos no estudo das funcións L asociadas a xeneralizacións das formas modulares, as chamadas formas automorfas, e ás representacións de Galois. En particular, comezaremos introducindo as representacións de Galois e as súas conexións coas curvas elípticas e formas modulares. Logo, pasaremos a estudar as formas e representacións automorfas no caso de GL2 onde se introducirán as técnicas para establecer ecuacións funcionais das súas funcións L asociadas traballadas na tesis de Tate. Nos dous seguintes capítulos xeneralizaranse estos conceptos para o caso dun grupo alxébrico redutivo calquera. Todo isto estudarase enmarcándoo dentro do programa de Langlands que xeneraliza a conexión entre curvas elípticas e formas modulares a un contexto máis xeral.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Titoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
Dado un sistema cuántico no cal queremos modificar algún parámetro de control sen que exista un cambio no seu nivel de enerxía o teorema adiabático permítenos facelo. A cambio, a velocidade á que se realiza este cambio debe ser o suficientemente pequena. Isto leva a unha maior vulnerabilidade do sistema a efectos como o ruido ou a decoherencia que fan que o sistema perda as súas propiedades cuánticas. Co obxectivo de resolver esta dificultade deséñanse os métodos coñecidos como atallos á adiabaticidade os cales permítenos acelerar o tempo de preparación do sistema sen ter que depender do teorema adiabático. En particular, neste traballo centrarémonos no método coñecido como Counterdiabatic Driving(CD) baseado na introdución dun termo adicional no hamiltoniano que evite as transicións entre os autoestados instantáneos. Primeiro, motivaremos e daremos o enunciado preciso do teorema adiabático. Logo, introduciremos o formalismo do CD e aplicarémolo a varios sistemas simples. Finalmente, darase unha breve introdución a outros atallos á adiabaticidade e as súas limitacións.

Dirección
Vázquez Ramallo, Alfonso (Titoría)

Tribunal
Pérez Muñuzuri, Vicente (Presidente/a)
GALLAS TORREIRA, ABRAHAM ANTONIO (Secretario/a)
RODRIGUEZ GONZALEZ, JUAN ANTONIO (Vogal)

Resumo
No campo da teoría de xogos, os xogos de mayoría ponderada desenvolven un papel fundamental na análise das votacións nos parlamentos e comités. Neste traballo, preséntanse esta clase de xogos, centrándose no estudo dos índices de poder. Este é un concepto de solución que asigna unha medida da influencia ou poder aos xogadores no proceso de votación. Entre os índices de poder existentes na literatura, estudaranse Shapley-Shubik, Banzhaf, Johnston, Colomer-Martínez, Johnston-Colomer-Martínez. Analizaranse as propiedades que verifican e ilustraranse con exemplos prácticos. Co obxectivo de facilitar o cómputo destes índices, desenvolveranse métodos baseados nas funcións xeratrices, ferramentas da análise combinatoria que permiten obter, mediante polinomios, os elementos necesarios para o seu cálculo. Ademáis, modelarase unha nova situación ao considerar que os xogadores implicados poden aliarse formando agrupacións, dando lugar aos denominados xogos con estrutura coalicional. Para este tipo de xogos, introduciranse dous novos índices de poder: os índices de Owen e Banzhaf-Owen, xunto con métodos para o seu cálculo baseados tamén nas funcións xeratrices. Finalmente, aplicaranse estes conceptos nun caso práctico: a análise do Parlamento español. Estudaranse os cambios na distribución de poder dos partidos políticos entre as eleccións xerais de novembro de 2019 e xullo de 2023, así como as consecuencias dos movementos de deputados ao longo da XV Lexislatura. Para levar a cabo estes cálculos, utilizarase a librería powerindexR no software estadístico R.

Dirección
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Titoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotitoría

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vogal)

Resumo
O estudo do comportamiento cualitativo das ecuacións diferenciáis busca obter propiedades das solución sen necesidade de coñecelas explícitamente. Este enfoque cobra especial relevancia cando se incorporan parámetros na ecuación, pois pequeñas variacións deles poden suponer cambios moi significativos, influindo no número de puntos singulares, na súa estabilidade ou la aparición de solución oscilatorias. Esta é a idea da teoría das bifurcacións, na que se profundizará mediante os exemplos máis típicos en unha e dous dimensión: as bifurcacións tanxenciais, transcríticas, tridentes e de Hopf. Para cada unha de elas se explorará o comportamiento cualitativo de unha ecuación tipo, para continuar realizando un estudo xenérico no que se obterán as condición que as caracterizan.

Dirección
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Titoría)
LOIS PRADOS, CRISTINA Cotitoría

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vogal)

Resumo
O clustering é unha técnica estatística non supervisada que busca identificar automaticamente grupos homoxéneos de observacións dentro dun conxunto de datos. A súa utilidade consolidouse en múltiples disciplinas, especialmente no contexto actual de xeración masiva de datos, grazas á súa capacidade para identificar grupos en datos complexos e de alta dimensión. Aínda que tradicionalmente empregábanse métodos heurísticos como k-medias ou técnicas xerárquicas, estes enfoques presentan limitacións, como a falta dunha base teórica sólida ou a dificultade para determinar o número óptimo de grupos. Pola contra, o clustering baseado en modelos (Model-Based Clustering, MBC) ofrece unha alternativa estatisticamente fundamentada ao modelar os datos como unha mestura finita de distribucións de probabilidade. Este enfoque permite realizar inferencias rigorosas, seleccionar modelos axeitados, elixir o número de grupos de maneira xustificada e avaliar a incerteza na asignación de observacións. Neste traballo, preséntanse os fundamentos teóricos do clustering baseado en modelos, cun enfoque nos modelos de distribucións gaussianas, que son os máis empregados, así como o algoritmo EM para a estimación de parámetros e criterios de selección de modelos, incluíndo a elección do número de clústeres. Ademais, preséntase exemplos prácticos utilizando o paquete mclust en R.

Dirección
AMEIJEIRAS ALONSO, JOSE (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
Este traballo céntrase na optimización de modelos de visión-linguaxe (VLMs) aplicados a tarefas de pregunta/resposta visual (VQA) sobre vídeos con obxectos pequenos, un escenario que presenta importantes retos computacionais debido ao elevado número de tokens visuais irrelevantes que se xeran. Para abordar este problema, proponse un método baseado na integración dun detector que identifica rexións visuais relevantes nos fotogramas do vídeo, o que permite filtrar os tokens visuais asociados ao fondo xerados polo módulo de visión (ViT) antes de ser procesados polo modelo de linguaxe (LLM). Os resultados experimentais amosan que este filtrado permite eliminar unha gran proporción de tokens visuais, o que implica unha notable redución da complexidade computacional do modelo de linguaxe e, en consecuencia, unha diminución da complexidade total do sistema, sen comprometer o rendemento. Así mesmo, obsérvase unha mellora no tempo de execución do LLM, o que contribúe a unha maior eficiencia no procesamento textual. Non obstante, o impacto sobre o tempo total de inferencia está condicionado polo ViT, que continúa a ser o principal colo de botella debido ao procesamento de imaxes en alta resolución, así como polo custo computacional adicional do detector empregado. Este traballo valida o uso de técnicas de filtrado como unha estratexia eficaz para mellorar a eficiencia dos VLMs e abre novas liñas de investigación orientadas a optimizar tamén o procesamento visual, así como a explorar detectores máis lixeiros.

