Trabajos presentados

Resumen
Es bien sabido que no existe una norma general para la resolución de EDOs (ecuaciones diferenciales ordinarias) de primera orden, sino una pluralidad de métodos, muchos de los cuales se pueden expresar en el lenguaje de factores integrantes. Desafortunadamente, no se conoce ninguna técnica que permita obtener de forma explícita factores integrantes para una ecuación diferencial arbitraria. Sin embargo, el matemático noruego Sophus Lie (1842-1899) desarrolló, a partir de las simetrías de las ecuaciones diferenciales, un procedimiento unificado para su obtención. El objetivo de este trabajo es estudiar las simetrías y los factores integrantes como método de resolución para las ecuaciones diferenciales ordinarias de primera orden.

Dirección
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Tutoría)
SANMARTIN LOPEZ, VICTOR Cotutoría

Tribunal
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Tutor del alumno)
SANMARTIN LOPEZ, VICTOR (Tutor del alumno)

Resumen
El objetivo principal de este trabajo será explorar y analizar diferentes métodos de resolución de las ecuaciones diofánticas en los problemas de olimpiada matemática. Se pretende comprender como estas ecuaciones, que requieren solución entera, pueden aplicarse en problemas competitivos y de que manera los conceptos teóricos se traducen en técnicas para su resolución. De este modo, el trabajo está divido en tres capítulos. El primero de ellos trata sobre la historia de estos problemas, el siguiente sobre diferentes tipos de ecuaciones diofánticas y su resolución. Por último, una antología de los diferentes problemas que nos podemos encontrar en las olimpiadas locales, nacionales e internacionales.

Dirección
GAGO COUSO, FELIPE (Tutoría)
RIVERO SALGADO, OSCAR Cotutoría

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vocal)

Resumen
En las últimas décadas se han desarrollado herramientas topológicas para el análisis de datos en distintas áreas. En este trabajo se explicarán la homología simplicial y la homología persistente, así como su aplicación en la biología como método para estudiar y predecir la evolución de los virus, no muy conocida ni controlada. Particularmente, nos centraremos en el virus de la gripe (Influenza A) y en el Virus de la Inmunodeficiencia Humana (VIH), tanto por su prevalencia y mortalidad provocada en humanos, como por la disposición de sus datos e idoneidad con los métodos topológicos expuestos para su estudio.

Dirección
Gómez Tato, Antonio M. (Tutoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vocal)

Resumen
La teoría de juegos es una disciplina matemática que estudia problemas de decisión que involucran a varios agentes. Distinguimos juegos cooperativos y no cooperativos, los cuales se diferencian en la existencia o no de mecanismos para establecer acuerdos vinculantes. Dos conceptos básicos son el valor de Shapley y el equilibrio perfecto en subjuegos, tomados de los juegos cooperativos con utilidad transferible y los juegos en forma extensiva. En este trabajo utilizaremos las herramientas mencionadas anteriormente para comprender y explicar una investigación reciente en el ámbito de los dispositivos de concentración de peces. Esto ha conducido a la posibilidad de un incremento en los beneficios de las firmas pesqueras y paralelamente a una contribución beneficiosa para el medio ambiente en términos de la reducción del consumo de carburante y así de las emisiones de CO2. Junto con las consideraciones teóricas se pretende mostrar un análisis empírico de este problema.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vocal)

Resumen
A lo largo de esta disertación, presentamos y exploramos el uso de modelos Kriging como solución para el problema geoestadístico de estimación del tamaño total de la capa de hielo de Groenlandia, tanto en volumen como en extensión. Además, evaluamos el rendimiento de predicción de estos y otros modelos, comparando su precisión en relación a su respectiva complejidad.

Dirección
FEBRERO BANDE, MANUEL (Tutoría)

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vocal)

