Criterios de unicidad para sistemas de EDO's de primer orden
Autoría
D.A.F.
Grado en Matemáticas
D.A.F.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 09:30
18.07.2024 09:30
Resumen
La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias es una de las ramas más destacables del Análisis Matemático. Dentro de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la existencia y unicidad de solución es una de las cuestiones más tratadas por los grandes matemáticos. El objetivo de este trabajo es estudiar, desde un punto de vista teórico, qué condiciones se necesitan para garantizar la unicidad de solución. Se empezará introduciendo una serie de conceptos básicos que serán necesarios a lo largo del texto. A continuación, se presentarán diversas demostraciones alternativas para el Teorema de Picard-Lipschitz, siendo uno de los resultados centrales del trabajo. Posteriormente, se estudiarán varias generalizaciones del resultado anterior, llegando a criterios en los que se piden condiciones más débiles que en el Teorema de Picard-Lipschitz, como son los criterios de Osgood, Nagumo y Montel-Tonelli. Para terminar, se enunciarán resultados que aseguran unicidad de solución donde las hipótesis sobre la función se cumplan respecto a la variable independiente, o respecto a un vector arbitrario de R2, dando lugar a criterios alternativos a los anteriores.
La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias es una de las ramas más destacables del Análisis Matemático. Dentro de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la existencia y unicidad de solución es una de las cuestiones más tratadas por los grandes matemáticos. El objetivo de este trabajo es estudiar, desde un punto de vista teórico, qué condiciones se necesitan para garantizar la unicidad de solución. Se empezará introduciendo una serie de conceptos básicos que serán necesarios a lo largo del texto. A continuación, se presentarán diversas demostraciones alternativas para el Teorema de Picard-Lipschitz, siendo uno de los resultados centrales del trabajo. Posteriormente, se estudiarán varias generalizaciones del resultado anterior, llegando a criterios en los que se piden condiciones más débiles que en el Teorema de Picard-Lipschitz, como son los criterios de Osgood, Nagumo y Montel-Tonelli. Para terminar, se enunciarán resultados que aseguran unicidad de solución donde las hipótesis sobre la función se cumplan respecto a la variable independiente, o respecto a un vector arbitrario de R2, dando lugar a criterios alternativos a los anteriores.
Dirección
Rodríguez López, Jorge (Tutoría)
Rodríguez López, Jorge (Tutoría)
Tribunal
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
Introducción a los conjuntos fractales
Autoría
A.B.A.
Grado en Matemáticas
A.B.A.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 10:00
18.07.2024 10:00
Resumen
Un conjunto fractal es aquel que posee una dimensión fractal que excede su dimensión topológica. Algunos presentan autosimilitud, siendo idénticos al original en detalles a menor escala. Exploraremos lo que entendemos por dimensión fractal, proporcionando ejemplos de estos y calculándola para algunos conjuntos, así como discutiendo las ventajas y problemas que presenta cada uno. Luego, nos enfocaremos en fractales que exhiben autosimilitud, los cuales son de gran interés práctico. Definiremos sistemas de funciones iterativas y proporcionaremos métodos para representar estos fractales, así como formas de calcular fácilmente su dimensión fractal. Finalmente, exploraremos algunas aplicaciones de estos conjuntos, principalmente el movimiento browniano, pero también aplicaciones en antenas fractales, compresión de imágenes e incluso en el arte.
Un conjunto fractal es aquel que posee una dimensión fractal que excede su dimensión topológica. Algunos presentan autosimilitud, siendo idénticos al original en detalles a menor escala. Exploraremos lo que entendemos por dimensión fractal, proporcionando ejemplos de estos y calculándola para algunos conjuntos, así como discutiendo las ventajas y problemas que presenta cada uno. Luego, nos enfocaremos en fractales que exhiben autosimilitud, los cuales son de gran interés práctico. Definiremos sistemas de funciones iterativas y proporcionaremos métodos para representar estos fractales, así como formas de calcular fácilmente su dimensión fractal. Finalmente, exploraremos algunas aplicaciones de estos conjuntos, principalmente el movimiento browniano, pero también aplicaciones en antenas fractales, compresión de imágenes e incluso en el arte.
Dirección
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Tutoría)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Tutoría)
Tribunal
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
Series de Fourier y resolución de ecuaciones diferenciales parciales en una dimensión superior.
Autoría
T.G.R.
Grado en Matemáticas
T.G.R.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 11:00
18.07.2024 11:00
Resumen
En este trabajo ampliamos lo estudiado en la materia Series de Fourier e Introducción a las EDPs sobre el uso de series de Fourier y el método de separación de variables para la resolución de problemas iniciales y de frontera con ecuaciones de calor, de onda y de Laplace. El objetivo principal era explorar más profundamente los conceptos fundamentales y las técnicas avanzadas para deducir y resolver estos modelos matemáticos. Nos hemos centrado especialmente en métodos analíticos y numéricos que permiten abordar problemas en dimensiones espaciales superiores, en particular la dimensión dos y la dimensión tres. Para estas dimensiones enfatizamos la importancia de las condiciones de contorno y las condiciones iniciales en la obtención de las soluciones. Utilizamos el método de separación de variables y series de Fourier como herramientas cruciales para descomponer y resolver estas ecuaciones en diferentes escenarios prácticos. Finalmente proporcionamos ejemplos concretos y presentaciones gráficas de las soluciones obtenidas a través de software especializado, en particular Matlab y Maple.
En este trabajo ampliamos lo estudiado en la materia Series de Fourier e Introducción a las EDPs sobre el uso de series de Fourier y el método de separación de variables para la resolución de problemas iniciales y de frontera con ecuaciones de calor, de onda y de Laplace. El objetivo principal era explorar más profundamente los conceptos fundamentales y las técnicas avanzadas para deducir y resolver estos modelos matemáticos. Nos hemos centrado especialmente en métodos analíticos y numéricos que permiten abordar problemas en dimensiones espaciales superiores, en particular la dimensión dos y la dimensión tres. Para estas dimensiones enfatizamos la importancia de las condiciones de contorno y las condiciones iniciales en la obtención de las soluciones. Utilizamos el método de separación de variables y series de Fourier como herramientas cruciales para descomponer y resolver estas ecuaciones en diferentes escenarios prácticos. Finalmente proporcionamos ejemplos concretos y presentaciones gráficas de las soluciones obtenidas a través de software especializado, en particular Matlab y Maple.
Dirección
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
Tribunal
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
Generación de medidas
Autoría
P.T.P.
Grado en Matemáticas
P.T.P.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 11:30
18.07.2024 11:30
Resumen
En este trabajo trataremos aspectos generales de la teoría de la medida para, posteriormente, centrarnos en la construcción y las propiedades de la medida de Lebesgue-Stieltjes. Comenzaremos introduciendo un álgebra de conjuntos para construir sobre él la medida mencionada. A continuación, probaremos ciertos teoremas de extensión de medidas y, trabajando con la medida exterior, seremos capaces de construir el espacio de medida de Lebesgue-Stieltjes. Finalmente, estudiaremos algunas propiedades interesantes sobre su estructura y forma y trataremos el caso de conjuntos que no son medibles con respecto a la medida de Lebesgue-Stieltjes.
En este trabajo trataremos aspectos generales de la teoría de la medida para, posteriormente, centrarnos en la construcción y las propiedades de la medida de Lebesgue-Stieltjes. Comenzaremos introduciendo un álgebra de conjuntos para construir sobre él la medida mencionada. A continuación, probaremos ciertos teoremas de extensión de medidas y, trabajando con la medida exterior, seremos capaces de construir el espacio de medida de Lebesgue-Stieltjes. Finalmente, estudiaremos algunas propiedades interesantes sobre su estructura y forma y trataremos el caso de conjuntos que no son medibles con respecto a la medida de Lebesgue-Stieltjes.
Dirección
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutoría)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN Cotutoría
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutoría)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN Cotutoría
Tribunal
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
Teorema Fundamental de los Módulos de Hopf
Autoría
B.A.G.
Grado en Matemáticas
B.A.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 09:00
16.07.2024 09:00
Resumen
La teoría de las álgebras de Hopf nace en los años 40 del siglo pasado a raíz del trabajo del topólogo alemán Heinz Hopf. Debido a sus numerosas aplicaciones, principalmente en el ámbito de la física cuántica, el interés por esta área de estudio se incrementó notablemente en las últimas décadas. El objetivo de este trabajo es dar una visión general de esta teoría, con la intención de demostrar uno de sus resultados clásicos: el Teorema Fundamental de los Módulos de Hopf. En primer lugar, con el propósito de definir el concepto de álgebra de Hopf, se introducirán las nociones de álgebra, coálgebra, biálgebra y antípoda, y se estudiarán algunas de sus propiedades básicas. Posteriormente, se presentarán las nociones de módulo sobre una álgebra y de comódulo sobre una coálgebra con la intención de, finalmente, establecer el concepto de módulo de Hopf y probar el ya mencionado teorema. Para concluír, se ilustrará la importancia de este resultado mediante algunos ejemplos de aplicación del mismo.
La teoría de las álgebras de Hopf nace en los años 40 del siglo pasado a raíz del trabajo del topólogo alemán Heinz Hopf. Debido a sus numerosas aplicaciones, principalmente en el ámbito de la física cuántica, el interés por esta área de estudio se incrementó notablemente en las últimas décadas. El objetivo de este trabajo es dar una visión general de esta teoría, con la intención de demostrar uno de sus resultados clásicos: el Teorema Fundamental de los Módulos de Hopf. En primer lugar, con el propósito de definir el concepto de álgebra de Hopf, se introducirán las nociones de álgebra, coálgebra, biálgebra y antípoda, y se estudiarán algunas de sus propiedades básicas. Posteriormente, se presentarán las nociones de módulo sobre una álgebra y de comódulo sobre una coálgebra con la intención de, finalmente, establecer el concepto de módulo de Hopf y probar el ya mencionado teorema. Para concluír, se ilustrará la importancia de este resultado mediante algunos ejemplos de aplicación del mismo.
Dirección
FERNANDEZ VILABOA, JOSE MANUEL (Tutoría)
RAMOS PEREZ, BRAIS Cotutoría
FERNANDEZ VILABOA, JOSE MANUEL (Tutoría)
RAMOS PEREZ, BRAIS Cotutoría
Tribunal
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
Análisis de datos censurados
Autoría
A.C.P.
Grado en Matemáticas
A.C.P.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 10:00
16.07.2024 10:00
Resumen
La censura es un fenómeno que se produce con frecuencia en Análisis de Supervivencia y está asociada a unha pérdida parcial de información. En este trabajo, ilustramos como los estimadores no paramétricos tradicionales, como la función de distribución empírica o su análogo condicional, fallan en el intento de dar unha estimación de la función de distribución (condicional) de una variable aleatoria T censurada por la derecha. En el contexto de los datos censurados, introducimos el estimador de Kaplan-Meier y el estimador de Beran, como estimadores de la función de distribución incondicional y condicional, respectivamente. En el caso del estimador de Kaplan-Meier desenvolvemos también algunas de sus propiedades más destacables, que resultarán esenciales para la construcción de intervalos de confianza. Para comparar el comportamiento de los distintos estimadores presentamos diferentes estudios de simulación por Montecarlo utilizando el software estadístico R. Finalmente, analizamos un conjunto de datos reales provenientes de un grupo de pacientes con cáncer de pulmón haciendo uso de los estimadores específicos para escenarios con datos censurados.
La censura es un fenómeno que se produce con frecuencia en Análisis de Supervivencia y está asociada a unha pérdida parcial de información. En este trabajo, ilustramos como los estimadores no paramétricos tradicionales, como la función de distribución empírica o su análogo condicional, fallan en el intento de dar unha estimación de la función de distribución (condicional) de una variable aleatoria T censurada por la derecha. En el contexto de los datos censurados, introducimos el estimador de Kaplan-Meier y el estimador de Beran, como estimadores de la función de distribución incondicional y condicional, respectivamente. En el caso del estimador de Kaplan-Meier desenvolvemos también algunas de sus propiedades más destacables, que resultarán esenciales para la construcción de intervalos de confianza. Para comparar el comportamiento de los distintos estimadores presentamos diferentes estudios de simulación por Montecarlo utilizando el software estadístico R. Finalmente, analizamos un conjunto de datos reales provenientes de un grupo de pacientes con cáncer de pulmón haciendo uso de los estimadores específicos para escenarios con datos censurados.
Dirección
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Tutoría)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Tutoría)
Tribunal
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
Solución numérica de la ecuación del calor
Autoría
L.G.V.
Grado en Matemáticas
L.G.V.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 09:00
17.07.2024 09:00
Resumen
En este trabajo se estudia la solución numérica de la ecuación del calor, utilizando para ello métodos de diferencias finitas y de elementos finitos. De forma más precisa, se implementarán (utilizando para ello MATLAB) métodos de diferencias finitas, tanto para la ecuación en una dimensión como en dos dimensiones, desarrollando diversos esquemas y comparándolos con diferentes ejemplos. Por lo que respecta al método de elementos finitos, se tratará únicamente el caso unidimensional, empleando un esquema temporal implícito y tratando el problema semi-discreto como un problema de Sturm-Liouville. Finalmente, se analiza numéricamente las propiedades de estabilidad, convergencia y orden de los diferentes esquemas numéricos y se comparan con la solución de los ejemplos test introducidos.
En este trabajo se estudia la solución numérica de la ecuación del calor, utilizando para ello métodos de diferencias finitas y de elementos finitos. De forma más precisa, se implementarán (utilizando para ello MATLAB) métodos de diferencias finitas, tanto para la ecuación en una dimensión como en dos dimensiones, desarrollando diversos esquemas y comparándolos con diferentes ejemplos. Por lo que respecta al método de elementos finitos, se tratará únicamente el caso unidimensional, empleando un esquema temporal implícito y tratando el problema semi-discreto como un problema de Sturm-Liouville. Finalmente, se analiza numéricamente las propiedades de estabilidad, convergencia y orden de los diferentes esquemas numéricos y se comparan con la solución de los ejemplos test introducidos.
Dirección
Ferrín González, José Luis (Tutoría)
Ferrín González, José Luis (Tutoría)
Tribunal
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
La curva ROC y sus aplicaciones en Biomedicina
Autoría
M.N.S.
Grado en Matemáticas
M.N.S.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 10:00
17.07.2024 10:00
Resumen
La curva ROC es una herramienta estadística muy extendida en el ámbito de la Biomedicina que permite evaluar la eficacia de una prueba diagnóstica a la hora de distinguir entre los pacientes enfermos y sanos, es decir, estudia la capacidad de una variable, que conocemos como variable diagnóstica, para detectar la presencia o ausencia de una enfermedad. La capacidad discriminatoria de una prueba está sujeta a un valor denominado umbral, que permite clasificar a un paciente según si el resultado para la variable de interés supera o no ese valor. En este trabajo formalizamos los conceptos elementales para la definición de la curva ROC, junto con la justificación de sus propiedades más relevantes. Presentamos, además, medidas resumen que posibilitan la cuantificación de la eficiencia clasificatoria de las pruebas diagnósticas y la comparación entre ellas. También detallamos brevemente varios métodos de selección del umbral. Una vez presentada la versión teórica o poblacional de la curva ROC, revisamos distintos métodos para llevar a cabo su estimación, en particular, vemos tanto estimación mediante métodos paramétricos como no paramétricos. Finalmente, ilustramos los conceptos y técnicas estadísticas abordados en el presente trabajo mediante dos bases de datos sobre el diagnóstico de anemia ferropénica y de insuficiencia cardíaca. A lo largo del trabajo empleamos el software estadístico libre R en su versión 4.4.1, y el código elaborado puede consultarse en el Anexo A.
La curva ROC es una herramienta estadística muy extendida en el ámbito de la Biomedicina que permite evaluar la eficacia de una prueba diagnóstica a la hora de distinguir entre los pacientes enfermos y sanos, es decir, estudia la capacidad de una variable, que conocemos como variable diagnóstica, para detectar la presencia o ausencia de una enfermedad. La capacidad discriminatoria de una prueba está sujeta a un valor denominado umbral, que permite clasificar a un paciente según si el resultado para la variable de interés supera o no ese valor. En este trabajo formalizamos los conceptos elementales para la definición de la curva ROC, junto con la justificación de sus propiedades más relevantes. Presentamos, además, medidas resumen que posibilitan la cuantificación de la eficiencia clasificatoria de las pruebas diagnósticas y la comparación entre ellas. También detallamos brevemente varios métodos de selección del umbral. Una vez presentada la versión teórica o poblacional de la curva ROC, revisamos distintos métodos para llevar a cabo su estimación, en particular, vemos tanto estimación mediante métodos paramétricos como no paramétricos. Finalmente, ilustramos los conceptos y técnicas estadísticas abordados en el presente trabajo mediante dos bases de datos sobre el diagnóstico de anemia ferropénica y de insuficiencia cardíaca. A lo largo del trabajo empleamos el software estadístico libre R en su versión 4.4.1, y el código elaborado puede consultarse en el Anexo A.
Dirección
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Tutoría)
BORRAJO GARCIA, MARIA ISABEL (Tutoría)
Tribunal
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
Interpolación con splines cúbicos
Autoría
A.B.G.
Grado en Matemáticas
A.B.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
11.09.2024 15:30
11.09.2024 15:30
Resumen
En este trabajo introduciremos los splines y mostraremos como, en contraposición a la interpolación polinómica y a trozos, resulta una muy buena herramienta a la hora de interpolar de forma regular. Una vez presentada la idea intuitiva, estudiaremos el espacio de splines de grado m con respecto a una partición de n+1 nodos, y muy especialmente la base del espacio constituida por los B-spline, de gran importancia en los cálculos prácticos. Posteriormente resolveremos el problema de interpolación con splines cúbicos (de grado 3), por ser estos los más empleados en la práctica. Trataremos la existencia, la unicidad y el algoritmo de cálculo, que implementamos en un código MATLAB con el que mostramos algunos ejemplos. Finalmente analizaremos el error entre el spline interpolador y la función de la que provienen los nodos interpolados cuando se verifican ciertas condiciones de regularidad en esta última.
En este trabajo introduciremos los splines y mostraremos como, en contraposición a la interpolación polinómica y a trozos, resulta una muy buena herramienta a la hora de interpolar de forma regular. Una vez presentada la idea intuitiva, estudiaremos el espacio de splines de grado m con respecto a una partición de n+1 nodos, y muy especialmente la base del espacio constituida por los B-spline, de gran importancia en los cálculos prácticos. Posteriormente resolveremos el problema de interpolación con splines cúbicos (de grado 3), por ser estos los más empleados en la práctica. Trataremos la existencia, la unicidad y el algoritmo de cálculo, que implementamos en un código MATLAB con el que mostramos algunos ejemplos. Finalmente analizaremos el error entre el spline interpolador y la función de la que provienen los nodos interpolados cuando se verifican ciertas condiciones de regularidad en esta última.
Dirección
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Tutoría)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Tutoría)
Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Secretario/a)
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Vocal)
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Secretario/a)
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Vocal)
Una introducción a los modelos aditivos generalizados
Autoría
M.G.P.
Grado en Matemáticas
M.G.P.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
11.09.2024 16:15
11.09.2024 16:15
Resumen
Los modelos aditivos generalizados representan una herramienta muy útil en el análisis de datos debido a su flexibilidad y capacidad para modelar relaciones no lineales entre variables. En este trabajo, se llevará a cabo una revisión de los modelos de regresión lineales y lineales generalizados, exponiendo sus limitaciones y la necesidad de emplear métodos más flexibles, como los modelos aditivos generalizados. Estos modelos introducen funciones suaves para modelar las relaciones entre la variable respuesta y las variables explicativas. Se presentará su formulación teórica y se examinarán los principales métodos de estimación mediante splines. Los modelos introducidos, así como sus limitaciones, serán ilustrados a través de simulaciones. Finalmente, se presentará una aplicación del modelo aditivo generalizado a una base de datos reales. Este ejemplo permitirá ilustrar sus ventajas en un contexto real, donde la capacidad de adaptación a patrones no lineales es esencial para obtener resultados precisos y útiles.
Los modelos aditivos generalizados representan una herramienta muy útil en el análisis de datos debido a su flexibilidad y capacidad para modelar relaciones no lineales entre variables. En este trabajo, se llevará a cabo una revisión de los modelos de regresión lineales y lineales generalizados, exponiendo sus limitaciones y la necesidad de emplear métodos más flexibles, como los modelos aditivos generalizados. Estos modelos introducen funciones suaves para modelar las relaciones entre la variable respuesta y las variables explicativas. Se presentará su formulación teórica y se examinarán los principales métodos de estimación mediante splines. Los modelos introducidos, así como sus limitaciones, serán ilustrados a través de simulaciones. Finalmente, se presentará una aplicación del modelo aditivo generalizado a una base de datos reales. Este ejemplo permitirá ilustrar sus ventajas en un contexto real, donde la capacidad de adaptación a patrones no lineales es esencial para obtener resultados precisos y útiles.
Dirección
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Tutoría)
VIDAL GARCIA, MARIA Cotutoría
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Tutoría)
VIDAL GARCIA, MARIA Cotutoría
Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Secretario/a)
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Vocal)
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Secretario/a)
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Vocal)
Modelización matemática del creciemiento de tumores cancerígenos.
Autoría
C.L.G.
Grado en Matemáticas
C.L.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
12.09.2024 11:00
12.09.2024 11:00
Resumen
Estudio comparativo de los modelos matemáticos más conocidos para simular el crecimiento tumoral, tales como el modelo de B. Gompertz o el de L. Bertalanffy: breve descripción de las características de un tumor, indicadores biológicos susceptibles de “matematizar”, características y propiedades más importantes de diferentes modelos.
Estudio comparativo de los modelos matemáticos más conocidos para simular el crecimiento tumoral, tales como el modelo de B. Gompertz o el de L. Bertalanffy: breve descripción de las características de un tumor, indicadores biológicos susceptibles de “matematizar”, características y propiedades más importantes de diferentes modelos.
Dirección
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Tutoría)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Tutoría)
Tribunal
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Secretario/a)
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Vocal)
GARCIA RODICIO, ANTONIO (Presidente/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Secretario/a)
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Vocal)
Análisis Estadístico Exploratorio de Datos Complejos
Autoría
A.Q.D.
Grado en Matemáticas
A.Q.D.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
12.09.2024 16:40
12.09.2024 16:40
Resumen
El principal objetivo de este trabajo es desarrollar técnicas estadísticas exploratorias, centrándose en el análisis de objetos estadísticos diversos. En el primer capítulo se presentan los conceptos básicos de ADOO y su terminología. En el segundo, se explican diversas técnicas de análisis descriptivo exploratorio, aplicados a datos complejos. El Análisis de Componentes Principales y su aplicación a la visualización se presenta en el capítulo tercero. En los capítulos cuarto y quinto se tratan técnicas de clasificación supervisada y no supervisada, respectivamente. En el último capítulo se introduce un problema de datos reales en el que se aplican algunas de las técnicas vistas anteriormente.
El principal objetivo de este trabajo es desarrollar técnicas estadísticas exploratorias, centrándose en el análisis de objetos estadísticos diversos. En el primer capítulo se presentan los conceptos básicos de ADOO y su terminología. En el segundo, se explican diversas técnicas de análisis descriptivo exploratorio, aplicados a datos complejos. El Análisis de Componentes Principales y su aplicación a la visualización se presenta en el capítulo tercero. En los capítulos cuarto y quinto se tratan técnicas de clasificación supervisada y no supervisada, respectivamente. En el último capítulo se introduce un problema de datos reales en el que se aplican algunas de las técnicas vistas anteriormente.
Dirección
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Tutoría)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Tutoría)
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
Optimización de sistemas dinámicos biológicos con ecuaciones diferenciales algebraicas
Autoría
C.C.P.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
C.C.P.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
16.07.2024 16:40
16.07.2024 16:40
Resumen
Para la comprensión y manejo de sistemas dinámicos biológicos, la modelización matemática es esencial. Para su optimización es preciso emplear problemas de control óptimo, que habitualmente incluyen ecuaciones diferenciales algebraicas, a modo de restricciones. Para la resolución de este tipo de problemas, de dimensión infinita, existen varios tipos de estrategias distintas. En este trabajo se profundizará en los métodos directos, que realizan una discretización del problema de control óptimo, transformándolo en un problema de programación no lineal, de dimensión finita. En biología, la mayoría de los problemas existentes implican la estimación de parámetros del sistema a partir de una serie de observaciones experimentales. Para un problema biológico de este tipo, se planteará un estudio numérico para su resolución, variando su configuración, y se comentarán en profundidad los resultados obtenidos.
Para la comprensión y manejo de sistemas dinámicos biológicos, la modelización matemática es esencial. Para su optimización es preciso emplear problemas de control óptimo, que habitualmente incluyen ecuaciones diferenciales algebraicas, a modo de restricciones. Para la resolución de este tipo de problemas, de dimensión infinita, existen varios tipos de estrategias distintas. En este trabajo se profundizará en los métodos directos, que realizan una discretización del problema de control óptimo, transformándolo en un problema de programación no lineal, de dimensión finita. En biología, la mayoría de los problemas existentes implican la estimación de parámetros del sistema a partir de una serie de observaciones experimentales. Para un problema biológico de este tipo, se planteará un estudio numérico para su resolución, variando su configuración, y se comentarán en profundidad los resultados obtenidos.
Dirección
GONZALEZ RUEDA, ANGEL MANUEL (Tutoría)
GONZALEZ RUEDA, ANGEL MANUEL (Tutoría)
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Aprendizaje estadístico para la selección del algoritmos en problemas de optimización
Autoría
A.F.E.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
A.F.E.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
16.07.2024 18:00
16.07.2024 18:00
Resumen
En este trabajo se emplearán técnicas de aprendizaje estadístico para predecir el optimizador global que mejor funciona dado un problema de programación matemática no lineal. Antes de nada, se explicará un método de resolución de problemas de programación lineal entera y su adaptación al caso no lineal, donde surgirán nuevas dificultades. Posteriormente, se presentará el problema de aprendizaje estadístico y dos técnicas que permiten ajustar un modelo y crear predicciones: la regresión lineal y las redes neuronales de una sola capa oculta. Estas técnicas permitirán realizar el aprendizaje sobre un conjunto de problemas y obtener los resultados, viendo el desempeño de los distintos optimizadores.
En este trabajo se emplearán técnicas de aprendizaje estadístico para predecir el optimizador global que mejor funciona dado un problema de programación matemática no lineal. Antes de nada, se explicará un método de resolución de problemas de programación lineal entera y su adaptación al caso no lineal, donde surgirán nuevas dificultades. Posteriormente, se presentará el problema de aprendizaje estadístico y dos técnicas que permiten ajustar un modelo y crear predicciones: la regresión lineal y las redes neuronales de una sola capa oculta. Estas técnicas permitirán realizar el aprendizaje sobre un conjunto de problemas y obtener los resultados, viendo el desempeño de los distintos optimizadores.
