Trabajos presentados

Resumen
Las técnicas de reducción de la dimensionalidad son procedimientos fundamentales en la estadística para simplificar conjuntos de datos perdiendo la menor cantidad de información posible. El objetivo de este trabajo es revisar en profundidad algunos de estes métodos, prestando especial atención a una de las ténicas más usadas que es el Análisis de Componentes Principales. Además, comentaremos otras técnicas no lineales más novedosas que vienen ganando popularidad en estos últimos años. Finalmente, para enfatizar la importancia de estas téncicas en la práctica, presentaremos ejemplos de aplicación con conjuntos de datos reales con el fin de ver las dificultades de interpretación y procesamiento que nos presentan.

Dirección
PATEIRO LOPEZ, BEATRIZ (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
El objetivo de este trabajo consiste en presentar, de manera clara y sencilla, la evolución de las matemáticas con un enfoque en la lógica desde sus inicios en la Antigua Grecia hasta los siglos XIX y XX. Se definirán los conceptos básicos necesarios y se estudiará el desarrollo de la Teoría de Conjuntos, que engloba conceptos fundamentales como el Axioma de la Elección, la Hipótesis del Continuo y la Axiomatización de Zermelo-Fraenkel. Además, se analizará la relación entre estas y su impacto en las matemáticas modernas.

Dirección
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Tutoría)

Tribunal
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Tutor del alumno)

Resumen
Dado un grafo, es posible asociarle una matriz que codifica las conexiones entre los diferentes vértices, la llamada matriz de adyacencia; otra matriz especialmente relevante es la llamada matriz laplaciana. El estudio de los autovalores de estas matrices proporciona información importante sobre la estructura del grafo. El objetivo de este trabajo es formular algunos resultados sobre teoría espectral de grafos y estudiar algún teorema relevante en el área, como el llamado teorema de Kirchoff, que permite calcular el número de árboles generadores de un grafo a partir del determinante de una submatriz del laplaciano.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Tutoría)

Tribunal
RIVERO SALGADO, OSCAR (Tutor del alumno)

Resumen
El objetivo de este trabajo es analizar los resultados básicos de la teoría local de curvas en el espacio de Lorentz-Minkowski tridimensional. La distinta causalidad de las curvas consideradas implica diferencias en la construcción de las funciones curvatura asociadas. Una vez obtenidas las versiones correspondientes del triedro de Frenet, así como la curvatura y la torsión de la curva, buscamos obtener un Teorema Fundamental que garantice la existencia y la unicidad de curvas con curvatura y torsión prefijadas. A diferencia de la situación euclidiana, mientras que los resultados de existencia tienen una correspondencia natural, la unicidad está lejos de cumplirse si no se imponen condiciones adicionales sobre la causalidad de la curva.

Dirección
GARCIA RIO, EDUARDO (Tutoría)
Vázquez Abal, María Elena Cotutoría

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vocal)

Resumen
El objetivo principal de este trabajo será explorar y analizar diferentes métodos de resolución de las ecuaciones diofánticas en los problemas de olimpiada matemática. Se pretende comprender como estas ecuaciones, que requieren solución entera, pueden aplicarse en problemas competitivos y de que manera los conceptos teóricos se traducen en técnicas para su resolución. De este modo, el trabajo está divido en tres capítulos. El primero de ellos trata sobre la historia de estos problemas, el siguiente sobre diferentes tipos de ecuaciones diofánticas y su resolución. Por último, una antología de los diferentes problemas que nos podemos encontrar en las olimpiadas locales, nacionales e internacionales.

Dirección
GAGO COUSO, FELIPE (Tutoría)
RIVERO SALGADO, OSCAR Cotutoría

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vocal)

Resumen
En este trabajo expondremos algunos de los aspectos fundamentales de los artículos de investigación que constituyeron el inicio del estudio de las ecuaciones en derivadas parciales elípticas con condiciones de frontera sobredeterminadas, esto es, donde se imponen simultáneamente condiciones Dirichlet y Neumann. En primer lugar analizaremos el Teorema de Serrin, así como su demostración basada en encontrar simetrías empleando el método del plano móvil junto con los principios del máximo. Así mismo desarrollaremos también una demostración alternativa prupuesta por Weinberger, que emplea métodos analíticos más clásicos para aportar una demostración más compacta. Por último propondremos ejemplos de casos físicos en los que aparecen ecuaciones en derivadas parciales elípticas con condiciones de frontera sobredeterminadas, con el objetivo de mostrar la utilidad e importancia de los estudios realizados en este campo.

Dirección
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Tutoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vocal)

Resumen
Los datos circulares son observaciones que se identifican como puntos o vectores sobre la circunferencia de círculo unidad. En este trabajo de Fin de Grado consideraremos herramientas clásicas para el análisis descriptivo de muestras de datos circulares, introduciremos algunos modelos destacados de distribución y presentaremos algunos procedimientos inferenciales para este tipo de observaciones, entre ellos contrastes (uniformidad, bondad de ajuste) y estimaciones. Los distintos instrumentos estadísticos serán ilustrados con datos simulados y reales, empleando el software R. El trabajo se organiza en tres capítulos diferenciados. En el primero de ellos, expondremos medidas descriptivas para muestras circulares (medidas de posición, de dispersión y representaciones gráficas); en el segundo, explicaremos las distribuciones circulares más prominentes y los métodos de los que dimanan; y en el último capítulo, nos centraremos en conocer y manejar los útiles que la estadística inferencial pone a nuestra disposición.

Dirección
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
El desarrollo de este trabajo se centra en el estudio teórico y práctico del test ji − cuadrado, el cual se utiliza para contrastar cierta hipótesis sobre una muestra de datos. Se presenta, en primer lugar, el contexto histórico del test, incluyendo su origen y evolución. En el estudio teórico, se formaliza el test, con la definición de su respectivo estadístico de contraste y con los principales resultados relacionados con el mismo, incluyendo aquellos sobre la convergencia asintótica del estadístico. Se diferencian el caso en el que la hipótesis nula es simple y el caso en el que se trata de una familia paramétrica. En el ámbito práctico, se realizan simulaciones del test en sus distintos casos mediante la herramienta R, con la finalidad de analizar y caracterizar su comportamiento real. Se estudian el calibrado del test (casos en los que se cumple la hipótesis nula) y su potencia (casos en los que no se cumple la hipótesis nula). También se ponen a prueba ciertas recomendaciones prácticas mencionadas durante el grado.

Dirección
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Tutoría)
Bolón Rodríguez, Diego Cotutoría

Tribunal
Bolón Rodríguez, Diego (Tutor del alumno)
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Tutor del alumno)

Resumen
El presente documento aborda el teorema de la aplicación de Riemann, un resultado esencial en el análisis complejo, que establece la existencia de aplicaciones conformes entre conjuntos simplemente conexos y el disco unidad. Para ello, se introduce el marco teórico necesario, comenzando con una breve introducción sobre el teorema, así como algunas definiciones y resultados fundamentales de las funciones holomorfas. Más adelante, se profundiza en las transformaciones de Möbius, una herramienta esencial en el desarrollo del trabajo que, junto con el lema de Schwarz, tiene un papel fundamental para caracterizar los automorfismos del disco unidad. Se cierra este desarrollo teórico con el estudio de algunas propiedades del espacio de las funciones holomorfas, proporcionando así una base para poder dar una demostración rigurosa del teorema. Finalmente, se destaca la importancia del mismo, poniendo de manifiesto algunas aplicaciones relevantes en otras ramas científicas, como pueda ser la mecánica de fluidos en la física, y se dará un algoritmo para hallar de manera estimativa la aplicación que describe el teorema.

Dirección
CAO LABORA, DANIEL (Tutoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
El presente documento aborda el modelo de Ising, ampliamente utilizado en el estudio de transiciones de fase, tanto desde una perspectiva teórica como computacional. Se introducen brevemente conceptos relacionados con fenómenos críticos, seguidos de una descripción del modelo y de algunos desarrollos y resultados teóricos conocidos en redes unidimensionales y bidimensionales con interacción entre primeros vecinos. Posteriormente, se realiza un estudio computacional, introduciendo los algoritmos de Metropolis y Wolff, demostrando la ergodicidad y el cumplimiento de la ecuación de balance detallado de ambos. Se comparan estos dos algoritmos, evidenciando que el de Wolff presenta una convergencia más rápida cerca del punto crítico. A través de un código desarrollado para este trabajo, se caracterizan las transiciones de fase en redes desde una hasta cuatro dimensiones con interacción entre primeros vecinos y se implementa el modelo en redes complejas de tipo small world, tanto unidimensionales como bidimensionales.

Dirección
MENDEZ MORALES, TRINIDAD (Tutoría)
Montes Campos, Hadrián Cotutoría

Tribunal
ZAS ARREGUI, ENRIQUE (Presidente/a)
GARCIA FEAL, XABIER (Secretario/a)
FONDADO FONDADO, ALFONSO (Vocal)

Resumen
Este trabajo desarrolla un modelo farmacocinético/farmacodinámico (PK/PD) con el fin de optimizar la administración de fármacos en tratamientos de quimioterapia. El objetivo es encontrar una distribución de dosis que minimice el volumen del tumor, manteniendo constante la cantidad total de fármaco administrado. Se considera un modelo basado en ecuaciones diferenciales, utilizando una versión modificada del modelo Gompertz, que posteriormente se implementa en MATLAB. Para el modelo propuesto, se contrastan los resultados numéricos con las soluciones exactas y se reproducen resultados de la literatura. A continuación, se presenta el problema de optimización, con restricciones clínicas, vinculado al modelo descrito. Los resultados teóricos indican que la solución óptima consiste en administrar un mayor número de dosis de forma equitativa, siempre que se cumplan las restricciones impuestas. Los resultados bibliográficos reproducidos coinciden con las predicciones del modelo, lo que valida su implementación. Se concluye que existen estrategias de tratamiento más eficaces que las utilizadas normalmente, y se subraya la importancia de seguir avanzando hacia aplicaciones clínicas más realistas, destacando el potencial de las herramientas matemáticas en la planificación terapéutica personalizada.

Dirección
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
El objetivo de este trabajo es ser un punto de partida para el estudio de los grupos Spin a través del formalismo de las álgebras de Clifford. Para ello, primero se definen y construyen estas álgebras a través de las álgebras tensoriales, se estudian sus propiedades principales como superálgebras, su definición en base a generadores y relaciones y su conexión con el álgebra exterior. Después, se realiza una primera clasificación de las álgebras de Clifford reales de baja dimensión haciendo uso del producto tensor Z2-graduado para luego proceder a la clasificación completa de las mismas ---en los casos real y complejo---usando varios isomorfismos probados a lo largo del texto junto con la conocida como periodicidad de Bott. Posteriormente, procedemos a definir el grupo Spin como un subgrupo de las unidades del álgebra de Clifford y, tras estudiar la acción de estas últimas sobre la totalidad del álgebra, comprobamos haciendo uso de esta acción que los grupos Spin son un revestimiento doble del grupo especial ortogonal SO(n). También estudiamos algunas propiedades adicionales de estos grupos y clasificamos algunos casos de baja dimensión.

Dirección
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Tutoría)
Lorenzo Naveiro, Juan Manel Cotutoría

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
Este trabajo busca ser un primer estudio, tanto desde el punto de vista teórico como el experimental, de la desintegración B+ to mumutaunu en el contexto del experimento LHCb. En primer lugar, se sigue un desarrollo teórico obtenido de fuentes bibliográficas en el que se realiza un cálculo similar, buscando comprender los mecanismos del mismo y adaptarlo a la situación de interés; el objetivo último de este análisis es obtener un primer valor numérico de referencia para el branching ratio (BR) de esta desintegración. A continuación, diseñamos un análisis con la finalidad de poder detectar un pico de señal de esta desintegración o poder establecer una cota superior para el BR; para ello, solventamos el problema de la información faltante por la imposibilidad de detección del neutrino a través de la introducción de la masa corregida y presentamos las formas de seleccionar los datos, la eliminación de fondo combinatorio a través de herramientas de machine learning y un estudio de la capacidad de diferenciar un pico de señal a través de simulaciones y ajustes, junto con herramientas estadísticas como el teorema de Wilks. Por último, presentamos los avances logrados en un primer análisis, concluyendo con el trabajo a desarrollar para una futura ampliación de este trabajo

Dirección
CID VIDAL, XABIER (Tutoría)
FERNANDEZ GOMEZ, MIGUEL Cotutoría

Tribunal
ZAS ARREGUI, ENRIQUE (Presidente/a)
GARCIA FEAL, XABIER (Secretario/a)
FONDADO FONDADO, ALFONSO (Vocal)

Resumen
En este proyecto partimos de conceptos básicos sobre los problemas de flujo en grafos para luego ver otros más específicos que nos ayuden a conseguir nuestro objetivo principal: explicar diferentes algoritmos para resolver el problema del camino más corto. En el primer capítulo introduciremos conceptos de la teoría de grafos y explicaremos nociones importantes para los siguientes capítulos, como la definición de nodo, arco o coste. Además, introduciremos los problemas de flujo de coste mínimo junto con sus formulaciones matemáticas. Por último, analizaremos una propiedad muy importante a la hora de resolver este tipo de problemas: la unimodularidad, junto con algunas propiedades que facilitan su resolución. En el segundo capítulo nos centraremos en el problema del camino más corto, describiendo que existen diferentes tipos de algoritmos para resolverlo con especial énfasis en el algoritmo de Dijkstra. También proporcionaremos algunas implementaciones de este y otros algoritmos que pueden ayudar a resolver el problema de forma más eficiente. Además, las explicaciones irán acompañadas de ejemplos para facilitar la comprensión de los algoritmos. Finalmente, el último capítulo presenta una aplicación práctica del cálculo del camino más corto en la red ferroviaria española. Incluye una descripción detallada de la implementación en Python, los datos utilizados y una representación gráfica de las rutas obtenidas.

Dirección
GONZALEZ RUEDA, ANGEL MANUEL (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
Este Trabajo de Fin de Grado tiene como objetivo estudiar la inestabilidad baroclínica en la atmósfera mediante un análisis teórico y simulaciones numéricas. En la parte teórica, se explicarán los factores clave que influyen en este fenómeno, como la cizalladura vertical del viento, los gradientes térmicos y la estratificación atmosférica, además del papel de la rotación planetaria y la fuerza de Coriolis. A continuación, se realizarán simulaciones numéricas para analizar el impacto de las variaciones en los perfiles de temperatura y viento en el crecimiento de las perturbaciones baroclínicas. Los resultados permitirán evaluar cómo estas condiciones atmosféricas afectan a la evolución de las ondas baroclínicas, comparando las simulaciones con las predicciones teóricas. Finalmente, se discutirá la concordancia entre teoría y simulaciones, destacando las condiciones que favorecen el desarrollo de la inestabilidad baroclínica y sus posibles aplicaciones en la predicción meteorológica.