Dirección
MUCIENTES MOLINA, MANUEL FELIPE (Titoría)
CORES COSTA, DANIEL Cotitoría

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
LOPEZ FANDIÑO, JAVIER (Secretario/a)
VIDAL AGUIAR, JUAN CARLOS (Vogal)

Resumo
O traballo consistirá principalmente na análise exhaustiva de problemas de optimización combinatoria, en particular, de tres deles: problema de fluxo en redes, problema da mochila e o problema do viaxante de comercio. Este último irá acompañado dunha simulación práctica aplicada á realidade, de xeito que se analizará a eficiencia dos seus principais heurísticos.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
Neste traballo presentaranse diferentes algoritmos empregando o método de diferenzas finitas para resolver ecuacións en derivadas parciais (EDPs) de tipo parabólico. Estes métodos estarán orientados a simular unha aplicación na transferencia de biocalor. Comezarase coa formalización do modelo parabólico para, posteriormente, centrarse nun caso específico de gran relevancia en bioenxeñaría: a ecuación de Pennes. Presentarase o método de diferenzas finitas como ferramenta de discretización, xunto con formulacións en coordenadas alternativas. A continuación, desenvolveranse e analizaranse catro algoritmos clásicos: os métodos explícito, implícito, Crank-Nicolson e o método das liñas. Para cada un deles detallarase a súa formulación, análise numérica, implementación en MATLAB e validación fronte a solucións coñecidas. Finalmente, aplicarase o modelo a un caso real de tecido mamario cun quiste, validando os resultados obtidos e discutindo a súa utilidade práctica.

Dirección
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Titoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Titor do alumno)

Resumo
Neste traballo estúdase un modelo de ecuacións diferenciais, que reflicte a variación do volume celular provocado por diferentes aspectos biolóxicos. En primeiro lugar, recordaremos conceptos básicos relacionados coas Ecuacións Diferenciais Ordinarias e, seguidamente, introduciremos o concepto de grado de Brouwer e algunhas das súas principais propiedades. Veremos tamén como se axusta o modelo a diferentes tipos de células e como varían os seus parámetros. Ademais, estudaremos a estabilidade do noso modelo axudándonos de casos particulares. Por último, estudarase a posibilidade de que o modelo teña solucións T-periódicas non triviais a través de diferentes resultados que se ilustrarán con algúns exemplos.

Dirección
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Titoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vogal)

Resumo
Este traballo aborda a solución numérica de ecuacións polinómicas mediante métodos computacionais. O obxectivo principal é describir e aplicar técnicas para acotar, localizar e aproximar raíces de polinomios con coeficientes reais e complexos. Desenvolvense de xeito teórico práctico métodos clásicos como o esquema de Horner para avaliación eficiente de polinomios e derivadas, os métodos de acotación (Lehmer Schur para raíces complexas; Laguerre Thibault, Newton e Sturm para raíces reais) e os algoritmos de aproximación (Newton, Bernoulli, Bairstow, Graeffe Lobachevsky), estes últimos con código desenvolvido en MATLAB. Démonstrase que a elección do método depende de xeito crítico da natureza do polinomio: multiplicidade de raíces, separación entre elas e presenza de raíces complexas. Os experimentos numéricos revelan, entre outros resultados, que o método de Newton con deflación é robusto para raíces sinxelas; o método de Bairstow é óptimo para raíces complexas conjugadas, evitando aritmética complexa; e o método de Bernoulli converge rapidamente para raíces dominantes sinxelas, pero é sensible ás eleccións iniciais. O traballo inclúe códigos MATLAB verificados para todos os algoritmos de aproximación de raíces, validados con polinomios de proba. As conclusións destacan a importancia de combinar métodos analíticos (separación de raíces) con numéricos para garantir precisión.

Dirección
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Titoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vogal)

Resumo
Os datos espaciais representan localizacións xeográficas cuxa análise permite detectar posibles patróns e estruturas no espazo. Neste Traballo de Fin de Grao preséntase unha introdución á estimación non paramétrica da densidade bidimensional, centrada no uso do estimador tipo núcleo, co fin de obter representacións suaves da distribución espacial dos datos. Os diferentes métodos ilustraranse mediante a implementación de códigos en R, aplicados a datos reais de casos e controis de leucemia rexistrados no noroeste de Inglaterra. O obxectivo principal é identificar posibles agrupacións espaciais significativas que poidan contribuír á comprensión dos patróns epidemiolóxicos observados.

Dirección
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
Neste traballo de fin de grao, enmarcado na área de coñecemento da Análise Matemática, abórdase o problema aberto da caracterización de centros globais en sistemas dinámicos polinomiais. Tras unha recopilación de resultados básicos da análise cualitativa de ecuacións diferenciais introdúcese o concepto de centro local e global, clasificándoos en función do seu sistema linearizado. Dado que o problema é moi amplo, centrouse o estudo na busca de centros nilpotentes en sistemas homoxéneos de grao 5 que presentasen certas propiedades de simetría. Tamén se consideraron sistemas hamiltonianos. Comprobar o carácter global dos centros require coñecer o comportamento das órbitas no infinito do plano euclidiano. Para afrontalo recúrrese á compactificación de Poincaré, que proxecta o campo definido en R2 nunha esfera e permite identificar os puntos no infinito coa liña do ecuador. Finalmente, para comprender a estrutura local dalgunhas singularidades, utilizáronse as denominadas transformacións \textit{blow up}, que expanden o punto singular ao longo dunha recta e facilitan o seu estudo.

Dirección
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Titoría)
Diz Pita, Érika Cotitoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
Este traballo estuda o método de Newton aplicado a sistemas de ecuacións non lineais, así como a súa variante discretizada, na cal as derivadas se aproximan mediante diferenzas finitas. Comezase coa presentación do método nunha variable para facilitar a comprensión e logo xeneralízase ao caso multidimensional. A parte teórica inclúe unha análise detallada da converxencia local de ambos os dous métodos. Finalmente, implementanse os métodos en MATLAB e ilustran as súas propiedades mediante tres exemplos numéricos.