Dirección
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Tutoría)
GOMEZ CASARES, IGNACIO Cotutoría
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Tutoría)
GOMEZ CASARES, IGNACIO Cotutoría
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Cohomología de de Rham
Autoría
C.L.A.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
C.L.A.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
17.07.2024 10:10
17.07.2024 10:10
Resumen
Las formas diferenciales constituyen un objeto matemático de gran relevancia en la Topología Diferencial y en la Geometría Diferencial y con importantes aplicaciones en la Física. El objetivo de este trabajo es estudiar distintos usos de las formas diferenciales y mostrar cómo estas permiten abordar numerosos problemas de manera eficaz. En primer lugar, se darán unas nociones básicas sobre teoría de fibrados, que son fundamentales para abordar el resto del trabajo. Tras esto, se definirá el concepto de orientación de una variedad y se presentará una breve introducción a las variedades semi-riemannianas. Esto nos permitirá generalizar a variedades diferenciables conceptos básicos del cálculo vectorial. A continuación, se estudiará la integración en variedades y se demostrará el Teorema de Stokes generalizado. Estos conceptos también se abordarán para el caso en que la variedad no sea orientable. Finalmente, se estudiará la Cohomología de de Rham y sus principales propiedades. Además de todo esto, a lo largo de todo el trabajo se incluirán aplicaciones al electromagnetismo de los conceptos estudiados. Específicamente, se formularán las Ecuaciones de Maxwell empleando formas diferenciales, se utilizará el Teorema de Stokes para dar una versión integral de las ecuaciones y se usará la Cohomología de de Rham para ilustrar los agujeros de gusano y los monopolos magnéticos, fenómenos físicos nunca detectados experimentalmente.
Las formas diferenciales constituyen un objeto matemático de gran relevancia en la Topología Diferencial y en la Geometría Diferencial y con importantes aplicaciones en la Física. El objetivo de este trabajo es estudiar distintos usos de las formas diferenciales y mostrar cómo estas permiten abordar numerosos problemas de manera eficaz. En primer lugar, se darán unas nociones básicas sobre teoría de fibrados, que son fundamentales para abordar el resto del trabajo. Tras esto, se definirá el concepto de orientación de una variedad y se presentará una breve introducción a las variedades semi-riemannianas. Esto nos permitirá generalizar a variedades diferenciables conceptos básicos del cálculo vectorial. A continuación, se estudiará la integración en variedades y se demostrará el Teorema de Stokes generalizado. Estos conceptos también se abordarán para el caso en que la variedad no sea orientable. Finalmente, se estudiará la Cohomología de de Rham y sus principales propiedades. Además de todo esto, a lo largo de todo el trabajo se incluirán aplicaciones al electromagnetismo de los conceptos estudiados. Específicamente, se formularán las Ecuaciones de Maxwell empleando formas diferenciales, se utilizará el Teorema de Stokes para dar una versión integral de las ecuaciones y se usará la Cohomología de de Rham para ilustrar los agujeros de gusano y los monopolos magnéticos, fenómenos físicos nunca detectados experimentalmente.
Dirección
Álvarez López, Jesús Antonio (Tutoría)
Álvarez López, Jesús Antonio (Tutoría)
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Planificación lineal a trozos en la robótica
Autoría
M.T.L.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
M.T.L.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
17.07.2024 12:50
17.07.2024 12:50
Resumen
La complejidad topológica es un invariante propuesto por Michael Farber, que surge en el contexto de la planificación de movimientos en la robótica. En este trabajo se desarrolla una analogía discreta propuesta por Jesús González: la complejidad simplicial de un complejo simplicial, que resulta equivalente a la complejidad topológica de su realización geométrica, pero que es computable mediante métodos combinatorios.
La complejidad topológica es un invariante propuesto por Michael Farber, que surge en el contexto de la planificación de movimientos en la robótica. En este trabajo se desarrolla una analogía discreta propuesta por Jesús González: la complejidad simplicial de un complejo simplicial, que resulta equivalente a la complejidad topológica de su realización geométrica, pero que es computable mediante métodos combinatorios.
Dirección
Macías Virgós, Enrique (Tutoría)
MOSQUERA LOIS, DAVID Cotutoría
Macías Virgós, Enrique (Tutoría)
MOSQUERA LOIS, DAVID Cotutoría
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Métodos de Clasificación y Ensamblado de Clasificadores en Aprendizaje Supervisado
Autoría
A.G.L.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
A.G.L.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
16.07.2024 12:30
16.07.2024 12:30
Resumen
En este trabajo se analizan diversas técnicas de ensamblado en aprendizaje supervisado, enfocándose en bagging, bosques aleatorios y adaBoost. Inicialmente, se explican los fundamentos de la clasificación estadística y del aprendizaje supervisado. Seguidamente, se examinan las diferentes estrategias para combinar salidas de clasificadores cuando estas consisten en predicciones y valores continuos. Finalmente, se detallan los métodos de ensamblado, subrayando las características que los diferencian.
En este trabajo se analizan diversas técnicas de ensamblado en aprendizaje supervisado, enfocándose en bagging, bosques aleatorios y adaBoost. Inicialmente, se explican los fundamentos de la clasificación estadística y del aprendizaje supervisado. Seguidamente, se examinan las diferentes estrategias para combinar salidas de clasificadores cuando estas consisten en predicciones y valores continuos. Finalmente, se detallan los métodos de ensamblado, subrayando las características que los diferencian.
Dirección
PATEIRO LOPEZ, BEATRIZ (Tutoría)
Rodríguez Acevedo, Iria Cotutoría
PATEIRO LOPEZ, BEATRIZ (Tutoría)
Rodríguez Acevedo, Iria Cotutoría
Tribunal
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
Introducción a la optimización no lineal
Autoría
D.P.V.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
D.P.V.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
17.07.2024 12:30
17.07.2024 12:30
Resumen
Este trabajo ofrece una presentación teórica de las bases de la optimización no lineal. Se inicia con un repaso de los contenidos relativos a la optimización vistos a lo largo del grado, con el objetivo de situar el punto de partida. Tras una introducción a los preliminares necesarios para una correcta formalización, se presentan los puntos principales del trabajo: las condiciones de optimalidad y la dualidad lagrangiana. En primer lugar, se desarrollan las condiciones de optimalidad de Fritz John y de Karush-Kuhn-Tucker para problemas de optimización no lineal; y para terminar, se introduce el problema dual lagrangiano junto a los teoremas de dualidad. A medida que se presentan los diferentes conceptos, se aborda la relación entre ellos y sus generalizaciones o casos particulares estudiados en el grado.
Este trabajo ofrece una presentación teórica de las bases de la optimización no lineal. Se inicia con un repaso de los contenidos relativos a la optimización vistos a lo largo del grado, con el objetivo de situar el punto de partida. Tras una introducción a los preliminares necesarios para una correcta formalización, se presentan los puntos principales del trabajo: las condiciones de optimalidad y la dualidad lagrangiana. En primer lugar, se desarrollan las condiciones de optimalidad de Fritz John y de Karush-Kuhn-Tucker para problemas de optimización no lineal; y para terminar, se introduce el problema dual lagrangiano junto a los teoremas de dualidad. A medida que se presentan los diferentes conceptos, se aborda la relación entre ellos y sus generalizaciones o casos particulares estudiados en el grado.
Dirección
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Tutoría)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Tutoría)
Tribunal
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
Existencia de soluciones periódicas de la ecuación de Mathieu
Autoría
E.P.V.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
E.P.V.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
16.07.2024 17:45
16.07.2024 17:45
Resumen
En este trabajo consideraremos la dinámica de un haz de electrones guiado por un campo magnético periódico axialmente simétrico. Es- te tipo de mecanismos se conocen como pistola electrónica o válvula de microondas y son una parte de muchos dispositivos electrónicos científicos, industriales y domésticos. Su dinámica se puede mode- lar a través de la ecuación de Mathieu, la cual es una ecuación de segundo orden con singularidades y que puede ser tratada como un caso particular de la ecuación de Hill. De este modo nos centraremos en el modelado del fenómeno y describiremos algunos resultados que garantizan la existencia de soluciones periódicas de signo constante.
En este trabajo consideraremos la dinámica de un haz de electrones guiado por un campo magnético periódico axialmente simétrico. Es- te tipo de mecanismos se conocen como pistola electrónica o válvula de microondas y son una parte de muchos dispositivos electrónicos científicos, industriales y domésticos. Su dinámica se puede mode- lar a través de la ecuación de Mathieu, la cual es una ecuación de segundo orden con singularidades y que puede ser tratada como un caso particular de la ecuación de Hill. De este modo nos centraremos en el modelado del fenómeno y describiremos algunos resultados que garantizan la existencia de soluciones periódicas de signo constante.
Dirección
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Tutoría)
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Tutoría)
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
Predicción de retornos financieros
Autoría
M.C.L.
Grado en Matemáticas
M.C.L.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
14.02.2024 10:00
14.02.2024 10:00
Resumen
El objetivo del trabajo es la predicción de series de retornos de activos financieros asociados al IBEX35 para lo que se van a utilizar los modelos GARCH multivariantes. Estos modelos se centran en la modelización de la varianza condicional que es el parámetro mas importante para el diseño de una cartera de inversión. Para introducir los modelos GARCH será preciso previamente conocer y manejar los modelos sobre la media (ARMA) ya que luego utilizaremos herramientas semejantes para su construcción.
El objetivo del trabajo es la predicción de series de retornos de activos financieros asociados al IBEX35 para lo que se van a utilizar los modelos GARCH multivariantes. Estos modelos se centran en la modelización de la varianza condicional que es el parámetro mas importante para el diseño de una cartera de inversión. Para introducir los modelos GARCH será preciso previamente conocer y manejar los modelos sobre la media (ARMA) ya que luego utilizaremos herramientas semejantes para su construcción.
Dirección
FEBRERO BANDE, MANUEL (Tutoría)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Tutoría)
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
Introducción al precondicionamiento en la resolución de sistemas lineales
Autoría
M.E.F.
Grado en Matemáticas
M.E.F.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
14.02.2024 10:45
14.02.2024 10:45
Resumen
En este trabajo trataremos de dar una aproximación al concepto de precondicionamiento en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, centrándonos en el caso de métodos iterativos en sistemas con matrices dispersas. Comenzaremos explicando en qué consiste la resolución de un sistema lineal de la forma Au=b, uno de los problemas básicos del Análisis Numérico Matricial. Veremos los distintos métodos que existen para alcanzar una solución, distinguiendo entre métodos directos y métodos iterativos. A continuación, definiremos el concepto de número de condición de una matriz, para después introducir el precondicionamiento tanto para métodos directos como para métodos iterativos. Luego explicaremos la deducción del método de gradiente conjugado, un método iterativo muy utilizado para resolver sistemas lineales grandes en los que la matriz A es simétrica definida positiva. Veremos en qué consiste la factorización de Cholesky para introducir seguidamente la factorización de Cholesky incompleta que permite calcular precondicionadores eficientes. Explicaremos como aplicar el precondicionamiento al método de gradiente conjugado para llegar al método de gradiente conjugado precondicionado. Por último, veremos algunas aplicaciones prácticas del uso del precondicionamiento y su efecto en el número de iteraciones necesarias para alcanzar la convergencia empleando el método de gradiente conjugado.
En este trabajo trataremos de dar una aproximación al concepto de precondicionamiento en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, centrándonos en el caso de métodos iterativos en sistemas con matrices dispersas. Comenzaremos explicando en qué consiste la resolución de un sistema lineal de la forma Au=b, uno de los problemas básicos del Análisis Numérico Matricial. Veremos los distintos métodos que existen para alcanzar una solución, distinguiendo entre métodos directos y métodos iterativos. A continuación, definiremos el concepto de número de condición de una matriz, para después introducir el precondicionamiento tanto para métodos directos como para métodos iterativos. Luego explicaremos la deducción del método de gradiente conjugado, un método iterativo muy utilizado para resolver sistemas lineales grandes en los que la matriz A es simétrica definida positiva. Veremos en qué consiste la factorización de Cholesky para introducir seguidamente la factorización de Cholesky incompleta que permite calcular precondicionadores eficientes. Explicaremos como aplicar el precondicionamiento al método de gradiente conjugado para llegar al método de gradiente conjugado precondicionado. Por último, veremos algunas aplicaciones prácticas del uso del precondicionamiento y su efecto en el número de iteraciones necesarias para alcanzar la convergencia empleando el método de gradiente conjugado.
Dirección
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Tutoría)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Tutoría)
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
Regresión sobre datos jerárquicos: los modelos multinivel
Autoría
N.F.G.
Grado en Matemáticas
N.F.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
14.02.2024 11:30
14.02.2024 11:30
Resumen
Nos modelos de regresión clásicos, as observacións das variables supóñense independentes, unha hipótese fundamental para poder derivar resultados sobre o comportamento dos estimadores dos parámetros. Pero na práctica, non é infrecuente que os datos presenten algún tipo de dependencia, por exemplo, de carácter temporal ou espacial, ou mesmo que saibamos que non son independentes pero non poidamos establecer unha función de correlación entre as observacións. Isto ocorre, por exemplo, cando as nosas observacións están agrupadas en unidades de nivel superior. Neste traballo trataremos como exemplo as notas de distintos estudantes da USC, agrupados por titulacións e/ou grandes áreas, polo que no proceso de modelado poderiamos tratar de introducir algún elemento que permita reflectir a fonte de variabilidade extra que provén do “efecto grupo”. Para isto, introducimos (ademais dos modelos clásicos xa visto durante o Grao de Matemáticas), novos modelos non vistos anteriormente, como son o RANOVA e os Modelos multinivel con resposta continua de diversos tipos, Modelos con variable explicativa asociada ao primeiro nivel ou ao segundo nivel. Por último, obteremos diversas predicións e conclusións dos estudos que realizaremos.
Nos modelos de regresión clásicos, as observacións das variables supóñense independentes, unha hipótese fundamental para poder derivar resultados sobre o comportamento dos estimadores dos parámetros. Pero na práctica, non é infrecuente que os datos presenten algún tipo de dependencia, por exemplo, de carácter temporal ou espacial, ou mesmo que saibamos que non son independentes pero non poidamos establecer unha función de correlación entre as observacións. Isto ocorre, por exemplo, cando as nosas observacións están agrupadas en unidades de nivel superior. Neste traballo trataremos como exemplo as notas de distintos estudantes da USC, agrupados por titulacións e/ou grandes áreas, polo que no proceso de modelado poderiamos tratar de introducir algún elemento que permita reflectir a fonte de variabilidade extra que provén do “efecto grupo”. Para isto, introducimos (ademais dos modelos clásicos xa visto durante o Grao de Matemáticas), novos modelos non vistos anteriormente, como son o RANOVA e os Modelos multinivel con resposta continua de diversos tipos, Modelos con variable explicativa asociada ao primeiro nivel ou ao segundo nivel. Por último, obteremos diversas predicións e conclusións dos estudos que realizaremos.
Dirección
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Tutoría)
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Tutoría)
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
Introducción a la Diferenciación Automática a través de la Programación Orientada a Objetos
Autoría
V.F.P.P.
Grado en Matemáticas
V.F.P.P.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
14.02.2024 12:15
14.02.2024 12:15
Resumen
La diferenciación automática consiste en algoritmos exactos en punto flotante con los que se busca obtener diferente información de una función al mismo tiempo (derivada, gradiente, hessiana, ...). Para la implementación eficiente de esta técnica resulta especialmente útil la Programación Orientada a Objetos. El objetivo del trabajo consiste en estudiar y emplear la Programación Orientada a Objetos para introducirse en la Diferenciación Automática. Para ello se comenzará abordando casos sencillos tales como el cálculo del valor de una función y el de su derivada en un punto para adentrarse posteriormente en casos más complicados como el cálculo de derivadas parciales o de derivadas de orden superior mediante los coeficientes del polinomio de Taylor.
La diferenciación automática consiste en algoritmos exactos en punto flotante con los que se busca obtener diferente información de una función al mismo tiempo (derivada, gradiente, hessiana, ...). Para la implementación eficiente de esta técnica resulta especialmente útil la Programación Orientada a Objetos. El objetivo del trabajo consiste en estudiar y emplear la Programación Orientada a Objetos para introducirse en la Diferenciación Automática. Para ello se comenzará abordando casos sencillos tales como el cálculo del valor de una función y el de su derivada en un punto para adentrarse posteriormente en casos más complicados como el cálculo de derivadas parciales o de derivadas de orden superior mediante los coeficientes del polinomio de Taylor.
Dirección
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Tutoría)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE Cotutoría
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Tutoría)
PENA BRAGE, FRANCISCO JOSE Cotutoría
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
Diagramas de Voronoi y aplicación a la localización óptima
Autoría
M.D.G.
Grado en Matemáticas
M.D.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
15.02.2024 11:30
15.02.2024 11:30
Resumen
Este trabajo empieza con una introducción histórica para contextualizar el concepto de diagrama de Voronoi. En el Capítulo 1 se recuerdan y afianzan conocimientos básicos de diversas áreas como pueden ser la geometría vectorial, la topología o la teoría de grafos, también con el objetivo de fijar notación que se usará en los capítulos posteriores. En el Capítulo 2 se describen los diagramas de Voronoi proporcionando definiciones formales de los mismos y de su dual, las teselaciones de Delaunay, las cuales surgen de manera natural a partir de los propios diagramas. Además, se tratan una serie de propiedades de los diagramas para después en el Capítulo 3 describir dos algoritmos de construcción de los mismos. Por último, en el Capítulo 4 se estudia como los diagramas de Voronoi se pueden usar en problemas de localización óptima, haciendo antes una pequeña introducción a la programación matemática. Concluimos en el Capítulo 5 con algunas observaciones y posibles ampliaciones que se podrían hacer del estudio.
Este trabajo empieza con una introducción histórica para contextualizar el concepto de diagrama de Voronoi. En el Capítulo 1 se recuerdan y afianzan conocimientos básicos de diversas áreas como pueden ser la geometría vectorial, la topología o la teoría de grafos, también con el objetivo de fijar notación que se usará en los capítulos posteriores. En el Capítulo 2 se describen los diagramas de Voronoi proporcionando definiciones formales de los mismos y de su dual, las teselaciones de Delaunay, las cuales surgen de manera natural a partir de los propios diagramas. Además, se tratan una serie de propiedades de los diagramas para después en el Capítulo 3 describir dos algoritmos de construcción de los mismos. Por último, en el Capítulo 4 se estudia como los diagramas de Voronoi se pueden usar en problemas de localización óptima, haciendo antes una pequeña introducción a la programación matemática. Concluimos en el Capítulo 5 con algunas observaciones y posibles ampliaciones que se podrían hacer del estudio.
Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
El problema de localización óptima
Autoría
A.D.F.
Grado en Matemáticas
A.D.F.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
15.02.2024 12:00
15.02.2024 12:00
Resumen
En esta memoria se abordarán los tipos de problemas de localización, que tienen aplicaciones significativas en diversos campos como logística, transporte, telecomunicaciones y muchas otras áreas. En particular, el trabajo se sumergirá en el análisis del problema de Weber, que se enmarca dentro de los problemas de localización y busca determinar la ubicación de un nuevo punto o instalación de manera que minimice la suma ponderada de las distancias euclidianas a un conjunto dado de puntos. Para abordar el problema de Weber se explorará la profundidad del algoritmo de Weiszfeld, una herramienta fundamental en la resolución numérica de este tipo de problemas. Finalmente, se plantea un ejemplo aplicable a la vida real que consiste en el cálculo de la localización óptima de una bodega de vino en Galicia teniendo en cuenta los restaurantes a los que quiere suministrar vino y las empresas que le proporcionarían recursos.
En esta memoria se abordarán los tipos de problemas de localización, que tienen aplicaciones significativas en diversos campos como logística, transporte, telecomunicaciones y muchas otras áreas. En particular, el trabajo se sumergirá en el análisis del problema de Weber, que se enmarca dentro de los problemas de localización y busca determinar la ubicación de un nuevo punto o instalación de manera que minimice la suma ponderada de las distancias euclidianas a un conjunto dado de puntos. Para abordar el problema de Weber se explorará la profundidad del algoritmo de Weiszfeld, una herramienta fundamental en la resolución numérica de este tipo de problemas. Finalmente, se plantea un ejemplo aplicable a la vida real que consiste en el cálculo de la localización óptima de una bodega de vino en Galicia teniendo en cuenta los restaurantes a los que quiere suministrar vino y las empresas que le proporcionarían recursos.
Dirección
SAAVEDRA NIEVES, PAULA (Tutoría)
GINZO VILLAMAYOR, MARIA JOSE Cotutoría
SAAVEDRA NIEVES, PAULA (Tutoría)
GINZO VILLAMAYOR, MARIA JOSE Cotutoría
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
Las transformaciones de Möbius y el plano complejo
Autoría
I.O.D.
Grado en Matemáticas
I.O.D.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
15.02.2024 12:30
15.02.2024 12:30
Resumen
En este trabajo estudiaremos las transformaciones de Möbius, un tipo de funciones holomorfas cuya característica principal es que preservan los ángulos. Analizaremos en detalle cómo estas funciones se obtienen a partir de otras más simples ya conocidas y veremos que cumplen algunas propiedades de gran interés, como la transformación de circunferencias en otras circunferencias o la simetría. Posteriormente, veremos cómo podemos clasificar las transformaciones y para concluir veremos algunos casos particulares.
En este trabajo estudiaremos las transformaciones de Möbius, un tipo de funciones holomorfas cuya característica principal es que preservan los ángulos. Analizaremos en detalle cómo estas funciones se obtienen a partir de otras más simples ya conocidas y veremos que cumplen algunas propiedades de gran interés, como la transformación de circunferencias en otras circunferencias o la simetría. Posteriormente, veremos cómo podemos clasificar las transformaciones y para concluir veremos algunos casos particulares.
Dirección
Cao Labora, Daniel (Tutoría)
Cao Labora, Daniel (Tutoría)
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
Cálculo Discreto
Autoría
S.A.P.
Grado en Matemáticas
S.A.P.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
14.02.2024 17:00
14.02.2024 17:00
Resumen
En este trabajo llevaremos a cabo un breve estudio de las ecuaciones en diferencias, poniendo simultáneamente de manifiesto sus similitudes y diferencias con las ecuaciones diferenciales. Primeramente introduciremos los conceptos básicos, como el operador incremento o lo que entendemos por ecuación en diferencias, para su posterior desarrollo de cara a obtener métodos de resolución. En la segunda sección, comenzaremos con un análisis de las ecuaciones en diferencias lineares de primera orden n. Ésta servirá cómo pequeña introducción a los métodos de resolución generales. En ella trataremos las definiciones y resultados básicos relativos a las soluciones de las ecuaciones en diferencias, a pesar de que de una manera más sencilla por tratarse de ecuaciones simplificadas. Además, nos iniciaremos en el estudio cualitativo de sus soluciones y el concepto de estabilidad asintótica. En el tercer capítulo nos sumergimos en las definiciones, proposiciones y métodos generales de resolución de ecuaciones en diferencias, lineares, con coeficientes constantes y de orden n. También trataremos las nociones de dependencia linear, a matriz de Casorati o los procedimientos de resolución de ecuaciones. Por último, estudiaremos algunos ejemplos prácticos de situaciones que pueden ser modelizadas a partir de ecuaciones en diferencias. Concluiremos el trabajo sintetizando los principales paralelismos entre el cálculo diferencial y el discreto en el ámbito de las ecuaciones diferenciales y en diferencias.
En este trabajo llevaremos a cabo un breve estudio de las ecuaciones en diferencias, poniendo simultáneamente de manifiesto sus similitudes y diferencias con las ecuaciones diferenciales. Primeramente introduciremos los conceptos básicos, como el operador incremento o lo que entendemos por ecuación en diferencias, para su posterior desarrollo de cara a obtener métodos de resolución. En la segunda sección, comenzaremos con un análisis de las ecuaciones en diferencias lineares de primera orden n. Ésta servirá cómo pequeña introducción a los métodos de resolución generales. En ella trataremos las definiciones y resultados básicos relativos a las soluciones de las ecuaciones en diferencias, a pesar de que de una manera más sencilla por tratarse de ecuaciones simplificadas. Además, nos iniciaremos en el estudio cualitativo de sus soluciones y el concepto de estabilidad asintótica. En el tercer capítulo nos sumergimos en las definiciones, proposiciones y métodos generales de resolución de ecuaciones en diferencias, lineares, con coeficientes constantes y de orden n. También trataremos las nociones de dependencia linear, a matriz de Casorati o los procedimientos de resolución de ecuaciones. Por último, estudiaremos algunos ejemplos prácticos de situaciones que pueden ser modelizadas a partir de ecuaciones en diferencias. Concluiremos el trabajo sintetizando los principales paralelismos entre el cálculo diferencial y el discreto en el ámbito de las ecuaciones diferenciales y en diferencias.
Dirección
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Tutoría)
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Tutoría)
Tribunal
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Tutor del alumno)
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Tutor del alumno)
Fundamentos de una teoría de conexión para complejos simpliciales
Autoría
A.X.M.G.
Grado en Matemáticas
A.X.M.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
14.02.2024 12:00
14.02.2024 12:00
Resumen
EL trabajo consistirá en la explicación con claridad de los resultados y conceptos presentados en el artículo: Foundations of a Connectivity Theory for Simplicial Complexes. En el que se expandirá el conccepto de homotopia a complejos simpliciales.Se introduirán antes algunos conceptos de topología y álgebra y después de presentar varios resultados sobre conexión en complejos simpliciales, se incluirá un teorema similar al de Seifert-Van Kampen para espacios topológicos.
EL trabajo consistirá en la explicación con claridad de los resultados y conceptos presentados en el artículo: Foundations of a Connectivity Theory for Simplicial Complexes. En el que se expandirá el conccepto de homotopia a complejos simpliciales.Se introduirán antes algunos conceptos de topología y álgebra y después de presentar varios resultados sobre conexión en complejos simpliciales, se incluirá un teorema similar al de Seifert-Van Kampen para espacios topológicos.
Dirección
Gómez Tato, Antonio M. (Tutoría)
Gómez Tato, Antonio M. (Tutoría)
Tribunal
Gómez Tato, Antonio M. (Tutor del alumno)
Gómez Tato, Antonio M. (Tutor del alumno)
La integral de Kurzweil-Stieltjes
Autoría
P.C.F.
Grado en Matemáticas
P.C.F.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
15.02.2024 16:00
15.02.2024 16:00
Resumen
En este trabajo desarrollaremos la teoría correspondiente a la integral de Kurzweil-Stieltjes dividida en tres bloques. En el primer capítulo presentamos la integral y los elementos que la caracterizan. En el segundo presentamos las funciones regladas y de variación limitada para terminar presentando un resultado que asegura su existencia. Por último, en el capítulo de propiedades exponemos resultados relativos a la integración clásica como lo son la integración por partes, la integral indefinida, el teorema de sustitución, la integrabilidad absoluta y terminamos con la sección relativa a sus teoremas de convergencia
En este trabajo desarrollaremos la teoría correspondiente a la integral de Kurzweil-Stieltjes dividida en tres bloques. En el primer capítulo presentamos la integral y los elementos que la caracterizan. En el segundo presentamos las funciones regladas y de variación limitada para terminar presentando un resultado que asegura su existencia. Por último, en el capítulo de propiedades exponemos resultados relativos a la integración clásica como lo son la integración por partes, la integral indefinida, el teorema de sustitución, la integrabilidad absoluta y terminamos con la sección relativa a sus teoremas de convergencia
Dirección
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutoría)
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutoría)
Tribunal
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutor del alumno)
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutor del alumno)
Teoría de Categorías
Autoría
M.M.M.M.