Dirección
MIGUEZ MACHO, GONZALO (Tutoría)
CRESPO OTERO, ALFREDO Cotutoría

Tribunal
ZAS ARREGUI, ENRIQUE (Presidente/a)
GARCIA FEAL, XABIER (Secretario/a)
FONDADO FONDADO, ALFONSO (Vocal)

Resumen
Las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) son una herramienta fundamental para modelar procesos dinámicos en diversas disciplinas. Este trabajo se centra en la aplicación de las EDOs a modelos biológicos, en particular aquellos relacionados con la propagación de enfermedades infecciosas. Se analiza en detalle el modelo SIR y sus extensiones, como los modelos SEIR y SIRS, con el objetivo de comprender la dinámica epidemiológica y la estabilidad de los estados estacionarios. Además, se presenta un estudio específico sobre la propagación del VIH. El análisis incluye soluciones analíticas y numéricas, y también la evaluación del impacto de diferentes estrategias de control y erradicación. Los resultados obtenidos subrayan la importancia del número de reproducción básico R0 y de las intervenciones como la vacunación para mitigar la propagación de enfermedades.

Dirección
Rodríguez López, Jorge (Tutoría)

Tribunal
Rodríguez López, Jorge (Tutor del alumno)

Resumen
Este trabajo estudia el teorema de punto fijo de Brouwer y su impacto en diversas áreas de las matemáticas. Se presenta la formulación clásica y varios resultados y formulaciones históricas equivalentes, haciendo hincapié en el teorema de no-retracción. Además, se incluye una construcción del grado de Brouwer, empleado en una demostración directa del teorema. A lo largo de la segunda parte, se estudian aplicaciones a las ecuaciones diferenciales, como el método de tiro y la existencia de soluciones periódicas. Finalmente, se abordan dos generalizaciones del teorema de punto fijo de Brouwer: el teorema de Kakutani y el teorema de Schauder, así como su uso en el contexto de la teoría de juegos y de la resolución de ecuaciones diferenciales, respectivamente.

Dirección
Rodríguez López, Jorge (Tutoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
Los problemas de horarios consisten en la asignación eficiente de recursos limitados a un conjunto de tareas, teniendo en cuenta determinadas restricciones temporales y criterios de optimalidad. En el primer capítulo comenzamos detallando la notación que emplearemos a lo largo del trabajo. A continuación, en el segundo y tercer capítulo haremos una revisión de diferentes versiones en las que se pueden presentar dichos problemas, presentando en cada caso el algoritmo correspondiente para encontrar una solución óptima, junto con ciertas propiedades teóricas. En el capítulo cuatro se incluye la implementación de los algoritmos mediante código de R. Finalmente, en el quinto capítulo se recogen las conclusiones, donde se destaca la relevancia de estos problemas tanto en contextos de la vida cotidiana como en el ámbito profesional.

Dirección
GONZALEZ RUEDA, ANGEL MANUEL (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
Es bien sabido que no existe una norma general para la resolución de EDOs (ecuaciones diferenciales ordinarias) de primera orden, sino una pluralidad de métodos, muchos de los cuales se pueden expresar en el lenguaje de factores integrantes. Desafortunadamente, no se conoce ninguna técnica que permita obtener de forma explícita factores integrantes para una ecuación diferencial arbitraria. Sin embargo, el matemático noruego Sophus Lie (1842-1899) desarrolló, a partir de las simetrías de las ecuaciones diferenciales, un procedimiento unificado para su obtención. El objetivo de este trabajo es estudiar las simetrías y los factores integrantes como método de resolución para las ecuaciones diferenciales ordinarias de primera orden.

Dirección
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Tutoría)
SANMARTIN LOPEZ, VICTOR Cotutoría

Tribunal
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Tutor del alumno)
SANMARTIN LOPEZ, VICTOR (Tutor del alumno)

Resumen
En este trabajo estudiaremos los sistema de ecuaciones diferenciales, las ecuaciones en diferencias y los modelos matriciales aplicados a la modelización de la evolución poblacional. Empezaremos con el estudio del caso de una única especie y, posteriormente, analizaremos la evolución conjunta de varias especies que coexisten en un mismo hábitat. Esta segunda parte se estructura según la clasificación clásica de las interacciones interespecíficas: competencia, mutualismo y depredación, recalcando esta última y las adaptaciones que experimentan los modelos correspondientes en función de distintas características biológicas.

Dirección
Diz Pita, Érika (Tutoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
Las álgebras de evolución son álgebras conmutativas pero, en general, no asociativas, introducidas en 2006 para modelizar situaciones de herencia genética en las que no se siguen las leyes mendelianas. A partir de ese momento, autores, entre los que destaca J.P. Tian, desarrollan la teoría de este tipo de álgebras, tratando sus propiedades y las relaciones que presenta con otros ámbitos de estudio, como son las álgebras no asociativas, la teoría de grafos y la biología. El fin de este trabajo es explorar las interacciones entre las álgebras de evolución, la biología y la teoría de grafos, estudiando primero las propiedades de estas álgebras para después profundizar en los grafos dirigidos asociados y en situaciones prácticas a nivel biológico.

Dirección
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Tutoría)

Tribunal
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Tutor del alumno)

Resumen
La avispa asiática o Vespa velutina nigrithorax, se ha convertido en una de las especies invasoras más problemáticas en la comunidad gallega debido a su gran impacto ecológico. El principal objetivo de este trabajo será el estudio de la distribución espacial de la especie, haciendo uso de los nidos avistados en todo el territorio gallego, desde sus comienzos en el año 2014 hasta el pasado 2024. A lo largo del trabajo se hará uso de varias técnicas estadísticas avanzadas como la estimación no paramétrica de la densidad tipo núcleo, a partir de la cual se obtienen las regiones de elevada densidad, y estrategias de ponderación de los datos. Los resultados obtenidos muestran la presencia de un claro sesgo en la base de datos; al emplear los datos sin ponderar, las zonas rurales quedan infrarrepresentadas por la falta de posibles observadores. Sin embargo, tras las ponderaciones, las conclusiones cambian por completo, obteniendo un análisis adecuado a la realidad. En conclusión, la metodología empleada en el trabajo ofrece conclusiones ajustadas a la situación real, facilitando la labor de las entidades públicas a la hora de la planificación y la gestión del control de plagas, pudiendo adoptar los métodos de este estudio a diversos campos y situaciones.

Dirección
SAAVEDRA NIEVES, PAULA (Tutoría)
ALONSO PENA, MARIA Cotutoría

Tribunal
ALONSO PENA, MARIA (Tutor del alumno)
SAAVEDRA NIEVES, PAULA (Tutor del alumno)

Resumen
El objetivo de este trabajo es ofrecer un estudio exhaustivo sobre las curvas elípticas, un caso particular de curvas algebraicas que ha ocupado un lugar destacado en diversas ramas de las matemáticas, como la geometría algebraica y la teoría de números, y que ha encontrado importantes aplicaciones en la criptografía moderna. Con el fin de ofrecer un análisis detallado tanto de los aspectos teóricos como de sus aplicaciones, el trabajo comienza introduciendo conceptos y resultados de geometría algebraica que constituyen el marco fundamental para el desarrollo posterior. A continuación, se presenta tanto la definición formal de curva elíptica como su clasificación en función del invariante j. Tras abordar una de sus más importantes características, su estructura de grupo, se examinan las propiedades teóricas de las curvas elípticas en cuerpos finitos, que son el objeto de interés para la parte final, en la que se explora su uso práctico en la criptografía.

Dirección
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Tutoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
La desinformación presente en los resultados de búsquedas web sobre salud es una cuestión preocupante tanto a nivel social como científico, pues puede influir negativamente en la toma de decisiones de los/las usuarios/as y acarrear graves consecuencias para la salud. Este fenómeno, que cobró especial visibilidad con la pandemia de la COVID-19, es una de las áreas de investigación dentro del ámbito de la Recuperación de Información (RI), en torno a la cual se articula este trabajo. El proyecto tiene como objetivo central explorar cómo discernir documentos relevantes y correctos de documentos dañinos, dada una cierta intención de búsqueda. Para ello, se propone un estudio estructurado en tres líneas de investigación. En primer lugar, se lleva a cabo un análisis sistemático del desempeño de sistemas de búsqueda del estado del arte con respecto a esta tarea. En segundo lugar, se diseña, implementa y evalúa una nueva técnica basada en Modelos Grandes de Lenguaje (LLMs) para la generación de alternativas de consultas enviadas por usuarios/as, de forma que sus variantes favorezcan la recuperación de documentos relevantes y correctos, en detrimento de la recuperación de documentos dañinos. Por último, se presenta un estudio sobre la predicción de la presencia de desinformación sanitaria en los resultados de búsqueda de consultas, para lo cual se prueban técnicas procedentes de ámbitos relacionados y se diseña, implementa y evalúa un nuevo predictor basado en LLMs y específico para esta tarea. Los hallazgos del trabajo avalan el potencial de los LLMs en el campo de la RI, al lograr mejorar la eficacia de sistemas de búsqueda punteros. Además, se subsana la ausencia de literatura previa en cuanto a la predicción de desinformación en consultas, a la vez que se prueba la capacidad de los LLMs para ello, superior a la capacidad que demuestran técnicas más generales. Parte de las aportaciones de este proyecto han sido aceptadas para su publicación en la conferencia ACM SIGIR 2025.

Dirección
Losada Carril, David Enrique (Tutoría)
FERNANDEZ PICHEL, MARCOS Cotutoría

Tribunal
MOSQUERA GONZALEZ, ANTONIO (Presidente/a)
TOBAR QUINTANAR, ALEJANDRO JOSE (Secretario/a)
QUESADA BARRIUSO, PABLO (Vocal)

Resumen
Este trabajo estudia las bases de la Computación Cuántica de forma íntegramente matemática, abstrayéndose de los sistemas físicos reales detrás de esta idealización. En primer lugar, se estudian los fundamentos de la Mecánica Cuántica, explorando conceptos y propiedades de los espacios de Hilbert sobre el cuerpo de los números complejos. A continuación, se definen los conceptos de cúbit y p-cúbit, así como las puertas lógicas cuánticas que actúan sobre ellos. Por último, se desarrollará una serie de algoritmos importantes con aplicaciones concretas que demuestran el interés por este tipo de lógica. El objetivo del trabajo es ser una introducción, desde los conceptos trabajados en el Grado de Matemáticas, al mundo de la Computación Cuántica sin requerir conocimientos previos sobre Física, de forma que dé un acceso más sencillo al entendimiento de algoritmos cuánticos o a su desarrollo.

Dirección
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
Una línea importante de investigación en el área de la computación cuántica está dirigida a la detección y mitigación de ruido. En este trabajo, nos centraremos en los métodos de medida de la temperatura efectiva, una magnitud usada para estimar la población residual del estado excitado de un cúbit, debida a las fluctuaciones térmicas en el dispositivo. En primer lugar, se estudian los sistemas físicos de los cúbits superconductores tipo transmón y su proceso de lectura dispersiva, que son de los que se dispone en el QMIO. A partir de ellos, se desarrolla una simulación estocástica sobre la cual puedan validarse los métodos de medida. Finalmente, se estudia un método de medida de la temperatura efectiva basado en oscilaciones de Rabi e-f , validando sus hipótesis y obteniendo resultados por simulación.

Dirección
MAS SOLE, JAVIER (Tutoría)
Gómez Tato, Andrés Cotutoría

Tribunal
MIRA PEREZ, JORGE (Presidente/a)
CID VIDAL, XABIER (Secretario/a)
MOSQUEIRA REY, JESUS MANUEL (Vocal)

Resumen
En este trabajo abordamos el análisis de condiciones de equidad en problemas de optimización a través del estudio de tres problemas. En primer lugar, tratamos la optimización de rutas de vehículos en condiciones de ayuda humanitaria, lo cual requiere un enfoque equitativo por la naturaleza de la situación. En segundo lugar, analizamos condiciones de equidad relativas a la localización de un conjunto de instalaciones, presentando diversas formulaciones del problema. Por último, estudiamos la equidad en la asignación de recursos hídricos, para lo cual realizamos el análisis de un caso real.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotutoría

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
En este trabajo abordamos el estudio de métodos numéricos para el cálculo aproximado de la integral definida a través de fórmulas de cuadratura, técnicas fundamentales cuando desconocemos el valor de la integral. Nos centramos en las fórmulas de tipo interpolatorio polinómico que aproximan el valor real a partir de la integral de un polinomio de interpolación. Estudiamos en profundidad tres métodos principales de cuadratura. Primero las fórmulas de Gauss, caracterizadas por su alta precisión empleando pocos nodos. Despois, estudiamos el método de Romberg, que combina la regla del trapecio compuesta con la extrapolación de Richardson. Y por último, el uso de correcciones extremales para las reglas de trapecio y Simpson compuestas. Para cada método exploraremos su formulación teórica, el comportamiento del error y los requisitos para la exactitud de los métodos. Además, aportaremos ejemplos y tablas que representen la variación del erro para cada método.

Dirección
López Pouso, Óscar (Tutoría)
BARRAL RODIÑO, PATRICIA Cotutoría

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
El presente trabajo se centra en el estudio matemático y computacional de la resolución de un sudoku, partiendo de su conexión con los cuadros latinos. Se analiza su existencia y enumeración, sentando las bases de un marco teórico sólido para comprender la estructura subyacente del sudoku. A continuación, se describe el juego en un contexto histórico y formal, estudiando sus reglas y propiedades, el número total de tableros posibles y, además, el problema del número mínimo de pistas necesarias para garantizar una solución única. También se describen las técnicas de resolución manual más empleadas, tanto básicas como avanzadas. La parte principal del trabajo explora distintas metodologías de resolución mediante programación matemática, como la programación lineal, algoritmos de retroceso, métodos evolutivos (como el algoritmo genético) y el recocido simulado, así como modelos basados en grafos. Además, se extiende el análisis a algunas variantes del sudoku. Finalmente, se presenta una evaluación comparativa de la eficiencia computacional de todas las metodologías propuestas, basada en implementaciones en el lenguaje R.

Dirección
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotutoría

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
Los espacios modelo para superficies con curvatura de Gauss constante no negativa se corresponden con el plano y las esferas. Sin embargo, el Teorema de Hilbert establece la imposibilidad de la existencia de superficies regulares completas con curvatura de Gauss constante y negativa en el espacio Euclídeo de dimensión tres. Por ello, usaremos la geometría de Lorentz y, en particular, la métrica de Minkowski en tres dimensiones para construir modelos de la geometría hiperbólica. Analizamos los modelos del hiperboloide y del disco de Poincaré, prestando especial atención al comportamiento de sus geodésicas.