Dirección
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Titoría)

Tribunal
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Titor do alumno)

Resumo
O estudo de series de tempo constitúe unha ferramenta fundamental na análise de datos que evolucionan ao longo do tempo, permitindo modelar e predicir fenómenos en campos como a economía, a meteoroloxía, a enxeñería ou as ciencias sociais. Este Traballo Fin de Grao aborda a análise de series de tempo desde unha perspectiva estatística clásica, considerando que as series observadas son realizacións de procesos estocásticos. Preséntanse en detalle os modelos autorregresivos (AR), de medias móbiles (MA), mixtos (ARMA), integrados (ARIMA) e estacionais (SARIMA), explicando a súa formulación matemática, os métodos de estimación dos seus parámetros e as técnicas de predición asociadas. Así mesmo, proponse unha metodoloxía para a análise de series de tempo, a cal será empregada na análise de dúas series de tempo reais. Ademais, inclúese un estudo de simulación para ilustrar e avaliar os procesos de estimación e predición dos modelos.

Dirección
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
Na área do sensado remoto, existe gran interese en recompilar información de cobertura terrestre para identificar e clasificar os diferentes tipos de superficies presentes no chan, como áreas con vexetación, corpos de auga, chans urbanos, pasteiros, bosques ou áreas agrícolas, entre outros. Por outra banda, a segmentación semántica de imaxes permite asignar unha etiqueta a cada píxel da imaxe, clasificándoos en diferentes categorías ou clases específicas, o que facilita a interpretación e a análise de imaxes satelitales ou aéreas. O uso de técnicas de aprendizaxe profunda demostrou ser eficaz no ámbito da visión por computador, concretamente nas tarefas de segmentación semántica. Con todo, estes modelos son moi custosos computacionalmente, e adoitan requirir o uso de hardware especializado e técnicas de optimización para mellorar a eficiencia e viabilidade do adestramento e a inferencia. Neste Traballo de Fin de Grao perséguese probar diferentes modelos con arquitectura codificador-decodificador, tratando de mellorar a eficiencia e viabilidade dos adestramentos mesmo con grandes cantidades de datos. Das técnicas de paralelismo existentes para adestramentos multiGPU, usarase o paralelismo de datos, seleccionando un módulo de PyTorch que o implemente de maneira eficiente. Ademais, usando precisión mixta en punto flotante de 16 bits conséguese reducir o uso de memoria e aproveitar mellor o hardware das GPUs, realizando o adestramento na metade de tempo sen que a calidade da segmentación se vexa afectada.

Dirección
Argüello Pedreira, Francisco Santiago (Titoría)
Blanco Heras, Dora Cotitoría

Tribunal
ARIAS RODRIGUEZ, JUAN ENRIQUE (Presidente/a)
Querentes Hermida, Raquel Esther (Secretario/a)
PIÑEIRO POMAR, CESAR ALFREDO (Vogal)

Resumo
Unha álxebra de evolución sobre un corpo é unha álxebra dotada dunha base que verifica que o produto de calquera par de elementos distintos da base sempre é nulo. As álxebras de evolución idempotentes de dimensión finita teñen a propiedade de que o seu grupo de automorfismos é finito e admite unha representación mediante permutacións. No contexto do problema de realización de grupos xorde a pregunta natural de se toda representación mediante permutacións dun grupo finito pode realizarse a través dunha álxebra de evolución idempotente de dimensión finita. Neste traballo intrudúcese a teoría necesaria para comprender o problema e trátanse os resultados principais que aparecen na literatura.

Dirección
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Titoría)
FERNANDEZ RODRIGUEZ, ROSA Mª Cotitoría

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
O método de sub e sobre solucions foi obxecto de estudo dende a última década do século XIX, debido á súa eficacia no análise de ecuacións diferenciais non lineais. Este enfoque permite establecer a existencia de solucións sen necesidade de resolver explícitamente o problema. Neste traballo preséntase, en primeiro lugar, a aplicación do método de sub e sobresolucións a ecuacións diferenciais ordinarias de segundo orde con condicións de periodicidade. Demóstranse distintos resultados de existencia de solución, que, ademais, garantizan que dita solución ou solucións están entre a sub e sobresolución. Posteriormente, exponse o método monótono, unha técnica construtiva baseada en funcións de Green e na elección axeitada dun par de sub e sobresolucións. A diferenza do caso anterior, este método aplícase a ecuacións diferenciais ordinarias de orde arbitraria e baixo condicións de contorno xerais, non necesariamente periódicas. O procedemento xera sucesións monótonas, dadas como as únicas solucións de correspondentes problemas lineais asociados, que converxen cara ás solucións extremais localizadas entre a sub e a sobresolución, do problema non lineal estudado.

Dirección
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Titoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
Esta tese explora os fundamentos matemáticos da intelixencia artificial, centrándose nas redes neuronais e as súas liñas de investigación. Comeza cunha análise detallada das redes neuronais, cubrindo conceptos fundamentais coma a arquitectura e o entrenamento, así como temas de investigación coma a expresividade, a optimización, a xeralización e a explicabilidade. Introdúcese a dimensión de Vapnik-Chervonenkis (VC) coma marco teórico para cuantificar a capacidade dos modelos, ofrecendo información sobre a súa capacidade de xeralización e súas limitaciones. Para abordar a maldición da dimensionalidade, a tese analiza técnicas de reducción de dimensionalidade, coma a análise de componentes principais (PCA) e a análise discriminante lineal (LDA), mostrando o seu papel na mellora da eficiencia dos modelos sen sacrificar o rendemento. Por último, avalíanse as capacidades matemáticas dos grandes modelos de linguaxe como GPT. A partir de exemplos de tareas de razoamento e resolución de problemas, este traballo investiga cómo estes modelos procesan y xeran resultados matemáticamente rigurosos.