Grado en Matemáticas
M.M.M.M.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
12.09.2024 09:00
12.09.2024 09:00
Resumen
A teoría de categorías podería describirse coma a definición duns fundamentos matemáticos de múltiples dimensións. Estuda as diferentes estruturas matemáticas, así como as relacións que existen entre elas, creando pontes que conectan e organizan todo tipo de áreas de estudo. Deste xeito, constitúen unha ferramenta que, aínda sendo bastante abstracta e formal, é moi potente á hora de resolver problemas de múltiples naturezas. Proporciona a posibilidade de trasladar ditas cuestións a un marco no que traballar sexa máis doado, e ás veces ata dan a solución directamente, ao ser capaces de describir con precisión estruturas aparentemente complexas. Neste traballo introducirase esta teoría, cubrindo e explicando os conceptos básicos, e dando unha serie de exemplos pertinentes.
A teoría de categorías podería describirse coma a definición duns fundamentos matemáticos de múltiples dimensións. Estuda as diferentes estruturas matemáticas, así como as relacións que existen entre elas, creando pontes que conectan e organizan todo tipo de áreas de estudo. Deste xeito, constitúen unha ferramenta que, aínda sendo bastante abstracta e formal, é moi potente á hora de resolver problemas de múltiples naturezas. Proporciona a posibilidade de trasladar ditas cuestións a un marco no que traballar sexa máis doado, e ás veces ata dan a solución directamente, ao ser capaces de describir con precisión estruturas aparentemente complexas. Neste traballo introducirase esta teoría, cubrindo e explicando os conceptos básicos, e dando unha serie de exemplos pertinentes.
Dirección
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Tutoría)
TURDIBAEV , RUSTAM Cotutoría
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Tutoría)
TURDIBAEV , RUSTAM Cotutoría
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Bases de Gröbner, algoritmo de Buchberger y aplicaciones
Autoría
B.Q.C.
Grado en Matemáticas
B.Q.C.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
12.09.2024 09:40
12.09.2024 09:40
Resumen
Las bases de Gröbner son un concepto fundamental tanto para el álgebra computacional como para la geometría algebraica. Su importancia viene dada por la gran aplicabilidad que tienen, ya que, por ejemplo, se pueden resolver grandes sistemas complejos de ecuaciones polinomiales de forma más sencilla. En este trabajo se estudiarán, después de proporcionar el contexto necesario, tanto las bases de Gröbner, como su obtención mediante el algoritmo de Buchberger, además de tres aplicaciones en distintas ramas para mostrar su importancia, que son las operaciones con ideales, la programación entera y una aplicación recreativa a la resolución de sudokus.
Las bases de Gröbner son un concepto fundamental tanto para el álgebra computacional como para la geometría algebraica. Su importancia viene dada por la gran aplicabilidad que tienen, ya que, por ejemplo, se pueden resolver grandes sistemas complejos de ecuaciones polinomiales de forma más sencilla. En este trabajo se estudiarán, después de proporcionar el contexto necesario, tanto las bases de Gröbner, como su obtención mediante el algoritmo de Buchberger, además de tres aplicaciones en distintas ramas para mostrar su importancia, que son las operaciones con ideales, la programación entera y una aplicación recreativa a la resolución de sudokus.
Dirección
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Tutoría)
ALVITE PAZO, RAUL Cotutoría
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Tutoría)
ALVITE PAZO, RAUL Cotutoría
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Un enfoque construtivo do problema inverso de Galois
Autoría
D.Q.G.
Grado en Matemáticas
D.Q.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
12.09.2024 10:20
12.09.2024 10:20
Resumen
El problema inverso de Galois expone la enigmática cuestión de si para cualquier grupo finito G, existe un polinomio cuyo grupo de Galois sobre el cuerpo de los números racionales es G. Este problema, expuesto por primera vez en el siglo XIX, sigue sin resolverse, y es parte de la motivación de este trabajo. Otro incentivo es enfocarlo desde el punto de vista constructivo y computacional, es decir, encontrar polinomios cuyo grupo de Galois sea un grupo dado.
El problema inverso de Galois expone la enigmática cuestión de si para cualquier grupo finito G, existe un polinomio cuyo grupo de Galois sobre el cuerpo de los números racionales es G. Este problema, expuesto por primera vez en el siglo XIX, sigue sin resolverse, y es parte de la motivación de este trabajo. Otro incentivo es enfocarlo desde el punto de vista constructivo y computacional, es decir, encontrar polinomios cuyo grupo de Galois sea un grupo dado.
Dirección
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Tutoría)
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Tutoría)
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Espacios de Fréchet-Urysohn
Autoría
V.F.G.
Grado en Matemáticas
V.F.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
12.09.2024 10:00
12.09.2024 10:00
Resumen
En este trabajo, exploramos el uso de las sucesiones en la topología general. Comenzamos por los espacios métricos y los primeros numerables, siguiendo por los espacios de Fréchet-Urysohn y los espacios secuenciales. Cada una de estas clases está contenida en la siguiente. Examinamos las relaciones entre los distintos espacios, caracterizando unos a partir de otros y observando cómo se comportan bajo ciertas operaciones. El objetivo final será caracterizar de la forma más completa posible los espacios de Fréchet-Urysohn.
En este trabajo, exploramos el uso de las sucesiones en la topología general. Comenzamos por los espacios métricos y los primeros numerables, siguiendo por los espacios de Fréchet-Urysohn y los espacios secuenciales. Cada una de estas clases está contenida en la siguiente. Examinamos las relaciones entre los distintos espacios, caracterizando unos a partir de otros y observando cómo se comportan bajo ciertas operaciones. El objetivo final será caracterizar de la forma más completa posible los espacios de Fréchet-Urysohn.
Dirección
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Tutoría)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Tutoría)
Tribunal
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Tutor del alumno)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Tutor del alumno)
Ondículas y aplicaciones
Autoría
S.C.C.
Grado en Matemáticas
S.C.C.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
11.09.2024 09:30
11.09.2024 09:30
Resumen
El objetivo de este trabajo es estudiar el célebre espacio funcional de Hilbert definido por Lebesgue desde el enfoque del análisis armónico. Primero, se estudia la transformada de Fourier y se exploran sus propiedades algebraicas y analíticas. Se demuestran el teorema de inversión de Fourier, que nos permite recuperar una función de su transformada aplicando la transformada inversa, y el teorema de Plancherel, el cual viabiliza extender la transformada, inicialmente definida en otro espacio funcional, a dicho espacio de Hilbert. A continuación, se presentan y estudian dos fenómenos connaturales (e inoportunos) a las herramientas matemáticas de Fourier: el fenómeno de Gibbs y el principio de incertidumbre de Heisenberg. Para finalizar, cambiando de óptica, se introducen las ondículas para subsanar esta problemática. Esta última parte se centra en caracterizar las ondículas que producen buenas aproximaciones y en definir la transformada ondícula siguiendo la hoja de ruta que nos facilita la transformada de Fourier, además de aportar someramente algunos ejemplos y aplicaciones de la teoría de ondículas.
El objetivo de este trabajo es estudiar el célebre espacio funcional de Hilbert definido por Lebesgue desde el enfoque del análisis armónico. Primero, se estudia la transformada de Fourier y se exploran sus propiedades algebraicas y analíticas. Se demuestran el teorema de inversión de Fourier, que nos permite recuperar una función de su transformada aplicando la transformada inversa, y el teorema de Plancherel, el cual viabiliza extender la transformada, inicialmente definida en otro espacio funcional, a dicho espacio de Hilbert. A continuación, se presentan y estudian dos fenómenos connaturales (e inoportunos) a las herramientas matemáticas de Fourier: el fenómeno de Gibbs y el principio de incertidumbre de Heisenberg. Para finalizar, cambiando de óptica, se introducen las ondículas para subsanar esta problemática. Esta última parte se centra en caracterizar las ondículas que producen buenas aproximaciones y en definir la transformada ondícula siguiendo la hoja de ruta que nos facilita la transformada de Fourier, además de aportar someramente algunos ejemplos y aplicaciones de la teoría de ondículas.
Dirección
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Tutoría)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Tutoría)
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
Imre Lakatos: Pruebas y refutaciones. La lógica del descubrimiento matemático
Autoría
M.F.R.
Grado en Matemáticas
M.F.R.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
11.09.2024 10:15
11.09.2024 10:15
Resumen
Este Trabajo Fin de Grado tiene como objetivo principal conocer y presentar el método de pruebas y refutaciones propuesto por el matemático y filósofo húngaro Imre Lakatos en su obra Pruebas y refutaciones: la lógica del descubrimiento matemático. Para ello, mostraremos en qué consiste dicho método en cuatro situaciones diferentes. Primeramente, analizaremos la discusión y demostración del Teorema de Euler-Descartes sobre poliedros. A continuación, hablaremos del descubrimiento del concepto de convergencia uniforme y de su relación con la continuidad de la función límite de una sucesión de funciones continuas. Después presentaremos algunas características de dicho método en el ámbito de la de Teoría de la Medida y en relación con el papel de las funciones de variación acotada en la teoría de integración de Riemann-Stieltjes.
Este Trabajo Fin de Grado tiene como objetivo principal conocer y presentar el método de pruebas y refutaciones propuesto por el matemático y filósofo húngaro Imre Lakatos en su obra Pruebas y refutaciones: la lógica del descubrimiento matemático. Para ello, mostraremos en qué consiste dicho método en cuatro situaciones diferentes. Primeramente, analizaremos la discusión y demostración del Teorema de Euler-Descartes sobre poliedros. A continuación, hablaremos del descubrimiento del concepto de convergencia uniforme y de su relación con la continuidad de la función límite de una sucesión de funciones continuas. Después presentaremos algunas características de dicho método en el ámbito de la de Teoría de la Medida y en relación con el papel de las funciones de variación acotada en la teoría de integración de Riemann-Stieltjes.
Dirección
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Tutoría)
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Tutoría)
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
Identificación del comportamiento mecánico de una composición de viga y columnas
Autoría
H.M.H.
Grado en Matemáticas
H.M.H.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
11.09.2024 16:00
11.09.2024 16:00
Resumen
Este trabajo consiste en un caso práctico recogido en el curso del profesor visitante a la USC Vasant Matshagar. El objetivo del estudio es el de observar cómo es el comportamiento mecánico de un pórtico simple compuesto por dos columnas y una viga. Primeramente, vamos a introducir los conceptos de tensor de tensiones y tensor de deformación, que nos serán de utilidad, junto con la ley de Hooke, para desarrollar las ecuaciones 3D de la elasticidad. A partir del modelo 3D, y ya que la geometría de la estructura y las cargas aplicadas tienen unas características específicas, se elaborará un modelo unidimensional para simplificar el cálculo. Utilizaremos el modelo de Bernouilli-Euler y el modelo de barras para desarrollarlo. Para decidir las condiciones de contorno se van a tener en cuenta que ambas columnas están ancladas al suelo y que el pórtico va a estar bajo la influencia de la gravedad y fuertes ráfagas de viento. Finalmente, haremos un estudio estacionario del modelo mediante una simulación empleando el software COMSOL Multiphysics. Explicaremos el paso a paso y contrastaremos los resultados.
Este trabajo consiste en un caso práctico recogido en el curso del profesor visitante a la USC Vasant Matshagar. El objetivo del estudio es el de observar cómo es el comportamiento mecánico de un pórtico simple compuesto por dos columnas y una viga. Primeramente, vamos a introducir los conceptos de tensor de tensiones y tensor de deformación, que nos serán de utilidad, junto con la ley de Hooke, para desarrollar las ecuaciones 3D de la elasticidad. A partir del modelo 3D, y ya que la geometría de la estructura y las cargas aplicadas tienen unas características específicas, se elaborará un modelo unidimensional para simplificar el cálculo. Utilizaremos el modelo de Bernouilli-Euler y el modelo de barras para desarrollarlo. Para decidir las condiciones de contorno se van a tener en cuenta que ambas columnas están ancladas al suelo y que el pórtico va a estar bajo la influencia de la gravedad y fuertes ráfagas de viento. Finalmente, haremos un estudio estacionario del modelo mediante una simulación empleando el software COMSOL Multiphysics. Explicaremos el paso a paso y contrastaremos los resultados.
Dirección
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Tutoría)
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Tutoría)
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
Problemas de flujo a coste mínimo: algoritmos y aplicaciones
Autoría
S.F.R.
Grado en Matemáticas
S.F.R.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
11.09.2024 13:00
11.09.2024 13:00
Resumen
Los problemas de flujo a coste mínimo son problemas de optimización usados para modelar y resolver problemas minimizando costes y satisfaciendo las restricciones de flujo. El algoritmo out-of-kilter es utilizado en la resolución de problemas de flujo en redes a coste mínimo y trata de optimizar un flujo a través de una red cumpliendo ciertas restricciones. Trabaja con doble viabilidad, moviéndose en problemas primales y duales con el objetivo de alcanzar una solución óptima factible e intentado conseguir que se cumpla la propiedad de la holgura complementaria. Una aplicación de estos problemas en la que se ha utilizado AMPL y el solver GUROBI es la optimización de citas para recibir quimioterapia para pacientes con cáncer, en la que se intenta alcanzar una forma óptima de citar a los pacientes para recibir el tratamiento y con la cual el tiempo de espera sea lo más reducido posible.
Los problemas de flujo a coste mínimo son problemas de optimización usados para modelar y resolver problemas minimizando costes y satisfaciendo las restricciones de flujo. El algoritmo out-of-kilter es utilizado en la resolución de problemas de flujo en redes a coste mínimo y trata de optimizar un flujo a través de una red cumpliendo ciertas restricciones. Trabaja con doble viabilidad, moviéndose en problemas primales y duales con el objetivo de alcanzar una solución óptima factible e intentado conseguir que se cumpla la propiedad de la holgura complementaria. Una aplicación de estos problemas en la que se ha utilizado AMPL y el solver GUROBI es la optimización de citas para recibir quimioterapia para pacientes con cáncer, en la que se intenta alcanzar una forma óptima de citar a los pacientes para recibir el tratamiento y con la cual el tiempo de espera sea lo más reducido posible.
Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotutoría
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotutoría
Tribunal
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutor del alumno)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutor del alumno)
Teorema minimax, optimización y aprendizaje
Autoría
N.O.G.
Grado en Matemáticas
N.O.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
12.09.2024 12:20
12.09.2024 12:20
Resumen
En este trabajo se incorporarán algunos de los antecedentes históricos de la teoría de juegos y la trayectoria de John von Neumann. El fundamental serán los juegos matriciales y su resolución. Se presentará una demostración formal y directa del teorema minimax. Posteriormente se mostrarán aplicaciones técnicas de optimización para darle solución a un juego matricial, tanto en su forma clásica, como en el caso en el que la función de pago sea de tipo vectorial mostrando una aplicación a un problema de la vida real empleando librerías de optimización del lenguaje R de programación. Por último, se mostrará el método de aprendizaje propuesto por George W. Brown, cuya convergencia fue probada por Julia Robinson y se verán ciertos experimentos que lo ilustran.
En este trabajo se incorporarán algunos de los antecedentes históricos de la teoría de juegos y la trayectoria de John von Neumann. El fundamental serán los juegos matriciales y su resolución. Se presentará una demostración formal y directa del teorema minimax. Posteriormente se mostrarán aplicaciones técnicas de optimización para darle solución a un juego matricial, tanto en su forma clásica, como en el caso en el que la función de pago sea de tipo vectorial mostrando una aplicación a un problema de la vida real empleando librerías de optimización del lenguaje R de programación. Por último, se mostrará el método de aprendizaje propuesto por George W. Brown, cuya convergencia fue probada por Julia Robinson y se verán ciertos experimentos que lo ilustran.
Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)
Tribunal
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutor del alumno)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutor del alumno)
Valores de juegos cooperativos y reparto de costes en condominios.
Autoría
S.P.R.
Grado en Matemáticas
S.P.R.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
11.09.2024 19:30
11.09.2024 19:30
Resumen
En este trabajo se aborda el problema del reparto de costes en condominios utilizando la teoría de juegos cooperativos, la cual estudia los procedimientos para asignar los beneficios o costes entre los agentes que cooperan en diversas situaciones en las que tratan de obtener el mejor resultado posible. Nos centraremos en dos enfoques principales: la regla del ascensor de Crettez y Deloche (2019) centrado especialmente desde el punto de vista de la legislación francesa en la que los propietarios deberán pagar en base a las ventajas obtenidas y las soluciones equitativas de Alonso Meijide y otros (2020), donde consideran que los pisos del edificio desembocan de forma natural en una estructura de uniones a priori de Owen (1977). Analizaremos sus fundamentos teóricos, su aplicación práctica y la estabilidad coalicional de los métodos propuestos. Finalmente, se presentará un caso práctico para ilustrar la implementación de estos métodos en situaciones reales.
En este trabajo se aborda el problema del reparto de costes en condominios utilizando la teoría de juegos cooperativos, la cual estudia los procedimientos para asignar los beneficios o costes entre los agentes que cooperan en diversas situaciones en las que tratan de obtener el mejor resultado posible. Nos centraremos en dos enfoques principales: la regla del ascensor de Crettez y Deloche (2019) centrado especialmente desde el punto de vista de la legislación francesa en la que los propietarios deberán pagar en base a las ventajas obtenidas y las soluciones equitativas de Alonso Meijide y otros (2020), donde consideran que los pisos del edificio desembocan de forma natural en una estructura de uniones a priori de Owen (1977). Analizaremos sus fundamentos teóricos, su aplicación práctica y la estabilidad coalicional de los métodos propuestos. Finalmente, se presentará un caso práctico para ilustrar la implementación de estos métodos en situaciones reales.
Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotutoría
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)
DAVILA PENA, LAURA Cotutoría
Tribunal
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutor del alumno)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutor del alumno)
Detección de anomalías en líneas eléctricas
Autoría
D.P.V.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
D.P.V.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
18.07.2024 13:00
18.07.2024 13:00
Resumen
La inspección del tendido eléctrico es un campo en constante avance debido a la importancia que tiene toda la infraestructura eléctrica en la sociedad actual. La mayoría de artículos que abordan este tema se centran en la monitorización de aisladores, dejando de lado una gran cantidad de componentes que también tienen relevancia en la red eléctrica. En este trabajo se explora la capacidad de versiones de los modelos RetinaNet, Single Shot Multibox Detector (SSD), You Only Look Once (YOLO) y Faster R-CNN para la detección de un número más amplio de elementos de la red eléctrica. Por último, también se estudia el rendimiento de los modelos de clasificación ResNet y EfficientNet para la categorización de defectos de aisladores.
La inspección del tendido eléctrico es un campo en constante avance debido a la importancia que tiene toda la infraestructura eléctrica en la sociedad actual. La mayoría de artículos que abordan este tema se centran en la monitorización de aisladores, dejando de lado una gran cantidad de componentes que también tienen relevancia en la red eléctrica. En este trabajo se explora la capacidad de versiones de los modelos RetinaNet, Single Shot Multibox Detector (SSD), You Only Look Once (YOLO) y Faster R-CNN para la detección de un número más amplio de elementos de la red eléctrica. Por último, también se estudia el rendimiento de los modelos de clasificación ResNet y EfficientNet para la categorización de defectos de aisladores.
Dirección
MUCIENTES MOLINA, MANUEL FELIPE (Tutoría)
Abado Bóveda, Silvia Cotutoría
MUCIENTES MOLINA, MANUEL FELIPE (Tutoría)
Abado Bóveda, Silvia Cotutoría
Tribunal
VIDAL AGUIAR, JUAN CARLOS (Presidente/a)
DOSIL LAGO, RAQUEL (Secretario/a)
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Vocal)
VIDAL AGUIAR, JUAN CARLOS (Presidente/a)
DOSIL LAGO, RAQUEL (Secretario/a)
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Vocal)
Lifelong Learning para aplicaciones de edge computing en la industria 4.0
Autoría
S.A.P.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
S.A.P.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
18.07.2024 10:00
18.07.2024 10:00
Resumen
En este trabajo se desarrolla un modelo codificador de series de tiempo no supervisado y con aprendizaje continuo, con el objetivo de integrarlo con un modelo de clasificación. Específicamente, se adapta un modelo de codificación de series de tiempo existente para que se entrene con aprendizaje continuo, permitiendo utilizar las codificaciones generadas como entrada para el modelo de clasificación. Además, para poder evaluar la calidad de las codificaciones se diseñan una serie de métricas y métodos de visualización. Los experimentos realizados demuestran que el rendimiento al utilizar el codificador con aprendizaje continuo es equiparable al rendimiento obtenido al utilizar aprendizaje offline, siendo la primera situación más difícil para el modelo. Los experimentos de integración demuestran que al utilizar las codificaciones como entrada para clasificador con aprendizaje continuo el rendimiento obtenido es satisfactorio.
En este trabajo se desarrolla un modelo codificador de series de tiempo no supervisado y con aprendizaje continuo, con el objetivo de integrarlo con un modelo de clasificación. Específicamente, se adapta un modelo de codificación de series de tiempo existente para que se entrene con aprendizaje continuo, permitiendo utilizar las codificaciones generadas como entrada para el modelo de clasificación. Además, para poder evaluar la calidad de las codificaciones se diseñan una serie de métricas y métodos de visualización. Los experimentos realizados demuestran que el rendimiento al utilizar el codificador con aprendizaje continuo es equiparable al rendimiento obtenido al utilizar aprendizaje offline, siendo la primera situación más difícil para el modelo. Los experimentos de integración demuestran que al utilizar las codificaciones como entrada para clasificador con aprendizaje continuo el rendimiento obtenido es satisfactorio.
Dirección
MERA PEREZ, DAVID (Tutoría)
Fernández Castro, Bruno Cotutoría
García Santaclara, Pablo Cotutoría
MERA PEREZ, DAVID (Tutoría)
Fernández Castro, Bruno Cotutoría
García Santaclara, Pablo Cotutoría
Tribunal
Cotos Yáñez, José Manuel (Presidente/a)
QUESADA BARRIUSO, PABLO (Secretario/a)
GAGO COUSO, FELIPE (Vocal)
Cotos Yáñez, José Manuel (Presidente/a)
QUESADA BARRIUSO, PABLO (Secretario/a)
GAGO COUSO, FELIPE (Vocal)
Revisión y análisis de modelos de inteligencia artificial cuántica
Autoría
M.T.L.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
M.T.L.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
18.07.2024 11:30
18.07.2024 11:30
Resumen
La computación cuántica es un campo prometedor hoy en día, que pretende revolucionar las ciencias de la computación aprovechando las ventajas de la mecánica cuántica. Su combinación con el campo de la inteligencia artificial da lugar al conocido como Quantum Machine Learning. En este trabajo se desarrolla una introducción a sus técnicas y modelos. Tras una revisión bibliográfica, se selecciona un modelo concreto: un clasificador basado en una novedosa técnica conocida como data re-uploading. Se implementará dicho modelo utilizando la biblioteca estándar Qiskit y se llevará a cabo una experimentación para evaluarlo.
La computación cuántica es un campo prometedor hoy en día, que pretende revolucionar las ciencias de la computación aprovechando las ventajas de la mecánica cuántica. Su combinación con el campo de la inteligencia artificial da lugar al conocido como Quantum Machine Learning. En este trabajo se desarrolla una introducción a sus técnicas y modelos. Tras una revisión bibliográfica, se selecciona un modelo concreto: un clasificador basado en una novedosa técnica conocida como data re-uploading. Se implementará dicho modelo utilizando la biblioteca estándar Qiskit y se llevará a cabo una experimentación para evaluarlo.
Dirección
BUGARIN DIZ, ALBERTO JOSE (Tutoría)
Fernández Pena, Anselmo Tomás Cotutoría
BUGARIN DIZ, ALBERTO JOSE (Tutoría)
Fernández Pena, Anselmo Tomás Cotutoría
Tribunal
Cotos Yáñez, José Manuel (Presidente/a)
QUESADA BARRIUSO, PABLO (Secretario/a)
GAGO COUSO, FELIPE (Vocal)
Cotos Yáñez, José Manuel (Presidente/a)
QUESADA BARRIUSO, PABLO (Secretario/a)
GAGO COUSO, FELIPE (Vocal)
Sincronización de labios automática en el robot social Furhat
Autoría
C.C.P.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
C.C.P.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
19.07.2024 10:30
19.07.2024 10:30
Resumen
El auge de la inteligencia artificial en la robótica social y la proliferación de los sistemas TTS (Text To Speech) hacen que pueda existir una integración de ambos campos, como se puede ver en el robot Furhat. Esta tecnología está limitada a pocos idiomas, recientemente se consiguió integrar con éxito el TTS del Proxecto Nós en este robot, lo que permitió un discurso en gallego. No obstante, la sincronización de labios no se ajustó a la lengua gallega, lo que deriva en una experiencia de usuario incompleta. En este trabajo se proponen una sincronización alternativa de labios para el robot social Furhat durante su discurso en gallego. Para lograrlo, se empleará el alineamiento forzado, a través de la herramienta Montreal Forced Aligner (MFA). Para poder alinear con MFA, hemos de crear un diccionario de pronunciación y de entrenar modelos acústicos con dicha herramienta, pues ninguno de estos recursos está disponible en la actualidad para la lengua gallega.
El auge de la inteligencia artificial en la robótica social y la proliferación de los sistemas TTS (Text To Speech) hacen que pueda existir una integración de ambos campos, como se puede ver en el robot Furhat. Esta tecnología está limitada a pocos idiomas, recientemente se consiguió integrar con éxito el TTS del Proxecto Nós en este robot, lo que permitió un discurso en gallego. No obstante, la sincronización de labios no se ajustó a la lengua gallega, lo que deriva en una experiencia de usuario incompleta. En este trabajo se proponen una sincronización alternativa de labios para el robot social Furhat durante su discurso en gallego. Para lograrlo, se empleará el alineamiento forzado, a través de la herramienta Montreal Forced Aligner (MFA). Para poder alinear con MFA, hemos de crear un diccionario de pronunciación y de entrenar modelos acústicos con dicha herramienta, pues ninguno de estos recursos está disponible en la actualidad para la lengua gallega.
Dirección
CATALA BOLOS, ALEJANDRO (Tutoría)
BUGARIN DIZ, ALBERTO JOSE Cotutoría
MAGARIÑOS IGLESIAS, MARIA DEL CARMEN Cotutoría
CATALA BOLOS, ALEJANDRO (Tutoría)
BUGARIN DIZ, ALBERTO JOSE Cotutoría
MAGARIÑOS IGLESIAS, MARIA DEL CARMEN Cotutoría
Tribunal
BARJA PEREZ, JAVIER (Presidente/a)
ORDOÑEZ IGLESIAS, ALVARO (Secretario/a)
MOSQUERA GONZALEZ, ANTONIO (Vocal)
BARJA PEREZ, JAVIER (Presidente/a)
ORDOÑEZ IGLESIAS, ALVARO (Secretario/a)
MOSQUERA GONZALEZ, ANTONIO (Vocal)
YourTurn!