Dirección
GARCIA RIO, EDUARDO (Tutoría)
Vázquez Abal, María Elena Cotutoría

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vocal)

Resumen
Desde su redescubrimiento en los años 50, la clase de algoritmos conocida como Transformadas Rápidas de Fourier (FFTs) ha sido fundamental en numerosos campos de las matemáticas, la ciencia y la ingeniería. No es de sorprender que el algoritmo de Cooley-Tukey (conocido comúnmente como la FFT) sea ampliamente reconocido como uno de los algoritmos más importantes del siglo XX. En este trabajo, buscamos ofrecer un enfoque estructurado y bien fundamentado para el desarrollo de FFTs. Comenzamos con los fundamentos matemáticos de los espacios Lp y la transformada continua de Fourier, que proporcionan una nueva forma de ver funciones a través de su espectro de frecuencias. Más adelante, introducimos la Transformada Discreta de Fourier (DFT) como una herramienta numérica que permite aplicar los métodos de Fourier. El cálculo de la DFT para entradas de gran tamaño solo es viable gracias a la FFT. Finalmente, presentamos una breve introducción a dos de los grandes ámbitos de aplicación: el procesamiento de señales digitales y la compresión de datos. En particular, revisamos los filtros de audio digital y examinamos el papel de las FFTs en la compresión de imágenes JPEG.

Dirección
LOPEZ SOMOZA, LUCIA (Tutoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vocal)

Resumen
En este trabajo se presenta un enfoque para la búsqueda eficiente de vecinos en nubes de puntos 3D, en especial las obtenidas mediante tecnología LiDAR. El método propuesto consiste en un reordenamiento espacial de la nube fundamentado en las Curvas de Llenado del Espacio (SFCs), junto a implementaciones eficientes de búsqueda basadas en Octrees. Se explora cómo las SFCs de Morton y Hilbert pueden optimizar la organización de los datos tridimensionales, mejorando el rendimiento de las consultas de vecindad y la construcción de estructuras sobre la nube. Se proponen y evalúan diversas variantes del Octree, analizando su impacto en la eficiencia y escalabilidad del método propuesto. Los resultados experimentales demuestran que el reordenamiento mediante SFCs y el uso de algoritmos de búsqueda sobre Octrees especializados mejoran significativamente el acceso a datos espaciales, ofreciendo una solución robusta para aplicaciones que requieren procesamiento rápido de grandes conjuntos de puntos 3D. Una parte de este trabajo ha sido presentado en las XXXV Jornadas de Paralelismo de SARTECO.

Dirección
Fernández Rivera, Francisco (Tutoría)
YERMO GARCIA, MIGUEL Cotutoría

Tribunal
Pardo López, Xosé Manuel (Presidente/a)
SUAREZ GAREA, JORGE ALBERTO (Secretario/a)
CARIÑENA AMIGO, MARIA PURIFICACION (Vocal)

Resumen
En este trabajo se abordará el estudio de las secuencias de ADN utilizando los métodos estadísticos como herramienta fundamental. Se estudiarán diversas cuestiones relacionadas con el proceso de ensamblado que forma parte de la secuenciación de un genoma. Previamente se llevará a cabo el estudio de los conceptos de probabilidades y variables aleatorias, así como una introducción de los procesos estocásticos, en concreto, de los procesos de Poisson, que son necesarios para modelizar el proceso de secuenciación. Finalmente, se presentará el estudio de un caso práctico relacionado con el genoma bacteriano, accediendo a bases de datos genéticas y utilizando un software especializado en el ensamblado de secuencias.

Dirección
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
El concepto matemático de módulo cruzado fue introducido por J. H. C. Whitehead en 1949 con el objetivo de modelizar los espacios 2-tipo homotópicos. Los módulos cruzados existen para una gran variedad de estructuras algebraicas; en este trabajo se considerará exclusivamente la estructura de grupo. En este contexto, un módulo cruzado de grupos es un homomorfismo de grupos \mu: M \to N junto con una acción del grupo N sobre el grupo M por automorfismos tal que se cumplen dos condiciones fundamentales: la equivarianza de \mu y la identidad de Peiffer. Los módulos cruzados poseen diversas propiedades algebraicas y son equivalentes, en sentido categórico, a estructuras como los Cat1 -grupos, los 2-grupos estrictos y los grupos categóricos estrictos. Describir tales propiedades y equivalencias será el objetivo fundamental de este trabajo.

Dirección
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Tutoría)
RAMOS PEREZ, BRAIS Cotutoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
Esta memoria presenta un estudio completo y detallado del concepto de medida, comenzando por las medidas positivas y extendiendo progresivamente el análisis a casos más generales, como las medidas reales y complejas. Se dedica una atención especial a uno de los resultados fundamentales de la Teoría de la Medida: el Teorema de Radon Nikodym, que, junto con el Teorema de Descomposición de Lebesgue, es una herramienta esencial para comprender la estructura y el comportamiento de las medidas. Para facilitar el desarrollo de estos temas, se introducen los conocimientos previos necesarios en Teoría de la Medida y Análisis Funcional, incluyendo definiciones clave, proposiciones auxiliares y resultados intermedios que permiten una formulación y demostración rigurosa de los teoremas. Además, se incluye una reseña histórica que destaca las aportaciones de Henri Lebesgue, Johann Radon y Otton Nikodym al desarrollo del teorema que lleva sus nombres. El estudio se completa con un ejemplo académico detallado que ilustra la aplicación del Teorema de Radon Nikodym en un contexto concreto. En conjunto, este trabajo busca ofrecer una comprensión sólida y accesible de uno de los teoremas más relevantes del análisis matemático contemporáneo.

Dirección
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
La Diferenciación Automática es una técnica de derivación que combina las ideas de la diferenciación simbólica y de la diferenciación numérica con el objetivo de evaluar de manera exacta derivadas de una función en un punto dado. Existen dos enfoques principales para su aplicación: el método progresivo y el método retrógrado. En este trabajo, nos centraremos principalmente en el segundo, aunque también se tratará el método progresivo, pero de manera introductoria, para contextualizar este nuevo tipo de diferenciación. Se estudiará el beneficio de utilizar el enfoque retrógrado en el cálculo de gradientes de funciones que dependan de multitud de variables, la extensión del método a varias variables independientes y a diferentes grados de derivación, así como la creación del grafo computacional necesario para proporcionar un código que permita su implementación en MATLAB. Por último, se explorarán sus aplicaciones prácticas como, por ejemplo, el cálculo de gradientes en los procesos de optimización de redes neuronales.

Dirección
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Tutoría)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO Cotutoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
Las cadenas de Markov son procesos en los que la probabilidad de los eventos futuros no depende de la historia pasada, sino que depende únicamente del momento actual. Este caso particular de cadenas es de gran utilidad para el estudio de muchos campos científicos como pueden ser la biología, la química, la física o la informática. En este trabajo se realizará un análisis sobre las cadenas de Markov y se aplicará lo estudiado a algunos juegos de azar como el Blackjack o Serpientes y Escaleras. Estos juegos, además de depender de la aleatoriedad, se ven influídos por la estrategia de los jugadores en muchas ocasiones, por lo que conocer la teoría que los sustenta puede ayudar a los jugadores a tomar mejores decisiones.

Dirección
AMEIJEIRAS ALONSO, JOSE (Tutoría)
Bolón Rodríguez, Diego Cotutoría

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
Se estudiarán algunos problemas modelados mediante ecuaciones diferenciales ordinarias. Aunque la perspectiva será numérica, se accederá a las soluciones utilizando software existente, sin que sea necesaria una labor importante de programación. La/el estudiante podrá seleccionar algunos problemas de la siguiente lista, extraída de la que será la referencia fundamental de este trabajo: Eliminación de cafeína del torrente sanguíneo. Problemas de persecución clásicos. Problema del paracaidista. Teoría de vigas y la resistencia de los espaguetis. Estados propios de la ecuación de Schrödinger. Adjuntos y optimización. Luna, sol y mareas. Péndulo no lineal. Modelo SIR para epidemias. No unicidad diseñada. Metaestabilidad, radiactividad y túnel cuántico. Caos en una red alimentaria. Trayectorias linealizadas de Lorenz. Transición a la turbulencia en un tubo. Envío de una nave espacial a un destino. Reacción química de Arrhenius. Brechas de banda y frecuencias prohibidas. ¿Por qué hace más calor en Nueva York que en San Francisco? Función seno de Jacobi. Solitones y la ecuación KdV.

Dirección
López Pouso, Óscar (Tutoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vocal)

Resumen
Durante la historia de la computación, los problemas de rutas han suscitado un gran interés debido a sus múltiples aplicaciones en diferentes campos, como son la planificación y la logística. Este trabajo se centra en el problema del viajante de comercio o TSP. En concreto, en las técnicas para resolverlo de forma aproximada en un tiempo polinómico, las metaheurísticas. El objetivo principal de este estudio es proporcionar una guía para comprender cuatro de las más importantes, tanto en el ámbito teórico como en el computacional. Para ello, se realizó una revisión bibliográfica, encontrando información relevante de ellas y sintetizándola. Estas son: la búsqueda tabú, el templado simulado, el algoritmo genético y la optimización de la colonia de hormigas. Para la parte computacional, se realizaron implementaciones en R de todas las metaheurísticas y se evaluaron con distintas instancias de la librería TSPLIB. Como resultado, se obtuvo que no hay una metaheurística mejor que el resto en todos los aspectos. La búsqueda tabú y la optimización de la colonia de hormigas obtienen resultados muy prometedores en términos de distancia al coste óptimo; sin embargo, son temporalmente más costosas que las otras dos. El templado simulado obtiene unos resultados algo peores que los anteriores, pero de forma muy rápida. Por último, el algoritmo genético obtiene muy malos resultados en un tiempo, relativamente, aceptable. En conclusión, este trabajo sirve como guía a las personas que quieran comprender estos conceptos.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vocal)

Resumen
En la actualidad existen múltiples herramientas para realizar procesos de clasificación de imágenes, tales como las redes neuronales convolucionales y los transformers. Sin embargo, la marca Zara continúa realizando el etiquetado de manera manual, lo que deriva en un conjunto de etiquetas inexactas. Por esta razón, en este trabajo se explora la implementación de métodos automatizados que mejoren los resultados obtenidos de forma manual. El propósito de esta investigación es evaluar y analizar la eficacia del servicio de AWS Rekognition Custom Labels para etiquetar prendas de vestir. La estrategia adoptada pretende identificar los límites del servicio para la referida tarea a través de un análisis de la viabilidad del conjunto de datos origen. El desarrollo del proyecto comienza con un análisis preliminar del conjunto de datos para determinar su idoneidad para el entrenamiento de modelos. Posteriormente, se realiza un examen de las restricciones del servicio, considerando cinco variables principales: el número total de imágenes, la interrelación entre las etiquetas, el tipo de etiqueta, la cantidad de imágenes disponibles para cada etiqueta y la influencia de cada etiqueta sobre las demás. Para lograrlo, se utilizarán varios recursos como el propio servicio, un conjunto de datos inicial y una API REST desarrollada para este proyecto. Entre los principales hallazgos se destacan la baja relevancia del número total de imágenes, así como las limitaciones asociadas al tipo de etiqueta y la importancia de que las etiquetas no estén excesivamente relacionadas.

Dirección
Carreira Nouche, María José (Tutoría)
Rodríguez Díez, Helio Cotutoría

Tribunal
ARIAS RODRIGUEZ, JUAN ENRIQUE (Presidente/a)
Querentes Hermida, Raquel Esther (Secretario/a)
PIÑEIRO POMAR, CESAR ALFREDO (Vocal)

Resumen
En este trabajo se realizará una introducción al modelo de regresión lineal múltiple y a los modelos de regresión paramétricos, así como a las hipótesis clásicas que se suponen sobre los mismos. Una de ellas es la hipótesis de linealidad, respectivamente la forma paramétrica considerada, del modelo; que derivará en que nos centremos en el contraste de bondad de ajuste presentado por Stute (1997), el cuál resulta de gran utilidad a la hora de verificar si un modelo especificado verifica una cierta forma paramétrica. Debido a la complejidad a la hora de estimar la distribución del estadístico propuesto para dicho contraste, se presentará una aproximación bootstrap, más concretamente un wild bootstrap sobre los residuos del modelo considerado para llevar a cabo el calibrado del test en la práctica. Más adelante, programaremos dicho contraste en R y realizaremos un estudio de simulación con el objetivo de comprobar el buen comportamiento del contraste de forma empírica; verificando que respeta el nivel de significación bajo la hipótesis nula y que muestra una buena potencia, es decir, que es capaz de rechazar la hipótesis nula cuando consideramos modelos bajo la hipótesis alternativa. Por último, presentaremos una aplicación a datos reales que nos permitirá ilustrar la utilidad del procedimiento presentado en la práctica.

Dirección
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
La teoría de juegos es una disciplina matemática que estudia problemas de decisión que involucran a varios agentes. Distinguimos juegos cooperativos y no cooperativos, los cuales se diferencian en la existencia o no de mecanismos para establecer acuerdos vinculantes. Dos conceptos básicos son el valor de Shapley y el equilibrio perfecto en subjuegos, tomados de los juegos cooperativos con utilidad transferible y los juegos en forma extensiva. En este trabajo utilizaremos las herramientas mencionadas anteriormente para comprender y explicar una investigación reciente en el ámbito de los dispositivos de concentración de peces. Esto ha conducido a la posibilidad de un incremento en los beneficios de las firmas pesqueras y paralelamente a una contribución beneficiosa para el medio ambiente en términos de la reducción del consumo de carburante y así de las emisiones de CO2. Junto con las consideraciones teóricas se pretende mostrar un análisis empírico de este problema.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vocal)

Resumen
El objetivo de este TFG es el estudio del teorema de densidad de Chebotarev, trabajando algunas de sus aplicaciones, especialmente la factorización de polinomios módulo p. En la primera parte, realizaremos una primera aproximación a la conexión entre la teoría de Galois y la factorización de polinomios módulo p, trabajando la relación con otros resultados como la ley de reciprocidad cuadrática. A continuación, explicaremos el papel que desempeña el teorema de densidad de Chebotarev y discutiremos otras aplicaciones del mismo.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Tutoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
En esta publicación realizaremos un estudio de algunos de los métodos numéricos más usados a la hora de resolver ecuaciones diferenciales. Comprobaremos sus propiedades teóricas mediante la resolución de un problema físico de valor inicial. Finalizaremos con una comparación de los métodos disponibles con los que utiliza un software comercial para la modelización de fluidos, como es Ansys Fluent.