Dirección
Nieto Roig, Juan José (Titoría)

Tribunal
Nieto Roig, Juan José (Titor do alumno)

Resumo
Este traballo fin de grao céntrase na aplicación de modelos de linguaxe de última xeracion, coma GPT-4 e LlaMa 3, no etiquetado de documentos relacionados con temas de saúde no contexto do proyecto TREC. O principal obxectivo é avaliar a posibilidade de substituir as anotaciones realizadas por expertos humans por etiquetas xeradas con LLMs. A área de estudo da Recuperación da Información require de conxuntos de datos etiquetados de gran tamano, que son levados a cabo por etiquetadores humans expertos, o que ten un alto coste en tempo diñero. Se compróbase que estas etiquetacions humanas poden ser substituidas por unhas xeradas automáticamente, supondría un gran avance na xeración de datasets de alta calidade. No presente trabajo se levaráa a cabo o etiquetado dos mesmos documentos web que foron etiquetados por humans; isto nos serve para analizar discrepancias entre as etiquetas humanas e as xeradas poros modelos. Tamén estudiouse o efecto que teñen as instruccions indicadas ao modelo de linguaxe sobre a precisión do etiquetado. Basamos a nosa metodologxía nunha publicación levada a cabo por investigadores de Micorsoft, na que lévase a cabo un etiquetado da relevancia de cada documento. Os resultados obtidos neste traballo anterior foron moi satisfactorios e implementaronse en Bing pola millora en tempo, coste e calidade comparado con etiquetadores de crowdsourcing. Os nosos resultados supoñen un avance respecto a esta publicación anterior, xa que levamos a cabo un etiquetado de características máis complexas coma a correctitude médica e a credibilidade. Os resultados obtidos en noso traballo resultaron, nalgúns casos moi similares aos de Paul Thomas et al, polo que os consideramos suficentemente positivos como para substituir as etiquetas humanas.

Dirección
Losada Carril, David Enrique (Titoría)
FERNANDEZ PICHEL, MARCOS Cotitoría

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
LOPEZ FANDIÑO, JAVIER (Secretario/a)
VIDAL AGUIAR, JUAN CARLOS (Vogal)

Resumo
Neste traballo realízase unha introdución á geoestadística, centrándose especialmente no concepto de variograma, estrutura que cuantifica a dependencia espacial, e o método de interpolación espacial Kriging. Para iso expóñense as bases teóricas da dependencia espacial como fundamento para o desenvolvemento do variograma, incluíndo a concepción experimental pero tamén teórica do mesmo, así como os distintos modelos existentes e razóns polas que pode non modelizar correctamente a dependencia espacial. A continuación preséntase a teoría detrás do método de interpolación Kriging, xunto coas diferentes variantes do modelo: o ordinario, o universal e o multivariante. Finalmente, preséntase un caso práctico que plasma a utilidade destes conceptos co fin de modelar, mediante as librerías gstat e sm de R, a interpolación dos contaminantes SO2, PM10 e NOx no territorio galego.

Dirección
FEBRERO BANDE, MANUEL (Titoría)

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vogal)

Resumo
Este traballo realiza unha aproximación a algunhas das ideas que se desenvolveron durante a exploración e posterior demostración do último teorema de Fermat. Comezando polos casos n=3 e n=4, traballaranse algúns aspectos relativos á aritmética dos corpos de números. A parte central da memoria está dedicada ao estudo da demostración do teorema de Fermat para primos regulares. Finalmente, realizamos unha breve aproximación a algunhas das ideas desenvolvidas no século XX arredor do concepto de modularidade, que permitirían a demostración do resultado realizada por Andrew Wiles nos anos 90.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Titoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
O problema de comparación de poboacións encádrase dentro da Inferencia Estatística e ten como finalidade detectar diferenzas entre distintos grupos. Este traballo comeza cunha introdución á problemática do mesmo, seguida dun capítulo adicado á presentación de conceptos básicos da Estatística que van ser necesarios para a correcta comprensión de todo o documento, entre os que cómpre destacar os contrastes de hipóteses. A continuación, explícase detalladamente o problema de comparación de poboacións, onde se traballa coa comparación de medias, de varianzas e de funcións de distribución. Por un lado, distinguirase se se estudan dúas ou máis de dúas poboacións e por outro, diferenciarase entre métodos paramétricos, que asumen a hipótese de normalidade e entre os que se atopa o test t, dos non-paramétricos, que non supoñen condición algunha sobre as poboacións de interese. Tamén se inclúen dous contrastes para comprobar a hipótese de normalidade: a de Lilliefors e a de Shapiro-Wilk; así como probas para contrastar a igualdade de varianzas como a de Levene. Finalmente, empréganse as ferramentas teóricas detalladas con anterioridade para analizar unha base de datos sobre incendios forestais ocorridos en Galicia no ano 2006 a través do programa R.

Dirección
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
Un dos problemas clásicos que impulsou importantes avances en álxebra é o Problema Inverso de Galois, proposto por Hilbert en 1892. Inspirado por este problema e seguindo unha lóxica semellante, xorde a comezos do século XX o problema de realización de grupos, que formula unha cuestión aparentemente sinxela: dada unha categoría C e un grupo G, existe algún obxecto de C cuxo grupo de automorfismos sexa isomorfo a G? Cando isto ocorre para todo grupo (finito), dise que a categoría é (finitamente) universal. Un dos primeiros avances neste ámbito débese a R. Frucht, quen en 1939 demostrou que a categoría dos grafos simples finitos é finitamente universal. Dende entón, o problema foi estudado en diversas categorías e continúa a ser un tema de interese a día de hoxe na investigación en álxebra. O obxectivo deste traballo é introducir o problema de realización de grupos, presentar as ferramentas máis relevantes para o seu estudo e aplicar estas técnicas para abordar, por primeira vez na literatura, a universalidade finita da categoría dos aneis de fusión, estruturas alxébricas que xorden de forma natural tanto en álxebra como en certos contextos da física teórica dentro do marco actual de investigación.

Dirección
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Titoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
O obxectivo deste traballo é estudar os grupos finitos de orde menor ou igual que 30, agrupándoos en distintas categorías segundo a súa estructura en factores primos, empregando fundamentalmente técnicas como a Teoría de Sylow. Tamén introduciremos novas ferramentas para completar o noso estudo como o produto semidirecto. Normalmente, a análise dos diferentes grupos farase para o caso xeral e despois para as ordes concretas, pero, se a tarefa é complexa no caso xeral, o estudo centrarase só no caso concreto, do que se procurará levar a cabo un estudo profundo.

Dirección
FERNANDEZ RODRIGUEZ, ROSA Mª (Titoría)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA Cotitoría

Tribunal
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Titor do alumno)
FERNANDEZ RODRIGUEZ, ROSA Mª (Titor do alumno)

Resumo
Neste Traballo Fin de Grao preséntanse dous dos algoritmos cuánticos máis importantes, o de factorización de Shor e o de búsqueda de Grover. Previamente, detállanse as bases deste tipo de computación desde un enfoque puramente matemático. Máis concretamente, desenvólvense o concepto de p-cúbit e as operacións que se poden levar a cabo entre eles mediante portas lóxicas. Ademais, preséntanse subrutinas como o cálculo da transformada de Fourier cuántica e o algoritmo cuántico de estimación de fase, clave en múltiples algoritmos cuánticos. Por último, lévase a cabo un estudo pormenorizado dos algoritmos antes mencionados, acompañado de interpretacións xeométricas e exemplos para facilitar a súa comprensión.