Resumen
Dentro del campo de la teoría de juegos, los juegos de mayoría ponderada desempeñan un papel fundamental en el análisis de votaciones en parlamentos y comités. En este trabajo, se presenta esta clase de juegos, centrándose en el estudio de los índices de poder. Este es un concepto de solución que asigna una medida de influencia o poder a los jugadores en el proceso de votación. Entre los índices de poder existentes en la literatura, se estudiarán Shapley-Shubik, Banzhaf, Johnston, Colomer-Martínez y Johnston-Colomer-Martínez. Se analizarán las propiedades que cumplen y se ilustrarán con ejemplos prácticos. Con el objetivo de facilitar el cómputo de estos índices, se desarrollarán métodos basados en funciones generatrices, herramientas del análisis combinatorio que permiten obtener, mediante polinomios, los elementos necesarios para su cálculo. Además, se modelará una nueva situación al considerar que los jugadores implicados pueden aliarse formando agrupaciones, dando lugar a los denominados juegos con estructura coalicional. Para este tipo de juegos, se introducirán dos nuevos índices de poder: los índices de Owen y Banzhaf-Owen, junto con métodos para su cálculo basados también en funciones generatrices. Finalmente, se aplicarán estos conceptos en un caso práctico: el análisis del Parlamento español. Se estudiarán los cambios en la distribución de poder de los partidos políticos entre las elecciones generales de noviembre de 2019 y julio de 2023, así como las consecuencias de los movimientos de diputados entre grupos parlamentarios a lo largo de la XV Legislatura. Para llevar a cabo estos cálculos, se utilizará la librería powerindexR en el software estadístico R.

Dirección
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotutoría

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vocal)

Resumen
El objetivo de este trabajo consiste en presentar, de manera clara y sencilla, la evolución de las matemáticas con un enfoque en la lógica desde sus inicios en la Antigua Grecia hasta los siglos XIX y XX. Se definirán los conceptos básicos necesarios y se estudiará el desarrollo de la Teoría de Conjuntos, que engloba conceptos fundamentales como el Axioma de la Elección, la Hipótesis del Continuo y la Axiomatización de Zermelo-Fraenkel. Además, se analizará la relación entre estas y su impacto en las matemáticas modernas.

Dirección
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Tutoría)

Tribunal
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Tutor del alumno)

Resumen
Este Trabajo Fin de Grado se centra en el análisis de algunas ecuaciones diferenciales ordinarias aplicadas al estudio de modelos económicos. A lo largo del trabajo, se abordan cinco modelosclave: la curva de Phillips, el modelo de Harrod-Domar, el modelo de Solow-Swan, el modelo de Goodwin y el modelo de Leontief dinámico que permiten describir fenómenos económicos fundamentales, desde la relación entre el desempleo y los salarios hasta la interacción entre sectoresproductivos. Cada modelo ha sido contextualizado, resuelto y analizado en detalle, destacandotanto sus contribuciones como sus limitaciones, con el objetivo de comprender mejor su utilidad y explorar posibles mejoras para su aplicación en economías modernas.

Dirección
Rodríguez López, Rosana (Tutoría)

Tribunal
Rodríguez López, Rosana (Tutor del alumno)

Resumen
En este trabajo se realiza una introducción a la geoestadística, centrándose especialmente en el concepto de variograma, estructura que cuantifica la dependencia espacial, y el método de interpolación espacial Kriging. Para ello se exponen las bases teóricas de la dependencia espacial como fundamento para el desarrollo del variograma, incluyendo la concepción experimental pero también teórica del mismo, así como los distintos modelos existentes y razones por las que puede no modelizar correctamente la dependencia espacial. A continuación se presenta la teoría detrás del método de interpolación Kriging, junto con las diferentes variantes del modelo: el ordinario, el universal y el multivariante. Finalmente, se presenta un caso práctico que plasma la utilidad de estos conceptos con el fin de modelar, mediante las librerías gstat y sm de R, la interpolación de los contaminantes SO2, PM10 y NOx en el territorio gallego.

Dirección
FEBRERO BANDE, MANUEL (Tutoría)

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vocal)

Resumen
Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) son una herramienta fundamental para modelar procesos dinámicos en diversas disciplinas. Este trabajo se centra en la aplicación de las EDOs a modelos biológicos, en particular aquellos relacionados con la propagación de enfermedades infecciosas. Se analiza en detalle el modelo SIR y sus extensiones, como los modelos SEIR y SIRS, con el objetivo de comprender la dinámica epidemiológica y la estabilidad de los estados estacionarios. Además, se presenta un estudio específico sobre la propagación del VIH. El análisis incluye soluciones analíticas y numéricas, y también la evaluación del impacto de diferentes estrategias de control y erradicación. Los resultados obtenidos subrayan la importancia del número de reproducción básico R0 y de las intervenciones como la vacunación para mitigar la propagación de enfermedades.