Dirección
Ferrín González, José Luis (Tutoría)

Tribunal
Ferrín González, José Luis (Tutor del alumno)

Resumen
Una metaheurística es un procedimiento de búsqueda de alto nivel diseñado para guiar heurísticas subordinadas con el objetivo de explorar eficazmente espacios de soluciones en problemas de optimización complejos, especialmente aquellos donde los métodos exactos resultan computacionalmente inviables. Estas técnicas no garantizan encontrar la solución óptima, pero buscan obtener soluciones de buena calidad en tiempos razonables, lo que las hace especialmente útiles en entornos reales. Dentro de este marco, destacan los algoritmos evolutivos, que se inspiran en principios de la evolución biológica para explorar espacios de búsqueda complejos. Entre ellos, los algoritmos genéticos y meméticos son especialmente relevantes. Los algoritmos genéticos emplean mecanismos como la selección, el cruce y la mutación para generar nuevas soluciones, mientras que los algoritmos meméticos combinan esta exploración global con estrategias de mejora local para optimizar aún más cada solución. Estos métodos han sido aplicados con éxito en la resolución de diversos problemas complejos, entre ellos los problemas de rutas. Estos consisten en encontrar el conjunto óptimo de caminos que debe seguir una flota de vehículos para atender a un conjunto de clientes. Una generalización de los problemas de rutas es el problema de rutas de camiones y tráileres multicompartimento (MC-TTRP). Este problema considera dos tipos de vehículos compartimentados, camiones y tráileres que deben ir remolcados, y dos tipos de clientes con diferentes restricciones de servicio y que requieren múltiples tipos de carga, lo que da lugar a la existencia de múltiples tipos de rutas para optimizar la distribución. En este trabajo se han explorado los algoritmos genéticos y meméticos, estudiando cómo funcionan los operadores utilizados y cómo obtener un algoritmo memético que es capaz de abordar un problema complejo. También se han estudiado los problemas de rutas, con un mayor énfasis en el MC-TTRP, ofreciendo un modelo de programación lineal y entera mixta que permita modelar el problema de manera matemática. Utilizando estos conocimientos se ha implementado un algoritmo en C++ que facilita la obtención de las rutas óptimas para cualquier instancia del MC-TTRP.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
La computación cuántica es un campo de la informática que utiliza principios de la física cuántica para la resolución de problemas de manera más eficiente que la computación clásica, especialmente en áreas como la optimización. Por otro lado, la bioinformática es un campo que combina elementos de la biología y la informática para analizar grandes conjuntos de datos biológicos. Un ejemplo destacado de esta disciplina es la genómica, que incluye la generación de árboles filogenéticos, herramientas clave para entender la evolución biológica de especies. La reconstrucción de estos árboles representa un problema computacional muy complicado de resolver por su complejidad. Este trabajo explora si la computación cuántica puede ofrecer soluciones efectivas para abordar dicho problema. En este contexto, se ha estudiado el funcionamiento de la computación cuántica y de los algoritmos cuánticos de optimización, haciendo énfasis en Quantum annealing y en el algoritmo cuántico de optimización aproximada (QAOA). Basándose en estos enfoques, se ha desarrollado un algoritmo cuántico capaz de reconstruir filogenias mediante el corte de grafos. El algoritmo propuesto fue implementado y probado en hardware cuántico disponible actualmente, obteniendo resultados satisfactorios que demuestran su potencial para resolver problemas complejos en el área de la bioinformática.

Dirección
Fernández Pena, Anselmo Tomás (Tutoría)
PICHEL CAMPOS, JUAN CARLOS Cotutoría

Tribunal
ARIAS RODRIGUEZ, JUAN ENRIQUE (Presidente/a)
Querentes Hermida, Raquel Esther (Secretario/a)
PIÑEIRO POMAR, CESAR ALFREDO (Vocal)

Resumen
Publicado en el año 1973, el modelo de Black-Scholes supuso un importante avance en la teoría de valoración de opciones financieras, ya que explicitaba una solución para el precio teórico de las opciones europeas. El objetivo de este trabajo es realizar una introducción a este modelo. El documento comienza explicando conceptos financieros básicos y, posteriormente, aborda los fundamentos matemáticos necesarios sobre los que se sustenta el modelo. Destacan el movimiento browniano geométrico y el Lema de Itô. A continuación, con el apoyo de estas herramientas, se deduce formalmente la ecuación diferencial de Black-Scholes para, seguidamente, presentar la fórmula explícita para opciones europeas. También se ejemplifica un caso práctico en el que se puede apreciar la utilidad de este modelo en situaciones reales. Por último, se presentan una serie de factores que limitan el modelo en escenarios reales actuales, así como se discuten posibles extensiones y modificaciones del mismo que se adapten a estas situaciones.

Dirección
AMEIJEIRAS ALONSO, JOSE (Tutoría)
GINZO VILLAMAYOR, MARIA JOSE Cotutoría

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
En este trabajo se presenta una revisión de los métodos estadísticos para el análisis de tablas de frecuencias. En primer lugar, se recuerdan las distribuciones de probabilidad de las variables discretas mas relevantes y relacionadas con las tablas de frecuencias: Binomial, Multinomial, Poisson e Hipergeométrica. Después, se hace un repaso de los conceptos fundamentales de la Inferencia Estadística y su aplicación a tablas de contingencia. Más adelante se estudian las tablas de contingencia bidimensionales, empezando por las tabls $2\times2$ y siguiendo con las tablas generales $I\times J$. Se revisan los test chi-cuadrado, de razón de verosimilitudes y exacto de Fisher. Además de ejemplos ilustrativos, se emplean métodos gráficos muy visuales, como los diagramas de barras apiladas, los gráficos de cuatro campos, los diagramas de tamiz y los diagramas de mosaico. Termina el trabajo con el estudio de las tablas de contingencia multidimensionales, que implican el estudio de tablas parciales y marginales, lo que culmina con los tests de Mantel-Haenszel y de Breslow-Day-Tarone. Las Odds-Ratios se muestran como una herramienta de gran utilidad para el análisis de las formas de asociación en una tabla de contingencia. El trabajo fue acompañado de ejemplos, así como de códigos en lenguaje R para la implementación de los métodos estadísticos que se fueron considerando.

Dirección
SANCHEZ SELLERO, CESAR ANDRES (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
Al considerar un conjunto de datos, podemos encontrarnos con observaciones independientes o con observaciones que presenten algún tipo de dependencia espacial o temporal, como es el caso de las series temporales. Al tener en cuenta esta dependencia, emerge naturalmente la teoría estadística del análisis de series temporales, en la que nos adentramos en las siguientes páginas. El objetivo de este trabajo es la descripción y comparación de los diferentes modelos y metodologías de análisis de series temporales. Partiendo de esa base, se comparan atendiendo a su rendimiento, sencillez, interpretabilidad y eficiencia computacional, llegando a la conclusión de que los modelos más adecuados varían en cada caso.

Dirección
PATEIRO LOPEZ, BEATRIZ (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
En este trabajo se aborda el fenómeno del Concept Drift, que se manifiesta en entornos dinámicos y no estacionarios, donde las relaciones estadísticas entre las variables del modelo varían con el tiempo, afectando al rendimiento de los algoritmos de aprendizaje automático. Como objetivo principal, se desarrolla una modificación del algoritmo KSWIN, perteneciente a la librería RiverML, basado en el contraste de Kolmogorov-Smirnov. La propuesta incorpora contrastes múltiples y la corrección de Benjamini-Hochberg, con el fin de mejorar la robustez estadística del test y reducir la tasa de falsos positivos. Se proponen diversas configuraciones del detector, orientadas tanto a la monitorización de datos procedentes de distribuciones continuas como a la evaluación de métricas de rendimiento. Para este último enfoque, se introduce un mecanismo para la identificación del tipo de drift, aplicando técnicas de inferencia no paramétrica. En el primer caso, se diseña un entorno de pruebas con datos generados artificialmente. En el segundo, se integra la comparativa desarrollada en un Trabajo de Fin de Grado del Grado en Ingeniería Informática, centrado en la evaluación de múltiples detectores presentes en la literatura. Los experimentos realizados muestran una reducción significativa en la tasa de falsos positivos sin comprometer la potencia del contraste, mejorando la eficacia del algoritmo original y otros detectores clásicos. Además, la capacidad de identificación del tipo de drift aporta un valor añadido a una de las configuraciones propuestas.

Dirección
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
En este trabajo se comparan distintas técnicas para la detección y adaptación del Concept Drift, un fenómeno que se manifiesta en entornos dinámicos y no estacionarios, donde las relaciones estadísticas entre las variables del modelo cambian con el tiempo, afectando en algunos casos a su rendimiento. El objetivo principal consiste en evaluar diversos detectores de drift presentes en la Literatura, junto con el análisis de diversas técnicas de adaptación tras la detección. El estudio se desarrolla sobre un entorno experimental con datasets artificiales que simulan distintos tipos de drift, aplicados sobre un modelo de clasificación. Se analizan algoritmos clásicos de la librería RiverML, en escenarios con y sin información previa del entorno, aplicando en el primer caso una optimización de hiperparámetros mediante un método novedoso basado en Random Search. Sobre KSWIN, uno de los algoritmos evaluados, se incorpora modificación desarrollada de forma complementaria en el Trabajo Fin de Grado en Matemáticas, que introduce técnicas estadísticas como contrastes múltiples y la corrección de Benjamini Hochberg para mejorar el proceso de detección, así como un sistema de identificación del tipo de drift mediante inferencia no paramétrica, considerado innovador en la Literatura. Los resultados ponen de manifiesto las fortalezas y limitaciones tanto de los detectores como de las estrategias de adaptación analizadas. Si bien algunos algoritmos, como HDDMW, muestran un buen rendimiento general, la elección del detector más adecuado depende en gran medida del caso de uso y del tipo de drift presente. Asimismo, la adaptación basada en mini batches ofrece un desempeño sólido frente al reentrenamiento periódico. Además, la modificación propuesta sobre KSWIN mejora al resto de detectores en cuanto a equilibrio entre falsos positivos y falsos negativos durante el proceso de detección, y sienta una base sólida en el método de identificación del tipo de drift.

Dirección
MERA PEREZ, DAVID (Tutoría)

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
LOPEZ FANDIÑO, JAVIER (Secretario/a)
VIDAL AGUIAR, JUAN CARLOS (Vocal)

Resumen
La resolución mediante separación de variables de, por ejemplo, la ecuación de ondas en un dominio espacial circular, nos lleva a las funciones de Bessel como funciones base para obtener las soluciones en series. En este TFG se trata de estudiar las funciones de Bessel, y otras funciones especiales, y mostrar su utilidad en la resolución de EDPs en dominios espaciales circulares o cilíndricos.

Dirección
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vocal)

Resumen
El seleniuro de cromo 1T CrSe2 es un material de van der Waals formado por capas covalentes fuertemente enlazadas en el plano y unidas entre sí por fuerzas débiles de van der Waals fuera de él. Estos sistemas exhiben un comportamiento intermedio entre el de electrones localizados, con momentos magnéticos bien definidos en cada núcleo atómico, y el de electrones itinerantes, deslocalizados a lo largo de bandas de conducción sin poder asignarles un momento neto a cada átomo. Para estudiar su orden magnético y sus inestabilidades electrónicas se llevaron a cabo cálculos ab initio mediante el código WIEN2k, utilizando el método FP LAPW lo y la aproximación de gradiente generalizado PBE. Primero se caracterizó la monocapa rígida 1 por 1: su estado fundamental resulta ferromagnético y su densidad de estados está dominada por orbitales t2g de Cr en el nivel de Fermi, indicio de inestabilidades electrónicas. Para capturar las ondas de densidad de carga asociadas a modos de Peierls se construyeron superceldas 2 por 2 y raiz(3) por raiz(3). La relajación de la celda 2 por 2 revela tetrámeros de Cr y un gap parcial propio de un mecanismo de Peierls unidireccional. La reconstrucción raiz(3) por raiz(3) trimeriza simultáneamente los tres orbitales t2g, abriendo pseudogaps por encima y por debajo del nivel de Fermi y dejando solo una banda plana residual. Dado que la DFT pura tiende a subestimar la interacción de Coulomb local, implementamos la corrección LDA U sobre los orbitales d de Cr. Para valores moderados de U se refuerza la apertura del pseudogap y se estabiliza aún más la fase CDW ferromagnética, mientras que un U excesivo provoca reordenaciones de subbandas que reintroducen picos de densidad de estados en EF.

Dirección
PARDO CASTRO, VICTOR (Tutoría)

Tribunal
MIRA PEREZ, JORGE (Presidente/a)
CID VIDAL, XABIER (Secretario/a)
MOSQUEIRA REY, JESUS MANUEL (Vocal)

Resumen
A lo largo de este trabajo se presenta una aplicación del modelo de aprendizaje supervisado Random Forest a datos deportivos. En concreto, a datos asociados a los equipos de la NBA en las últimas temporadas. En el primer capítulo se realiza una breve introducción a los algoritmos de aprendizaje supervisado haciendo especial énfasis en el dilema sesgo-varianza, problema fundamental en este tipo de modelos. A continuación, se realiza una descripción sistemática de los árboles de decisión. Estos son unos de los modelos más sencillos de aprendizaje supervisado, pero son piezas fundamentales en otros modelos más complejos como el Random Forest. En el Capítulo 3 se introduce el modelo Random Forest tal y como lo definió Leo Breiman en 2001. Además, se presentan unos resultados fundamentales relacionados con la reducción de su error relativo y su varianza. Finalmente, en el último capítulo se aplica el modelo Random Forest a datos de estadística avanzada de los equipos de la NBA. Se analizará tanto un caso de clasificación como uno de regresión. En ambos casos, se estudiará la dependencia de los modelos con sus hiperparámetros y se compararán los resultados con otros modelos habituales en este tipo de problemas.

Dirección
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
El objetivo principal de este trabajo es desarrollar un sistema automatizado para la detección y segmentación de glioblastomas, un tipo agresivo de tumor cerebral, en modelos animales (ratones y ratas) mediante imágenes de resonancia magnética preclínica (RM). Para ello, se emplean técnicas de aprendizaje supervisado con el fin de segmentar automáticamente el glioblastoma y calcular su volumen de forma precisa. En el Capítulo 3 se presenta el modelo U-Net, una red neuronal convolucional especializada en tareas de segmentación médica. Este modelo se entrena utilizando imágenes de RM de ratones con segmentaciones manuales (ground truth), con el objetivo de localizar automáticamente el glioblastoma en nuevas imágenes. Se explora el impacto de diferentes configuraciones de hiperparámetros y se evalúa el rendimiento del modelo mediante métricas específicas de segmentación. El Capítulo 4 aborda el desarrollo de modelos predictivos para estimar el volumen tumoral en ratones, a partir de las mismas imágenes utilizadas en el capítulo anterior. El proceso incluye la extracción de variables radiómicas, su comparación con las obtenidas previamente por la investigadora Sara Ortega, la selección de las variables más relevantes, y el entrenamiento de modelos de regresión. Nuevamente, se analizan distintas combinaciones de hiperparámetros para estudiar su influencia sobre la calidad de las predicciones. En el Capítulo 5, se replica el procedimiento anterior, esta vez empleando imágenes de ratas. Además, se lleva a cabo un análisis sobre el impacto del aumento del tamaño muestral en el rendimiento de los modelos predictivos, entrenando los algoritmos con distintas cantidades de datos. Finalmente, se consideró la posibilidad de construir un modelo para predecir la supervivencia de los animales a partir de las imágenes. Sin embargo, un análisis preliminar reveló que los datos disponibles eran insuficientes para obtener predicciones fiables, por lo que esta posibilidad se planteó como futura línea de investigación.