Dirección
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Titoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
Neste Traballo Fin de Grao estudarase a presenza das figuras femininas nas matemáticas ao longo da historia, así como as súas achegas aos distintos campos desta ciencia, profundando especialmente na obra de cinco mulleres dos últimos séculos. Para acadar este obxectivo, comezarase cunha introdución sobre a historia das matemáticas na que se resaltarán os aspectos máis relevantes, achegando á vez unha idea do contexto sociopolítico das distintas épocas. Continuarase cunha enumeración dos motivos detrás do silenciamento das mulleres nesta historia, moitos dos cales se verán reflectidos posteriormente nas biografías que conforman os capítulos deste traballo. En cada capítulo exporase unha breve biografía das mulleres escollidas para, a continuación, afondar nos seus traballos e destacar a importancia destes no desenvolvemento da ciencia. Entre as obras, resultados e conceptos analizados, atópanse Observaciones de pasos por dos verticales, primeira tese en astronomía realizada por unha muller española; o Teorema de Cauchy Kovalevskaya, de gran utilidade no contexto das ecuacións en derivadas parciais; a definición de anel noetheriano, fundamental na álxebra conmutativa; e o método de ramificación e acoutamento, esencial no campo da investigación operativa.

Dirección
Diz Pita, Érika (Titoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotitoría

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vogal)

Resumo
Un traballo de investigación centrado nas curvas alxebraicas pódese entender coma o primeiro paso a dar para adentrarse no contexto das variedades. O enfoque xeométrico dende o que se examinan constitúe unha importante motivación de certos fundamentos e teoremas da Álxebra conmutativa. Mediante o coñecemento obtido en cursos elementais de teoría de aneis e de teoría de números, pódense establecer dende cero as bases da Xeometría alxebraica. Unha vez expostas as nocións de variedades afíns e proxectivas, é habitual introducir o concepto de punto singular. A idea clave para o seu estudo é preguntarse que aneis nos dan información local das curvas e, avanzando no sentido da cuestión anterior, se sería posible chegar a exemplos de curvas sinxelas que preserven as propiedades doutras más complexas.

Dirección
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Titoría)
ALVITE PAZO, RAUL Cotitoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
Neste Traballo Fin de Grao presentaremos os conceptos básicos da teoría das C*-álxebras da man de Galina Dmítrievna Lugovaia e Anatoli Nikoláievich Sherstniov, así como resolveremos os exercicios propostos por estes. Comezaremos introducindo as álxebras de Banach, estudando as súas propiedades tanto alxébricas como topolóxicas e culminando coa Representación de Gelfand, que as relaciona cos espazos de funcións continuas. Seguidamente, estudiaremos o caso particular das C*-álxebras, de gran interese na área da análise funcional. Analizaremos a súa estrutura e conceptos máis importantes: elementos positivos, identidades aproximadas, morfismos, estados...

Dirección
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Titoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
Este traballo fai un repaso dalgúns contrastes de especificación basados na función de distribución e na función de densidade para mostras de datos completos e mostras de datos con censura aleatoria pola dereita. Explícase o que é un contraste de especificación e cales son os seus elementos. Propónse un estimador non paramétrico da función de distribución para mostras de datos completos, estúdanse as súas propiedades e preséntanse contrastes sobre a distribución empregando distintas distancias. Coméntase a estimación non paramétrica da función de densidade para mostras de datos completos e algúns contrastes sobre a mesma. Introdúcese o campo da Análise da Supervivencia, parándose nas funcións máis importantes para estudar tempos de vida e nos modelos paramétricos máis comúns; así como o fenómeno da censura, centrándose na censura aleatoria pola dereita. Propónse unha estimación non paramétrica da función de distribución para o caso de datos con censura aleatoria pola dereita e coméntase como se pode obter unha estimación paramétrica; ademais, suxírese unha adaptación dos contrastes vistos para datos completos. Proporciónase unha estimación non paramétrica da función de densidade para datos con censura aleatoria pola dereita e un contraste basado nela. Estúdase unha estimación non paramétrica e continua da función de distribución para datos con censura aleatoria pola dereita e un contraste utilizándoa.

Dirección
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Titoría)
VIDAL GARCIA, MARIA Cotitoría

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
Un sistema dinámico non é máis que un sistema de ecuacións que varían co tempo: se este recorre os números reais, falaremos de sistemas dinámicos continuos; cando toma valores enteiros, chamaranse sistemas dinámicos discretos. O obxectivo deste traballo é facer unha introdución teórica aos sistemas dinámicos para máis tarde estudar os dous casos particulares existentes. Veremos como os sistemas dinámicos continuos pódense considerar equivalentes ás ecuacións diferenciais ordinarias grazas ao Teorema de Existencia Global. Ademais, estudaremos os diferentes tipos de conxuntos atractores e repulsores que definen os seus retratos de fases. Por outra parte, abordaremos os sistemas dinámicos discretos dunha maneira máis gráfica, falando sobre puntos periódicos e hiperbólicos. Logo, centrarémonos nun exemplo concreto (a familia cuadrática) e, para finalizar, introduciremos o concepto de caos.

Dirección
LOPEZ SOMOZA, LUCIA (Titoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
Neste traballo estúdanse as árbores de clasificación, unha técnica amplamente utilizada en aprendizaxe automática pola súa simplicidade, capacidade predictiva e facilidade de interpretación. En particular, analízanse distintas estratexias para a súa construción, con especial atención aos métodos baseados en optimización matemática. Considéranse tres enfoques representativos: Random Forests (RF), como modelo heurístico baseado no ensamblado de árbores; Optimal Classification Trees (OCT), que expón o problema como unha optimización lineal enteira mixta; e Optimal Randomized Classification Trees (ORCT), que utiliza unha formulación continua que mellora a escalabilidad mantendo a interpretabilidad. O traballo comeza cunha revisión dos fundamentos da clasificación estatística e os métodos baseados en árbores de decisión. A continuación, descríbense en detalle os modelos de optimización que permiten construír árbores óptimos. Finalmente, realízase un estudo empírico comparativo utilizando cinco conxuntos de datos de distinta complexidade, avaliando cada modelo segundo precisión, tempo de adestramento, interpretabilidad e viabilidade práctica. Os resultados mostran que RF ofrece un alto rendemento con baixo custo computacional, mentres que ORCT logra un equilibrio entre exactitude e escalabilidad. En cambio, OCT, aínda que teoricamente atractivo, presenta limitacións computacionales que restrinxen o seu uso a problemas de menor escala.