Dirección
Rodríguez López, Jorge (Tutoría)

Tribunal
Rodríguez López, Jorge (Tutor del alumno)

Resumen
El estudio del comportamiento cualitativo de las ecuaciones diferenciales busca obtener propiedades de las soluciones sin necesidad de conocerlas explícitamente. Este enfoque cobra especial relevancia cuando se incorporan parámetros en la ecuación, pues pequeñas variaciones en ellos pueden suponer cambios muy significativos, influyendo en el número de puntos singulares, en su estabilidad o en la aparición de soluciones oscilatorias. Esta es la idea de la teoría de las bifurcaciones, en la que se profundizará mediante los ejemplos más típicos en una y dos dimensiones: las bifurcaciones tangenciales, transcríticas, tridentes y de Hopf. Para cada una de ellas se explorará el comportamiento cualitativo de una ecuación tipo, para continuar realizando un estudio genérico en el que se obtendrán condiciones que la caracterizan.

Dirección
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Tutoría)
LOIS PRADOS, CRISTINA Cotutoría

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vocal)

Resumen
En este trabajo expondremos algunos de los aspectos fundamentales de los artículos de investigación que constituyeron el inicio del estudio de las ecuaciones en derivadas parciales elípticas con condiciones de frontera sobredeterminadas, esto es, donde se imponen simultáneamente condiciones Dirichlet y Neumann. En primer lugar analizaremos el Teorema de Serrin, así como su demostración basada en encontrar simetrías empleando el método del plano móvil junto con los principios del máximo. Así mismo desarrollaremos también una demostración alternativa prupuesta por Weinberger, que emplea métodos analíticos más clásicos para aportar una demostración más compacta. Por último propondremos ejemplos de casos físicos en los que aparecen ecuaciones en derivadas parciales elípticas con condiciones de frontera sobredeterminadas, con el objetivo de mostrar la utilidad e importancia de los estudios realizados en este campo.

Dirección
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Tutoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vocal)

Resumen
La computación cuántica es un campo de la informática que utiliza principios de la física cuántica para la resolución de problemas de manera más eficiente que la computación clásica, especialmente en áreas como la optimización. Por otro lado, la bioinformática es un campo que combina elementos de la biología y la informática para analizar grandes conjuntos de datos biológicos. Un ejemplo destacado de esta disciplina es la genómica, que incluye la generación de árboles filogenéticos, herramientas clave para entender la evolución biológica de especies. La reconstrucción de estos árboles representa un problema computacional muy complicado de resolver por su complejidad. Este trabajo explora si la computación cuántica puede ofrecer soluciones efectivas para abordar dicho problema. En este contexto, se ha estudiado el funcionamiento de la computación cuántica y de los algoritmos cuánticos de optimización, haciendo énfasis en Quantum annealing y en el algoritmo cuántico de optimización aproximada (QAOA). Basándose en estos enfoques, se ha desarrollado un algoritmo cuántico capaz de reconstruir filogenias mediante el corte de grafos. El algoritmo propuesto fue implementado y probado en hardware cuántico disponible actualmente, obteniendo resultados satisfactorios que demuestran su potencial para resolver problemas complejos en el área de la bioinformática.

Dirección
Fernández Pena, Anselmo Tomás (Tutoría)
PICHEL CAMPOS, JUAN CARLOS Cotutoría

Tribunal
ARIAS RODRIGUEZ, JUAN ENRIQUE (Presidente/a)
Querentes Hermida, Raquel Esther (Secretario/a)
PIÑEIRO POMAR, CESAR ALFREDO (Vocal)

Resumen
Durante la historia de la computación, los problemas de rutas han suscitado un gran interés debido a sus múltiples aplicaciones en diferentes campos, como son la planificación y la logística. Este trabajo se centra en el problema del viajante de comercio o TSP. En concreto, en las técnicas para resolverlo de forma aproximada en un tiempo polinómico, las metaheurísticas. El objetivo principal de este estudio es proporcionar una guía para comprender cuatro de las más importantes, tanto en el ámbito teórico como en el computacional. Para ello, se realizó una revisión bibliográfica, encontrando información relevante de ellas y sintetizándola. Estas son: la búsqueda tabú, el templado simulado, el algoritmo genético y la optimización de la colonia de hormigas. Para la parte computacional, se realizaron implementaciones en R de todas las metaheurísticas y se evaluaron con distintas instancias de la librería TSPLIB. Como resultado, se obtuvo que no hay una metaheurística mejor que el resto en todos los aspectos. La búsqueda tabú y la optimización de la colonia de hormigas obtienen resultados muy prometedores en términos de distancia al coste óptimo; sin embargo, son temporalmente más costosas que las otras dos. El templado simulado obtiene unos resultados algo peores que los anteriores, pero de forma muy rápida. Por último, el algoritmo genético obtiene muy malos resultados en un tiempo, relativamente, aceptable. En conclusión, este trabajo sirve como guía a las personas que quieran comprender estos conceptos.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vocal)