Dirección
IGLESIAS REY, RAMON (Tutoría)

Tribunal
Pérez Muñuzuri, Vicente (Presidente/a)
GALLAS TORREIRA, ABRAHAM ANTONIO (Secretario/a)
RODRIGUEZ GONZALEZ, JUAN ANTONIO (Vocal)

Resumen
Las ecuaciones de las aguas poco profundas tienen una importante presencia en hidráulica y en las ciencias medioambientales. Tener un modelo matemático sencillo que describa la realidad con precisión trae consigo grandes beneficios. Siguiendo esta motivación, este trabajo está dedicado a introducir las ecuaciones de las aguas poco profundas y su resolución, abordada tanto desde el punto de vista analítico como numérico. Se empieza estudiando las propiedades matemáticas del correspondiente sistema de leyes de conservación hiperbólicas para después obtener algunas soluciones particulares y finalmente abordar el diseño y validación de métodos numéricos para su resolución. El código Matlab desarrollado está basado en esquemas de volúmenes finitos de primer orden y permite resolver de modo aproximado el problema de Riemann clásico.

Dirección
VAZQUEZ CENDON, MARIA ELENA (Tutoría)
BUSTO ULLOA, SARAY Cotutoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
La investigación de la teoría de superficies minimales, aún plenamente vigente, comenzó en el siglo XVIII con valiosas contribuciones de ilustres matemáticos como L. Euler o J. Lagrange. Iniciamos este trabajo recogiendo los primeros acercamientos y definiciones, a veces desde distintas perspectivas -como la física, la geométrica o la analítica- de las superficies minimales. Uno de los avances más significativos en esta materia sucedió entre 1861 y 1864 con la incorporación del Análisis Complejo al estudio de las superficies minimales, culminando en lo que hoy conocemos como Representación de Weierstrass-Enneper, que también tratamos en este texto. Por último, pasamos a estudiar una de las principales herramientas en el contexto de la teoría de superficies: el Principio del máximo. Este resultado permite comparar y distinguir superficies a través del análisis de sus respectivas curvaturas medias.

Dirección
SANMARTIN LOPEZ, VICTOR (Tutoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
Na Estatística, un dos obxectivos principais é estimar o valor dun parámetro que caracteriza unha poboación. Así mesmo, interesa estudar as propiedades desas estimacións como, por exemplo, a incerteza asociada ao estimador. Iso é o que pretende o método jackknife, sobre o cal xurdiu o método bootstrap como unha versión mellorada. O bootstrap uniforme, que é a versión máis sinxela, resulta útil nun contexto onde a distribución poboacional é totalmente descoñecida e só dispoñemos da mostra. Con todo, cando se coñecen certas propiedades da distribución subxacente, poden empregarse outras variantes con mellores resultados que o uniforme. Neste traballo expóñense os distintos procedementos bootstrap así como os algoritmos asociados en combinación co método Monte Carlo. Actualmente, as aplicacións do bootstrap son moi numerosas. Unha das máis relevantes é a construción de intervalos de confianza para distintos parámetros. Neste traballo compáranse, segundo o seu erro de cobertura, o método baseado na Normal asintótica e tres variantes do bootstrap: o método percentil básico, o percentil-t e o percentil-t simetrizado. Estes tres procedementos, cuxa construción se fundamenta no método pivotal, diferéncianse na definición do pivote empregado, destacando que o pivote estudentizado en valor absoluto usado no percentil-t simetrizado, proporciona intervalos de confianza máis precisos.

Dirección
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
El análisis de datos funcionales es la rama de la estadística que tiene por objeto el estudio de funciones como objetos probabilísticos, expandiendo la visión tradicional ocupada únicamente con escalares o vectores. El objetivo de este trabajo es proporcionar una introducción a la estadística de los datos funcionales, estableciendo sus bases teóricas y prestando especial atención al análisis de la regresión. Se formulan dos modelos de regresión lineal funcional, según el carácter escalar o funcional de la respuesta, y se presentan distintas técnicas de estimación y contraste de significación aplicables a cada uno de los modelos.

Dirección
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
La motivación de este trabajo se basa en un problema concreto y muy importante que hubo que resolver hace unos años y que dejó al mundo paralizado: la crisis de la COVID. La distribución inicial de las mascarillas es fundamental para limitar la expansión del virus, por lo que los distintos estados tuvieron que afrontar un problema de reparto por su territorio de un bien escaso. En este trabajo se estudia el problema de bancarrota, un modelo clásico que puede estudiarse por sí mismo o dentro de la teoría de juegos, y que representa situaciones en las que un conjunto de agentes reclama más de lo que hay disponible de un recurso limitado. Este tipo de problemas surge en numerosos contextos sociales y económicos, donde es necesario repartir un bien escaso entre diferentes partes interesadas, como la geopolítica, la economía empresarial, la gestión de bienes públicos... El objetivo principal del trabajo es realizar una revisión bibliográfica de las distintas soluciones propuestas para este tipo de situaciones, estudiando sus propiedades matemáticas, su justificación conceptual y sus aplicaciones potenciales, ya sea utilizando modelos existentes de teoría de juegos o creando modelos específicos. Se analizan reglas como la división proporcional, la solución del Talmud, el valor de Shapley, las reglas de prioridad o las reglas geométricas, entre otras, comparando sus comportamientos en términos de equidad, consistencia y eficiencia, y todo ello aplicado al caso práctico.

Dirección
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
Las funciones L son funciones definidas en el plano complejo que permiten obtener información aritmética a partir de propiedades analíticas como la localización de sus ceros, polos o el cumplimiento de cierta ecuación funcional. Además, nos permiten conectar objetos de naturaleza distinta como las curvas elípticas, de naturaleza geométrica, y las formas modulares, de naturaleza analítica, a través del teorema de modularidad que establece una correspondencia entre ambos a través de sus funciones L asociadas. En este trabajo nos centraremos en el estudio de las funciones L asociadas a generalizaciones de las formas modulares, las llamadas formas automorfas, y a las representaciones de Galois. En particular, comenzaremos introduciendo las representaciones de Galois y sus conexiones con las curvas elípticas y formas modulares. Luego, pasaremos a estudiar las formas y representaciones automorfas comenzando con el caso de GL2 donde se introducirán las técnicas para establecer ecuaciones funcionales de sus funciones L asociadas trabajadas en la tesis de Tate. En los dos siguientes capítulos se generalizarán estos conceptos para el caso general de un grupo algebraico reductivo cualquiera. Todo esto se estudiará enmarcándolo dentro del programa de Langlands que generaliza la conexión entre curvas elípticas y formas modulares a un contexto más general.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Tutoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
Dado un sistema cuántico en el que queremos modificar algún parámetro de control sin que exista un cambio en su nivel de energía el teorema adiabático nos permite hacerlo. A cambio, la velocidad a la que se realiza este cambio ha de ser lo suficientemente pequeña. Esto conlleva una mayor vulnerabilidad del sistema a efectos como el ruido o la decoherencia que hacen que el sistema pierda sus propiedades cuánticas. Con el objetivo de solventar esta dificultad se diseñan los métodos conocidos como atajos a la adiabaticidad que nos permiten acelerar el tiempo de preparación del sistema sin tener que depender del teorema adiabático. En particular, en este trabajo nos centraremos en el método conocido como Counterdiabatic Driving(CD) basado en introducir un término adicional en el hamiltoniano que evite las transiciones entre autoestados instantáneos. Primero, motivaremos y daremos el enunciado preciso del teorema adiabático. Luego, introduciremos el formalismo del CD y lo aplicaremos a varios sistemas simples. Finalmente, se dará una breve introducción a otros atajos a la adiabaticidad y sus limitaciones.

Dirección
Vázquez Ramallo, Alfonso (Tutoría)

Tribunal
Pérez Muñuzuri, Vicente (Presidente/a)
GALLAS TORREIRA, ABRAHAM ANTONIO (Secretario/a)
RODRIGUEZ GONZALEZ, JUAN ANTONIO (Vocal)

Resumen
Dentro del campo de la teoría de juegos, los juegos de mayoría ponderada desempeñan un papel fundamental en el análisis de votaciones en parlamentos y comités. En este trabajo, se presenta esta clase de juegos, centrándose en el estudio de los índices de poder. Este es un concepto de solución que asigna una medida de influencia o poder a los jugadores en el proceso de votación. Entre los índices de poder existentes en la literatura, se estudiarán Shapley-Shubik, Banzhaf, Johnston, Colomer-Martínez y Johnston-Colomer-Martínez. Se analizarán las propiedades que cumplen y se ilustrarán con ejemplos prácticos. Con el objetivo de facilitar el cómputo de estos índices, se desarrollarán métodos basados en funciones generatrices, herramientas del análisis combinatorio que permiten obtener, mediante polinomios, los elementos necesarios para su cálculo. Además, se modelará una nueva situación al considerar que los jugadores implicados pueden aliarse formando agrupaciones, dando lugar a los denominados juegos con estructura coalicional. Para este tipo de juegos, se introducirán dos nuevos índices de poder: los índices de Owen y Banzhaf-Owen, junto con métodos para su cálculo basados también en funciones generatrices. Finalmente, se aplicarán estos conceptos en un caso práctico: el análisis del Parlamento español. Se estudiarán los cambios en la distribución de poder de los partidos políticos entre las elecciones generales de noviembre de 2019 y julio de 2023, así como las consecuencias de los movimientos de diputados entre grupos parlamentarios a lo largo de la XV Legislatura. Para llevar a cabo estos cálculos, se utilizará la librería powerindexR en el software estadístico R.

Dirección
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotutoría

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vocal)

Resumen
El estudio del comportamiento cualitativo de las ecuaciones diferenciales busca obtener propiedades de las soluciones sin necesidad de conocerlas explícitamente. Este enfoque cobra especial relevancia cuando se incorporan parámetros en la ecuación, pues pequeñas variaciones en ellos pueden suponer cambios muy significativos, influyendo en el número de puntos singulares, en su estabilidad o en la aparición de soluciones oscilatorias. Esta es la idea de la teoría de las bifurcaciones, en la que se profundizará mediante los ejemplos más típicos en una y dos dimensiones: las bifurcaciones tangenciales, transcríticas, tridentes y de Hopf. Para cada una de ellas se explorará el comportamiento cualitativo de una ecuación tipo, para continuar realizando un estudio genérico en el que se obtendrán condiciones que la caracterizan.

Dirección
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Tutoría)
LOIS PRADOS, CRISTINA Cotutoría

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vocal)

Resumen
El clustering es una técnica estadística no supervisada que busca identificar automáticamente grupos homogéneos de observaciones dentro de un conjunto de datos. Su utilidad se ha consolidado en múltiples disciplinas, especialmente en el contexto actual de generación masiva de datos, gracias a su capacidad para identificar grupos en datos complejos y de alta dimensión. Aunque tradicionalmente se han utilizado métodos heurísticos como k-medias o técnicas jerárquicas, estos enfoques presentan limitaciones, como la falta de una base teórica sólida o la dificultad para determinar el número óptimo de grupos. En contraste, el clustering basado en modelos (Model-Based Clustering, MBC) ofrece una alternativa estadísticamente fundamentada al modelar los datos como una mixtura finita de distribuciones de probabilidad. Este enfoque permite realizar inferencias rigurosas, seleccionar modelos apropiados, elegir el número de grupos de manera justificada y evaluar la incertidumbre en la asignación de observaciones. En este trabajo, se presentan los fundamentos teóricos del clustering basado en modelos, con un enfoque en los modelos de distribuciones gaussianas, que son los más utilizados, así como el algoritmo EM para la estimación de parámetros y criterios de selección de modelos, incluyendo la elección del número de clústeres. Además, se presentan ejemplos prácticos utilizando el paquete mclust en R.

Dirección
AMEIJEIRAS ALONSO, JOSE (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
Este trabajo se centra en la optimización de modelos de visión-lenguaje (VLMs) aplicados a tareas de pregunta/respuesta visual (VQA) sobre vídeos con objetos pequeños, un escenario que plantea importantes retos computacionales debido al elevado número de tokens visuales irrelevantes que se generan. Para abordar este problema, se propone un método basado en la integración de un detector que identifica regiones visuales relevantes en los fotogramass del vídeo, lo que permite filtrar los tokens visuales asociados al fondo generados por el módulo de visión (ViT) antes de ser procesados por el modelo de lenguaje (LLM). Los resultados experimentales muestran que este filtrado permite eliminar una gran proporción de tokens visuales, lo que conlleva una notable reducción de la complejidad computacional del modelo de lenguaje y, en consecuencia, una disminución en la complejidad total del sistema, sin comprometer el rendimiento. Asimismo, se observa una mejora en el tiempo de ejecución del LLM, lo que contribuye a una mayor eficiencia en el procesamiento textual. Sin embargo, el impacto sobre el tiempo total de inferencia está condicionado por el ViT, que sigue representando el principal cuello de botella debido al procesamiento de imágenes en alta resolución, así como por el coste computacional adicional del detector utilizado. Este trabajo valida el uso de técnicas de filtrado como una estrategia eficaz para mejorar la eficiencia de los VLMs y abre nuevas líneas de investigación dirigidas a optimizar también el procesamiento visual, así como a explorar detectores más ligeros.

Dirección
MUCIENTES MOLINA, MANUEL FELIPE (Tutoría)
CORES COSTA, DANIEL Cotutoría

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
LOPEZ FANDIÑO, JAVIER (Secretario/a)
VIDAL AGUIAR, JUAN CARLOS (Vocal)

Resumen
El trabajo principalmente consistirá en el análisis exhaustivo de problemas de optimización combinatoria, en particular, de tres de ellos: problema de flujo en redes, problema de la mochila y el problema del viajante de comercio. A este último le acompañará una simulación práctica aplicada a la realidad, de modo que se analizará la eficiencia de sus principales heurísticos.

Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
En este trabajo presentaremos diferentes algoritmos empleando el método de diferencias finitas para resolver ecuaciones en derivadas parciales (EDPs) parabólicas. Estos métodos estarán orientados para simular una aplicación en transferencia de biocalor. Se comenzará con la formalización del modelo parabólico, para posteriormente centrarse en un caso específico de gran relevancia en bioingeniería: la ecuación de Pennes. Se presentará el método de diferencias finitas como herramienta de discretización, junto a formulaciones en coordenadas alternativas. Acto seguido, se desarrollarán y analizarán cuatro algoritmos clásicos: los métodos explícito, implícito, Crank-Nicolson y el método de líneas. Para cada uno se detallará su formulación, análisis numérico, implementación en MATLAB y validación frente a soluciones conocidas. Finalmente, se aplicará el modelo a un caso real de tejido mamario con quiste, validando los resultados obtenidos y discutiendo su utilidad práctica.