Autoría
A.F.E.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
A.F.E.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
19.07.2024 11:00
19.07.2024 11:00
Resumen
En este trabajo se pretende desarrollar una aplicación web para permitir el juego de una partida de Magic en tiempo real y a distancia. El sistema desarrollado permitirá compartir mediante una videocámara la mesa de juego de los jugadores e identificará las cartas, mostrando su información y traduciéndola en caso de que los jugadores hablen un idioma distinto.
En este trabajo se pretende desarrollar una aplicación web para permitir el juego de una partida de Magic en tiempo real y a distancia. El sistema desarrollado permitirá compartir mediante una videocámara la mesa de juego de los jugadores e identificará las cartas, mostrando su información y traduciéndola en caso de que los jugadores hablen un idioma distinto.
Dirección
TOBAR QUINTANAR, ALEJANDRO JOSE (Tutoría)
GARCIA LLORENS, LUIS VICENTE Cotutoría
Ibán Sánchez, Armando Cotutoría
TOBAR QUINTANAR, ALEJANDRO JOSE (Tutoría)
GARCIA LLORENS, LUIS VICENTE Cotutoría
Ibán Sánchez, Armando Cotutoría
Tribunal
BARJA PEREZ, JAVIER (Presidente/a)
ORDOÑEZ IGLESIAS, ALVARO (Secretario/a)
MOSQUERA GONZALEZ, ANTONIO (Vocal)
BARJA PEREZ, JAVIER (Presidente/a)
ORDOÑEZ IGLESIAS, ALVARO (Secretario/a)
MOSQUERA GONZALEZ, ANTONIO (Vocal)
Adaptación efectiva de redes generativas antagónicas para el procesamiento de imágenes de teledetección multidimensionales
Autoría
A.G.L.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
A.G.L.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
19.07.2024 17:00
19.07.2024 17:00
Resumen
En los últimos años se han propuesto diversos modelos de clasificación de aprendizaje profundo que se sumaron a los existentes métodos de clasificación de imágenes multiespectrales de teledetección. Dentro de este marco, en este trabajo, se adaptó una red generativa antagónica condicionada, basada en la arquitectura del modelo StyleGAN2 al problema de clasificación de imágenes multiespectrales de teledetección. Posteriormente, se realizó un estudio sobre la capacidad de la red, tanto para generar, como para clasificar imágenes multiespectrales de alta resolución espacial correspondientes a ríos gallegos. Finalmente, se compararon los resultados alcanzados con este modelo de clasificación y otros modelos empleados en problemas de teledetección multiespectral. Se observó que la StyleGAN2 condicionada alcanza resultados cercanos a otros esquemas de clasificación que no emplean conjuntos de datos generados, como las redes neuronales convolucionales, pero queda por debajo de métodos especialmente diseñados para generar muestras para problemas de clasificación con clases desbalanceadas, como es la ResBaGAN.
En los últimos años se han propuesto diversos modelos de clasificación de aprendizaje profundo que se sumaron a los existentes métodos de clasificación de imágenes multiespectrales de teledetección. Dentro de este marco, en este trabajo, se adaptó una red generativa antagónica condicionada, basada en la arquitectura del modelo StyleGAN2 al problema de clasificación de imágenes multiespectrales de teledetección. Posteriormente, se realizó un estudio sobre la capacidad de la red, tanto para generar, como para clasificar imágenes multiespectrales de alta resolución espacial correspondientes a ríos gallegos. Finalmente, se compararon los resultados alcanzados con este modelo de clasificación y otros modelos empleados en problemas de teledetección multiespectral. Se observó que la StyleGAN2 condicionada alcanza resultados cercanos a otros esquemas de clasificación que no emplean conjuntos de datos generados, como las redes neuronales convolucionales, pero queda por debajo de métodos especialmente diseñados para generar muestras para problemas de clasificación con clases desbalanceadas, como es la ResBaGAN.
Dirección
Argüello Pedreira, Francisco Santiago (Tutoría)
Blanco Heras, Dora Cotutoría
Argüello Pedreira, Francisco Santiago (Tutoría)
Blanco Heras, Dora Cotutoría
Tribunal
Fernández Pena, Anselmo Tomás (Presidente/a)
SACO LOPEZ, PEDRO JOSE (Secretario/a)
RODRIGUEZ PRESEDO, JESUS MARIA (Vocal)
Fernández Pena, Anselmo Tomás (Presidente/a)
SACO LOPEZ, PEDRO JOSE (Secretario/a)
RODRIGUEZ PRESEDO, JESUS MARIA (Vocal)
Estudio y evaluación de algoritmos de criptografía homomórfica
Autoría
H.V.R.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
H.V.R.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
12.09.2024 10:30
12.09.2024 10:30
Resumen
La criptografía homomórfica permite realizar operaciones con datos cifrados sin necesidad de descifrarlos. Esta característica es muy atractiva porque, en particular, impide que terceros a quienes se deleguen los cálculos con esos datos puedan acceder a ellos, abriendo un amplio abanico de aplicaciones. El problema de construir un criptosistema completamente homomórfico, que permita cálculos arbitrarios con datos cifrados, fue considerado el santo grial de la criptografía durante 30 años. Durante ese tiempo se han realizado innumerables intentos para solucionarlo, obteniendo sólo soluciones parciales. En 2009, el trabajo de Craig Gentry representó una revolución al introducir la técnica del bootstrapping, mediante la cual algunos criptosistemas podían volverse completamente homomórficos. A partir de este momento han surgido diferentes familias de criptosistemas con esta propiedad, todos ellos haciendo uso del invento de Gentry. El objetivo de este trabajo es realizar un pequeño estudio comparativo entre algunos de los criptosistemas completamente homomórficos más utilizados en la actualidad, en concreto, BGV, BFV y TFHE, comparando los algoritmos que los componen y midiendo los tiempos de ejecución. Previamente se introducirá teóricamente la criptografía homomórfica, definiendo el bootstrapping y haciendo ciertas consideraciones respecto a la seguridad de estos criptosistemas. Además, se dará un breve contexto histórico y una breve revisión del estado del arte, presentando las principales familias de criptosistemas completamente homomórficos.
La criptografía homomórfica permite realizar operaciones con datos cifrados sin necesidad de descifrarlos. Esta característica es muy atractiva porque, en particular, impide que terceros a quienes se deleguen los cálculos con esos datos puedan acceder a ellos, abriendo un amplio abanico de aplicaciones. El problema de construir un criptosistema completamente homomórfico, que permita cálculos arbitrarios con datos cifrados, fue considerado el santo grial de la criptografía durante 30 años. Durante ese tiempo se han realizado innumerables intentos para solucionarlo, obteniendo sólo soluciones parciales. En 2009, el trabajo de Craig Gentry representó una revolución al introducir la técnica del bootstrapping, mediante la cual algunos criptosistemas podían volverse completamente homomórficos. A partir de este momento han surgido diferentes familias de criptosistemas con esta propiedad, todos ellos haciendo uso del invento de Gentry. El objetivo de este trabajo es realizar un pequeño estudio comparativo entre algunos de los criptosistemas completamente homomórficos más utilizados en la actualidad, en concreto, BGV, BFV y TFHE, comparando los algoritmos que los componen y midiendo los tiempos de ejecución. Previamente se introducirá teóricamente la criptografía homomórfica, definiendo el bootstrapping y haciendo ciertas consideraciones respecto a la seguridad de estos criptosistemas. Además, se dará un breve contexto histórico y una breve revisión del estado del arte, presentando las principales familias de criptosistemas completamente homomórficos.
Dirección
CARIÑENA AMIGO, MARIA PURIFICACION (Tutoría)
GAGO COUSO, FELIPE Cotutoría
CARIÑENA AMIGO, MARIA PURIFICACION (Tutoría)
GAGO COUSO, FELIPE Cotutoría
Tribunal
Fernández Rivera, Francisco (Presidente/a)
SANTOS MATEOS, ROI (Secretario/a)
López Vilariño, David (Vocal)
Fernández Rivera, Francisco (Presidente/a)
SANTOS MATEOS, ROI (Secretario/a)
López Vilariño, David (Vocal)
La teoría de la multiplicación compleja y el sueño de juventud de Kronecker
Autoría
H.V.R.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
H.V.R.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
12.09.2024 17:20
12.09.2024 17:20
Resumen
El sueño de juventud de Kronecker hace referencia al problema de construir todas las extensiones abelianas de un cuerpo cuadrático imaginario, extendiendo así el teorema de Kronecker-Weber. Para el estudio de esta cuestión, el instrumento central es una cierta clase de curvas elípticas, con una estructura aritmética especialmente rica denominada multiplicación compleja. En este trabajo se va a explorar la relación entre estas dos cuestiones. Se empezará introduciendo, por una parte, las curvas elípticas, definiendo en ellas una estructura de grupo, centrando la atención en los puntos de orden finito; y por otra, las extensiones de Q, haciendo hincapié en aquellas cuyo grupo de Galois es abeliano, así como en las generadas por raíces de la unidad o puntos de curvas elípticas. Posteriormente, se presentará el concepto de multiplicación compleja y, finalmente, echando mano también de las representaciones de grupos, se aplicará toda la teoría para estudiar un caso concreto del sueño de juventud de Kronecker, tomando como cuerpo base el cuerpo cuadrático imaginario Q(i).
El sueño de juventud de Kronecker hace referencia al problema de construir todas las extensiones abelianas de un cuerpo cuadrático imaginario, extendiendo así el teorema de Kronecker-Weber. Para el estudio de esta cuestión, el instrumento central es una cierta clase de curvas elípticas, con una estructura aritmética especialmente rica denominada multiplicación compleja. En este trabajo se va a explorar la relación entre estas dos cuestiones. Se empezará introduciendo, por una parte, las curvas elípticas, definiendo en ellas una estructura de grupo, centrando la atención en los puntos de orden finito; y por otra, las extensiones de Q, haciendo hincapié en aquellas cuyo grupo de Galois es abeliano, así como en las generadas por raíces de la unidad o puntos de curvas elípticas. Posteriormente, se presentará el concepto de multiplicación compleja y, finalmente, echando mano también de las representaciones de grupos, se aplicará toda la teoría para estudiar un caso concreto del sueño de juventud de Kronecker, tomando como cuerpo base el cuerpo cuadrático imaginario Q(i).
Dirección
GAGO COUSO, FELIPE (Tutoría)
RIVERO SALGADO, OSCAR Cotutoría
GAGO COUSO, FELIPE (Tutoría)
RIVERO SALGADO, OSCAR Cotutoría
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
Reformulaciones en problemas de programación no lineal entera mixta
Autoría
S.A.P.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
S.A.P.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
16.07.2024 16:00
16.07.2024 16:00
Resumen
En este trabajo se estudia una clase de reformulaciones de problemas de programación polinómica. En primer lugar se presenta la base teórica de estas reformulaciones, ideadas para problemas de optimización polinómica con variables binarias. En segundo lugar se extienden los resultados en torno a estas reformulaciones al contexto más general de problemas de optimización polinómica mixtos, con variables binarias y no binarias (enteras y continuas). Por último, se presentan los resultados numéricos obtenidos al adaptar estas reformulaciones para su inclusión en un software de optimización.
En este trabajo se estudia una clase de reformulaciones de problemas de programación polinómica. En primer lugar se presenta la base teórica de estas reformulaciones, ideadas para problemas de optimización polinómica con variables binarias. En segundo lugar se extienden los resultados en torno a estas reformulaciones al contexto más general de problemas de optimización polinómica mixtos, con variables binarias y no binarias (enteras y continuas). Por último, se presentan los resultados numéricos obtenidos al adaptar estas reformulaciones para su inclusión en un software de optimización.
Dirección
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Tutoría)
Rodríguez Acevedo, Iria Cotutoría
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Tutoría)
Rodríguez Acevedo, Iria Cotutoría
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Introducción a la programación multiobjetivo
Autoría
J.R.F.
Grado en Matemáticas
J.R.F.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 09:00
18.07.2024 09:00
Resumen
La optimización multiobjetivo se emplea para encontrar las mejores soluciones factibles a los problemas de programación matemática que dispongan de mas de una función objetivo. Partiendo de un problema de minimización, en el primer capítulo empezamos haciendo una introducción a la optimización multiobxectivo, definiendo el principal concepto de solucións en este contexto: los puntos óptimos de Pareto o puntos eficientes. Además, presentamos resultados teóricos de caracterización y existencia de soluciones en este tipo de problemas. Finalmente, explicamos en detalle una serie de conceptos relacionados con puntos eficientes: puntos débilmente eficientes, estrictamente eficientes y propiamente eficientes. En el siguiente capítulo, describimos diferentes métodos para resolver un problema multiobjetivo general. Para cada uno de ellos, aportamos varios resultados teóricos en los que se fundamentan para visualizar su utilidad o a qué tipo de problemas están dirigidos. Por último, aparte de ilustrarlos con algún exemplo, implementaremos cada uno de ellos en el lengauje de programación R.
La optimización multiobjetivo se emplea para encontrar las mejores soluciones factibles a los problemas de programación matemática que dispongan de mas de una función objetivo. Partiendo de un problema de minimización, en el primer capítulo empezamos haciendo una introducción a la optimización multiobxectivo, definiendo el principal concepto de solucións en este contexto: los puntos óptimos de Pareto o puntos eficientes. Además, presentamos resultados teóricos de caracterización y existencia de soluciones en este tipo de problemas. Finalmente, explicamos en detalle una serie de conceptos relacionados con puntos eficientes: puntos débilmente eficientes, estrictamente eficientes y propiamente eficientes. En el siguiente capítulo, describimos diferentes métodos para resolver un problema multiobjetivo general. Para cada uno de ellos, aportamos varios resultados teóricos en los que se fundamentan para visualizar su utilidad o a qué tipo de problemas están dirigidos. Por último, aparte de ilustrarlos con algún exemplo, implementaremos cada uno de ellos en el lengauje de programación R.
Dirección
GONZALEZ RUEDA, ANGEL MANUEL (Tutoría)
GONZALEZ RODRIGUEZ, BRAIS Cotutoría
GONZALEZ RUEDA, ANGEL MANUEL (Tutoría)
GONZALEZ RODRIGUEZ, BRAIS Cotutoría
Tribunal
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
Trabajo Fin de Grado
Autoría
B.R.G.
Grado en Matemáticas
B.R.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 10:00
18.07.2024 10:00
Resumen
Proponemos un método de volúmenes finitos completamente implícito para la simulación de flujo de sangre en 1D. Comenzamos introduciendo el concepto de sistemas de leyes de conservación y los métodos de volúmenes finitos como una herramienta para hallar soluciones numéricas para este tipo de EDPs. Luego, presentamos el modelo de flujo de sangre en 1D que, para su posterior discretización, se divide en tres subsistemas: uno para los términos convectivos, uno para las variables difusivas y uno para la presión. Se estudia un método semi-implícito de volúmenes finitos que resuelve de manera implícita las dos últimas etapas y que discretiza explícitamente la etapa convectiva. Después, proponemos un nuevo esquema que toma un enfoque implícito para los términos convectivos usando un método de Newton inexacto combinado con un algoritmo BiCGSTAB. Para la discretización de los términos de flujo, usamos las funciones de flujo numérico de Rusanov o Ducros. Finalmente, validamos el nuevo método mediante comparaciones con el esquema semi-implícito y soluciones exactas a través de una serie de problemas de Riemann en el contexto de la simulación del flujo de sangre.
Proponemos un método de volúmenes finitos completamente implícito para la simulación de flujo de sangre en 1D. Comenzamos introduciendo el concepto de sistemas de leyes de conservación y los métodos de volúmenes finitos como una herramienta para hallar soluciones numéricas para este tipo de EDPs. Luego, presentamos el modelo de flujo de sangre en 1D que, para su posterior discretización, se divide en tres subsistemas: uno para los términos convectivos, uno para las variables difusivas y uno para la presión. Se estudia un método semi-implícito de volúmenes finitos que resuelve de manera implícita las dos últimas etapas y que discretiza explícitamente la etapa convectiva. Después, proponemos un nuevo esquema que toma un enfoque implícito para los términos convectivos usando un método de Newton inexacto combinado con un algoritmo BiCGSTAB. Para la discretización de los términos de flujo, usamos las funciones de flujo numérico de Rusanov o Ducros. Finalmente, validamos el nuevo método mediante comparaciones con el esquema semi-implícito y soluciones exactas a través de una serie de problemas de Riemann en el contexto de la simulación del flujo de sangre.
Dirección
VAZQUEZ CENDON, MARIA ELENA (Tutoría)
Busto Ulloa, Saray Cotutoría
VAZQUEZ CENDON, MARIA ELENA (Tutoría)
Busto Ulloa, Saray Cotutoría
Tribunal
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
Técnicas de aprendizaje estadístico de clasificación y regresión: estudio del algoritmo Adaboost y aplicaciones
Autoría
M.V.C.
Grado en Matemáticas
M.V.C.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 11:30
18.07.2024 11:30
Resumen
Los algoritmos de “boosting” son técnicas de aprendizaje estadístico basadas en el uso de combinaciones de clasificadores débiles con el objetivo de obtener un modelo final más preciso. En este trabajo abordaremos uno de los métodos de boosting más empleados: Adaboost o Adaptative Boosting. Desde un punto de vista estadístico el algoritmo Adaboost busca minimizar por etapas el error producido por los clasificadores débiles, modificando el peso que se le otorga a cada uno en función de su precisión. A más compleja resulta la catalogación de un ejemplo, más hincapié se hará en el mismo y una vez alcanzado el error deseado en la etapa de entrenamiento, se avanzará a la generalización de los datos no etiquetados. En este trabajo se hará una introducción a los métodos de boosting y se profundizará en el método Adaboost, analizando sus fundamentos teóricos y evaluando su rendimiento en la práctica en comparación con otros métodos de aprendizaje estadístico.
Los algoritmos de “boosting” son técnicas de aprendizaje estadístico basadas en el uso de combinaciones de clasificadores débiles con el objetivo de obtener un modelo final más preciso. En este trabajo abordaremos uno de los métodos de boosting más empleados: Adaboost o Adaptative Boosting. Desde un punto de vista estadístico el algoritmo Adaboost busca minimizar por etapas el error producido por los clasificadores débiles, modificando el peso que se le otorga a cada uno en función de su precisión. A más compleja resulta la catalogación de un ejemplo, más hincapié se hará en el mismo y una vez alcanzado el error deseado en la etapa de entrenamiento, se avanzará a la generalización de los datos no etiquetados. En este trabajo se hará una introducción a los métodos de boosting y se profundizará en el método Adaboost, analizando sus fundamentos teóricos y evaluando su rendimiento en la práctica en comparación con otros métodos de aprendizaje estadístico.
Dirección
PATEIRO LOPEZ, BEATRIZ (Tutoría)
GONZALEZ RODRIGUEZ, BRAIS Cotutoría
PATEIRO LOPEZ, BEATRIZ (Tutoría)
GONZALEZ RODRIGUEZ, BRAIS Cotutoría
Tribunal
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
Modelos de predicción autorregresiva. Aplicación a series financieras
Autoría
M.B.V.
Grado en Matemáticas
M.B.V.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 10:00
16.07.2024 10:00
Resumen
Este trabajo consiste en el análisis de procesos autorregresivos aplicados al sector de las finanzas. Así, el proyecto se compondrá de un marco teórico, donde se estudiarán distintos modelos de series temporales, y un apartado práctico, donde se desarrollará por completo un ejemplo real de un activo financiero. Con este propósito, empezaremos con un breve repaso del modelo de regresión lineal y algunas de sus características. Tras esto, introduciremos formalmente el concepto de proceso estocástico y estudiaremos los procesos autorregresivos lineales en media y varianza, que son los conocidos como modelos AR y ARCH. Además, también trataremos algunos de los procesos no lineales, tanto paramétricos como no paramétricos, que son habitualmente utilizados en el análisis de series financieras. Finalmente, trabajaremos con un caso práctico, donde el activo elegido para su análisis será los valores de las acciones de Prosegur. Se estudiará su comportamiento en media y varianza y se comparará su volatilidad, medidor de riesgo, con otros valores financieros. Para los cálculos y análisis se usará el software R y todo el código utilizado para la elaboración de este trabajo podrá encontrase en el anexo del mismo.
Este trabajo consiste en el análisis de procesos autorregresivos aplicados al sector de las finanzas. Así, el proyecto se compondrá de un marco teórico, donde se estudiarán distintos modelos de series temporales, y un apartado práctico, donde se desarrollará por completo un ejemplo real de un activo financiero. Con este propósito, empezaremos con un breve repaso del modelo de regresión lineal y algunas de sus características. Tras esto, introduciremos formalmente el concepto de proceso estocástico y estudiaremos los procesos autorregresivos lineales en media y varianza, que son los conocidos como modelos AR y ARCH. Además, también trataremos algunos de los procesos no lineales, tanto paramétricos como no paramétricos, que son habitualmente utilizados en el análisis de series financieras. Finalmente, trabajaremos con un caso práctico, donde el activo elegido para su análisis será los valores de las acciones de Prosegur. Se estudiará su comportamiento en media y varianza y se comparará su volatilidad, medidor de riesgo, con otros valores financieros. Para los cálculos y análisis se usará el software R y todo el código utilizado para la elaboración de este trabajo podrá encontrase en el anexo del mismo.
Dirección
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Tutoría)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Tutoría)
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
Heterocedasticidad en modelos de regresión
Autoría
M.C.F.
Grado en Matemáticas
M.C.F.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 10:45
16.07.2024 10:45
Resumen
En los modelos de regresión es habitual suponer que la varianza del error es constante. Sin embargo, esto no siempre se cumple, lo que ocasiona que los resultados obtenidos no sean correctos. En este trabajo se realiza una revisión del problema de la heterocedasticidad en modelos de regresión. Se estudiarán sus causas y consecuencias, que pueden llegar a ser muy variadas. Asimismo, se explicarán varios métodos para detectar que la varianza no es constante y procedimientos para abordar este problema. Todo ello irá acompañado de ejemplos.
En los modelos de regresión es habitual suponer que la varianza del error es constante. Sin embargo, esto no siempre se cumple, lo que ocasiona que los resultados obtenidos no sean correctos. En este trabajo se realiza una revisión del problema de la heterocedasticidad en modelos de regresión. Se estudiarán sus causas y consecuencias, que pueden llegar a ser muy variadas. Asimismo, se explicarán varios métodos para detectar que la varianza no es constante y procedimientos para abordar este problema. Todo ello irá acompañado de ejemplos.
Dirección
SANCHEZ SELLERO, CESAR ANDRES (Tutoría)
SANCHEZ SELLERO, CESAR ANDRES (Tutoría)
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
Diagramas de Voronoi
Autoría
P.D.M.C.
Grado en Matemáticas
P.D.M.C.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 11:30
16.07.2024 11:30
Resumen
En el presente trabajo se estudiará una de las construcciones más interesantes de la geometría computacional: el diagrama de Voronoi. En el primer capítulo se establecerá el marco teórico, presentando las definiciones y resultados pertinentes, así como su relación de dualidad con la triangulación de Delaunay. A continuación, se abordarán los dos algoritmos más utilizados para su construcción, el algoritmo de “divide y vencerás” y el “algoritmo de Fortune”. Por último, se expondrán un par de aplicaciones de los diagramas de Voronoi en la resolución de problemas clásicos de proximidad. El anexo final incluye una implementación en lenguaje de programación Python del “algoritmo de Fortune” y de las aplicaciones del último capítulo.
En el presente trabajo se estudiará una de las construcciones más interesantes de la geometría computacional: el diagrama de Voronoi. En el primer capítulo se establecerá el marco teórico, presentando las definiciones y resultados pertinentes, así como su relación de dualidad con la triangulación de Delaunay. A continuación, se abordarán los dos algoritmos más utilizados para su construcción, el algoritmo de “divide y vencerás” y el “algoritmo de Fortune”. Por último, se expondrán un par de aplicaciones de los diagramas de Voronoi en la resolución de problemas clásicos de proximidad. El anexo final incluye una implementación en lenguaje de programación Python del “algoritmo de Fortune” y de las aplicaciones del último capítulo.
Dirección
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Tutoría)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Tutoría)
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
Métodos iterativos para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. Aplicación a la resolución de problemas de contorno unidimensionales.
Autoría
A.S.O.
Grado en Matemáticas
A.S.O.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 10:00
17.07.2024 10:00
Resumen
En varias áreas de ciencias e ingeniería la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales juega un papel fundamental. En este trabajo se estudian distintos métodos iterativos para resolver dichos sistemas. Se estudian en detalle el método de iteración funcional y el método de Newton, analizando su convergencia en función de distintas hipótesis y se ven las ventajas y desventajas de dichos métodos. Asimismo, se describen las variantes de Newton, entre ellas el método de Newton discretizado y el método de Broyden, que permiten salvar algunos de los inconvenientes del método de Newton. Además, se implementan algunos de los métodos en Matlab y se aplica el método de Newton para aproximar la solución de un problema de contorno unidimensional.
En varias áreas de ciencias e ingeniería la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales juega un papel fundamental. En este trabajo se estudian distintos métodos iterativos para resolver dichos sistemas. Se estudian en detalle el método de iteración funcional y el método de Newton, analizando su convergencia en función de distintas hipótesis y se ven las ventajas y desventajas de dichos métodos. Asimismo, se describen las variantes de Newton, entre ellas el método de Newton discretizado y el método de Broyden, que permiten salvar algunos de los inconvenientes del método de Newton. Además, se implementan algunos de los métodos en Matlab y se aplica el método de Newton para aproximar la solución de un problema de contorno unidimensional.
Dirección
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Tutoría)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Tutoría)
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
Acciones de grupos en geometría diferencial
Autoría
A.S.M.V.
Grado en Matemáticas
A.S.M.V.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 10:45
17.07.2024 10:45
Resumen
Los grupos de Lie han supuesto una revolución en las matemáticas desde finales del siglo XIX. El objetivo principal de este trabajo es estudiar la teoría básica de las acciones de grupos de Lie sobre variedades diferenciables y su relación con los espacios homogéneos desde el punto de vista de la Geometría Diferencial fundamentalmente. Con este propósito, se hará una breve introducción sobre variedades diferenciables, para proseguir con toda la teoría necesaria sobre grupos y álgebras de Lie. Posteriormente, se dedicará la parte central del trabajo a las acciones de grupos de Lie y sus tipos (como las acciones propias), variedades cociente y tipos de órbitas, todo ello ilustrado con ejemplos. Finalmente, se destinará una parte importante del trabajo a los espacios homogéneos, describiendo ejemplos como las grassmannianas, y enunciando varios resultados relevantes, entre los que destacan el Teorema de Construcción de Espacios Homogéneos y el Teorema de Caracterización de Espacios Homogéneos.