Dirección
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
Este traballo enmárcase no campo do Text-based Personality Computing (TPC), que busca estimar trazos de personalidade a partir de textos escritos por usuarios/as mediante técnicas de procesamiento da linguaxe natural (PLN). Tradicionalmente, os trazos de personalidade mídense con cuestionarios, pero estes métodos teñen limitacións como a subxectividade das respostas ou a dificultade para aplicalos a gran escala. Grazas aos avances no PLN, hoxe en día é posible analizar textos e predicir certos trazos sen necesidade de enquisas. Neste traballo utilizouse un conxunto de datos de Reddit con información sobre os trazos de personalidade dos seus usuarios/as e aplicáronse técnicas modernas para comparar os seus textos cos ítems do cuestionario NEO-FFI. A través deste proceso, estimáronse as puntuacións Big-5, avaliáronse os resultados obtidos e deriváronse os trazos MBTI a partir destes resultados. O enfoque proposto ofrece unha alternativa sinxela, escalable e interpretable para a análise automática de personalidade.

Dirección
Losada Carril, David Enrique (Titoría)
FERNANDEZ PICHEL, MARCOS Cotitoría

Tribunal
CATALA BOLOS, ALEJANDRO (Presidente/a)
Triñanes Fernández, Joaquín Ángel (Secretario/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Vogal)

Resumo
Nas últimas decadas desenvolvéronse ferramentas topolóxicas para o análise de datos en distintas áreas. Neste traballo, explicaranse a homoloxía simplicial e a homoloxía persistente, así como a súa aplicación na bioloxía como método para predecir a evolución dos virus, non moi coñecida nen controlada. Particularmente, centrarémosnos no virus da gripe (Influenza A) e no Virus da Inmunodeficiencia Humana (VIH), tanto pola súa prevalencia e mortalidade provocada en humanos, como pola disposición dos seus datos e idoneidade cos métodos topolóxicos expostos para o seu estudo.

Dirección
Gómez Tato, Antonio M. (Titoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vogal)

Resumo
Este traballo estuda un modelo de regresión para variables esféricas, é dicir, aquelas que están definidas na superficie dunha esfera. Comeza cunha introdución aos conceptos e resultados básicos e necesarios da regresión lineal simple, da múltiple e da non lineal; para posteriormente comezar a tratar con datos esféricos, incorporando as definicións fundamentais. Para isto, axudarémonos de representacións gráficas. Incorporaremos tamén as distribucións máis importantes, onde nos resultará de especial interese a de von Mises-Fisher, xa que será a que empregaremos nos posteriores capítulos. Unha vez presentado todo o anterior, poñerémolo en práctica realizando un estudo de simulación con R. Neste estudo introducimos o modelo de rotación para a regresión esférica, expoñendo algunhas das súas principais propiedades e interpretando os resultados obtidos. Para rematar, discutiremos e explicaremos as posibles limitacións do traballo (uso exclusivo de datos simulados, referencias a demostracións, etc). Ademais disto, falaremos sobre como se podería estender este traballo se, por exemplo, cambiamos a unha dimensión maior, ou incluso mencionando outros modelos de distribucións coñecidos.

Dirección
ALONSO PENA, MARIA (Titoría)

Tribunal
ALONSO PENA, MARIA (Titor do alumno)

Resumo
Na área da computación cuántica, existe un gran interese no aproveitamento das propiedades cuánticas para resolver problemas de optimización pola súa potencial vantaxe fronte aos métodos clásicos. Neste traballo introdúcense os fundamentos da computación cuántica, tanto os elementos básicos (o cúbit e o p-cúbit) como as portas cuánticas e o proceso de medición. A continuación, formúlanse problemas de optimización mediante hamiltonianos e descríbense os modelos QUBO e Ising. Explórase a computación adiabática (teorema adiabático) e introdúcese o Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA). Detállase a arquitectura híbrida clásico-cuántica do Variational Quantum Eigensolver (VQE), os seus métodos de optimización variacional e as súas aplicacións prácticas. Finalmente, compárase o rendemento da computación clásica fronte á cuántica a través das clases de complexidade, discútese a vantaxe cuántica e explóranse as futuras liñas de investigación matemática nesta área.

Dirección
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Titoría)

Tribunal
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Titor do alumno)

Resumo
Neste traballo estudaranse os problemas de control óptimo sen restricións, tanto no caso discreto coma no continuo. O primeiro que se buscará nestes problemas será, proporcionar métodos que permitan o cálculo do gradiente do funcional custo, $\tilde J$, no caso discreto. Estes particularizaranse no caso onde o problema sexa evolutivo, aproveitando esta estrutura para reducir o custo computacional. No caso continuo consideraranse problemas onde o estado veña dado por unha EDO. A forma na que se abordarán estes problemas consistirá en: discretizar o problema de maneira que entre no marco das seccións anteriores, ou calcular as derivadas direccionais de $\tilde J$, mediante métodos que se proporcionarán neste traballo, permitindo así o cálculo do gradiente ao aproximar o espazo de control por un de dimensión finita. Os métodos do caso discreto empregaranse para resolver problemas de estimación de parámetros, mentres que os do caso continuo resolverán un problema relacionado co movemento dun sistema carro-péndulo.

Dirección
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Titoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
Neste traballo veremos os principais conceptos da análise de datos topolóxica: estudaremos varias teorías de homoloxía e veremos a idea de persistencia. Ademais, introducirémonos nos sistemas dinámicos e estudaremos en profundidade a entropía. Finalmente, analizaremos a conxectura de Shub, que relaciona a entropía do sistema co raio espectral entre grupos de homoloxía e buscaremos unha versión do resultado usando a homoloxía persistente.

Dirección
Álvarez López, Jesús Antonio (Titoría)
Meniño Cotón, Carlos Cotitoría

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
Estudaremos os conceptos básicos das bases de Schauder, circunscritos no ámbito da Análise Funcional. Veremos algunhas das suas propiedades, tipos e utilidades na caracerización de atributos dos espazos, centrándonos sobre todo na reflexividade e na estrutura interna dos espazos, dando especial importancia aos espazos de sucesións como $c_0$ e os $\ell_p$, destacando en especial $\ell_1$ destes útltimos. Tamén daremos algunhas notas relacionadas coa existencia e unicidade das bases de Schauder e tentaremos mostrar como estas bases son unha extensión natural das bases de Hamel en espacios finitos e unha xeralización das bases de Hilbert a espazos de Banach máis xenéricos.

Dirección
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Titoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
As variedades pseudo-Riemannianas con estrutura local de produto desempeñaron un papel fundamental na resolución dunha ampla gama de problemas xeométricos e físicos. En particular, este tipo de variedades constitúe unha das técnicas máis empregadas para a construción de métricas Riemannianas de Einstein e forma a estrutura subxacente da maioría dos espazotempos relativistas. O obxectivo deste traballo é facer un estudo sistemático das variedades con estrutura local de produto deformado centrado na análise das súas propiedades de curvatura.