Resumen
En la actualidad existen múltiples herramientas para realizar procesos de clasificación de imágenes, tales como las redes neuronales convolucionales y los transformers. Sin embargo, la marca Zara continúa realizando el etiquetado de manera manual, lo que deriva en un conjunto de etiquetas inexactas. Por esta razón, en este trabajo se explora la implementación de métodos automatizados que mejoren los resultados obtenidos de forma manual. El propósito de esta investigación es evaluar y analizar la eficacia del servicio de AWS Rekognition Custom Labels para etiquetar prendas de vestir. La estrategia adoptada pretende identificar los límites del servicio para la referida tarea a través de un análisis de la viabilidad del conjunto de datos origen. El desarrollo del proyecto comienza con un análisis preliminar del conjunto de datos para determinar su idoneidad para el entrenamiento de modelos. Posteriormente, se realiza un examen de las restricciones del servicio, considerando cinco variables principales: el número total de imágenes, la interrelación entre las etiquetas, el tipo de etiqueta, la cantidad de imágenes disponibles para cada etiqueta y la influencia de cada etiqueta sobre las demás. Para lograrlo, se utilizarán varios recursos como el propio servicio, un conjunto de datos inicial y una API REST desarrollada para este proyecto. Entre los principales hallazgos se destacan la baja relevancia del número total de imágenes, así como las limitaciones asociadas al tipo de etiqueta y la importancia de que las etiquetas no estén excesivamente relacionadas.

Dirección
CARREIRA NOUCHE, MARIA JOSE (Tutoría)
Rodríguez Díez, Helio Cotutoría

Tribunal
ARIAS RODRIGUEZ, JUAN ENRIQUE (Presidente/a)
Querentes Hermida, Raquel Esther (Secretario/a)
PIÑEIRO POMAR, CESAR ALFREDO (Vocal)

Resumen
En el área del sensado remoto, existe gran interés en recopilar información de cobertura terrestre para identificar y clasificar los diferentes tipos de superficies presentes en el suelo, como áreas con vegetación, cuerpos de agua, suelos urbanos, pastizales, bosques o áreas agrícolas, entre otros. Por otra parte, la segmentación semántica de imágenes permite asignar una etiqueta a cada píxel de la imagen, clasificándolos en diferentes categorías o clases específicas, lo que facilita la interpretación y el análisis de imágenes satelitales o aéreas. El uso de técnicas de aprendizaje profundo ha demostrado ser eficaz en el ámbito de la visión por computador, concretamente en las tareas de segmentación semántica. No obstante, estos modelos son muy costosos computacionalmente, y suelen requerir el uso de hardware especializado y técnicas de optimización para mejorar la eficiencia y viabilidad del entrenamiento y la inferencia. En este Trabajo de Fin de Grado se persigue probar diferentes modelos con arquitectura codificador-decodificador, tratando de mejorar la eficiencia y viabilidad de los entrenamientos incluso con grandes cantidades de datos. De las técnicas de paralelismo existentes para entrenamientos multiGPU, se usará el paralelismo de datos, seleccionando un módulo de PyTorch que lo implemente de manera eficiente. Además, usando precisión mixta en punto flotante de 16 bits se consigue reducir el uso de memoria y aprovechar mejor el hardware de las GPUs, realizando el entrenamiento en la mitad de tiempo sin que la calidad de la segmentación se vea afectada.

Dirección
Argüello Pedreira, Francisco Santiago (Tutoría)
Blanco Heras, Dora Cotutoría

Tribunal
ARIAS RODRIGUEZ, JUAN ENRIQUE (Presidente/a)
Querentes Hermida, Raquel Esther (Secretario/a)
PIÑEIRO POMAR, CESAR ALFREDO (Vocal)