Los grupos de Lie han supuesto una revolución en las matemáticas desde finales del siglo XIX. El objetivo principal de este trabajo es estudiar la teoría básica de las acciones de grupos de Lie sobre variedades diferenciables y su relación con los espacios homogéneos desde el punto de vista de la Geometría Diferencial fundamentalmente. Con este propósito, se hará una breve introducción sobre variedades diferenciables, para proseguir con toda la teoría necesaria sobre grupos y álgebras de Lie. Posteriormente, se dedicará la parte central del trabajo a las acciones de grupos de Lie y sus tipos (como las acciones propias), variedades cociente y tipos de órbitas, todo ello ilustrado con ejemplos. Finalmente, se destinará una parte importante del trabajo a los espacios homogéneos, describiendo ejemplos como las grassmannianas, y enunciando varios resultados relevantes, entre los que destacan el Teorema de Construcción de Espacios Homogéneos y el Teorema de Caracterización de Espacios Homogéneos.
Dirección
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Tutoría)
Otero Casal, Tomás Cotutoría
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Tutoría)
Otero Casal, Tomás Cotutoría
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
El coeficiente de correlación. Desde la independencia lineal de Pearson a la independencia general de variables aleatorias.
Autoría
L.S.V.
Grado en Matemáticas
L.S.V.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 11:30
17.07.2024 11:30
Resumen
Este trabajo constituye una revisión acerca de las medidas de dependencia más comunes usadas para describir las relaciones existentes entre variables aleatorias. En el primer capítulo se presentan algunos conceptos básicos relacionados con la teoría de la probabilidad que pueden resultar de utilidad para introducir el concepto de dependencia en los sucesivos capítulos. Ya en el segundo capítulo haremos un breve recorrido a través de las distintas nociones de dependencia y presentaremos un conjunto de propiedades deseables para las medidas globales de asociación que trataremos más adelante. En el tercer capítulo introduciremos la medida de dependencia más reconocida actualmente, el coeficiente de correlación de Pearson, explicando su marco histórico, propiedades y limitaciones. Dichas limitaciones nos llevarán a presentar los coeficientes de correlación basados en el estudio de los rangos de las variables, que proporcionarán una visión más amplia de la dependencia con respecto al de Pearson, como la rho de Spearman o la tau de Kendall. En el cuarto capítulo estudiaremos un coeficiente naciente que surge nuevamente debido a las deficiencias de los anteriores: el coeficiente de correlación de distancias. Además, ampliaremos el estudio dando algunas nociones de dependencia desde la perspectiva de las funciones cópula, haciendo un recorrido previo por su definición y propiedades. Por último, en el capítulo final interpretaremos los conceptos anteriores en base a un conjunto de datos reales. Para obtener los resultados usaremos el lenguaje de programación R y apoyaremos nuestras conclusiones en gráficas para facilitar la comprensión del estudio.
Este trabajo constituye una revisión acerca de las medidas de dependencia más comunes usadas para describir las relaciones existentes entre variables aleatorias. En el primer capítulo se presentan algunos conceptos básicos relacionados con la teoría de la probabilidad que pueden resultar de utilidad para introducir el concepto de dependencia en los sucesivos capítulos. Ya en el segundo capítulo haremos un breve recorrido a través de las distintas nociones de dependencia y presentaremos un conjunto de propiedades deseables para las medidas globales de asociación que trataremos más adelante. En el tercer capítulo introduciremos la medida de dependencia más reconocida actualmente, el coeficiente de correlación de Pearson, explicando su marco histórico, propiedades y limitaciones. Dichas limitaciones nos llevarán a presentar los coeficientes de correlación basados en el estudio de los rangos de las variables, que proporcionarán una visión más amplia de la dependencia con respecto al de Pearson, como la rho de Spearman o la tau de Kendall. En el cuarto capítulo estudiaremos un coeficiente naciente que surge nuevamente debido a las deficiencias de los anteriores: el coeficiente de correlación de distancias. Además, ampliaremos el estudio dando algunas nociones de dependencia desde la perspectiva de las funciones cópula, haciendo un recorrido previo por su definición y propiedades. Por último, en el capítulo final interpretaremos los conceptos anteriores en base a un conjunto de datos reales. Para obtener los resultados usaremos el lenguaje de programación R y apoyaremos nuestras conclusiones en gráficas para facilitar la comprensión del estudio.
Dirección
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Tutoría)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Tutoría)
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
Aprendizaje máquina cuántico de problemas variacionales
Autoría
R.A.R.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
R.A.R.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
16.09.2024 17:00
16.09.2024 17:00
Resumen
El hamiltoniano de Heisenberg-Ising o XXZ modeliza el magnetismo en materiales, donde el efecto dominante es la interacción entre los espines. Las componentes más interesantes de este hamiltoniano son su parámetro de anisotropía Delta y su campo magnético lambda, los cuales modifican el perfil de energía del estado fundamental y su fase cuántica. Presentaremos dos algoritmos variacionales para aproximar el rango de Delta comprendido entre -1 y 1: el primero de ellos será un tipo de VQE (Variational Quantum Eigensolver) con un enfoque novedoso en el que el parámetro de anisotropía forma parte de las variables a optimizar; el segundo será un HVA (Hamiltonian Variational Ansatz), un modelo basado en la programación cuántica adiabática que tendrá en cuenta la física del hamiltoniano XXZ para llegar a su estado fundamental.
El hamiltoniano de Heisenberg-Ising o XXZ modeliza el magnetismo en materiales, donde el efecto dominante es la interacción entre los espines. Las componentes más interesantes de este hamiltoniano son su parámetro de anisotropía Delta y su campo magnético lambda, los cuales modifican el perfil de energía del estado fundamental y su fase cuántica. Presentaremos dos algoritmos variacionales para aproximar el rango de Delta comprendido entre -1 y 1: el primero de ellos será un tipo de VQE (Variational Quantum Eigensolver) con un enfoque novedoso en el que el parámetro de anisotropía forma parte de las variables a optimizar; el segundo será un HVA (Hamiltonian Variational Ansatz), un modelo basado en la programación cuántica adiabática que tendrá en cuenta la física del hamiltoniano XXZ para llegar a su estado fundamental.
Dirección
MAS SOLE, JAVIER (Tutoría)
Gómez Tato, Andrés Cotutoría
MAS SOLE, JAVIER (Tutoría)
Gómez Tato, Andrés Cotutoría
Tribunal
MIGUEZ MACHO, GONZALO (Presidente/a)
González Fernández, Rosa María (Secretario/a)
BROCOS FERNANDEZ, MARIA DEL PILAR (Vocal)
MIGUEZ MACHO, GONZALO (Presidente/a)
González Fernández, Rosa María (Secretario/a)
BROCOS FERNANDEZ, MARIA DEL PILAR (Vocal)
Programación de computadores cuánticos a través de pulsos
Autoría
C.F.L.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
C.F.L.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
18.07.2024 09:30
18.07.2024 09:30
Resumen
La computación cuántica se basa en las leyes de la física cuántica para resolver problemas numéricos. Su unidad mínima de información es el qubit, sobre el cual se aplican puertas para conseguir el estado buscado. Estas puertas son abstracciones de pulsos subyacentes que provocan la evolución temporal del sistema físico que representa los qubits. En este trabajo presentaremos distintos métodos para encontrar los pulsos correspondientes a una puerta determinada. Por un lado, usaremos métodos de optimización, los cuales buscan minimizar una función de coste, modificando ciertos parámetros relacionados con el hamiltoniano del sistema. Por otro lado, usaremos métodos que se basan en la realización de álgebra sobre los hamiltonianos para obtener sus resultados. También ejecutaremos un QAOA, algoritmo variacional muy usado en la computación cuántica, y compararemos los resultados de la computación mediante pulsos frente a la computación cuántica basada en puertas.
La computación cuántica se basa en las leyes de la física cuántica para resolver problemas numéricos. Su unidad mínima de información es el qubit, sobre el cual se aplican puertas para conseguir el estado buscado. Estas puertas son abstracciones de pulsos subyacentes que provocan la evolución temporal del sistema físico que representa los qubits. En este trabajo presentaremos distintos métodos para encontrar los pulsos correspondientes a una puerta determinada. Por un lado, usaremos métodos de optimización, los cuales buscan minimizar una función de coste, modificando ciertos parámetros relacionados con el hamiltoniano del sistema. Por otro lado, usaremos métodos que se basan en la realización de álgebra sobre los hamiltonianos para obtener sus resultados. También ejecutaremos un QAOA, algoritmo variacional muy usado en la computación cuántica, y compararemos los resultados de la computación mediante pulsos frente a la computación cuántica basada en puertas.
Dirección
SANCHEZ DE SANTOS, JOSE MANUEL (Tutoría)
Mussa Juane, Mariamo Cotutoría
SANCHEZ DE SANTOS, JOSE MANUEL (Tutoría)
Mussa Juane, Mariamo Cotutoría
Tribunal
REY LOSADA, CARLOS (Presidente/a)
ROMERO VIDAL, ANTONIO (Secretario/a)
DE LA FUENTE CARBALLO, RAUL (Vocal)
REY LOSADA, CARLOS (Presidente/a)
ROMERO VIDAL, ANTONIO (Secretario/a)
DE LA FUENTE CARBALLO, RAUL (Vocal)
Los problemas DEA y sus aplicaciones
Autoría
L.E.S.
Grado en Matemáticas
L.E.S.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 17:20
16.07.2024 17:20
Resumen
Este trabajo se centra en el estudio y evaluación de la eficiencia de varios aeropuertos en España, teniendo en cuenta los datos recogidos durante el año 2022. Este análisis se realiza usando la técnica de Análiseis Envolvente de Datos (DEA) tras una revisión teórica detallada de los fundamentos y aplicaciones de esta metodología. Para procesar y analizar los datos, se utiliza el software R, una herramienta de código abierto, que nos permite calcular la eficiencia de estas unidades dentro del sector aéreo. El estudio contribuye a entender la posición competitiva de los aeropuertos españoles y a explorar el potencial de mejora en sus operaciones, proporcionando una perspectiva valiosa tanto para investigadores como para profesionales del sector
Este trabajo se centra en el estudio y evaluación de la eficiencia de varios aeropuertos en España, teniendo en cuenta los datos recogidos durante el año 2022. Este análisis se realiza usando la técnica de Análiseis Envolvente de Datos (DEA) tras una revisión teórica detallada de los fundamentos y aplicaciones de esta metodología. Para procesar y analizar los datos, se utiliza el software R, una herramienta de código abierto, que nos permite calcular la eficiencia de estas unidades dentro del sector aéreo. El estudio contribuye a entender la posición competitiva de los aeropuertos españoles y a explorar el potencial de mejora en sus operaciones, proporcionando una perspectiva valiosa tanto para investigadores como para profesionales del sector
Dirección
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutoría)
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutoría)
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Medidas de centralidad en redes encubiertas basadas en la teoría de juegos
Autoría
A.F.P.
Grado en Matemáticas
A.F.P.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 18:40
16.07.2024 18:40
Resumen
Han sido numerosas disciplinas las que han convergido en el estudio de las redes sociales a lo largo de los últimos años. En un mundo tan globalizado, la comunicación entre los elementos que lo componen y el rol que cada uno de ellos desempeña es clave en el análisis de su funcionamiento. Este trabajo se centra en tratar de identificar a los miembros más importantes de determinadas redes sociales que por algún motivo permanecen encubiertas. Se plantean inicialmente unas medidas de centralidad clásicas que se basan en la disposición estructural del grupo. Para contrastar esta información con el contexto social de la red, el análisis se apoyará en una importante rama de las matemáticas: la teoría de juegos cooperativos. A lo largo del documento se construyen y comparan diversas medidas de influencia basadas en las nociones de esta teoría. Todas estas medidas se aplicarán en la red terrorista responsable de los ataques de París y Bruselas de 2015 y 2016, respectivamente, con el objetivo de sentar las bases de un análisis que pueda servir para asignar los recursos combativos y de vigilancia de la forma más eficiente posible en un futuro.
Han sido numerosas disciplinas las que han convergido en el estudio de las redes sociales a lo largo de los últimos años. En un mundo tan globalizado, la comunicación entre los elementos que lo componen y el rol que cada uno de ellos desempeña es clave en el análisis de su funcionamiento. Este trabajo se centra en tratar de identificar a los miembros más importantes de determinadas redes sociales que por algún motivo permanecen encubiertas. Se plantean inicialmente unas medidas de centralidad clásicas que se basan en la disposición estructural del grupo. Para contrastar esta información con el contexto social de la red, el análisis se apoyará en una importante rama de las matemáticas: la teoría de juegos cooperativos. A lo largo del documento se construyen y comparan diversas medidas de influencia basadas en las nociones de esta teoría. Todas estas medidas se aplicarán en la red terrorista responsable de los ataques de París y Bruselas de 2015 y 2016, respectivamente, con el objetivo de sentar las bases de un análisis que pueda servir para asignar los recursos combativos y de vigilancia de la forma más eficiente posible en un futuro.
Dirección
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutoría)
SAAVEDRA NIEVES, PAULA Cotutoría
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutoría)
SAAVEDRA NIEVES, PAULA Cotutoría
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Skew polinomios de tipo automorfismo en teoría de códigos
Autoría
E.L.R.
Grado en Matemáticas
E.L.R.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 09:30
17.07.2024 09:30
Resumen
Este trabajo tiene como objetivo introducir los códigos sigma-cíclicos, una clase de códigos lineales construidos a partir de un anillo de polinomios no conmutativo. Estos anillos, comúnmente conocidos como skew-polinomios, fueron introducidos por Ore en 1933 como anillos de polinomios en los que la conmutatividad usual se veía modificada por el efecto de un endomorfismo. Comenzaremos el trabajo con una revisión de conceptos fundamentales en la Teoría de Códigos, como los códigos lineales y cíclicos. A continuación, exploraremos la estructura de los anillos de skew-polinomios, abordando aspectos clave como la factorización y la evaluación en estos polinomios. Además, llevaremos a cabo un análisis comparativo con las propiedades de los anillos conmutativos. Finalmente, para concluir el trabajo, estudiaremos las aplicaciones de los skew-polinomios de tipo automorfismo en la teoría de códigos. Introduciremos el concepto de código sigma-cíclico y proporcionaremos una breve justificación de su definición, destacando las ventajas que estos códigos ofrecen frente a los códigos cíclicos convencionales.
Este trabajo tiene como objetivo introducir los códigos sigma-cíclicos, una clase de códigos lineales construidos a partir de un anillo de polinomios no conmutativo. Estos anillos, comúnmente conocidos como skew-polinomios, fueron introducidos por Ore en 1933 como anillos de polinomios en los que la conmutatividad usual se veía modificada por el efecto de un endomorfismo. Comenzaremos el trabajo con una revisión de conceptos fundamentales en la Teoría de Códigos, como los códigos lineales y cíclicos. A continuación, exploraremos la estructura de los anillos de skew-polinomios, abordando aspectos clave como la factorización y la evaluación en estos polinomios. Además, llevaremos a cabo un análisis comparativo con las propiedades de los anillos conmutativos. Finalmente, para concluir el trabajo, estudiaremos las aplicaciones de los skew-polinomios de tipo automorfismo en la teoría de códigos. Introduciremos el concepto de código sigma-cíclico y proporcionaremos una breve justificación de su definición, destacando las ventajas que estos códigos ofrecen frente a los códigos cíclicos convencionales.
Dirección
GAGO COUSO, FELIPE (Tutoría)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR Cotutoría
GAGO COUSO, FELIPE (Tutoría)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR Cotutoría
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Grupos topológicos
Autoría
M.M.F.
Grado en Matemáticas
M.M.F.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 10:50
17.07.2024 10:50
Resumen
El objetivo principal de este trabajo es servir como una introducción al estudio de los grupos topológicos: espacios topológicos que además tienen estructura de grupo y de manera que las aplicaciones de multiplicación e inversión, operaciones propias del grupo, son continuas. Para ello, comenzamos presentando la noción de grupo topológico, obteniendo algunas de las primeras propiedades que se derivan de la definición, y mostrando una clase importante de homeomorfismos de grupos topológicos, las traslaciones. A continuación, pasamos a estudiar los grupos topológicos localmente, centrándonos en los entornos de los elementos. Trataremos los sistemas fundamentales de entornos, lo cual sirve para comprender el papel fundamental que tiene el análisis local del elemento neutro del grupo para entender su estructura topológica. Esto nos permitirá dotar a ciertos grupos abstractos de una estructura de grupo topológico. Aplicaremos estos conceptos para profundizar en los homomorfismos de grupos topológicos, lo cual facilitará el estudio de los espacios homogéneos y del espacio cociente. Finalmente, presentamos los conceptos necesarios para comprender los espacios G-homogéneos, donde G es un grupo topológico, para concluir con la prueba del resultado principal del trabajo: la caracterización de los espacios G-homogéneos. Con el fin de hacer más accesibles todos estos contenidos, a lo largo del trabajo tratamos de ilustrar los principales resultados teóricos con ejemplos no triviales.
El objetivo principal de este trabajo es servir como una introducción al estudio de los grupos topológicos: espacios topológicos que además tienen estructura de grupo y de manera que las aplicaciones de multiplicación e inversión, operaciones propias del grupo, son continuas. Para ello, comenzamos presentando la noción de grupo topológico, obteniendo algunas de las primeras propiedades que se derivan de la definición, y mostrando una clase importante de homeomorfismos de grupos topológicos, las traslaciones. A continuación, pasamos a estudiar los grupos topológicos localmente, centrándonos en los entornos de los elementos. Trataremos los sistemas fundamentales de entornos, lo cual sirve para comprender el papel fundamental que tiene el análisis local del elemento neutro del grupo para entender su estructura topológica. Esto nos permitirá dotar a ciertos grupos abstractos de una estructura de grupo topológico. Aplicaremos estos conceptos para profundizar en los homomorfismos de grupos topológicos, lo cual facilitará el estudio de los espacios homogéneos y del espacio cociente. Finalmente, presentamos los conceptos necesarios para comprender los espacios G-homogéneos, donde G es un grupo topológico, para concluir con la prueba del resultado principal del trabajo: la caracterización de los espacios G-homogéneos. Con el fin de hacer más accesibles todos estos contenidos, a lo largo del trabajo tratamos de ilustrar los principales resultados teóricos con ejemplos no triviales.
Dirección
SANMARTIN LOPEZ, VICTOR (Tutoría)
LORENZO NAVEIRO, JUAN MANUEL Cotutoría
SANMARTIN LOPEZ, VICTOR (Tutoría)
LORENZO NAVEIRO, JUAN MANUEL Cotutoría
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Espacios de revestimiento ramificado
Autoría
C.S.S.
Grado en Matemáticas
C.S.S.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 11:30
17.07.2024 11:30
Resumen
Se presentan los espacios de recubrimiento y algunas acciones de grupos que actúan sobre las fibras de estos espacios. A continuación, se introducen las cubiertas ramificadas, las cuales son una generalización de las anteriores, y se demuestra la Fórmula de Riemann-Hurwitz.
Se presentan los espacios de recubrimiento y algunas acciones de grupos que actúan sobre las fibras de estos espacios. A continuación, se introducen las cubiertas ramificadas, las cuales son una generalización de las anteriores, y se demuestra la Fórmula de Riemann-Hurwitz.
Dirección
Álvarez López, Jesús Antonio (Tutoría)
MOSQUERA LOIS, DAVID Cotutoría
Álvarez López, Jesús Antonio (Tutoría)
MOSQUERA LOIS, DAVID Cotutoría
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
Herramientas topológicas para la comprensión de sistemas complejos
Autoría
J.S.M.
Grado en Matemáticas
J.S.M.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 12:10
17.07.2024 12:10
Resumen
En este trabajo presentamos el concepto de homología persistente y explicamos como esta puede ser una herramienta muy útil para comprender sistemas complejos. Además, describimos distintos métodos para construír complejos simpliciales filtrados a partir de un conjunto de datos que queramos estudiar con las técnicas topológicas. En particular, y basándonos en la investigación de M. Feng, mostramos aplicaciones concretas de estas herramientas en sistemas espaciales que involucran componentes sociales.
En este trabajo presentamos el concepto de homología persistente y explicamos como esta puede ser una herramienta muy útil para comprender sistemas complejos. Además, describimos distintos métodos para construír complejos simpliciales filtrados a partir de un conjunto de datos que queramos estudiar con las técnicas topológicas. En particular, y basándonos en la investigación de M. Feng, mostramos aplicaciones concretas de estas herramientas en sistemas espaciales que involucran componentes sociales.
Dirección
Gómez Tato, Antonio M. (Tutoría)
Gómez Tato, Antonio M. (Tutoría)
Tribunal
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
GARCIA RIO, EDUARDO (Presidente/a)
RIVERO SALGADO, OSCAR (Secretario/a)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Vocal)
El teorema de Tychonoff y una de sus aplicaciones
Autoría
M.C.P.
Grado en Matemáticas
M.C.P.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
03.07.2024 10:00
03.07.2024 10:00
Resumen
El teorema de Tychonoff es un resultado muy importante dentro de la topología general que dice que el producto de espacios compactos es compacto. En este trabajo, realizamos una demostración para el caso de un producto infinito de espacios y presentamos ciertas aplicaciones en el dominio del análisis funcional y las ecuaciones diferenciales, como es el caso, por ejemplo, del teorema de Banach-Alaoglu.
El teorema de Tychonoff es un resultado muy importante dentro de la topología general que dice que el producto de espacios compactos es compacto. En este trabajo, realizamos una demostración para el caso de un producto infinito de espacios y presentamos ciertas aplicaciones en el dominio del análisis funcional y las ecuaciones diferenciales, como es el caso, por ejemplo, del teorema de Banach-Alaoglu.
Dirección
Álvarez López, Jesús Antonio (Tutoría)
MAJADAS MOURE, ALEJANDRO OMAR Cotutoría
Álvarez López, Jesús Antonio (Tutoría)
MAJADAS MOURE, ALEJANDRO OMAR Cotutoría
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
Análisis Complejo Revisitado
Autoría
I.G.L.
Grado en Matemáticas
I.G.L.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
03.07.2024 10:45
03.07.2024 10:45
Resumen
En el análisis de funciones complejas, muchas veces encontramos resultados que no conseguimos comprender y visualizar fácilmente. Por medio de la representación de estos resultados gráficamente entenderemos estas incógnitas, visualizaremos resultados y extraeremos conclusiones. Al final del trabajo podremos detectar a simple vista y clasificar muchas propiedades de las funciones complejas que estudiemos.
En el análisis de funciones complejas, muchas veces encontramos resultados que no conseguimos comprender y visualizar fácilmente. Por medio de la representación de estos resultados gráficamente entenderemos estas incógnitas, visualizaremos resultados y extraeremos conclusiones. Al final del trabajo podremos detectar a simple vista y clasificar muchas propiedades de las funciones complejas que estudiemos.
Dirección
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutoría)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutoría)
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
Cuerdas y membranas vibrantes: matemáticas y sonido.
Autoría
P.L.L.
Grado en Matemáticas
P.L.L.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
03.07.2024 11:30
03.07.2024 11:30
Resumen
En este trabajo, se resolverá la ecuación de ondas en los casos en los que su dimensión sea menor o igual que 3. Para ello, se comenzará presentando una deducción de dicha ecuación y después se resolverán dos tipos de problemas: con condiciones de contorno (que serán de tipo Dirichlet o Neumann) y el problema global de Cauchy. Para los primeros, se utilizará el método de separación de variables, mientras que para el segundo tipo se presentarán el método de las medias esféricas y el método de descenso de Hadamard. Además, a lo largo de este documento se incluirán diversos ejemplos y representaciones gráficas que buscan facilitar la comprensión de las resoluciones explicadas.
En este trabajo, se resolverá la ecuación de ondas en los casos en los que su dimensión sea menor o igual que 3. Para ello, se comenzará presentando una deducción de dicha ecuación y después se resolverán dos tipos de problemas: con condiciones de contorno (que serán de tipo Dirichlet o Neumann) y el problema global de Cauchy. Para los primeros, se utilizará el método de separación de variables, mientras que para el segundo tipo se presentarán el método de las medias esféricas y el método de descenso de Hadamard. Además, a lo largo de este documento se incluirán diversos ejemplos y representaciones gráficas que buscan facilitar la comprensión de las resoluciones explicadas.
Dirección
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
Simulación numérica del modelo SEIR. Aplicación a la epidemia del COVID-19
Autoría
A.N.G.
Grado en Matemáticas
A.N.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
03.07.2024 12:15
03.07.2024 12:15
Resumen
En este trabajo, se aborda el problema de formular modelos precisos que se ajusten a la realidad de la pandemia de la COVID-19. En primera instancia, se expone un primer modelo S-E-A-I-Q-R que incluye imposición de cuarentenas y distingue entre casos sintomáticos y asintomáticos, después, se introduce un segundo modelo, más preciso, que también tiene en cuenta retrasos en el aislamiento de individuos infectados y un proceso de vacunación. Se considerarán dos versiones de este segundo modelo, una que es conservativa respecto a la población total, y otra que no lo es. Finalmente, se procederá a la simulación numérica de los resultados ofrecidos por el segundo modelo en sus dos versiones, para la cual la plataforma MATLAB será una herramienta esencial. Se compararán los resultados obtenidos, y se analizará la estabilidad y sensibilidad de la solución ante cambios en los valores numéricos de ciertos parámetros.
En este trabajo, se aborda el problema de formular modelos precisos que se ajusten a la realidad de la pandemia de la COVID-19. En primera instancia, se expone un primer modelo S-E-A-I-Q-R que incluye imposición de cuarentenas y distingue entre casos sintomáticos y asintomáticos, después, se introduce un segundo modelo, más preciso, que también tiene en cuenta retrasos en el aislamiento de individuos infectados y un proceso de vacunación. Se considerarán dos versiones de este segundo modelo, una que es conservativa respecto a la población total, y otra que no lo es. Finalmente, se procederá a la simulación numérica de los resultados ofrecidos por el segundo modelo en sus dos versiones, para la cual la plataforma MATLAB será una herramienta esencial. Se compararán los resultados obtenidos, y se analizará la estabilidad y sensibilidad de la solución ante cambios en los valores numéricos de ciertos parámetros.
Dirección
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Tutoría)
QUINTELA ESTEVEZ, PEREGRINA (Tutoría)
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
La ecuación de Liénard
Autoría
M.P.A.
Grado en Matemáticas
M.P.A.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
03.07.2024 16:00
03.07.2024 16:00
Resumen
La ecuación de Liénard generaliza la ecuación del oscilador armónico lineal y permite modelar de manera adecuada algunos sistemas de ecuaciones diferenciales planos donde existe un movimiento periódico. En este trabajo, tras dar unas nociones previas sobre análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales, estudiaremos el Teorema de Liénard, que garantiza la existencia y unicidad de ciclo límite para ciertos sistemas asociados a la ecuación de Liénard. Además, expondremos en profundidad dos ejemplos, correspondientes al área de la electrónica (el oscilador de Van der Pol) y a la biología (el modelo del latido del corazón de Zeeman), que siguen esta estructura. Finalmente, daremos otros dos resultados teóricos de aplicación para otras ecuaciones que resultan de generalizar, aún más, la ecuación de Liénard introduciendo coeficientes no lineales que combinan tanto la variable dependiente y su derivada, con sus respectivos ejemplos.