Dirección
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Tutoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Tutor del alumno)

Resumen
En este trabajo se estudia un modelo de ecuaciones diferenciales, que refleja la variación del volumen celular provocado por diferentes aspectos biológicos. En primer lugar, recordaremos conceptos básicos relacionados con las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y, seguidamente, introduciremos el concepto de grado de Brouwer y algunas de sus principales propiedades. Veremos también como se ajusta el modelo a diferentes tipos de células y como varían sus parámetros. Además, estudiaremos la estabilidad de nuestro modelo ayudándonos de casos particulares. Por último, se estudiará la posibilidad de que el modelo tenga soluciones T-periódicas no triviales a través de diferentes resultados que se ilustrarán con algunos ejemplos.

Dirección
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Tutoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vocal)

Resumen
Este trabajo aborda la solución numérica de ecuaciones polinómicas mediante métodos computacionales. El objetivo principal es describir y aplicar técnicas para acotar, localizar y aproximar raíces de polinomios con coeficientes reales y complejos. Se desarrollan de forma teórico práctica métodos clásicos como el esquema de Horner para evaluación eficiente de polinomios y derivadas, los métodos de acotación (Lehmer Schur para raíces complejas; Laguerre Thibault, Newton y Sturm para raíces reales) y los algoritmos de aproximación (Newton, Bernoulli, Bairstow, Graeffe Lobachevsky). Estos estos últimos con código desarrollado en MATLAB. Se demuestra que la elección del método depende críticamente de la naturaleza del polinomio: multiplicidad de raíces, separación entre ellas y presencia de raíces complejas. Los experimentos numéricos revelan, entre otros resultados, que el método de Newton con deflación es robusto para raíces simples, el método de Bairstow es óptimo para raíces complejas conjugadas evitando aritmética compleja y el método de Bernoulli converge rápidamente para raíces dominantes simples, pero es sensible a elecciones iniciales. El trabajo incluye códigos MATLAB verificados para todos los algoritmos de aproximación de raíces, validados con polinomios de prueba. Las conclusiones destacan la importancia de combinar métodos analíticos (separación de raíces) con numéricos para garantizar precisión.

Dirección
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Tutoría)

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vocal)

Resumen
Los datos espaciales representan localizaciones geográficas cuyo análisis permite detectar posibles patrones y estructuras en el espacio. En este Trabajo de Fin de Grado se presenta una introducción a la estimación no paramétrica de la densidad bidimensional, centrada en el uso del estimador tipo núcleo, con el fin de obtener representaciones suaves de la distribución espacial de los datos. Los diferentes métodos serán ilustrados mediante la implementación de códigos en R, aplicados a datos reales de casos y controles de leucemia registrados en el noroeste de Inglaterra. El objetivo principal es identificar posibles agrupaciones espaciales significativas que puedan contribuir a la comprensión de los patrones epidemiológicos observados.

Dirección
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
En este trabajo de fin de grao, enmarcado en el área de conocimiento del Análisis Matemático, se aborda el problema abierto de la caracterización de centros globales en sistemas dinámicos polinomiales. Tras una recopilación de resultados básicos del análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales se introduce el concepto de centro local y global, clasificándolos en función do su sistema linealizado. Dado que el problema es muy amplio, el estudio se centró en la búsqueda de centros nilpotentes en sistemas homogéneos de grado 5 que presentasen ciertas propiedades de simetría. También se consideraron sistemas hamiltonianos. Comprobar el carácter global de los centros requiere conocer el comportamiento de las órbitas en el infinito del plano euclídeo. Para afrontarlo se recurre a la compactificación de Poincaré, que proyecta el campo definido en R2 en una esfera y permite identificar los puntos en el infinito con la línea del ecuador. Finalmente, para comprender la estructura local de algunas singularidades, se utilizaron las denominadas transformaciones blow up, que expanden el punto singular a lo largo de una recta y facilitan su estudio.

Dirección
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Tutoría)
Diz Pita, Érika Cotutoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
Este trabajo estudia el método de Newton aplicado a sistemas de ecuaciones no lineales, así como su variante discretizada, en la cual las derivadas se aproximan mediante diferencias finitas. Se comienza con la presentación del método en una variable para facilitar la comprensión y luego se generaliza al caso multidimensional. La parte teórica incluye un análisis detallado de la convergencia local de ambos métodos. Finalmente, se implementan ambos métodos en MATLAB y se ilustran sus propiedades mediante tres ejemplos numéricos.

Dirección
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Tutoría)

Tribunal
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Tutor del alumno)

Resumen
El estudio de series de tiempo constituye una herramienta fundamental en el análisis de datos que evolucionan a lo largo del tiempo, permitiendo modelar y predecir fenómenos en campos como la economía, la meteorología, la ingeniería o las ciencias sociales. Este Trabajo Fin de Grado aborda el análisis de series de tiempo desde una perspectiva estadística clásica, considerando que las series observadas son realizaciones de procesos estocásticos. Se presentan en detalle los modelos autorregresivos (AR), de medias móviles (MA), mixtos (ARMA), integrados (ARIMA) y estacionales (SARIMA), explicando su formulación matemática, los métodos de estimación de sus parámetros y las técnicas de predicción asociadas. Asimismo, se propone una metodología para el análisis de series de tiempo, la cual será empleada en el análisis de dos series de tiempo reales. Además, se incluye un estudio de simulación para ilustrar y evaluar los procesos de estimación y predicción de los modelos.

Dirección
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
En el área del sensado remoto, existe gran interés en recopilar información de cobertura terrestre para identificar y clasificar los diferentes tipos de superficies presentes en el suelo, como áreas con vegetación, cuerpos de agua, suelos urbanos, pastizales, bosques o áreas agrícolas, entre otros. Por otra parte, la segmentación semántica de imágenes permite asignar una etiqueta a cada píxel de la imagen, clasificándolos en diferentes categorías o clases específicas, lo que facilita la interpretación y el análisis de imágenes satelitales o aéreas. El uso de técnicas de aprendizaje profundo ha demostrado ser eficaz en el ámbito de la visión por computador, concretamente en las tareas de segmentación semántica. No obstante, estos modelos son muy costosos computacionalmente, y suelen requerir el uso de hardware especializado y técnicas de optimización para mejorar la eficiencia y viabilidad del entrenamiento y la inferencia. En este Trabajo de Fin de Grado se persigue probar diferentes modelos con arquitectura codificador-decodificador, tratando de mejorar la eficiencia y viabilidad de los entrenamientos incluso con grandes cantidades de datos. De las técnicas de paralelismo existentes para entrenamientos multiGPU, se usará el paralelismo de datos, seleccionando un módulo de PyTorch que lo implemente de manera eficiente. Además, usando precisión mixta en punto flotante de 16 bits se consigue reducir el uso de memoria y aprovechar mejor el hardware de las GPUs, realizando el entrenamiento en la mitad de tiempo sin que la calidad de la segmentación se vea afectada.

Dirección
Argüello Pedreira, Francisco Santiago (Tutoría)
Blanco Heras, Dora Cotutoría

Tribunal
ARIAS RODRIGUEZ, JUAN ENRIQUE (Presidente/a)
Querentes Hermida, Raquel Esther (Secretario/a)
PIÑEIRO POMAR, CESAR ALFREDO (Vocal)

Resumen
Una álgebra de evolución sobre un cuerpo es una álgebra dotada de una base que verifica que el producto de cualquier par de elementos distintos de la base siempre es nulo. Las álgebras de evolución idempotentes de dimensión finita tienen la propiedad de que su grupo de automorfismos es finito y admite una representación mediante permutaciones. En el contexto del problema de realización de grupos surge la pregunta natural de si toda representación mediante permutaciones de un grupo finito puede realizarse a través de un álgebra de evolución idempotente de dimensión finita. En este trabajo se introduce la teoría necesaria para comprender el problema y se tratan los resultados principales que aparecen en la literatura.

Dirección
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Tutoría)
FERNANDEZ RODRIGUEZ, ROSA Mª Cotutoría

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
El método de sub y sobresoluciones ha sido objeto de estudio desde la última década del siglo XIX, debido a su eficacia en el análisis de ecuaciones diferenciales no lineales. Este enfoque permite establecer la existencia de soluciones sin necesidad de resolver explícitamente el problema. En este trabajo se presenta, en primer lugar, la aplicación del método de sub y sobresoluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con condiciones de periodicidad. Se demuestran distintos resultados de existencia de solución, que, además, garantizan que dicha solución o soluciones están entre la sub y sobresolución. Posteriormente, se expone el método monótono, una técnica constructiva basada en funciones de Green y en la elección adecuada de un par de sub y sobresoluciones. A diferencia del caso anterior, este método se aplica a ecuaciones diferenciales ordinarias de orden arbitrario y bajo condiciones de contorno generales, no necesariamente periódicas. El procedimiento genera sucesiones monótonas, dadas como las únicas soluciones de correspondientes problemas lineales asociados, que convergen hacia las soluciones extremales localizadas entre la sub y la sobresolución, del problema no lineal estudiado.

Dirección
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Tutoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
Esta tesis explora los fundamentos matemáticos de la inteligencia artificial, centrándose en las redes neuronales y sus líneas de investigación. Comienza con un análisis detallado de las redes neuronales, cubriendo conceptos fundamentales como la arquitectura y el entrenamiento, así como temas de investigación como la expresividad, la optimización, la generalización y la explicabilidad. Se introduce la dimensión de Vapnik-Chervonenkis (VC) como marco teórico para cuantificar la capacidad de los modelos, ofreciendo información sobre su capacidad de generalización y sus limitaciones. Para abordar la maldición de la dimensionalidad, la tesis analiza técnicas de reducción de dimensionalidad, como el análisis de componentes principales (PCA) y el análisis discriminante lineal (LDA), mostrando su papel en la mejora de la eficiencia de los modelos sin sacrificar el rendimiento. Por último, se evalúan las capacidades matemáticas de los grandes modelos lingüísticos como GPT. A partir de ejemplos de tareas de razonamiento y resolución de problemas, este trabajo investiga cómo estos modelos procesan y generan resultados matemáticamente rigurosos.

Dirección
Nieto Roig, Juan José (Tutoría)

Tribunal
Nieto Roig, Juan José (Tutor del alumno)

Resumen
Este trabajo fin de grado se centra en la aplicación de modelos de lenguaje de última generación, como GPT-4 y LlaMa 3, al etiquetado de documentos relacionados con temas de salud en el contexto del proyecto TREC. El objetivo principal es evaluar la posibilidad de sustituir las anotaciones realizadas por expertos humanos por etiquetas generadas con LLMs. El área de estudio de la Recuperación de la Información requiere de conjuntos de datos etiquetados de gran tamaño, que son llevados a cabo por etiquetadores humanos expertos, lo que tiene un alto coste en tiempo y dinero. Si se comprueba que estas etiquetaciones humanas pueden ser sustituidas por unas generadas automáticamente, supondría un gran avance en la generación de datasets de alta calidad. En el presente trabajo se llevará a cabo el etiquetado de los mismos documentos web que fueron etiquetados por humanos; esto nos sirve para analizar discrepancias entre las etiquetas humanas y las generadas por los modelos. También se estudió el efecto que tienen las instrucciones indicadas al modelo de lenguaje sobre la precisión del etiquetado. Basamos nuestra metodología en una publicación llevada a cabo por investigadores de Micorsoft, en la que se lleva a cabo un etiquetado de la relevancia de cada documento. Los resultados obtenidos en thomas2024 fueron muy satisfactorios y se implementaron en Bing por su mejora en tiempo, coste y calidad comparado con etiquetadores. de crowdsourcing. Nuestros resultados suponen un avance respecto a esta publicación anterior, ya que llevamos a cabo un etiquetado de características más complejas como la correctitud médica y la credibilidad. Los resultados obtenidos en nuestro trabajo resultaron en algunos casos muy similares a los de Paul Thomas et al, por lo que los consideramos suficientemente positivos como para sustituir las etiquetas humanas.

Dirección
Losada Carril, David Enrique (Tutoría)
FERNANDEZ PICHEL, MARCOS Cotutoría

Tribunal
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Presidente/a)
LOPEZ FANDIÑO, JAVIER (Secretario/a)
VIDAL AGUIAR, JUAN CARLOS (Vocal)

Resumen
En este trabajo se realiza una introducción a la geoestadística, centrándose especialmente en el concepto de variograma, estructura que cuantifica la dependencia espacial, y el método de interpolación espacial Kriging. Para ello se exponen las bases teóricas de la dependencia espacial como fundamento para el desarrollo del variograma, incluyendo la concepción experimental pero también teórica del mismo, así como los distintos modelos existentes y razones por las que puede no modelizar correctamente la dependencia espacial. A continuación se presenta la teoría detrás del método de interpolación Kriging, junto con las diferentes variantes del modelo: el ordinario, el universal y el multivariante. Finalmente, se presenta un caso práctico que plasma la utilidad de estos conceptos con el fin de modelar, mediante las librerías gstat y sm de R, la interpolación de los contaminantes SO2, PM10 y NOx en el territorio gallego.

Dirección
FEBRERO BANDE, MANUEL (Tutoría)

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vocal)

Resumen
Este trabajo realiza una aproximación a algunas de las ideas que se desarrollaron durante la exploración y posterior demostración del último teorema de Fermat. Comenzando por los casos n=3 y n=4, se trabajarán algunos aspectos relativos a la aritmética de los cuerpos de números. La parte central de la memoria se dedica al estudio de la demostración del teorema de Fermat para primos regulares. Finalmente, realizamos un breve acercamiento a algunas de las ideas desarrolladas en el S.XX en torno al concepto de modularidad, que permitirían la demostración del resultado realizada por Andrew Wiles en los años 90.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Tutoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
El problema de comparación de poblaciones se encuadra dentro de la Inferencia Estadística y tiene como finalidad detectar diferencias entre distintos grupos. Este trabajo comienza con una introducción a la problemática de este, seguida de un capítulo dedicado a la presentación de conceptos básicos de la Estadística que van a ser necesarios para la correcta comprensión de todo el documento, entre los cuales cabe destacar los contrastes de hipótesis. A continuación, se explica detalladamente el problema de comparación de poblaciones, donde se trabaja con la comparación de medias, de varianzas y de funciones de distribución. Por un lado, se distinguirá si se estudian dos o más de dos poblaciones y por otro, se diferenciará entre métodos paramétricos, que asumen la hipótesis de normalidad y entre los que se encuentra el test t, de los no-paramétricos, que no suponen condición alguna sobre las poblaciones de interés. También se incluyen dos pruebas para comprobar la hipótesis de normalidad: la de Lilliefors y la de Shapiro-Wilk; así como pruebas para contrastar la igualdad de varianzas como la de Levene. Finalmente, se emplean las herramientas teóricas detalladas con anterioridad para analizar una base de datos sobre incendios forestales ocurridos en Galicia en el año 2006 a través del programa R.