Dirección
GARCIA RIO, EDUARDO (Titoría)
CAEIRO OLIVEIRA, SANDRO Cotitoría

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vogal)

Resumo
Os raios cósmicos de moi altas enerxías (UHECRs) son as partículas máis enerxéticas detectadas ata a data no Universo, alcanzando enerxías da orde do exaelectronvoltio (EeV). O seu estudo resulta fundamental para explorar a física máis alá do modelo estándar, analizar a estrutura do campo magnético galáctico e abordar cuestións relevantes no ámbito da cosmoloxía. Na actualidade, existen múltiples liñas de investigación centradas na comprensión destes eventos, e observatorios como o Observatorio Pierre Auger ou o Telescope Array adícanse á detección deste tipo de partículas extragalácticas. Este traballo estuda a propagación destes raios cósmicos dentro da Galaxia, co obxectivo de analizar como inflúe o campo magnético galáctico nesta propagación e como poderían identificarse as fontes das que proceden. Para iso, utilízase o marco de simulación astrofísica CRPropa, que permite realizar simulacións a través da súa interface en Python. Deste xeito, lévanse a cabo simulacións da retropropagación dos UHECRs detectados polo Observatorio Pierre Auger, obtendo tanto a dirección de chegada á fronteira galáctica, como a deflexión experimentada durante a súa traxectoria. O estudo céntrase en realizar simulacións variando as compoñentes do campo magnético empregadas dentro do modelo JF12 [1, 2], considerando tanto a presenza de turbulencia aleatoria a pequena escala como a súa ausencia, así como o tipo de partícula que se propaga.

Dirección
ALVAREZ MUÑIZ, JAIME (Titoría)

Tribunal
ACOSTA PLAZA, EVA MARIA (Presidente/a)
VIEITES DIAZ, MARIA (Secretario/a)
Wu , Bin (Vogal)

Resumo
O obxectivo deste traballo é ampliar os coñecementos no referido ao cálculo diferencial, englobando un entorno máis xeralizado que o considerado no grao. Na primeira parte, fixaremos o concepto de diferencial de Fréchet, confrontándoo co de diferencial de Gâteau, para estudar, de aí en diante, numerosos resultados en base a ambas. Utilizaremos estas ideas para traballar con derivadas de segunda orde e superior, que nos permitirán, á súa vez, analizar as condicións necesarias e suficientes para a existencia de extremos de funcións. Na segunda parte, contextualizaremos sobre o cálculo de variacións e desglosaremos o proceso que nos permitirá obter a ecuación de Euler-Lagrange ca finalidade de poder aplicala posteriormente a problemas específicos, como serán o da superficie de revolución con área mínima ou o da curva de descenso máis rápido (ou curva braquistócrona).

Dirección
Rodríguez López, Jorge (Titoría)

Tribunal
Rodríguez López, Jorge (Titor do alumno)

Resumo
A produción de millo forraxeiro en Galicia é clave para o sector primario da comunidade, sendo un dos cultivos que máis traballadores recolle pola súa importancia na alimentación vacuna. Utilizaremos datos reais de rendemento de millo forraxeiro e outras variables climatolóxicas facilitados polo Centro de Investigación Agraria de Mabegondo, para analizar a súa relación a través dos modelos de regresión sobre series de tempo. Paralelamente, analízase a evolución da temperatura media e da precipitación en Galicia empregando técnicas de modelización de series temporais, co fin de axustar modelos ARIMA validados estatisticamente. Estes modelos permiten xerar predicións climáticas e interpretar as variacións nas condicións meteorolóxicas que poden influír na produtividade agraria a medio e longo prazo, nun contexto marcado polo cambio climático.

Dirección
SAAVEDRA NIEVES, PAULA (Titoría)

Tribunal
SAAVEDRA NIEVES, PAULA (Titor do alumno)

Resumo
O método de Random Forests é unha técnica de aprendizaxe automática empregada tanto na regresión como na clasificación. Baséase na construción e combinación de múltiples árbores de decisión, conseguindo así unha mellor precisión na predición e reducindo o risco de sobreaxuste. Este algoritmo emprega un método coñecido como Bagging, que implica xerar varios subconxuntos aleatorios de datos e adestrar unha árbore en cada un deles. Ademais, selecciónase aleatoriamente un subconxunto en cada nodo, o que proporciona diversidade ao modelo. Finalmente, no caso da clasificación, utilízase a votación maioritaria entre as árbores, mentres que na regresión calcúlase a media das predicións individuais de cada árbore. Random Forests é un modelo robusto e versátil que reduce o impacto dos valores atípicos e permítenos traballar con datos de alta dimensionalidade.

Dirección
FEBRERO BANDE, MANUEL (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
Este traballo de fin de grao consistirá no enunciado e demostración do Teorama Fundamental do Cálculo Integral para a integral de Lebesgue, o que chegará a facerse no capítulo 7. Antes, para poder chegar a ese punto coa base teórica necesaria, estudiaranse as propiedades, definición e resultados varios sobre as funcións absolutamente continuas (capítulo 6); as funcións de variación acotada (capítulo 3) e, en particular, a súa diferenciación (capítulo 5), para o que se usarán como ferramenta as Derivadas de Dini (capítulo 4). Será necesario tamén para poder avanzar na comprensión destes conceptos certos resultados como o Teorema de Recubrimento de Vitali, que será explicado no capítulo 2; e por suposto, unha importante base da teoría da medida, explicada nos preliminares para despois acompañarnos ao longo de todo o traballo.

Dirección
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Titoría)

Tribunal
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Titor do alumno)

Resumo
Na década de 1960, grazas ao auxe dos ordenadores, que permitían visualizar graficamente os conxuntos, e ao traballo do matemático polaco Benoît Mandelbrot, popularizouse un tipo de conxunto moi especial: os fractais. Neste traballo, propoñemos definir o conxunto de Mandelbrot, un dos moitos fractais estudados por este matemático, así como analizar algunhas das súas propiedades máis importantes. Para iso, estudaremos en profundidade a dinámica da familia de funcións cuadráticas.

Dirección
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Titoría)
CAO LABORA, DANIEL Cotitoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vogal)

Resumo
Ao longo desta disertación, presentamos e exploramos o uso dos modelos de Kriging como solución ao problema xeoestatístico de estimar o tamaño total da capa de xeo de Groenlandia, tanto en volume como en extensión. Ademais, avaliamos o rendemento de predición destes e outros modelos, comparando a súa precisión en relación coa súa respectiva complexidade.