La ecuación de Liénard generaliza la ecuación del oscilador armónico lineal y permite modelar de manera adecuada algunos sistemas de ecuaciones diferenciales planos donde existe un movimiento periódico. En este trabajo, tras dar unas nociones previas sobre análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales, estudiaremos el Teorema de Liénard, que garantiza la existencia y unicidad de ciclo límite para ciertos sistemas asociados a la ecuación de Liénard. Además, expondremos en profundidad dos ejemplos, correspondientes al área de la electrónica (el oscilador de Van der Pol) y a la biología (el modelo del latido del corazón de Zeeman), que siguen esta estructura. Finalmente, daremos otros dos resultados teóricos de aplicación para otras ecuaciones que resultan de generalizar, aún más, la ecuación de Liénard introduciendo coeficientes no lineales que combinan tanto la variable dependiente y su derivada, con sus respectivos ejemplos.
Dirección
Rodríguez López, Rosana (Tutoría)
Rodríguez López, Rosana (Tutoría)
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
Introducción a las leyes de conservación y a su resolución numérica
Autoría
A.P.D.V.R.
Grado en Matemáticas
A.P.D.V.R.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
03.07.2024 16:45
03.07.2024 16:45
Resumen
La modelización matemática con leyes de conservación describe el comportamiento de un sistema teniendo en cuenta la conservación de alguna magnitud, como la masa, la energía o el momento. Estos modelos se utilizan en campos como la física, la ingeniería y la ciencia ambiental para comprender y predecir el comportamiento de sistemas complejos, desde la dinámica de fluidos y el flujo de tráfico hasta las reacciones químicas y las interacciones ecológicas. En este trabajo se estudiarán en primer lugar las propiedades analíticas más importantes de los sistemas de leyes de conservación, viendo los conceptos de solución clásica, solución débil, condiciones de entropía y el problema de Riemann. Puesto que, en general, no es posible obtener la solución exacta de las leyes de conservación, posteriormente, teniendo en cuenta las características y dificultades encontradas, se diseñarán métodos numéricos para aproximar numéricamente las soluciones de estos sistemas. Se hará especial énfasis en el método de Godunov, cuya deducción matemática es consecuencia directa de las propiedades fundamentales de las leyes de conservación. Finalmente, se aportan códigos MATLAB que implementan los métodos descritos.
La modelización matemática con leyes de conservación describe el comportamiento de un sistema teniendo en cuenta la conservación de alguna magnitud, como la masa, la energía o el momento. Estos modelos se utilizan en campos como la física, la ingeniería y la ciencia ambiental para comprender y predecir el comportamiento de sistemas complejos, desde la dinámica de fluidos y el flujo de tráfico hasta las reacciones químicas y las interacciones ecológicas. En este trabajo se estudiarán en primer lugar las propiedades analíticas más importantes de los sistemas de leyes de conservación, viendo los conceptos de solución clásica, solución débil, condiciones de entropía y el problema de Riemann. Puesto que, en general, no es posible obtener la solución exacta de las leyes de conservación, posteriormente, teniendo en cuenta las características y dificultades encontradas, se diseñarán métodos numéricos para aproximar numéricamente las soluciones de estos sistemas. Se hará especial énfasis en el método de Godunov, cuya deducción matemática es consecuencia directa de las propiedades fundamentales de las leyes de conservación. Finalmente, se aportan códigos MATLAB que implementan los métodos descritos.
Dirección
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Tutoría)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Tutoría)
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
La función Zeta de Riemann
Autoría
I.R.P.
Grado en Matemáticas
I.R.P.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
03.07.2024 17:30
03.07.2024 17:30
Resumen
El objetivo principal de este trabajo es estudiar la función Zeta de Riemann en profundidad y analizar la hipótesis de Riemann. Para ello, se comienza presentando algunas nociones básicas del análisis complejo, que serán necesarias a lo largo del trabajo, junto a un estudio de la función Gamma de Euler, altamente relacionada con la función Zeta de Riemann. Posteriormente, se introduce la definición de la función Zeta de Riemann, así como sus propiedades fundamentales y ecuación funcional. También se examinan algunos valores concretos de la misma que son de interés, haciendo especial énfasis en sus ceros, y se muestran algunas de sus aplicaciones en otros campos, como la física cuántica o la lingüística. Finalmente, se enfoca el trabajo en la hipótesis de Riemann. En un primer lugar, se examina su contexto histórico, después se demuestra el teorema de los números primos utilizando la función Zeta de Riemann y para terminar se presentan ciertos aspectos asociados a la hipótesis. Estos aspectos serán algunas equivalencias o modificaciones de la hipótesis, sus posibles consecuencias y la evidencia que existe sobre esta hipótesis.
El objetivo principal de este trabajo es estudiar la función Zeta de Riemann en profundidad y analizar la hipótesis de Riemann. Para ello, se comienza presentando algunas nociones básicas del análisis complejo, que serán necesarias a lo largo del trabajo, junto a un estudio de la función Gamma de Euler, altamente relacionada con la función Zeta de Riemann. Posteriormente, se introduce la definición de la función Zeta de Riemann, así como sus propiedades fundamentales y ecuación funcional. También se examinan algunos valores concretos de la misma que son de interés, haciendo especial énfasis en sus ceros, y se muestran algunas de sus aplicaciones en otros campos, como la física cuántica o la lingüística. Finalmente, se enfoca el trabajo en la hipótesis de Riemann. En un primer lugar, se examina su contexto histórico, después se demuestra el teorema de los números primos utilizando la función Zeta de Riemann y para terminar se presentan ciertos aspectos asociados a la hipótesis. Estos aspectos serán algunas equivalencias o modificaciones de la hipótesis, sus posibles consecuencias y la evidencia que existe sobre esta hipótesis.
Dirección
Cao Labora, Daniel (Tutoría)
Cao Labora, Daniel (Tutoría)
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
Fórmulas de Cuadratura
Autoría
L.R.S.
Grado en Matemáticas
L.R.S.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
03.07.2024 18:15
03.07.2024 18:15
Resumen
En este trabajo abordaremos el estudio de métodos numéricos para el cálculo aproximado de la integral definida a través de diversas fórmulas de cuadratura. En primer lugar, hablaremos de las fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio polinómico (de tipo i.p.) y daremos unas pinceladas comunes a todas ellas. Estudiaremos en profundidad dos casos importantes de las fórmulas de tipo i.p.: las fórmulas de Newton-Cotes y las fórmulas de Gauss. Por último, estudiaremos las fórmulas de cuadratura compuestas, que tratan de obtener mejores resultados. Veremos como obtener los coeficientes de cada respectiva fórmula, y para las gaussianas también los nodos de cuadratura. En cada caso hablaremos del error de cuadratura y daremos algún que otro resultado acerca de la convergencia.
En este trabajo abordaremos el estudio de métodos numéricos para el cálculo aproximado de la integral definida a través de diversas fórmulas de cuadratura. En primer lugar, hablaremos de las fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio polinómico (de tipo i.p.) y daremos unas pinceladas comunes a todas ellas. Estudiaremos en profundidad dos casos importantes de las fórmulas de tipo i.p.: las fórmulas de Newton-Cotes y las fórmulas de Gauss. Por último, estudiaremos las fórmulas de cuadratura compuestas, que tratan de obtener mejores resultados. Veremos como obtener los coeficientes de cada respectiva fórmula, y para las gaussianas también los nodos de cuadratura. En cada caso hablaremos del error de cuadratura y daremos algún que otro resultado acerca de la convergencia.
Dirección
López Pouso, Óscar (Tutoría)
López Pouso, Óscar (Tutoría)
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
Teoría de Juegos y Análisis de Mercados
Autoría
I.C.Q.
Grado en Matemáticas
I.C.Q.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 10:00
04.07.2024 10:00
Resumen
El trabajo comienza dando una breve introducción a la teoría de juegos, haciendo mención a sus distintas ramas y algunos de sus principales campos de aplicación. Los Capítulos 1 y 2 están dedicados a los juegos no cooperativos en forma estratégica. En el primero se introducen algunos conceptos básicos y se presentan varios teoremas sobre la existencia y unicidad de equilibrio, para después, en el segundo, describir dos modelos de oligopolio y calcular sus equilibrios bajo distintas circunstancias. Los Capítulos 3 y 4 se centran en el estudio de juegos cooperativos o coalicionales. En el Capítulo 3 se introducen los juegos cooperativos con utilidad transferible, mientras que en el Capítulo 4 hablaremos de juegos cooperativos sin utilidad transferible, proporcionando en ambos ejemplos para comprender su utilidad en los mercados y definiendo distintos tipos de repartos y soluciones estables. Terminamos con el Capítulo 5, a modo de conclusión, indicando una serie de consideraciones finales y referencias a otros resultados de interés.
El trabajo comienza dando una breve introducción a la teoría de juegos, haciendo mención a sus distintas ramas y algunos de sus principales campos de aplicación. Los Capítulos 1 y 2 están dedicados a los juegos no cooperativos en forma estratégica. En el primero se introducen algunos conceptos básicos y se presentan varios teoremas sobre la existencia y unicidad de equilibrio, para después, en el segundo, describir dos modelos de oligopolio y calcular sus equilibrios bajo distintas circunstancias. Los Capítulos 3 y 4 se centran en el estudio de juegos cooperativos o coalicionales. En el Capítulo 3 se introducen los juegos cooperativos con utilidad transferible, mientras que en el Capítulo 4 hablaremos de juegos cooperativos sin utilidad transferible, proporcionando en ambos ejemplos para comprender su utilidad en los mercados y definiendo distintos tipos de repartos y soluciones estables. Terminamos con el Capítulo 5, a modo de conclusión, indicando una serie de consideraciones finales y referencias a otros resultados de interés.
Dirección
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)
CASAS MENDEZ, BALBINA VIRGINIA (Tutoría)
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
Selección de variables en modelos de regresión
Autoría
J.C.L.
Grado en Matemáticas
J.C.L.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 10:40
04.07.2024 10:40
Resumen
La selección de variables es un tema de gran relevancia, especialmente en contextos donde la abundancia de posibles covariables dificulta la integración en modelos. Los métodos para esta selección se dividen en aquellos que asumen una estructura de modelo conocida, típicamente lineal, y aquellos que dependen únicamente de la naturaleza de las variables involucradas (respuesta y covariables). En la primera categoría se encuentran enfoques clásicos como la regresión Stepwise y técnicas más modernas como la regresión LASSO, aplicables a modelos lineales. La segunda categoría incluye métodos como mRMR (minimum Redundancy Maximum Relevance) y algoritmos basados en correlación de distancias. Este trabajo tiene como objetivo presentar estas técnicas y analizar su eficacia mediante ejemplos de simulación y datos reales.
La selección de variables es un tema de gran relevancia, especialmente en contextos donde la abundancia de posibles covariables dificulta la integración en modelos. Los métodos para esta selección se dividen en aquellos que asumen una estructura de modelo conocida, típicamente lineal, y aquellos que dependen únicamente de la naturaleza de las variables involucradas (respuesta y covariables). En la primera categoría se encuentran enfoques clásicos como la regresión Stepwise y técnicas más modernas como la regresión LASSO, aplicables a modelos lineales. La segunda categoría incluye métodos como mRMR (minimum Redundancy Maximum Relevance) y algoritmos basados en correlación de distancias. Este trabajo tiene como objetivo presentar estas técnicas y analizar su eficacia mediante ejemplos de simulación y datos reales.
Dirección
FEBRERO BANDE, MANUEL (Tutoría)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Tutoría)
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
Optimización de problemas con ecuaciones diferenciales algebraicas
Autoría
I.C.S.
Grado en Matemáticas
I.C.S.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 11:20
04.07.2024 11:20
Resumen
La optimización de problemas con restricciones de tipo diferencial se describe a través de los conocidos como problemas de control óptimo, objeto de estudio del trabajo. Así pues, después de una presentación de los sistemas de ecuaciones diferenciales y algebraicas, se introduce esta clase de problemas. Se aportan comentarios e interpretaciones sobre su definición y se lleva a cabo una breve discusión teórica, en la que se enuncia el principio del máximo de Pontryagin, resultado de gran importancia en esta área que significa una primera forma de encontrar una solución. A continuación, se exponen los métodos directos de resolución más conocidos, que se basan en una discretización del problema original, dando lugar a uno de programación no lineal atacable con herramientas habituales de optimización como la programación cuadrática secuencial. Además, estos métodos se complementan con dos algoritmos iterativos de refinamiento de la malla para mejorar el error de la aproximación discreta obtenida. Para finalizar, se resuelven una serie de ejemplos mediante un código original implementado en MATLAB.
La optimización de problemas con restricciones de tipo diferencial se describe a través de los conocidos como problemas de control óptimo, objeto de estudio del trabajo. Así pues, después de una presentación de los sistemas de ecuaciones diferenciales y algebraicas, se introduce esta clase de problemas. Se aportan comentarios e interpretaciones sobre su definición y se lleva a cabo una breve discusión teórica, en la que se enuncia el principio del máximo de Pontryagin, resultado de gran importancia en esta área que significa una primera forma de encontrar una solución. A continuación, se exponen los métodos directos de resolución más conocidos, que se basan en una discretización del problema original, dando lugar a uno de programación no lineal atacable con herramientas habituales de optimización como la programación cuadrática secuencial. Además, estos métodos se complementan con dos algoritmos iterativos de refinamiento de la malla para mejorar el error de la aproximación discreta obtenida. Para finalizar, se resuelven una serie de ejemplos mediante un código original implementado en MATLAB.
Dirección
GONZALEZ RUEDA, ANGEL MANUEL (Tutoría)
GONZALEZ RUEDA, ANGEL MANUEL (Tutoría)
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
Teoría de punto fijo y aplicaciones a las ecuaciones diferenciales
Autoría
L.M.F.P.
Grado en Matemáticas
L.M.F.P.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 12:00
04.07.2024 12:00
Resumen
La teoría de punto fijo ha demostrado ser una rama de las matemáticas con un enorme potencial para la resolución de múltiples problemas en análisis no lineal, tales como la prueba de existencia, unicidad o multiplicidad de solución de ecuaciones tanto integrales como diferenciales. Los conceptos de grado topológico e índice de punto fijo son de gran utilidad para la prueba de diversos resultados que pueden ser enmarcados dentro de esta teoría, tales como los teorema de punto fijo de Brouwer y Schauder, el de Krasnoselskii en conos, o el de Legget-Williams, por el cual se establecen condiciones para la existencia de múltiples puntos de este tipo. En este trabajo final de grado, se presenta, en primer lugar, una pormenorizada introducción a los conceptos de grado topológico e índice de punto fijo, así como a sus propiedades. Seguidamente, se muestran resultados de teoría de punto fijo que pueden ser probados con ayuda de los mismos y finalmente, se utiliza parte de la teoría de punto fijo desenvuelta para la búsqueda de condiciones suficientes para la existencia de solución de un problema de frontera con condiciones tipo Dirichlet y ecuación diferencial de segunda orden.
La teoría de punto fijo ha demostrado ser una rama de las matemáticas con un enorme potencial para la resolución de múltiples problemas en análisis no lineal, tales como la prueba de existencia, unicidad o multiplicidad de solución de ecuaciones tanto integrales como diferenciales. Los conceptos de grado topológico e índice de punto fijo son de gran utilidad para la prueba de diversos resultados que pueden ser enmarcados dentro de esta teoría, tales como los teorema de punto fijo de Brouwer y Schauder, el de Krasnoselskii en conos, o el de Legget-Williams, por el cual se establecen condiciones para la existencia de múltiples puntos de este tipo. En este trabajo final de grado, se presenta, en primer lugar, una pormenorizada introducción a los conceptos de grado topológico e índice de punto fijo, así como a sus propiedades. Seguidamente, se muestran resultados de teoría de punto fijo que pueden ser probados con ayuda de los mismos y finalmente, se utiliza parte de la teoría de punto fijo desenvuelta para la búsqueda de condiciones suficientes para la existencia de solución de un problema de frontera con condiciones tipo Dirichlet y ecuación diferencial de segunda orden.
Dirección
Rodríguez López, Jorge (Tutoría)
Rodríguez López, Jorge (Tutoría)
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
Diseño de nanopartículas magnéticas para MPI
Autoría
B.M.P.S.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
B.M.P.S.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
19.07.2024 09:30
19.07.2024 09:30
Resumen
El objetivo de este trabajo es analizar las propiedades de las nanopartículas de magnetita y tratar de optimizar su comportamiento en magnetic particle imaging (MPI), una técnica de imagen médica en desarrollo cuyo funcionamiento se basa en la no linealidad de las curvas de imanación de dichas nanopartículas y la existencia de un campo de saturación en los materiales magnéticos. Examinaremos cómo afecta la anisotropía magnética de las partículas a su magnetización y compararemos los resultados con las predicciones de la teoría paramagnética de Langevin, la cual se suele usar en el estudio de MPI. Para ello, simularemos la evolución de la imanación de partículas de magnetita en diferentes escenarios utilizando los recursos computacionales del CESGA. En primer lugar, supondremos que las partículas solo presentan una dirección de fácil magnetización, es decir, poseen únicamente anisotropía uniaxial. Posteriormente, consideraremos partículas más cercanas a las existentes en la realidad, las cuales presentarán una anisotropía intrínseca debido a su estructura cristalina, que en el caso de la magnetita es cúbica, y que tendrán una forma asimétrica, la cual introducirá una contribución uniaxial de anisotropía. En ambos casos supondremos inicialmente que los ejes fáciles de anisotropía uniaxiales están distribuidos al azar. Pero como las partículas en MPI se encuentran en un medio viscoso en el que pueden rotar físicamente debido al campo magnético, estudiaremos también como afectaría a la señal de MPI una orientación concreta de estos ejes fáciles.
El objetivo de este trabajo es analizar las propiedades de las nanopartículas de magnetita y tratar de optimizar su comportamiento en magnetic particle imaging (MPI), una técnica de imagen médica en desarrollo cuyo funcionamiento se basa en la no linealidad de las curvas de imanación de dichas nanopartículas y la existencia de un campo de saturación en los materiales magnéticos. Examinaremos cómo afecta la anisotropía magnética de las partículas a su magnetización y compararemos los resultados con las predicciones de la teoría paramagnética de Langevin, la cual se suele usar en el estudio de MPI. Para ello, simularemos la evolución de la imanación de partículas de magnetita en diferentes escenarios utilizando los recursos computacionales del CESGA. En primer lugar, supondremos que las partículas solo presentan una dirección de fácil magnetización, es decir, poseen únicamente anisotropía uniaxial. Posteriormente, consideraremos partículas más cercanas a las existentes en la realidad, las cuales presentarán una anisotropía intrínseca debido a su estructura cristalina, que en el caso de la magnetita es cúbica, y que tendrán una forma asimétrica, la cual introducirá una contribución uniaxial de anisotropía. En ambos casos supondremos inicialmente que los ejes fáciles de anisotropía uniaxiales están distribuidos al azar. Pero como las partículas en MPI se encuentran en un medio viscoso en el que pueden rotar físicamente debido al campo magnético, estudiaremos también como afectaría a la señal de MPI una orientación concreta de estos ejes fáciles.
Dirección
SERANTES ABALO, DAVID (Tutoría)
SERANTES ABALO, DAVID (Tutoría)
Tribunal
REY LOSADA, CARLOS (Presidente/a)
ROMERO VIDAL, ANTONIO (Secretario/a)
DE LA FUENTE CARBALLO, RAUL (Vocal)
REY LOSADA, CARLOS (Presidente/a)
ROMERO VIDAL, ANTONIO (Secretario/a)
DE LA FUENTE CARBALLO, RAUL (Vocal)
Estudio teórico-computacional de mezclas ternarias de líquidos iónicos con disolventes moleculares para almacenamiento electroquímico
Autoría
P.T.M.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
P.T.M.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
19.07.2024 09:30
19.07.2024 09:30
Resumen
En el presente trabajo de fin de grado (TFG) se realizarán simulaciones mediante dinámica molecular de electrolitos basados en mezclas ternarias de líquidos iónicos (EAN), sales de litio (LiNO3) y cosolvente molecular (acetonitrilo y agua) de interés en dispositivos electroquímicos. Después de una revisión de los fundamentos teóricos de esta disciplina y la familiarización con el software usado en las simulaciones, se analizarán las propiedades estructurales y dinámicas del sistema anterior para distintas concentraciones de disolvente. Estos resultados se usarán para comparar el comportamiento del acetonitrilo frente al agua, así como para contrastarlos con las hipótesis teóricas previamente planteadas basadas en la estructura de las moléculas de la mezcla.
En el presente trabajo de fin de grado (TFG) se realizarán simulaciones mediante dinámica molecular de electrolitos basados en mezclas ternarias de líquidos iónicos (EAN), sales de litio (LiNO3) y cosolvente molecular (acetonitrilo y agua) de interés en dispositivos electroquímicos. Después de una revisión de los fundamentos teóricos de esta disciplina y la familiarización con el software usado en las simulaciones, se analizarán las propiedades estructurales y dinámicas del sistema anterior para distintas concentraciones de disolvente. Estos resultados se usarán para comparar el comportamiento del acetonitrilo frente al agua, así como para contrastarlos con las hipótesis teóricas previamente planteadas basadas en la estructura de las moléculas de la mezcla.
Dirección
Montes Campos, Hadrián (Tutoría)
MENDEZ MORALES, TRINIDAD Cotutoría
Montes Campos, Hadrián (Tutoría)
MENDEZ MORALES, TRINIDAD Cotutoría
Tribunal
REY LOSADA, CARLOS (Presidente/a)
ROMERO VIDAL, ANTONIO (Secretario/a)
DE LA FUENTE CARBALLO, RAUL (Vocal)
REY LOSADA, CARLOS (Presidente/a)
ROMERO VIDAL, ANTONIO (Secretario/a)
DE LA FUENTE CARBALLO, RAUL (Vocal)
Optimización de Nanopartículas Magnéticas para el Tratamiento del Cáncer Mediante Hipertermia
Autoría
V.O.Z.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
V.O.Z.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
18.07.2024 09:30
18.07.2024 09:30
Resumen
El tratamiento del cáncer mediante hipertermia magnética ha generado grandes expectativas en los últimos años. En este trabajo revisaremos el marco teórico y aproximaciones que nos permiten comprender cómo la aplicación de un campo magnético alterno a un sistema formado por nanopartículas magnéticas da lugar a una disipación de calor que, en última instancia, provoca la apoptosis celular. Tomando como referencia el criterio de Brezovich (que considera condiciones de campo seguras para la aplicación in vivo), se realizará un estudio computacional de las formas y tamaños que optimizan el calor disipado, suponiendo en primer lugar un sistema de nanopartículas que no interactúan entre sí y, posteriormente, un sistema con interacción. En ambos casos se ha llegado a una clara dependencia en el ratio de la partícula, así como un mayor rendimiento para partículas-cubo de lado cercano a 20 nm. Además, se mostrará la incapacidad de la aproximación de anisotropía uniaxial para modelar correctamente dicho sistema, en favor de un balance entre esta y la anisotropía magnetocristalina cúbica. Las simulaciones se han basado en la resolución de la ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert con el software OOMMF desarrollado por el NIST, gracias a los recursos proporcionados por el CESGA.
El tratamiento del cáncer mediante hipertermia magnética ha generado grandes expectativas en los últimos años. En este trabajo revisaremos el marco teórico y aproximaciones que nos permiten comprender cómo la aplicación de un campo magnético alterno a un sistema formado por nanopartículas magnéticas da lugar a una disipación de calor que, en última instancia, provoca la apoptosis celular. Tomando como referencia el criterio de Brezovich (que considera condiciones de campo seguras para la aplicación in vivo), se realizará un estudio computacional de las formas y tamaños que optimizan el calor disipado, suponiendo en primer lugar un sistema de nanopartículas que no interactúan entre sí y, posteriormente, un sistema con interacción. En ambos casos se ha llegado a una clara dependencia en el ratio de la partícula, así como un mayor rendimiento para partículas-cubo de lado cercano a 20 nm. Además, se mostrará la incapacidad de la aproximación de anisotropía uniaxial para modelar correctamente dicho sistema, en favor de un balance entre esta y la anisotropía magnetocristalina cúbica. Las simulaciones se han basado en la resolución de la ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert con el software OOMMF desarrollado por el NIST, gracias a los recursos proporcionados por el CESGA.
Dirección
SERANTES ABALO, DAVID (Tutoría)
SERANTES ABALO, DAVID (Tutoría)
Tribunal
VAZQUEZ REGUEIRO, PABLO (Presidente/a)
ALEJO ALONSO, AARON JOSE (Secretario/a)
DEL PINO GONZALEZ DE LA HIGUERA, PABLO ALFONSO (Vocal)
VAZQUEZ REGUEIRO, PABLO (Presidente/a)
ALEJO ALONSO, AARON JOSE (Secretario/a)
DEL PINO GONZALEZ DE LA HIGUERA, PABLO ALFONSO (Vocal)
Propiedades electrónicas de pentacapas de grafeno
Autoría
P.S.F.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
P.S.F.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
18.07.2024 09:30
18.07.2024 09:30
Resumen
Las correlaciones electrónicas son un tipo de interacción necesario para explicar algunas propiedades y estados exóticos de la materia, pero que no se tiene en cuenta en la teoría de bandas. Las multicapas de grafeno han sido un buen material en el que estudiar dichos estados, y en concreto la pentacapa resulta ser un sistema muy interesante para este fin. En este trabajo presentaremos las herramientas necesarias para el estudio de las bandas de estos materiales, así como la información derivada de ellas, como la densidad de estados o las superficies de Fermi. Nos centraremos en realizar modelos para la pentacapa de grafeno, e intentar asociar los estados correlacionados que experimentalmente se han encontrado en ella, con regiones de alta densidad de estados en sus bandas. Se han construido modelos con parámetros para el hamiltoniano extraídos de la literatura, se han construido otros modificando dichos parámetros, e incluso se ha intentado conseguir un modelo efectivo para la búsqueda de un conjunto de parámetros óptimo. Aunque, finalmente, no hayamos encontrado señales claramente relacionadas con los estados correlacionados, se ha realizado un estudio bastante exhaustivo que, de complementarse, podría arrojar resultados más concluyentes.
Las correlaciones electrónicas son un tipo de interacción necesario para explicar algunas propiedades y estados exóticos de la materia, pero que no se tiene en cuenta en la teoría de bandas. Las multicapas de grafeno han sido un buen material en el que estudiar dichos estados, y en concreto la pentacapa resulta ser un sistema muy interesante para este fin. En este trabajo presentaremos las herramientas necesarias para el estudio de las bandas de estos materiales, así como la información derivada de ellas, como la densidad de estados o las superficies de Fermi. Nos centraremos en realizar modelos para la pentacapa de grafeno, e intentar asociar los estados correlacionados que experimentalmente se han encontrado en ella, con regiones de alta densidad de estados en sus bandas. Se han construido modelos con parámetros para el hamiltoniano extraídos de la literatura, se han construido otros modificando dichos parámetros, e incluso se ha intentado conseguir un modelo efectivo para la búsqueda de un conjunto de parámetros óptimo. Aunque, finalmente, no hayamos encontrado señales claramente relacionadas con los estados correlacionados, se ha realizado un estudio bastante exhaustivo que, de complementarse, podría arrojar resultados más concluyentes.