Dirección
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
Uno de los problemas clásicos que impulsó importantes avances en álgebra es el Problema Inverso de Galois, propuesto por Hilbert en 1892. Inspirado por este problema y siguiendo una lógica similar, surge a comienzos del siglo XX el problema de realización de grupos, que plantea una cuestión aparentemente sencilla: dada una categoría C y un grupo G, ¿existe algún objeto de C cuyo grupo de automorfismos sea isomorfo a G? Cuando esto ocurre para todo grupo (finito), se dice que la categoría es (finitamente) universal. Uno de los primeros avances en este ámbito se debe a R. Frucht, quien en 1939 demostró que la categoría de los grafos simples finitos es finitamente universal. Desde entonces, el problema ha sido estudiado en diversas categorías y sigue siendo, a día de hoy, un tema de interés en la investigación en álgebra. El objetivo de este trabajo es introducir el problema de realización de grupos, presentar las herramientas más relevantes para su estudio y aplicar estas técnicas para abordar, por primera vez en la literatura, la universalidad finita de la categoría de los anillos de fusión, estructuras algebraicas que surgen de forma natural tanto en álgebra como en ciertos contextos de la física teórica dentro del marco actual de investigación.

Dirección
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Tutoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
El objetivo de este trabajo es estudiar los grupos finitos de orden menor o igual que 30, agrupándolos en distintas categorías según su estructura en factores primos, empleando fundamentalmente técnicas como la Teoría de Sylow. También introduciremos nuevas herramientas para completar nuestro estudio como el producto semidirecto. Normalmente, el análisis de los diferentes grupos se hará para el caso general y luego para los órdenes concretos, pero, si la tarea es complicada en el caso general, el estudio se centrará solamente en el caso concreto, del que se procurará llevar a cabo un profundo estudio.

Dirección
FERNANDEZ RODRIGUEZ, ROSA Mª (Tutoría)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA Cotutoría

Tribunal
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Tutor del alumno)
FERNANDEZ RODRIGUEZ, ROSA Mª (Tutor del alumno)

Resumen
En este Trabajo Fin de Grado se presentan dos de los algoritmos cuánticos más importantes, el de factorización de Shor y el de búsqueda de Grover. Previamente, se detallan las bases de este tipo de computación desde un enfoque puramente matemático. Más concretamente, se desarrollan el concepto de p-cúbit y las operaciones que se pueden llevar a cabo entre ellos mediante puertas lógicas. Además, se presentan subrutinas como el cálculo de la transformada de Fourier cuántica y el algoritmo cuántico de estimación de fase, clave en múltiples algoritmos cuánticos. Por último, se lleva a cabo un estudio pormenorizado de los dos algoritmos antes mencionados, acompañado de interpretaciones geométricas y ejemplos para facilitar su comprensión.

Dirección
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Tutoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
En este Trabajo Fin de Grado se estudiará la presencia de las figuras femeninas en las matemáticas a lo largo de la historia, así como sus aportaciones a los distintos campos de esta ciencia, profundizando especialmente en la obra de cinco mujeres de los últimos siglos. Para conseguir este objetivo, se comenzará con una introducción sobre la historia de las matemáticas en la que se resaltarán los aspectos más relevantes, aportando a su vez una idea del contexto sociopolítico de las distintas épocas. Se continuará con una enumeración de los motivos detrás del silenciamiento de las mujeres en esta historia, muchos de los cuales se verán reflejados posteriormente en las biografías que conforman los capítulos de este trabajo. En cada capítulo se expondrá una breve biografía de las mujeres escogidas para, a continuación, ahondar en sus trabajos y destacar la importancia de estos en el desarrollo de la ciencia. Entre las obras, resultados y conceptos analizados, se encuentran Observaciones de pasos por dos verticales, primera tesis en astronomía realizada por una mujer española; el Teorema de Cauchy Kovalevskaya, de gran utilidad en el contexto de las ecuaciones en derivadas parciales; la definición de anillo noetheriano, fundamental en el álgebra conmutativa; y el método de ramificación y acotación, esencial en el campo de la investigación operativa.

Dirección
Diz Pita, Érika (Tutoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotutoría

Tribunal
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Presidente/a)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Secretario/a)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Vocal)

Resumen
Un trabajo de investigación centrado en las curvas algebraicas se puede entender como el primer paso a dar para adentrarse en el contexto de las variedades. El enfoque geométrico desde el que se examinan constituye una importante motivación de ciertos fundamentos y teoremas del Álgebra conmutativa. Mediante el conocimiento obtenido en cursos elementales de teoría de anillos y de teoría de números, se pueden establecer desde cero las bases de la Geometría algebraica. Una vez expuestas las nociones de variedades afines y proyectivas, es habitual introducir el concepto de punto singular. La idea clave para su estudio es preguntarse qué anillos nos dan información local de las curvas y, avanzando en el sentido de la cuestión anterior, si sería posible llegar a ejemplos de curvas sencillas que preserven las propiedades de otras más complejas.

Dirección
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Tutoría)
ALVITE PAZO, RAUL Cotutoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
En este Trabajo Fin de Grado presentaremos los conceptos básicos de la teoría de las C*-álgebras de la mano de Galina Dmítrievna Lugovaia y Anatoli Nikoláievich Sherstniov, así como resolveremos los ejercicios propuestos por estos. Empezaremos introduciendo las álgebras de Banach, estudiando sus propiedades tanto algebraicas como topológicas y culminando con la Representación de Gelfand, que las relaciona con los espacios de funciones continuas. Seguidamente, estudiaremos el caso particular de las C*-álgebras, de gran interés en el área del análisis funcional. Analizaremos su estructura y conceptos más importantes: elementos positivos, identidades aproximadas, morfismos, estados...

Dirección
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Tutoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
Este trabajo hace un repaso de algunos contrastes de especificación basados en la función de distribución y en la función de densidad para muestras de datos completos y muestras de datos con censura aleatoria por la derecha. Se explica lo que es un contraste de especificación y cuáles son sus elementos. Se propone un estimador no paramétrico de la función de distribución para muestras de datos completos, se estudian sus propiedades y se plantean contrastes sobre la distribución utilizando distintas distancias. Se comenta la estimación no paramétrica de la función de densidad para muestras de datos completos y algunos contrastes sobre la misma. Se introduce el campo del Análisis de la Supervivencia, parándose en las funciones más importantes para estudiar tiempos de vida y en los modelos paramétricos más comunes; así como el fenómeno de la censura, haciendo hincapié en la censura aleatoria por la derecha. Se propone una estimación no paramétrica de la función de distribución para el caso de datos con censura aleatoria por la derecha y se comenta cómo se puede obtener una estimación paramétrica; además, se sugiere una adaptación de los contrastes vistos para datos completos. Se proporciona una estimación no paramétrica de la función de densidad para datos con censura aleatoria por la derecha y un contraste basado en ella. Se estudia una estimación no paramétrica y continua de la función de distribución para datos con censura aleatoria por la derecha y un contraste utilizándola.

Dirección
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Tutoría)
VIDAL GARCIA, MARIA Cotutoría

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
Un sistema dinámico no es más que un sistema de ecuaciones que varían con el tiempo: si este recorre los números reales, hablaremos de sistemas dinámicos continuos; cuando toma valores enteros, se llamarán sistemas dinámicos discretos. El objetivo de este trabajo es hacer una introducción teórica a los sistemas dinámicos para más tarde estudiar los dos casos particulares existentes. Veremos como los sistemas dinámicos continuos se pueden considerar equivalentes a las ecuaciones diferenciales ordinarias gracias al Teorema de Existencia Global. Además, estudiaremos los diferentes tipos de conjuntos atractores o repulsores que definen sus retratos de fases. Por otra parte, abordaremos los sistemas dinámicos discretos de una manera más gráfica, hablando sobre puntos periódicos e hiperbólicos. Luego, nos centraremos en un ejemplo concreto (la familia cuadrática) y, para finalizar, introduciremos el concepto de caos.

Dirección
LOPEZ SOMOZA, LUCIA (Tutoría)

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
En este trabajo se estudian los árboles de clasificación, una técnica ampliamente utilizada en aprendizaje automático por su simplicidad, capacidad predictiva y facilidad de interpretación. En particular, se analizan distintas estrategias para su construcción, con especial atención a los métodos basados en optimización matemática. Se consideran tres enfoques representativos: Random Forests (RF), como modelo heurístico basado en el ensamblado de árboles; Optimal Classification Trees (OCT), que plantea el problema como una optimización lineal entera mixta; y Optimal Randomized Classification Trees (ORCT), que utiliza una formulación continua que mejora la escalabilidad manteniendo la interpretabilidad. El trabajo comienza con una revisión de los fundamentos de la clasificación estadística y los métodos basados en árboles de decisión. A continuación, se describen en detalle los modelos de optimización que permiten construir árboles óptimos. Finalmente, se realiza un estudio empírico comparativo utilizando cinco conjuntos de datos de distinta complejidad, evaluando cada modelo según precisión, tiempo de entrenamiento, interpretabilidad y viabilidad práctica. Los resultados muestran que RF ofrece un alto rendimiento con bajo coste computacional, mientras que ORCT logra un equilibrio entre exactitud y escalabilidad. En cambio, OCT, aunque teóricamente atractivo, presenta limitaciones computacionales que restringen su uso a problemas de menor escala.

Dirección
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
Este trabajo se enmarca en el campo del Text-based Personality Computing (TPC), que busca estimar rasgos de personalidad a partir de textos escritos por usuarios/as mediante técnicas de procesamiento del lenguaje natural (PLN). Tradicionalmente, los rasgos de personalidad se miden con cuestionarios, pero estos métodos tienen limitaciones como la subjetividad de las respuestas o la dificultad para aplicarlos a gran escala. Gracias a los avances en el PLN, hoy en día es posible analizar textos y predecir ciertos rasgos sin necesidad de encuestas. En este trabajo se ha utilizado un conjunto de datos de Reddit con información sobre los rasgos de personalidad de sus usuarios/as y se han aplicado técnicas modernas para comparar sus textos con los ítems del cuestionario NEO-FFI. A través de este proceso, se han estimado las puntuaciones Big-5, se han evaluado los resultados obtenidos y se han derivado los rasgos MBTI a partir de estos resultados. El enfoque propuesto ofrece una alternativa sencilla, escalable e interpretable para el análisis automático de personalidad.

Dirección
Losada Carril, David Enrique (Tutoría)
FERNANDEZ PICHEL, MARCOS Cotutoría

Tribunal
CATALA BOLOS, ALEJANDRO (Presidente/a)
Triñanes Fernández, Joaquín Ángel (Secretario/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Vocal)

Resumen
En las últimas décadas se han desarrollado herramientas topológicas para el análisis de datos en distintas áreas. En este trabajo se explicarán la homología simplicial y la homología persistente, así como su aplicación en la biología como método para estudiar y predecir la evolución de los virus, no muy conocida ni controlada. Particularmente, nos centraremos en el virus de la gripe (Influenza A) y en el Virus de la Inmunodeficiencia Humana (VIH), tanto por su prevalencia y mortalidad provocada en humanos, como por la disposición de sus datos e idoneidad con los métodos topológicos expuestos para su estudio.

Dirección
Gómez Tato, Antonio M. (Tutoría)

Tribunal
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Presidente/a)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Secretario/a)
SALGADO SECO, MODESTO RAMON (Vocal)

Resumen
Este trabajo estudia un modelo de regresión para variables esféricas, es decir, aquellas definidas en la superficie de una esfera. Comienza con una introducción a los conceptos y resultados básicos y necesarios de la regresión lineal simple, múltiple y no lineal; para posteriormente trabajar con datos esféricos, incorporando las definiciones fundamentales. Para ello, utilizaremos representaciones gráficas. También incorporaremos las distribuciones más importantes, siendo de especial interés la distribución de von Mises-Fisher, ya que será la que utilizaremos en los capítulos posteriores. Una vez presentados todos los conocimientos previos, los pondremos en práctica mediante un estudio de simulación con R. En este estudio, presentamos el modelo de rotación para la regresión esférica, explicando algunas de sus principales propiedades e interpretando los resultados obtenidos. Finalmente, discutiremos y explicaremos las posibles limitaciones de este proyecto (uso exclusivo de datos simulados, referencias a demostraciones, etc.). También discutiremos cómo se podría ampliar este trabajo, por ejemplo, cambiando a una dimensión mayor o incluso mencionando otros modelos de distribución conocidos.

Dirección
ALONSO PENA, MARIA (Tutoría)

Tribunal
ALONSO PENA, MARIA (Tutor del alumno)

Resumen
En el área de la computación cuántica, existe un gran interés en el aprovechamiento de las propiedades cuánticas para resolver problemas de optimización por su ventaja potencial ante los métodos clásicos. En este trabajo se introducen los fundamentos de la computación cuántica tanto los elementos básicos (el cúbit y el p-cúbit) como las puertas cuánticas y el proceso de medida. A continuación, se formulan problemas de optimización mediante hamiltonianos y se describen los modelos QUBO e Ising. Se explora la computación adiabática (teorema adiabático) y se introduce el Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA). Se detalla la arquitectura híbrida clásico-cuántica del Variational Quantum Eigensolver (VQE), sus métodos de optimización variacional y sus aplicaciones prácticas. Finalmente, se compara el rendimiento de la computación clásica frente a la cuántica a través de las clases de complejidad, se discute la ventaja cuántica y se exploran futuras líneas de investigación matemática en este ámbito.

Dirección
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Tutoría)

Tribunal
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Tutor del alumno)

Resumen
En este trabajo se estudiarán los problemas de control óptimo sin restricciones, tanto en el caso discreto como en el continuo. Lo primero que se buscará en estos problemas será, proporcionar métodos que permitan calcular el gradiente del funcional coste, $\tilde J$, en el caso discreto. Estos se particularizarán en el caso donde el problema sea evolutivo, aprovechando esta estructura para reducir el coste computacional. En el caso continuo se considerarán problemas donde el estado venga dado por una EDO. La forma en la que se abordarán estos problemas consistirá en: discretizar el problema de manera que entre en el marco de las secciones anteriores, o calcular las derivadas direccionales de $\tilde J$, mediante métodos que se proporcionarán en este trabajo, permitiendo así calcular el gradiente al aproximar el espacio de control por uno de dimensión finita. Los métodos del caso discreto se usarán para resolver problemas de estimación de parámetros, mientras que los del caso continuo resolverán un problema relacionado con el movimiemento de un sistema carro-péndulo.

Dirección
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Tutoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
En este trabajo veremos los principales conceptos del análisis de datos topológico: estudiaremos varias teorías de homología y veremos la idea de persistencia. Además nos introduciremos en los sistemas dinámicos y estudiaremos en profundidad la entropía. Finalmente, analizaremos la conjetura se Shub, que relaciona la entropía de un sistema con el radio espectral entre grupos de homología y buscaremos una versión de ese resultado usando la homología persistente.