Dirección
FEBRERO BANDE, MANUEL (Titoría)

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vogal)

Resumo
O obxectivo deste traballo é presentar un método iterativo chamado método de Gradiente conxugado ortogonal para resolver sistemas de ecuacións lineais con matrices complexas, simétricas e non hermitianas. Dado que o método pertence aos chamados métodos de Krylov, no traballo estes métodos serán introducidos no caso de matrices reais e despois estender algunhas delas ao caso de matrices complexas. Introduciranse primeiro os métodos de Gradiente conxugado e Gradiente biconxugado para finalmente presentar o método do gradiente conxugado ortogonal. Describiranse os algoritmos para implementar os diferentes métodos. e presentaranse algúns exemplos prácticos con matrices obtidas de Matrix Market.

Dirección
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Titoría)

Tribunal
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Titor do alumno)

Resumo
Este traballo presenta unha introdución á aprendizaxe por reforzo desde unha perspectiva matemática, facendo especial énfase na súa conexión coa programación dinámica. Aínda que a aprendizaxe por reforzo é un campo autónomo dentro da intelixencia artificial, moitas das súas ideas fundamentais (como a toma de decisións secuenciales, as funcións de utilidade ou as políticas óptimas) teñen a súa orixe na programación dinámica. Por iso, comézase o estudo abordando a programación dinámica como nexo conceptual e formal que permite sentar as bases da aprendizaxe por reforzo. Unha vez finalizada a programación dinámica, procederase a narrar os aspectos máis importantes da aprendizaxe por reforzo. Para a súa comprensión será esencial comprender os procesos de decisión de Markov. Tamén se discuten temas que derivan deste paradigma, como o dilema exploración explotación ou o estudo de distintos algoritmos de resolución como son Monte Carlo e a aprendizaxe por diferenzas temporais. Por último, quérese ver como a aprendizaxe por reforzo pode resultar unha ferramenta moi útil no ámbito da optimización matemática. Para iso abórdanse distintos tipos de problemas clásicos de optimización, describindo como se han de reformular para que encaixen dentro do marco da aprendizaxe por reforzo, o que permite aplicar os seus algoritmos a problemas complexos que non se resolven facilmente por métodos tradicionais.

Dirección
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Titoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vogal)

Resumo
Neste traballo describirase o proceso de creación dunha aplicación móbil para a aprendizaxe da educación auditiva musical. Comezarase cun estudo preliminar onde se explorará o potencial da idea. Verase quen pode estar interesado na aplicación e por que. Ademais, exporase un modelo de negocio, xa que unha aplicación é moi doada de introducir no mercado. Especificaranse os requisitos que determinarán o seu funcionamento. A continuación, dedicarase un capítulo á enxeñaría do software, explicando o modelo de ciclo de vida e detallando a planificación realizada. Tamén se definirán os casos de uso dos requisitos funcionais previamente establecidos. No apartado de deseño explicaranse distintos aspectos: o deseño da interface gráfica, a arquitectura do sistema e o deseño do software. Para rematar, explicarase o plan de probas e determinarase o éxito ou fracaso do proxecto.

Dirección
TOBAR QUINTANAR, ALEJANDRO JOSE (Titoría)

Tribunal
Argüello Pedreira, Francisco Santiago (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
Carreira Nouche, María José (Vogal)

Resumo
Os problemas de parentesco son un tema relevante dentro da xenética forense. Neste traballo analízanse os fundamentos matemáticos que permiten abordar estes problemas, en concreto o caso standard trio e o standard duo. Estes expóñense de maneira detallada, acompañados dunha presentación previa de conceptos de xenética necesarios para entender a terminoloxía dos problemas. Posteriormente, desenvolveranse as nocións de probabilidade e estatística que permitirán modelizar as mencionadas situacións, así como resolvelas mediante distintos procedementos de estimación e contrastes de hipóteses. Esta base matemática permitirá obter conclusións e interpretar os resultados xenéticos de maneira obxectiva e coherente, garantindo a súa validez. Ademais, preséntanse os paquetes Familias e paramlink do software R, cos que se poderán aplicar os métodos de resolución estudados, resolvendo os exemplos expostos ao longo do texto. Trátase de salientar a importancia dunha boa base matemática á hora de aplicala en calquera ámbito científico.

Dirección
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Titoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vogal)

Resumo
O obxectivo deste TFG é xustificar a introdución da teoría de corpos de clase partindo da teoría de Galois e empregando a motivación inicial de Artin e doutros matemáticos de comezos do século XX. O traballo comezará cun repaso dalgúns resultados da teoría de Galois e da teoría algebraica dos números previos ao desenvolvemento da teoría de corpos de clase, como o teorema de Kronecker--Weber. A continuación, partindo dos resultados de Weber, Hilbert e Artin, formularanse os resultados fundacionais da teoría de corpos de clase. O resto do traballo dedicarase a tratar as súas implicacións, centrándonos especialmente nas conexións coa teoría de Galois.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Titoría)

Tribunal
RIVERO SALGADO, OSCAR (Titor do alumno)

Resumo
Este Traballo de Fin de Grao céntrase na análise de certas ecuacións diferenciais ordinarias aplicadas ao estudo de modelos económicos. Ao longo do traballo, abórdanse cinco modelos clave: a curva de Phillips, o modelo de Harrod-Domar, o modelo de Solow-Swan, o modelo de Goodwin e o modelo dinámico de Leontief, que permiten describir fenómenos económicos fundamentais, dende a relación entre o desemprego e os salarios ata a interacción entre sectores produtivos. Cada modelo foi contextualizado, resolto e analizado en detalle, salientando tanto as súas achegas como as súas limitacións, co obxectivo de comprender mellor a súa utilidade e de explorar posibles melloras para a súa aplicación en economías modernas.

Dirección
Rodríguez López, Rosana (Titoría)

Tribunal
Rodríguez López, Rosana (Titor do alumno)

Resumo
Neste traballo, ofrecemos un estudo introdutorio das transformacións conformes no contexto da análise complexa, con especial énfase nas transformacións de Möbius. Dado que estas aplicacións xorden da teoría das funcións holomorfas, dedicamos a primeira parte deste artigo a revisar as ferramentas básicas da análise complexa. Despois, introducimos o concepto xeral dunha transformación conforme e mostramos que toda función holomorfa inxectiva é unha transformación conforme, ilustrándoo con exemplos. Sobre esta base, o artigo céntrase nas transformacións de Möbius, o único automorfismo conforme do plano complexo estendido. Presentamos a súa representación matricial, estudamos os seus invariantes (puntos, círculos, dobre razón e simetría) e clasificámolos segundo o número de puntos fixos (elípticos, hiperbólicos, parabólicos, loxodrómicos). Finalmente, desenvolvemos un conxunto de procedementos en Maple que facilitan unha comprensión intuitiva destes conceptos.

Dirección
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Titoría)

Tribunal
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Titor do alumno)