Dirección
PARDO CASTRO, VICTOR (Tutoría)
Bascones Fernández de Velasco, Elena Cotutoría
PARDO CASTRO, VICTOR (Tutoría)
Bascones Fernández de Velasco, Elena Cotutoría
Tribunal
VAZQUEZ REGUEIRO, PABLO (Presidente/a)
ALEJO ALONSO, AARON JOSE (Secretario/a)
DEL PINO GONZALEZ DE LA HIGUERA, PABLO ALFONSO (Vocal)
VAZQUEZ REGUEIRO, PABLO (Presidente/a)
ALEJO ALONSO, AARON JOSE (Secretario/a)
DEL PINO GONZALEZ DE LA HIGUERA, PABLO ALFONSO (Vocal)
Inteligencia Artifical en Entornos Meteorológicos
Autoría
C.F.P.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
C.F.P.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
18.07.2024 09:00
18.07.2024 09:00
Resumen
En este trabajo, se han recabado datos meteorológicos reales de estaciones de Meteogalicia, y se ha programado un modelo de Echo State Networks para intentar ajustarse a ellos. Los objetivos fueron la modelización y comprensión de los datos, la detección y reproducción de sucesos climatológicos extremos, y, en última instancia, estudiar la capacidad del modelo para predecir datos futuros. Los análisis se realizaron, para poder ser abarcables y acorde a las características de este trabajo, para solamente una estación meteorológica situada en Ferrol, con datos correspondientes al verano entre los años 2001 y 2023, ambos incluidos. Se encontró que el modelo ajustaba satisfactoriamente los datos, y que era capaz de encontrar sucesos extremos con fiabilidad. Entrenando el modelo para esta estación, se obtuvieron predicciones aceptables para estaciones correspondientes a lugares con un clima similar, pero notablemente peores para localizaciones con distintas características . En cuanto a la predicción para tiempos futuros, se estableció que se obtenía una predicción aceptable para un tiempo equivalente al 12.5 % del tiempo de entrenamiento de la red, tiempo a partir del cual el modelo dejaba de aportar resultados con sentido. No se encontraron evidencias de una evolución significativa hacia situaciones de cada vez mayor inestabilidad climática. Como futuras vías de estudio se presentan el análisis para el resto de estaciones del año, así como para diferentes climas (para cada uno de los cuales sería conveniente tomar una estación de entrenamiento). Para predicciones más longevas, se podrían considerar como válidos los valores predichos para el intervalo fiable, luego reentrenar el modelo incluyéndolos, y así sucesivamente.
En este trabajo, se han recabado datos meteorológicos reales de estaciones de Meteogalicia, y se ha programado un modelo de Echo State Networks para intentar ajustarse a ellos. Los objetivos fueron la modelización y comprensión de los datos, la detección y reproducción de sucesos climatológicos extremos, y, en última instancia, estudiar la capacidad del modelo para predecir datos futuros. Los análisis se realizaron, para poder ser abarcables y acorde a las características de este trabajo, para solamente una estación meteorológica situada en Ferrol, con datos correspondientes al verano entre los años 2001 y 2023, ambos incluidos. Se encontró que el modelo ajustaba satisfactoriamente los datos, y que era capaz de encontrar sucesos extremos con fiabilidad. Entrenando el modelo para esta estación, se obtuvieron predicciones aceptables para estaciones correspondientes a lugares con un clima similar, pero notablemente peores para localizaciones con distintas características . En cuanto a la predicción para tiempos futuros, se estableció que se obtenía una predicción aceptable para un tiempo equivalente al 12.5 % del tiempo de entrenamiento de la red, tiempo a partir del cual el modelo dejaba de aportar resultados con sentido. No se encontraron evidencias de una evolución significativa hacia situaciones de cada vez mayor inestabilidad climática. Como futuras vías de estudio se presentan el análisis para el resto de estaciones del año, así como para diferentes climas (para cada uno de los cuales sería conveniente tomar una estación de entrenamiento). Para predicciones más longevas, se podrían considerar como válidos los valores predichos para el intervalo fiable, luego reentrenar el modelo incluyéndolos, y así sucesivamente.
Dirección
Pérez Muñuzuri, Alberto (Tutoría)
García Selfa, David Cotutoría
Pérez Muñuzuri, Alberto (Tutoría)
García Selfa, David Cotutoría
Tribunal
Varela Cabo, Luis Miguel (Presidente/a)
PARAJO VIEITO, JUAN JOSE (Secretario/a)
ARMESTO PEREZ, NESTOR (Vocal)
Varela Cabo, Luis Miguel (Presidente/a)
PARAJO VIEITO, JUAN JOSE (Secretario/a)
ARMESTO PEREZ, NESTOR (Vocal)
Relación entre estructura y propiedades de nanomateriales para aplicaciones biomédicas: Biosensado
Autoría
J.C.R.G.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
J.C.R.G.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
18.07.2024 09:00
18.07.2024 09:00
Resumen
El objetivo de este Trabajo Fin de Grado es hacer una revisión del estado del arte de las nanopartículas metálicas como sistemas biosensores. Estas se pueden sintetizar por la ruptura de estructuras de mayor escala (enfoque top-down) o por el ensamblaje de átomos y moléculas individuales (bottom-up). Se explican de forma general algunas de las posibles formas de crear nanopartículas. Se presentan las propiedades ópticas de las nanopartículas metálicas que les dan interés en el biosensado, destacando la resonancia de plasmón superficial, que genera un campo electromagnético alrededor de la partícula al ser irradiada por luz. La dispersión Raman de superficie mejorada es una técnica de espectroscopía que amplifica el campo generado por el plasmón para permitir la detección de bajas concentraciones de analitos. Esto se debe a que la plasmónica de las nanopartículas de oro amplifica la señal Raman del analito adsorbido sobre ella y esta señal es característica de cada molécula y permite su identificación. Otra técnica de biosensado es la colorimetría, que permite identificar moléculas por el cambio en el color de la solución en la que se encuentran al enlazarse con las nanopartículas de oro y agruparse. Finalmente, se emplea COMSOL Multiphysics para simular el comportamiento del campo eléctrico alrededor de nanopartículas de oro de distintas morfologías, además de observar la amplificación del campo eléctrico en los huecos entre varias nanopartículas de la misma geometría para distintos valores del gap.
El objetivo de este Trabajo Fin de Grado es hacer una revisión del estado del arte de las nanopartículas metálicas como sistemas biosensores. Estas se pueden sintetizar por la ruptura de estructuras de mayor escala (enfoque top-down) o por el ensamblaje de átomos y moléculas individuales (bottom-up). Se explican de forma general algunas de las posibles formas de crear nanopartículas. Se presentan las propiedades ópticas de las nanopartículas metálicas que les dan interés en el biosensado, destacando la resonancia de plasmón superficial, que genera un campo electromagnético alrededor de la partícula al ser irradiada por luz. La dispersión Raman de superficie mejorada es una técnica de espectroscopía que amplifica el campo generado por el plasmón para permitir la detección de bajas concentraciones de analitos. Esto se debe a que la plasmónica de las nanopartículas de oro amplifica la señal Raman del analito adsorbido sobre ella y esta señal es característica de cada molécula y permite su identificación. Otra técnica de biosensado es la colorimetría, que permite identificar moléculas por el cambio en el color de la solución en la que se encuentran al enlazarse con las nanopartículas de oro y agruparse. Finalmente, se emplea COMSOL Multiphysics para simular el comportamiento del campo eléctrico alrededor de nanopartículas de oro de distintas morfologías, además de observar la amplificación del campo eléctrico en los huecos entre varias nanopartículas de la misma geometría para distintos valores del gap.
Dirección
TABOADA ANTELO, PABLO (Tutoría)
TABOADA ANTELO, PABLO (Tutoría)
Tribunal
Varela Cabo, Luis Miguel (Presidente/a)
PARAJO VIEITO, JUAN JOSE (Secretario/a)
ARMESTO PEREZ, NESTOR (Vocal)
Varela Cabo, Luis Miguel (Presidente/a)
PARAJO VIEITO, JUAN JOSE (Secretario/a)
ARMESTO PEREZ, NESTOR (Vocal)
Potencial de mitigación del impacto medioambiental con la implementación de distintas tecnologías de producción en la Unión Europea
Autoría
A.P.P.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
A.P.P.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
19.07.2024 09:30
19.07.2024 09:30
Resumen
Este estudio examina la robustez de la metodología estática para evaluar el Potencial de Mitigación del Impacto Medioambiental (IMPcc), un indicador clave de sostenibilidad ambiental. Se analiza la necesidad de considerar este indicador como dinámico al diseñar agendas de transición energética sostenible a medio y largo plazo, especialmente cuando la participación de tecnologías renovables aumenta. Utilizando la herramienta de simulación OSeMOSYS, que optimiza los costos globales del sistema energético, se modela un sistema de referencia simplificado para Galicia desde 2022 hasta 2050. La metodología incluye la definición de varios escenarios de transición, incrementando en cuatro pasos (0.5, 1, 2 y 3 GW) la capacidad tecnológica implementada de tres tecnologías clave: solar fotovoltaica, eólica y ciclo combinado. Se analizan las emisiones anuales y se calcula el IMPcc para evaluar si este indicador puede mantenerse constante e independiente del peso de la tecnología en la matriz energética. Los resultados indican comportamientos divergentes entre las tecnologías. La energía eólica muestra robustez, permitiendo que el IMPcc se considere constante. En contraste, la solar fotovoltaica presenta un IMPcc creciente linealmente, mientras que el ciclo combinado no muestra variaciones significativas. Esto se debe a la producción estacional de las tecnologías: la eólica y la hidráulica generan más en invierno, y la solar fotovoltaica en verano, necesitando el ciclo combinado más en verano para cubrir la demanda energética. Adicionalmente, se analizaron los costes de implementación y operación, así como la evolución de las capacidades de nueva implementación y su contribución a la producción dentro de la matriz energética.
Este estudio examina la robustez de la metodología estática para evaluar el Potencial de Mitigación del Impacto Medioambiental (IMPcc), un indicador clave de sostenibilidad ambiental. Se analiza la necesidad de considerar este indicador como dinámico al diseñar agendas de transición energética sostenible a medio y largo plazo, especialmente cuando la participación de tecnologías renovables aumenta. Utilizando la herramienta de simulación OSeMOSYS, que optimiza los costos globales del sistema energético, se modela un sistema de referencia simplificado para Galicia desde 2022 hasta 2050. La metodología incluye la definición de varios escenarios de transición, incrementando en cuatro pasos (0.5, 1, 2 y 3 GW) la capacidad tecnológica implementada de tres tecnologías clave: solar fotovoltaica, eólica y ciclo combinado. Se analizan las emisiones anuales y se calcula el IMPcc para evaluar si este indicador puede mantenerse constante e independiente del peso de la tecnología en la matriz energética. Los resultados indican comportamientos divergentes entre las tecnologías. La energía eólica muestra robustez, permitiendo que el IMPcc se considere constante. En contraste, la solar fotovoltaica presenta un IMPcc creciente linealmente, mientras que el ciclo combinado no muestra variaciones significativas. Esto se debe a la producción estacional de las tecnologías: la eólica y la hidráulica generan más en invierno, y la solar fotovoltaica en verano, necesitando el ciclo combinado más en verano para cubrir la demanda energética. Adicionalmente, se analizaron los costes de implementación y operación, así como la evolución de las capacidades de nueva implementación y su contribución a la producción dentro de la matriz energética.
Dirección
LOPEZ AGUERA, Ma ANGELES (Tutoría)
LOPEZ AGUERA, Ma ANGELES (Tutoría)
Tribunal
MORENO DE LAS CUEVAS, VICENTE (Presidente/a)
Liñeira del Río, José Manuel (Secretario/a)
TORRON CASAL, CAROLINA (Vocal)
MORENO DE LAS CUEVAS, VICENTE (Presidente/a)
Liñeira del Río, José Manuel (Secretario/a)
TORRON CASAL, CAROLINA (Vocal)
Redes Neuronales: Fundamentos y Aplicación al Reconocimiento de Imágenes
Autoría
C.F.P.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
C.F.P.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
16.07.2024 11:30
16.07.2024 11:30
Resumen
En este trabajo se estudian las redes neuronales, partiendo desde sus fundamentos y exponiendo algunos de sus modelos principales, para terminar explorando un modelo específico para el tratamiento de imágenes. Primeramente, se expone una definición general de las redes neuronales a partir de sus elementos, y también se tratan desde la teoría de grafos. A continuación, se explora el modelo original de las redes neuronales, el perceptrón simple, y su extensión natural, los perceptrones multicapa. En ambos casos se proporcionan su definición y resultados teóricos importantes sobre su capacidad y rendimiento. Finalmente, se explican las redes neuronales convolucionales, y se expone un ejemplo práctico junto a un código para un problema de clasificación de imágenes, para el cual se estudia cómo la variación de diferentes parámetros afecta al rendimiento del modelo.
En este trabajo se estudian las redes neuronales, partiendo desde sus fundamentos y exponiendo algunos de sus modelos principales, para terminar explorando un modelo específico para el tratamiento de imágenes. Primeramente, se expone una definición general de las redes neuronales a partir de sus elementos, y también se tratan desde la teoría de grafos. A continuación, se explora el modelo original de las redes neuronales, el perceptrón simple, y su extensión natural, los perceptrones multicapa. En ambos casos se proporcionan su definición y resultados teóricos importantes sobre su capacidad y rendimiento. Finalmente, se explican las redes neuronales convolucionales, y se expone un ejemplo práctico junto a un código para un problema de clasificación de imágenes, para el cual se estudia cómo la variación de diferentes parámetros afecta al rendimiento del modelo.
Dirección
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Tutoría)
CRUJEIRAS CASAIS, ROSA MARÍA (Tutoría)
Tribunal
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
Trabajo Fin de Grado
Autoría
A.O.T.
Grado en Matemáticas
A.O.T.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 12:40
04.07.2024 12:40
Resumen
Este documento engloba distintos teoremas de punto fijo definidos sobre conos en espacios de Banach y alguna de sus aplicaciones al estudio de la existencia de solución de ecuaciones diferenciales no lineales. En el primer capítulo se establecen los conceptos fundamentales como espacio de Banach, cono y función de Green, así como resultados en los que se apoyarán las demás partes. También se define de forma axiomática el índice de punto fijo. A partir de este último aspecto, en el segundo capítulo se establecen los teoremas de punto fijo, destacando el clásico Teorema de Krasnoselkii. El último capítulo contiene casos en los que se emplean los teoremas anteriores para el estudio de la existencia y no existencia de una o múltiples soluciones de un problema diferencial en diferentes situaciones de regularidad.
Este documento engloba distintos teoremas de punto fijo definidos sobre conos en espacios de Banach y alguna de sus aplicaciones al estudio de la existencia de solución de ecuaciones diferenciales no lineales. En el primer capítulo se establecen los conceptos fundamentales como espacio de Banach, cono y función de Green, así como resultados en los que se apoyarán las demás partes. También se define de forma axiomática el índice de punto fijo. A partir de este último aspecto, en el segundo capítulo se establecen los teoremas de punto fijo, destacando el clásico Teorema de Krasnoselkii. El último capítulo contiene casos en los que se emplean los teoremas anteriores para el estudio de la existencia y no existencia de una o múltiples soluciones de un problema diferencial en diferentes situaciones de regularidad.
Dirección
LOPEZ SOMOZA, LUCIA (Tutoría)
LOPEZ SOMOZA, LUCIA (Tutoría)
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
Modelos de regresión para datos de recuento con ceros truncados, ceros inflados y ceros apartados
Autoría
M.S.M.
Grado en Matemáticas
M.S.M.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 17:10
04.07.2024 17:10
Resumen
En este trabajo se han estudiado los modelos de regresión en los cuales la variable respuesta es un recuento que presenta anomalías en el valor cero, ya sea por ausencia, defecto o exceso, que nos obligan a considerar otros tipos de distribuciones de recuento diferentes a la distribución de Poisson o la Binomial Negativa. Se han estudiado las distribuciones con ceros truncados, ceros inflados y ceros apartados, que proporcionan una manera de actuar ante esas anomalías, y se han construido modelos de regresión para variables de recuento que siguen una de esas distribuciones, ilustrando su aplicación con ejemplos.
En este trabajo se han estudiado los modelos de regresión en los cuales la variable respuesta es un recuento que presenta anomalías en el valor cero, ya sea por ausencia, defecto o exceso, que nos obligan a considerar otros tipos de distribuciones de recuento diferentes a la distribución de Poisson o la Binomial Negativa. Se han estudiado las distribuciones con ceros truncados, ceros inflados y ceros apartados, que proporcionan una manera de actuar ante esas anomalías, y se han construido modelos de regresión para variables de recuento que siguen una de esas distribuciones, ilustrando su aplicación con ejemplos.
Dirección
SANCHEZ SELLERO, CESAR ANDRES (Tutoría)
SANCHEZ SELLERO, CESAR ANDRES (Tutoría)
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
Análisis estadístico de las evidencias estadísticas del cambio climático
Autoría
A.S.S.
Grado en Matemáticas
A.S.S.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 17:50
04.07.2024 17:50
Resumen
La regresión no paramétrica es una alternativa muy interesante para los modelos usuales de regresión lineal, dado que aporta una flexibilidad de la que el usuario se puede beneficiar enormemente en múltiples situaciones. Como todo, la regresión no paramétrica también tiene sus desventajas, y es que, como veremos, la flexibilidad de la que uno se beneficia, se termina pagando. A lo largo del documento trabajaremos en la mencionada regresión no paramétrica, centrándonos especialmente en el estimador local lineal y en sus propiedades, así como en el efecto del parámetro ventana. Además, trataremos una herramienta tremendamente útil y conectada tanto a las propiedades del estimador local lineal como al efecto del parámetro ventana, llamada SiZer. Para finalizar el trabajo, tomaremos unos datos de gran interés y actualidad, como son los correspondientes a variables climatológicas, y haciendo uso de todo lo visto a lo largo del estudio, trataremos de llevar a cabo un análisis sobre los mismos con el objetivo de apoyar la existencia del cambio climático, siempre teniendo presente que el estudio no deja de ser parte de un trabajo de fin de grado y un estudio riguroso del cambio climático excede por completo los objetivos del mismo.
La regresión no paramétrica es una alternativa muy interesante para los modelos usuales de regresión lineal, dado que aporta una flexibilidad de la que el usuario se puede beneficiar enormemente en múltiples situaciones. Como todo, la regresión no paramétrica también tiene sus desventajas, y es que, como veremos, la flexibilidad de la que uno se beneficia, se termina pagando. A lo largo del documento trabajaremos en la mencionada regresión no paramétrica, centrándonos especialmente en el estimador local lineal y en sus propiedades, así como en el efecto del parámetro ventana. Además, trataremos una herramienta tremendamente útil y conectada tanto a las propiedades del estimador local lineal como al efecto del parámetro ventana, llamada SiZer. Para finalizar el trabajo, tomaremos unos datos de gran interés y actualidad, como son los correspondientes a variables climatológicas, y haciendo uso de todo lo visto a lo largo del estudio, trataremos de llevar a cabo un análisis sobre los mismos con el objetivo de apoyar la existencia del cambio climático, siempre teniendo presente que el estudio no deja de ser parte de un trabajo de fin de grado y un estudio riguroso del cambio climático excede por completo los objetivos del mismo.
Dirección
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Tutoría)
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Tutoría)
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
El problema de Burnside y sus variantes
Autoría
M.R.F.
Grado en Matemáticas
M.R.F.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 16:30
04.07.2024 16:30
Resumen
En este trabajo trataremos en profundidad el Problema General de Burnside, probando que tiene una solución negativa y proporcionando ejemplos donde la respuesta es afirmativa. En primer lugar, recordaremos conceptos básicos de grupos y empezamos a trabajar con conmutadores y ciertas propiedades de los mismos. Luego demostraremos que los grupos de exponentes 2, 3 y 4 son soluciones afirmativas a nuestro problema, así como los grupos de matrices. Hablaremos también de las variaciones del Problema de Burnside y posibles formulaciones. Por último, construiremos tres contraejemplos al problema, después de introducirnos en distintos conceptos matemáticos tales como las álgebras asociativas sobre cuerpos y la teoría de grafos. Nos proporcionan los conocimientos necesarios para estudiar con detenimiento los grupos de Golod-Shafarevich, Gupta-Sidki y Grigorchuk.
En este trabajo trataremos en profundidad el Problema General de Burnside, probando que tiene una solución negativa y proporcionando ejemplos donde la respuesta es afirmativa. En primer lugar, recordaremos conceptos básicos de grupos y empezamos a trabajar con conmutadores y ciertas propiedades de los mismos. Luego demostraremos que los grupos de exponentes 2, 3 y 4 son soluciones afirmativas a nuestro problema, así como los grupos de matrices. Hablaremos también de las variaciones del Problema de Burnside y posibles formulaciones. Por último, construiremos tres contraejemplos al problema, después de introducirnos en distintos conceptos matemáticos tales como las álgebras asociativas sobre cuerpos y la teoría de grafos. Nos proporcionan los conocimientos necesarios para estudiar con detenimiento los grupos de Golod-Shafarevich, Gupta-Sidki y Grigorchuk.
Dirección
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Tutoría)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR Cotutoría
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Tutoría)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR Cotutoría
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
Los teoremas de incompletitud de Gödel
Autoría
A.C.V.
Grado en Matemáticas
A.C.V.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 09:30
04.07.2024 09:30
Resumen
Los teoremas de incompletitud de Gödel, formulados por el lógico austriaco Kurt Gödel en 1931, tuvieron un impacto revolucionario en las matemáticas y la filosofía. El primero establece que en cualquier sistema lógico lo suficientemente potente como para incluir a la aritmética de los números naturales, siempre habrá enunciados verdaderos pero no demostrables dentro de ese sistema. El segundo niega la posibilidad de probar su propia consistencia. En este trabajo se abordará el estudio de los sistemas lógicos, que son marcos formales en los que se pueden expresar axiomas y demostrar teoremas. Se probará la completitud de ciertos de estos sistemas para posteriormente estudiar la aritmética común, con el objetivo último de demostrar ambos teoremas de incompletitud.
Los teoremas de incompletitud de Gödel, formulados por el lógico austriaco Kurt Gödel en 1931, tuvieron un impacto revolucionario en las matemáticas y la filosofía. El primero establece que en cualquier sistema lógico lo suficientemente potente como para incluir a la aritmética de los números naturales, siempre habrá enunciados verdaderos pero no demostrables dentro de ese sistema. El segundo niega la posibilidad de probar su propia consistencia. En este trabajo se abordará el estudio de los sistemas lógicos, que son marcos formales en los que se pueden expresar axiomas y demostrar teoremas. Se probará la completitud de ciertos de estos sistemas para posteriormente estudiar la aritmética común, con el objetivo último de demostrar ambos teoremas de incompletitud.
Dirección
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Tutoría)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Tutoría)
Tribunal
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
Cuerpos finitos
Autoría
M.A.F.C.
Grado en Matemáticas
M.A.F.C.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 10:30
18.07.2024 10:30
Resumen
En este trabajo se tratará la estructura algebraica de cuerpo finito, estructura que posee unas características y una composición muy particulares. Se comienza explicando brevemente las estructuras de grupo, anillo y cuerpo, para dar lugar a los primeros ejemplos y propiedades de los cuerpos finitos. Tras esto, se habla de las extensiones de cuerpos para meterse de lleno en la caracterización de los cuerpos finitos y explicar la relación de su estructura con su cardinal. A su vez, se describen las diferentes formas para representar los cuerpos finitos, algunas más teóricas y otras más prácticas. Se sigue hablando de propiedades que aproximarán la teoría de cuerpos finitos a la teoría de Galois, y que darán información sobre la estructura de espacio vectorial que forma un cuerpo finito sobre su subcuerpo primo. Finalmente, el trabajo expone la aplicación de los cuerpos finitos a la teoría de códigos, expresando su utilidad práctica y tratando como ejemplo el código de lectura del disco compacto digital.
En este trabajo se tratará la estructura algebraica de cuerpo finito, estructura que posee unas características y una composición muy particulares. Se comienza explicando brevemente las estructuras de grupo, anillo y cuerpo, para dar lugar a los primeros ejemplos y propiedades de los cuerpos finitos. Tras esto, se habla de las extensiones de cuerpos para meterse de lleno en la caracterización de los cuerpos finitos y explicar la relación de su estructura con su cardinal. A su vez, se describen las diferentes formas para representar los cuerpos finitos, algunas más teóricas y otras más prácticas. Se sigue hablando de propiedades que aproximarán la teoría de cuerpos finitos a la teoría de Galois, y que darán información sobre la estructura de espacio vectorial que forma un cuerpo finito sobre su subcuerpo primo. Finalmente, el trabajo expone la aplicación de los cuerpos finitos a la teoría de códigos, expresando su utilidad práctica y tratando como ejemplo el código de lectura del disco compacto digital.
Dirección
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Tutoría)
ALONSO TARRIO, LEOVIGILDO (Tutoría)
Tribunal
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
Soluciones de Carathéodory para ecuaciones diferenciales ordinarias discontinuas
Autoría
L.I.M.
Grado en Matemáticas
L.I.M.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 10:30
04.07.2024 10:30
Resumen
En este trabajo se estudia la teoría básica de las ecuaciones diferenciales ordinarias discontinuas. En primer lugar, debe definirse una nueva noción de solución, la solución de Carathéodory. Para lograrlo es necesario introducir ciertas características de las funciones absolutamente continuas. Los dos teoremas fundamentales que se exponen, prueban la existencia y la unicidad (local) de las soluciones de Carathéodory. Tomando dimensión espacial uno, son también de gran interés para los problemas tratados tanto las soluciones extremas como las sub y las sobresoluciones. Finalizada la exposición relativa a las condiciones de Carathédory se toman en consideración unas nuevas hipótesis que plantean la posibilidad de asumir discontinuidades ya no solo respecto de la variable independiente, sino también de la dependiente.
En este trabajo se estudia la teoría básica de las ecuaciones diferenciales ordinarias discontinuas. En primer lugar, debe definirse una nueva noción de solución, la solución de Carathéodory. Para lograrlo es necesario introducir ciertas características de las funciones absolutamente continuas. Los dos teoremas fundamentales que se exponen, prueban la existencia y la unicidad (local) de las soluciones de Carathéodory. Tomando dimensión espacial uno, son también de gran interés para los problemas tratados tanto las soluciones extremas como las sub y las sobresoluciones. Finalizada la exposición relativa a las condiciones de Carathédory se toman en consideración unas nuevas hipótesis que plantean la posibilidad de asumir discontinuidades ya no solo respecto de la variable independiente, sino también de la dependiente.
Dirección
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
Tribunal
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
Categoría LS Cohomológica
Autoría
A.M.V.
Grado en Matemáticas
A.M.V.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 11:00
04.07.2024 11:00
Resumen
La categoría de Lusternik-Schnirelmann de un espacio topológico es un invariante homotópico bien conocido pero difícil de calcular. El objetivo de este trabajo es estudiar una cota inferior: la categoría cohomológica. Para ello, introduciremos los complejos simpliciales y la (co)homología simplicial y singular. También veremos la categoría simplicial y su correspondiente versión cohomológica, que puede ser calculada con métodos computacionales para cualquier complejo simplicial.