Dirección
Álvarez López, Jesús Antonio (Tutoría)
Meniño Cotón, Carlos Cotutoría

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
Estudiaremos los conceptos básicos de las bases de Schauder, circunscritas en el ámbito del Análisis Funcional. Veremos algunas de sus propiedades, tipos y utilidades en la caracterización de atributos de los espacios, centrándonos sobre todo en la reflexividad y en la estructura interna de los espacios, dando especial importancia a los espacios de sucesiones como $c_0$ y los $\ell_p$, destacando en especial a $\ell_1$ entre estos últimos. También daremos algunas notas relacionadas con la existencia y unicidad de bases de Schauder e intentaremos mostrar como estas bases son una extensión natural de las bases de Hamel en espacios finitos y una generalización de las bases de Hilbert a espacios de Banach más genéricos.

Dirección
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Tutoría)

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
Las variedades pseudo-Riemannianas con estructura local de producto han desempeñado un papel fundamental en la resolución de una amplia gama de problemas geométricos y físicos. En particular, este tipo de variedades constituye una de las técnicas más utilizadas para la construcción de métricas Riemannianas de Einstein y forma la estructura subyacente de la mayoría de los espaciotiempos relativistas. El objetivo de este trabajo es realizar un estudio sistemático de las variedades con estructura local de producto deformado centrado en el análisis de sus propiedades de curvatura.

Dirección
GARCIA RIO, EDUARDO (Tutoría)
CAEIRO OLIVEIRA, SANDRO Cotutoría

Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
CAO LABORA, DANIEL (Secretario/a)
Gómez Tato, Antonio M. (Vocal)

Resumen
Los rayos cósmicos de muy altas energías (UHECRs) son las partículas más energéticas detectadas hasta la fecha en el Universo, alcanzando energías del orden del exaelectronvoltio (EeV). Su estudio resulta fundamental para explorar la física más allá del modelo estándar, analizar la estructura del campo magnético galáctico y abordar cuestiones relevantes en el ámbito de la cosmología. En la actualidad, existen múltiples líneas de investigación centradas en la comprensión de estos eventos, y observatorios como el Observatorio Pierre Auger o el Telescope Array se dedican a la detección de este tipo de partículas extragalácticas. Este trabajo estudia la propagación de estos rayos cósmicos dentro de la Galaxia, con el objetivo de analizar cómo influye el campo magnético galáctico en dicha propagación y cómo podrían identificarse las fuentes de las que provienen. Para ello, se utiliza el marco de simulación astrofísica CRPropa, que permite realizar simulaciones a través de su interfaz en Python. De este modo, se llevan a cabo simulaciones de la retropropagación de los UHECRs detectados por el Observatorio Pierre Auger, obteniendo tanto su dirección de llegada a la frontera galáctica como la deflexión experimentada durante su trayectoria. El estudio se centra en realizar simulaciones variando las componentes del campo magnético empleadas dentro del modelo JF12 [1, 2], considerando tanto la presencia de turbulencia aleatoria a pequeña escala como su ausencia, así como el tipo de partícula que se propaga.

Dirección
ALVAREZ MUÑIZ, JAIME (Tutoría)

Tribunal
ACOSTA PLAZA, EVA MARIA (Presidente/a)
VIEITES DIAZ, MARIA (Secretario/a)
Wu , Bin (Vocal)

Resumen
El objetivo de este trabajo es ampliar los conocimientos en lo referido al cálculo diferencial, englobando un entorno más generalizado que el considerado en el grado. En la primera parte, fijaremos el concepto de diferencial de Fréchet, confrontándolo con el de diferencial de Gâteau, para estudiar, de ahí en adelante, numerosos resultados en base a ambas. Utilizaremos estas ideas para trabajar con derivadas de segunda orden y superior, que nos permitirán, a su vez, analizar las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos de funciones. En la segunda parte, contextualizaremos sobre el cálculo de variaciones y desglosaremos el proceso que nos permitirá obtener la ecuación de Euler-Lagrange con la finalidad de poder aplicarla posteriormente a problemas específicos, como serán el de la superficie de revolución con área mínima o el de la curva de descenso más rápido (o curva braquistócrona).

Dirección
Rodríguez López, Jorge (Tutoría)

Tribunal
Rodríguez López, Jorge (Tutor del alumno)

Resumen
La producción de maíz forrajero en Galicia es clave para el sector primario de la comunidad, siendo uno de los cultivos que más trabajadores ocupa debido a su importancia en la alimentación del ganado vacuno. Utilizaremos datos reales de rendimiento de maíz forrajero y otras variables climatológicas facilitados por el Centro de Investigación Agraria de Mabegondo, para analizar su relación mediante modelos de regresión sobre series temporales. Paralelamente, se analiza la evolución de la temperatura media y de la precipitación en Galicia empleando técnicas de modelización de series temporales, con el fin de ajustar modelos ARIMA validados estadísticamente. Estos modelos permiten generar predicciones climáticas e interpretar las variaciones en las condiciones meteorológicas que pueden influir en la productividad agraria a medio y largo plazo, en un contexto marcado por el cambio climático.

Dirección
SAAVEDRA NIEVES, PAULA (Tutoría)

Tribunal
SAAVEDRA NIEVES, PAULA (Tutor del alumno)

Resumen
El método de Random Forests es una técnica de aprendizaje automático, que se utiliza tanto en regresión como en clasificación. Se basa en la construcción y combinación de múltiples árboles de decisión, obteniendo así una mejora de precisión en las predicciones y reduciendo el riesgo de sobreajuste. Este algoritmo utiliza un método conocido como Bagging, basado en generar diversos subconjuntos aleatorios de datos y en entrenar un árbol en cada uno de ellos. Además, en cada nodo se selecciona aleatoriamente un subconjunto, dotando al modelo de diversidad. Finalmente, en el caso de clasificación se procede por votación mayoritaria entre los árboles, mientras que en regresión se calcula el promedio de las predicciones individuales de cada árbol. Random Forests es un modelo robusto, además de versátil, que reduce el impacto de valores atípicos y nos permite trabajar con datos de alta dimensionalidad.

Dirección
FEBRERO BANDE, MANUEL (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
Este trabajo de fin de grado consistirá en el enunciado y demostración del Teorema Fundamental del Cálculo Integral para la integral de Lebesgue, lo que se llegará a hacer en el capítulo 7. Antes, para poder llegar a ese punto con la base teórica necesaria, se estudiarán las propiedades, definición y resultados varios de las funciones aboslutamente continuas (capítulo 6); las funciones de variación acotada (capítulo 3) y, en particular, su diferenciación (capítulo 5), para lo que se usarán como herramienta las Derivadas de Dini (capítulo 4). Será necesario también para poder avanzar en la comprensión de estos conceptos ciertos resultados como el Teorema de Recubrimiento de Vitali, que se explica en el capítulo 2; y por supuesto una importante base de la teoría de la medida, explicada en los preliminares para después acompañarnos a lo largo de todo el trabajo.

Dirección
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutoría)

Tribunal
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutor del alumno)

Resumen
En los años sesenta, gracias al auge de los ordenadores, que permitían visualizar gráficamente conjuntos, y la labor del matemático polaco Benoît Mandelbrot se popularizaron un tipo de conjuntos muy especiales: los fractales. En este trabajo nos proponemos definir el conjunto de Mandelbrot uno de los tantos fractales que estudió este matemático, así como analizar alguna de sus propiedades más importantes. Para ello, estudiaremos en profundidad la dinámica de la familia de funciones cuadtráticas.

Dirección
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Tutoría)
CAO LABORA, DANIEL Cotutoría

Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Presidente/a)
PEON NIETO, ANA (Secretario/a)
SEOANE MARTINEZ, MARIA LUISA (Vocal)

Resumen
A lo largo de esta disertación, presentamos y exploramos el uso de modelos Kriging como solución para el problema geoestadístico de estimación del tamaño total de la capa de hielo de Groenlandia, tanto en volumen como en extensión. Además, evaluamos el rendimiento de predicción de estos y otros modelos, comparando su precisión en relación a su respectiva complejidad.

Dirección
FEBRERO BANDE, MANUEL (Tutoría)

Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Presidente/a)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Secretario/a)
MUÑOZ SOLA, RAFAEL (Vocal)

Resumen
El objetivo de este trabajo es dar a conocer un método iterativo denominado método de Gradiente Conjugado Ortogonal para resolver sistemas de ecuaciones lineales con matrices complejas, simétricas y no hermitianas. Dado que el método pertenece a los llamados métodos de Krylov, en el trabajo se introducirán estos métodos en el caso de matrices reales para luego extender alguno de ellos al caso de matrices complejas. Se introducirán primero los métodos de Gradiente Conjugado y Gradiente Biconjugado para, por último, presentar el método de Gradiente Conjugado Ortogonal. Se describirán algoritmos para implementar los distintos métodos y se presentarán algunos ejemplos prácticos con matrices obtenidas de Matrix Market.

Dirección
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Tutoría)

Tribunal
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Tutor del alumno)

Resumen
Este trabajo presenta una introducción al aprendizaje por refuerzo desde una perspectiva matemática, haciendo especial énfasis en su conexión con la programación dinámica. Aunque el aprendizaje por refuerzo es un campo autónomo dentro de la inteligencia artificial, muchas de sus ideas fundamentales (como la toma de decisiones secuenciales, las funciones de utilidad o las políticas óptimas) tienen su origen en la programación dinámica. Por ello, se comienza el estudio abordando la programación dinámica como nexo conceptual y formal que permite sentar las bases del aprendizaje por refuerzo. Una vez finalizada la programación dinámica, se procederá a narrar los aspectos más importantes del aprendizaje por refuerzo. Para su comprensión será esencial comprender los procesos de decisión de Markov. También se discuten temas que derivan de este paradigma, como el dilema exploración explotación o el estudio de distintos algoritmos de resolución como son Monte Carlo y el aprendizaje por diferencias temporales. Por último, se quiere ver cómo el aprendizaje por refuerzo puede resultar una herramienta muy útil en el ámbito de la optimización matemática. Para ello se abordan distintos tipos de problemas clásicos de optimización, describiendo cómo se han de reformular para que encajen dentro del marco del aprendizaje por refuerzo, lo que permite aplicar sus algoritmos a problemas complejos que no se resuelven fácilmente por métodos tradicionales.

Dirección
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Tutoría)

Tribunal
Majadas Soto, José Javier (Presidente/a)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Secretario/a)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Vocal)

Resumen
En este trabajo se describirá el proceso de creación de una aplicación móvil para el aprendizaje de la educación auditiva musical. Se comenzará realizando un estudio preliminar donde exploraremos el potencial de la idea. Veremos quién puede estar interesa en la aplicación y por qué está interesado. Además se planteará un modelo de negocio, ya que una aplicación es muy fácil de introducirla en el mercado. Especificaremos los requisitos que determinarán la Luego dedicaremos un capítulo a la ingeniería del software, explicando el modelo de ciclo de vida, narrando la planificación que se llevó a cabo. También definiremos los casos de uso de los requisitos funcionales antes definidos. Pasamos al diseño, donde se explican muchos diseños distintos, el de la interfaz gráfica, la arquitectura y el software. Para acabar explicaremos el plan de pruebas y determinaremos el éxito o fracaso del proyecto

Dirección
TOBAR QUINTANAR, ALEJANDRO JOSE (Tutoría)

Tribunal
Argüello Pedreira, Francisco Santiago (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
Carreira Nouche, María José (Vocal)

Resumen
Los problemas de parentesco son un tema relevante dentro de la genética forense. En este trabajo se analizan los fundamentos matemáticos que permiten abordar estos problemas, en concreto el caso standard trio y el standard duo. Estos se exponen de manera detallada, acompañados de una presentación previa de conceptos de genética necesarios para entender la terminología de los problemas. Posteriormente se desarrollarán las nociones de probabilidad y estadística que permitirán modelizar dichas situaciones, así como resolverlas mediante distintos procedimientos de estimación y contrastes de hipótesis. Esta base matemática permitirá obtener conclusiones e interpretar los resultados genéticos de manera objetiva y coherente, garantizando su validez. Además, se presentan los paquetes Familias y paramlink del software R, con los que se podrán aplicar los métodos de resolución estudiados, resolviendo los ejemplos expuestos a lo largo del texto. Se trata de destacar la importancia de una buena base matemática a la hora de aplicarla en cualquier ámbito científico.

Dirección
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Tutoría)

Tribunal
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Presidente/a)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE (Secretario/a)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Vocal)

Resumen
El objetivo de este TFG es justificar la introducción de la teoría de cuepos de clase partiendo de la teoría de Galois y usando la motivación inicial de Artin y de otros matemáticos de comienzos del siglo XX. El trabajo se iniciará con un repaso de algunos resultados de teoría de Galois y de teoría algebraica de números previos al desarrollo de la teoría de cuerpos de clase, como el teorema de Kronecker--Weber. A continuación, partiendo de los resultados de Weber, Hilbert y Artin, se formularán los resultados fundacionales de la teoría de cuerpos de clase. El resto del trabajo se dedicará a trabajar sus implicaciones, centrándonos especialmente en las conexiones con la teoría de Galois.

Dirección
RIVERO SALGADO, OSCAR (Tutoría)

Tribunal
RIVERO SALGADO, OSCAR (Tutor del alumno)

Resumen
Este Trabajo Fin de Grado se centra en el análisis de algunas ecuaciones diferenciales ordinarias aplicadas al estudio de modelos económicos. A lo largo del trabajo, se abordan cinco modelosclave: la curva de Phillips, el modelo de Harrod-Domar, el modelo de Solow-Swan, el modelo de Goodwin y el modelo de Leontief dinámico que permiten describir fenómenos económicos fundamentales, desde la relación entre el desempleo y los salarios hasta la interacción entre sectoresproductivos. Cada modelo ha sido contextualizado, resuelto y analizado en detalle, destacandotanto sus contribuciones como sus limitaciones, con el objetivo de comprender mejor su utilidad y explorar posibles mejoras para su aplicación en economías modernas.

Dirección
Rodríguez López, Rosana (Tutoría)

Tribunal
Rodríguez López, Rosana (Tutor del alumno)

Resumen
En este trabajo realizamos un estudio introductorio de las transformaciones conformes en el contexto del análisis complejo, con especial énfasis en las transformaciones de Möbius. Dado que estas aplicaciones nacen de la teoría de funciones holomorfas, dedicamos la primera parte de la memoria a repasar las herramientas básicas del análisis complejo. A continuación, introducimos el concepto general de transformación conforme y demostramos que toda función holomorfa inyectiva es una transformación conforme, ilustrándolo con ejemplos. Sobre esta base, el trabajo se centra en las transformaciones de Möbius, el único automorfismo conforme del plano complejo ampliado. Presentamos su representación matricial, estudiamos sus invariantes (puntos, circunferencias, razón doble y simetría) y clasificamos según el número de puntos fijos (elípticos, hiperbólicos, parabólicos, loxodrómicas). Finalmente, desarrollamos en Maple un conjunto de procedimientos que permiten facilitar la comprensión intuitiva de estos conceptos.

Dirección
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutoría)

Tribunal
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutor del alumno)