La categoría de Lusternik-Schnirelmann de un espacio topológico es un invariante homotópico bien conocido pero difícil de calcular. El objetivo de este trabajo es estudiar una cota inferior: la categoría cohomológica. Para ello, introduciremos los complejos simpliciales y la (co)homología simplicial y singular. También veremos la categoría simplicial y su correspondiente versión cohomológica, que puede ser calculada con métodos computacionales para cualquier complejo simplicial.
Dirección
Macías Virgós, Enrique (Tutoría)
MOSQUERA LOIS, DAVID Cotutoría
Macías Virgós, Enrique (Tutoría)
MOSQUERA LOIS, DAVID Cotutoría
Tribunal
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
Introducción a las álgebras de Lie a través de ejemplos
Autoría
A.R.V.
Grado en Matemáticas
A.R.V.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 11:30
04.07.2024 11:30
Resumen
Las álgebras de Lie son un tipo de álgebras no asociativas que están fuertemente ligadas con la geometría. En este trabajo nos centraremos en la parte más algebraica, introduciendo las nociones básicas de estas estructuras. Utilizaremos distintos ejemplos clásicos como el álgebra lineal especial, sl(n,F), o el álgebra de Heisenberg, heis(n,F), para ilustrar conceptos tales como la resolubilidad, la nilpotencia o la semisimplicidad entre otros. Daremos también una pequeña clasificación de las álgebras de Lie de dimensión baja, así como ciertos resultados que nos caractericen ciertos tipos de álgebras.
Las álgebras de Lie son un tipo de álgebras no asociativas que están fuertemente ligadas con la geometría. En este trabajo nos centraremos en la parte más algebraica, introduciendo las nociones básicas de estas estructuras. Utilizaremos distintos ejemplos clásicos como el álgebra lineal especial, sl(n,F), o el álgebra de Heisenberg, heis(n,F), para ilustrar conceptos tales como la resolubilidad, la nilpotencia o la semisimplicidad entre otros. Daremos también una pequeña clasificación de las álgebras de Lie de dimensión baja, así como ciertos resultados que nos caractericen ciertos tipos de álgebras.
Dirección
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Tutoría)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR Cotutoría
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO (Tutoría)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR Cotutoría
Tribunal
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
Geometría global de curvas
Autoría
C.R.O.
Grado en Matemáticas
C.R.O.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 12:00
04.07.2024 12:00
Resumen
El objetivo de este trabajo es contextualizar, enunciar y demostrar algunos de los teoremas más relevantes de la teoría global de curvas planas desde la perspectiva de la geometría diferencial. Así, abordaremos el estudio de la Umlaufsatz de Hopf, el teorema de la curva cerrada de Jordan, la desigualdad isoperimétrica, el teorema de Fenchel y el teorema de los cuatro vértices. Después de una breve introducción a los conceptos básicos de la geometría diferencial de curvas planas, presentaremos las herramientas necesarias para el estudio de cada uno de los resultados mencionados, para finalmente proporcionar una prueba de cada uno de ellos. Tales pruebas serán eminentemente geométricas, si bien en varios casos contarán con una componente topológica y analítica importante.
El objetivo de este trabajo es contextualizar, enunciar y demostrar algunos de los teoremas más relevantes de la teoría global de curvas planas desde la perspectiva de la geometría diferencial. Así, abordaremos el estudio de la Umlaufsatz de Hopf, el teorema de la curva cerrada de Jordan, la desigualdad isoperimétrica, el teorema de Fenchel y el teorema de los cuatro vértices. Después de una breve introducción a los conceptos básicos de la geometría diferencial de curvas planas, presentaremos las herramientas necesarias para el estudio de cada uno de los resultados mencionados, para finalmente proporcionar una prueba de cada uno de ellos. Tales pruebas serán eminentemente geométricas, si bien en varios casos contarán con una componente topológica y analítica importante.
Dirección
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Tutoría)
DOMINGUEZ VAZQUEZ, MIGUEL (Tutoría)
Tribunal
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
Introducción a la optimización estocástica
Autoría
A.P.P.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
A.P.P.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
17.07.2024 11:30
17.07.2024 11:30
Resumen
En el presente trabajo introducimos la optimización estocástica, la cual estudia problemas de programación matemática con datos inciertos. En el primer capítulo, se presentan conceptos fundamentales de estadística, probabilidad y programación matemática, necesarios para entender y explicar los cimientos de este tema. A continuación, se abordan los problemas estocásticos de dos etapas, analizando sus principales propiedades. Este estudio se divide en dos partes, atendiendo a las componentes estocásticas del problema, que pueden ser discretas o continuas. Finalmente, se presenta un método de solución para estos problemas conocido como L-Shaped Method. Se analiza su algoritmo en detalle, centrando su estudio en dos de sus componentes fundamentales, los cortes de optimalidad y los cortes de factibilidad. Además, se incluyen ejemplos prácticos utilizando el software estadístico R para ilustrar su resolución y aplicación.
En el presente trabajo introducimos la optimización estocástica, la cual estudia problemas de programación matemática con datos inciertos. En el primer capítulo, se presentan conceptos fundamentales de estadística, probabilidad y programación matemática, necesarios para entender y explicar los cimientos de este tema. A continuación, se abordan los problemas estocásticos de dos etapas, analizando sus principales propiedades. Este estudio se divide en dos partes, atendiendo a las componentes estocásticas del problema, que pueden ser discretas o continuas. Finalmente, se presenta un método de solución para estos problemas conocido como L-Shaped Method. Se analiza su algoritmo en detalle, centrando su estudio en dos de sus componentes fundamentales, los cortes de optimalidad y los cortes de factibilidad. Además, se incluyen ejemplos prácticos utilizando el software estadístico R para ilustrar su resolución y aplicación.
Dirección
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Tutoría)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Tutoría)
Tribunal
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
GONZALEZ MANTEIGA, WENCESLAO (Presidente/a)
PAEZ GUILLAN, MARIA PILAR (Secretario/a)
ALVAREZ DIOS, JOSE ANTONIO (Vocal)
El espacio de Kalton-Peck
Autoría
C.F.L.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
C.F.L.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
16.07.2024 11:00
16.07.2024 11:00
Resumen
Este trabajo consistirá en presentar el espacio de Kalton-Peck, una solución del problema de Palais. Este problema se pregunta si existe un espacio de Banach X, el cual no sea Hilbert, tal que contenga un subespacio isomorfo a un espacio de Hilbert H, de forma que X/H también sea isomorfo a un espacio de Hilbert. Para ello, se definirán las sumas torcidas, las cuales son el ámbito ideal para la resolución de este problema. Además, también se introducirán diversos conceptos relacionados con el análisis funcional como, por ejemplo, los espacios quasi-normados, la B-convexidad o la convexidad uniforme. Estos serán necesarios para probar que el espacio de Kalton-Peck es realmente una solución a este problema. Por último, también se estudiarán algunas de las propiedades que presenta este espacio. Concretamente, se verá que admite una base de Schauder y la forma de su espacio dual.
Este trabajo consistirá en presentar el espacio de Kalton-Peck, una solución del problema de Palais. Este problema se pregunta si existe un espacio de Banach X, el cual no sea Hilbert, tal que contenga un subespacio isomorfo a un espacio de Hilbert H, de forma que X/H también sea isomorfo a un espacio de Hilbert. Para ello, se definirán las sumas torcidas, las cuales son el ámbito ideal para la resolución de este problema. Además, también se introducirán diversos conceptos relacionados con el análisis funcional como, por ejemplo, los espacios quasi-normados, la B-convexidad o la convexidad uniforme. Estos serán necesarios para probar que el espacio de Kalton-Peck es realmente una solución a este problema. Por último, también se estudiarán algunas de las propiedades que presenta este espacio. Concretamente, se verá que admite una base de Schauder y la forma de su espacio dual.
Dirección
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Tutoría)
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Tutoría)
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
Métodos Matemáticos de la Inteligencia Artificial
Autoría
V.O.Z.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
V.O.Z.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
16.07.2024 12:30
16.07.2024 12:30
Resumen
La inteligencia artificial (IA) ha sido uno de los grandes avances tecnológicos de los últimos años. En este trabajo, veremos cómo las matemáticas desempeñan un papel crucial en su desarrollo. Comenzaremos presentando formalmente las neuronas y redes neuronales artificiales, partiendo de su analogía con las neuronas biológicas. Se demostrará el Teorema de Aproximación Universal y su posterior generalización, que nos indica cómo una red neuronal puede aproximar cualquier función continua bajo condiciones mínimamente restrictivas sobre su arquitectura. Además, se introduce el algoritmo de retropropagación. Finalmente, veremos algunos ejemplos de aplicaciones de la IA en distintos ámbitos.
La inteligencia artificial (IA) ha sido uno de los grandes avances tecnológicos de los últimos años. En este trabajo, veremos cómo las matemáticas desempeñan un papel crucial en su desarrollo. Comenzaremos presentando formalmente las neuronas y redes neuronales artificiales, partiendo de su analogía con las neuronas biológicas. Se demostrará el Teorema de Aproximación Universal y su posterior generalización, que nos indica cómo una red neuronal puede aproximar cualquier función continua bajo condiciones mínimamente restrictivas sobre su arquitectura. Además, se introduce el algoritmo de retropropagación. Finalmente, veremos algunos ejemplos de aplicaciones de la IA en distintos ámbitos.
Dirección
Nieto Roig, Juan José (Tutoría)
Nieto Roig, Juan José (Tutoría)
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
El universo constructible de Gödel
Autoría
P.S.F.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
P.S.F.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
16.07.2024 18:30
16.07.2024 18:30
Resumen
La mayoría de teorías matemáticas pueden formalizarse en el sistema ZFC, que es una teoría de la lógica de primer orden. El Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel nos impide demostrar su consistencia en la propia ZFC, pero no impone restricciones a las pruebas de consistencia relativa. Esto significa que, asumiendo que una teoría formal es consistente, sí podemos demostrar la consistencia de otra. En nuestro caso, asumiremos la consistencia de un subconjunto de los axiomas de ZFC, e iremos demostrando la cosistencia relativa de dicha teoría al añadirle los axiomas restantes. De hecho, también demostraremos la cosistencia relativa de ZFC con la Hipótesis del Continuo Generalizada. La herramienta fundamental en la obtención de estos resultados es la teoría de modelos, que formaliza el concepto intuitivo de interpretación de un lenguaje. En este contexto, el universo constructible de Gödel es una interpretación posible de la teoría de conjuntos ZFC.
La mayoría de teorías matemáticas pueden formalizarse en el sistema ZFC, que es una teoría de la lógica de primer orden. El Segundo Teorema de Incompletitud de Gödel nos impide demostrar su consistencia en la propia ZFC, pero no impone restricciones a las pruebas de consistencia relativa. Esto significa que, asumiendo que una teoría formal es consistente, sí podemos demostrar la consistencia de otra. En nuestro caso, asumiremos la consistencia de un subconjunto de los axiomas de ZFC, e iremos demostrando la cosistencia relativa de dicha teoría al añadirle los axiomas restantes. De hecho, también demostraremos la cosistencia relativa de ZFC con la Hipótesis del Continuo Generalizada. La herramienta fundamental en la obtención de estos resultados es la teoría de modelos, que formaliza el concepto intuitivo de interpretación de un lenguaje. En este contexto, el universo constructible de Gödel es una interpretación posible de la teoría de conjuntos ZFC.
Dirección
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Tutoría)
FERNANDEZ TOJO, FERNANDO ADRIAN (Tutoría)
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
Sumas de cuadrados y formas modulares
Autoría
J.C.R.G.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
J.C.R.G.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
11.09.2024 16:45
11.09.2024 16:45
Resumen
El objetivo de este Trabajo Fin de Grado es responder a algunas de las preguntas clásicas de la teoría de números, como qué enteros positivos se pueden escribir como la suma de dos cuadrados o si todo entero positivo se puede expresar como la suma de cuatro cuadrados. Estas preguntas se afrontan desde el punto de vista del análisis complejo utilizando la teoría de formas modulares. Estas son funciones definidas en el semiplano superior que admiten diferentes simetrías. En concreto, se emplea la función theta de Jacobi. Primero, se introducen definiciones que resultan de interés para la comprensión de los argumentos posteriores y una serie de resultados que se van a utilizar en las demostraciones presentadas al dar respuesta a las cuestiones. Luego, se define la función theta de Jacobi y se recogen algunas propiedades de esta que serán de interés en el desarrollo de las respuestas a las preguntas. A continuación, se desarrollan las demostraciones de los teoremas de los dos, los cuatro y los ocho cuadrados de acuerdo con los enunciados propuestos por Jacobi, empleando la teoría de formas modulares y la función theta de Jacobi para probar la equivalencia de las propiedades estructurales de esta última con las de otras funciones definidas para demostrar los teoremas. Además, se presenta una idea de la demostración del teorema de los tres cuadrados, cuyo tratamiento es más complejo.
El objetivo de este Trabajo Fin de Grado es responder a algunas de las preguntas clásicas de la teoría de números, como qué enteros positivos se pueden escribir como la suma de dos cuadrados o si todo entero positivo se puede expresar como la suma de cuatro cuadrados. Estas preguntas se afrontan desde el punto de vista del análisis complejo utilizando la teoría de formas modulares. Estas son funciones definidas en el semiplano superior que admiten diferentes simetrías. En concreto, se emplea la función theta de Jacobi. Primero, se introducen definiciones que resultan de interés para la comprensión de los argumentos posteriores y una serie de resultados que se van a utilizar en las demostraciones presentadas al dar respuesta a las cuestiones. Luego, se define la función theta de Jacobi y se recogen algunas propiedades de esta que serán de interés en el desarrollo de las respuestas a las preguntas. A continuación, se desarrollan las demostraciones de los teoremas de los dos, los cuatro y los ocho cuadrados de acuerdo con los enunciados propuestos por Jacobi, empleando la teoría de formas modulares y la función theta de Jacobi para probar la equivalencia de las propiedades estructurales de esta última con las de otras funciones definidas para demostrar los teoremas. Además, se presenta una idea de la demostración del teorema de los tres cuadrados, cuyo tratamiento es más complejo.
Dirección
Cao Labora, Daniel (Tutoría)
RIVERO SALGADO, OSCAR Cotutoría
Cao Labora, Daniel (Tutoría)
RIVERO SALGADO, OSCAR Cotutoría
Tribunal
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
VIAÑO REY, JUAN MANUEL (Presidente/a)
Rodríguez López, Jorge (Secretario/a)
CARBALLES VAZQUEZ, JOSE MANUEL (Vocal)
Elementos de criptografía cuántica
Autoría
R.A.R.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
R.A.R.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
12.09.2024 16:00
12.09.2024 16:00
Resumen
Las comunicaciones cuánticas surgen de manera contemporánea a la Teoría de la Información clásica, con un mayor potencial de computación pero también con una mayor desventaja de transmisión física. El presente trabajo trata de la comparación entre estas dos formas de enviar información, del formalismo matemático detrás de la mecánica cuántica, de los protocolos más relevantes de una nueva criptografía adaptada a este fenómeno y de los primeros códigos correctores de errores cuánticos.
Las comunicaciones cuánticas surgen de manera contemporánea a la Teoría de la Información clásica, con un mayor potencial de computación pero también con una mayor desventaja de transmisión física. El presente trabajo trata de la comparación entre estas dos formas de enviar información, del formalismo matemático detrás de la mecánica cuántica, de los protocolos más relevantes de una nueva criptografía adaptada a este fenómeno y de los primeros códigos correctores de errores cuánticos.
Dirección
GAGO COUSO, FELIPE (Tutoría)
GAGO COUSO, FELIPE (Tutoría)
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
Homología persistente en 3-variedades
Autoría
P.T.M.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
P.T.M.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
17.07.2024 12:15
17.07.2024 12:15
Resumen
Se comienza con una introducción al análisis topológico de datos, presentando las herramientas básicas de esta disciplina: homología persistente, diagramas de persistencia y landscapes, teorema de estabilidad, entre otras. En particular, nos interesará la aplicación de la homología persistente sobre muestras finitas de puntos sobre una variedad, a partir de las construcciones de complejos simpliciales sobre dichas muestras, debido a su potencial para generar invariantes métricos. Se sigue con los fundamentos de la geometría hiperbólica, estudiando algunos de los modelos clásicos del espacio hiperbólico, el cual es cubierta universal de cualquier variedad hiperbólica, particularizando el caso de dimensión 3. El objetivo principal de esta sección es demostrar el Teorema de Rigidez de Mostow en el caso compacto; para ello, se muestran previamente algunos conceptos y resultados usados en la demostración. Como consecuencia de este teorema, en el caso de 3-variedades hiperbólicas, la métrica es un invariante topológico y por lo tanto, variedades hiperbólicas no homeomorfas pueden ser distinguidas usando invariantes métricos como los que nos proporcionará la homología persistente. Finalmente, se llevarán las técnicas anteriores a la práctica, con la realización de un programa que muestree puntos aleatorios sobre 3-variedades hiperbólicas compactas orientables, calcule los correspondientes diagramas de persistencia y landscapes, y compare mediante contrastes de hipótesis los resultados obtenidos para cualquier par de variedades hiperbólicas dadas, con el objetivo de distinguirlas topológicamente con cierto grado de confianza.
Se comienza con una introducción al análisis topológico de datos, presentando las herramientas básicas de esta disciplina: homología persistente, diagramas de persistencia y landscapes, teorema de estabilidad, entre otras. En particular, nos interesará la aplicación de la homología persistente sobre muestras finitas de puntos sobre una variedad, a partir de las construcciones de complejos simpliciales sobre dichas muestras, debido a su potencial para generar invariantes métricos. Se sigue con los fundamentos de la geometría hiperbólica, estudiando algunos de los modelos clásicos del espacio hiperbólico, el cual es cubierta universal de cualquier variedad hiperbólica, particularizando el caso de dimensión 3. El objetivo principal de esta sección es demostrar el Teorema de Rigidez de Mostow en el caso compacto; para ello, se muestran previamente algunos conceptos y resultados usados en la demostración. Como consecuencia de este teorema, en el caso de 3-variedades hiperbólicas, la métrica es un invariante topológico y por lo tanto, variedades hiperbólicas no homeomorfas pueden ser distinguidas usando invariantes métricos como los que nos proporcionará la homología persistente. Finalmente, se llevarán las técnicas anteriores a la práctica, con la realización de un programa que muestree puntos aleatorios sobre 3-variedades hiperbólicas compactas orientables, calcule los correspondientes diagramas de persistencia y landscapes, y compare mediante contrastes de hipótesis los resultados obtenidos para cualquier par de variedades hiperbólicas dadas, con el objetivo de distinguirlas topológicamente con cierto grado de confianza.
Dirección
Álvarez López, Jesús Antonio (Tutoría)
Meniño Cotón, Carlos Cotutoría
Álvarez López, Jesús Antonio (Tutoría)
Meniño Cotón, Carlos Cotutoría
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
La geometría diferencial de las superficies regladas y su aplicación en la arquitectura
Autoría
B.M.P.S.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
B.M.P.S.
Doble Grado en Matemáticas y en Física
Fecha de la defensa
16.07.2024 12:15
16.07.2024 12:15
Resumen
Una superficie se dice que es reglada si por todos sus puntos pasa al menos una recta que esté contenida en ella. El objetivo de este trabajo es el estudio de este tipo de superficies y sus propiedades dentro de la teoría de la geometría diferencial. Además, veremos una clase particular de superficies regladas cuya curvatura es nula, las llamadas superficies desarrollables. Por último, examinaremos su aplicación en la arquitectura, centrándonos en el análisis de la obra de los maestros Antoni Gaudí, Félix Candela, Santiago Calatrava y Frank Gehry.
Una superficie se dice que es reglada si por todos sus puntos pasa al menos una recta que esté contenida en ella. El objetivo de este trabajo es el estudio de este tipo de superficies y sus propiedades dentro de la teoría de la geometría diferencial. Además, veremos una clase particular de superficies regladas cuya curvatura es nula, las llamadas superficies desarrollables. Por último, examinaremos su aplicación en la arquitectura, centrándonos en el análisis de la obra de los maestros Antoni Gaudí, Félix Candela, Santiago Calatrava y Frank Gehry.
Dirección
Vázquez Abal, María Elena (Tutoría)
Vázquez Abal, María Elena (Tutoría)
Tribunal
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
TORRES LOPERA, JUAN FRANCISCO (Presidente/a)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Secretario/a)
López Pouso, Óscar (Vocal)
Sucesiones de soluciones aproximadas para ecuaciones diferenciales ordinarias
Autoría
P.V.G.
Grado en Matemáticas
P.V.G.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 12:30
04.07.2024 12:30
Resumen
El tema principal de este trabajo son las sucesiones funcionales que convergen a alguna solución de una ecuación diferencial ordinaria. En los tres primeros capítulos se recogen, siguiendo un orden cronológico, algunas de las más relevantes en la historia de las matemáticas, junto con la motivación con la que fueron introducidas en un primer momento: la demostración de la analiticidad de soluciones de problemas con datos analíticos (Teorema de Cauchy y series de potencias), de la existencia de solución (Teorema de Peano y poligonales de Euler) y de la unicidad de solución (Teorema de Picard-Lipschitz-Lindelöf e iterantes de Picard) bajo distintas hipótesis. En el cuarto capítulo introduce un resultado más reciente, en el que se construye una sucesión de problemas perturbados (la sucesión de Walter) con el objetivo de demostrar la existencia de solución maximal para ecuaciones diferenciales ordinarias bajo hipótesis de continuidad. Finalmente, en el Capítulo 5 se parte del clásico método de las series de potencias para diseñar dos métodos numérico-simbólicos, implementados en Matlab y SageMath, que permiten aproximar soluciones de problemas de valor inicial en los que la función dato es analítica mediante su desarrollo en polinomio de Taylor, de grado tan alto como se desee.
El tema principal de este trabajo son las sucesiones funcionales que convergen a alguna solución de una ecuación diferencial ordinaria. En los tres primeros capítulos se recogen, siguiendo un orden cronológico, algunas de las más relevantes en la historia de las matemáticas, junto con la motivación con la que fueron introducidas en un primer momento: la demostración de la analiticidad de soluciones de problemas con datos analíticos (Teorema de Cauchy y series de potencias), de la existencia de solución (Teorema de Peano y poligonales de Euler) y de la unicidad de solución (Teorema de Picard-Lipschitz-Lindelöf e iterantes de Picard) bajo distintas hipótesis. En el cuarto capítulo introduce un resultado más reciente, en el que se construye una sucesión de problemas perturbados (la sucesión de Walter) con el objetivo de demostrar la existencia de solución maximal para ecuaciones diferenciales ordinarias bajo hipótesis de continuidad. Finalmente, en el Capítulo 5 se parte del clásico método de las series de potencias para diseñar dos métodos numérico-simbólicos, implementados en Matlab y SageMath, que permiten aproximar soluciones de problemas de valor inicial en los que la función dato es analítica mediante su desarrollo en polinomio de Taylor, de grado tan alto como se desee.
Dirección
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
Tribunal
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
DIAZ RAMOS, JOSE CARLOS (Presidente/a)
COSTOYA RAMOS, MARIA CRISTINA (Secretario/a)
Rodríguez López, Rosana (Vocal)
Una introducción a la computación cuántica
Autoría
Y.M.D.
Grado en Matemáticas
Y.M.D.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 11:45
16.07.2024 11:45
Resumen
En este documento realizaremos un estudio de las bases de la computación cuántica, como son los cúbits, concepto análogo a los bits usados en la computación clásica y que actúan como unidad básica de información, su representación tridimensional en una esfera unidad y el efecto de entrelazamiento cuántico que no tiene análogo en el modelo clásico y que provoca fuertes interacciones entre los cúbits que lo componen, siendo el principal motivo que aventaja a la cuántica sobre la computación tradicional, así como los circuitos cuánticos, mecanismos que permiten realizar transformaciones sobre dicha información que transportan los cúbits y conformar importantes algoritmos cuya aplicación puede suponer tanto una mejora sobre los algoritmos clásicos como una complementación de los mismos. Finalmente, se realizará un repaso de algunos de los principales algoritmos así como un estudio detallado del algoritmo de búsqueda de Grover, del que se proporcionará su implementación en un simulador cuántico.
En este documento realizaremos un estudio de las bases de la computación cuántica, como son los cúbits, concepto análogo a los bits usados en la computación clásica y que actúan como unidad básica de información, su representación tridimensional en una esfera unidad y el efecto de entrelazamiento cuántico que no tiene análogo en el modelo clásico y que provoca fuertes interacciones entre los cúbits que lo componen, siendo el principal motivo que aventaja a la cuántica sobre la computación tradicional, así como los circuitos cuánticos, mecanismos que permiten realizar transformaciones sobre dicha información que transportan los cúbits y conformar importantes algoritmos cuya aplicación puede suponer tanto una mejora sobre los algoritmos clásicos como una complementación de los mismos. Finalmente, se realizará un repaso de algunos de los principales algoritmos así como un estudio detallado del algoritmo de búsqueda de Grover, del que se proporcionará su implementación en un simulador cuántico.
Dirección
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutoría)
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutoría)
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
¿Son verdaderamente raras las denominadas funciones raras?
Autoría
S.O.R.
Grado en Matemáticas
S.O.R.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 17:00
16.07.2024 17:00
Resumen
En líneas generales, el objetivo de este trabajo es realizar una revisión histórica de la construcción y consecución de rigurosidad en el campo del Análisis Matemático, enfocándonos fundamentalmente en los siglos XVIII y XIX, época primordial para el desarrollo de esta última. Para abordar esta empresa, introduciremos un concepto poco convencional, pero que nos será de gran utilidad: el de función rara. ¿Qué entendemos por función rara? ¿De que modo medimos tal rareza? ¿Son realmente raras las funciones que así estamos denominando inicialmente? A lo largo del texto intentaremos dar respuesta a todas estas cuestiones, a la par que estudiaremos algunos casos particulares y analizaremos la importancia sustancial de los mismos en el transcurso de la historia. Con este objetivo, daremos prioridad a aquellos ejemplos relativos a funciones que han servido como muestra de que algunas propiedades, hasta cierto momento consideradas patológicas, no lo eran en realidad, y evaluaremos como este hecho propició la apertura de nuevos frentes de investigación que habrán acabado por conducir a la filosofía ahora vigente.
En líneas generales, el objetivo de este trabajo es realizar una revisión histórica de la construcción y consecución de rigurosidad en el campo del Análisis Matemático, enfocándonos fundamentalmente en los siglos XVIII y XIX, época primordial para el desarrollo de esta última. Para abordar esta empresa, introduciremos un concepto poco convencional, pero que nos será de gran utilidad: el de función rara. ¿Qué entendemos por función rara? ¿De que modo medimos tal rareza? ¿Son realmente raras las funciones que así estamos denominando inicialmente? A lo largo del texto intentaremos dar respuesta a todas estas cuestiones, a la par que estudiaremos algunos casos particulares y analizaremos la importancia sustancial de los mismos en el transcurso de la historia. Con este objetivo, daremos prioridad a aquellos ejemplos relativos a funciones que han servido como muestra de que algunas propiedades, hasta cierto momento consideradas patológicas, no lo eran en realidad, y evaluaremos como este hecho propició la apertura de nuevos frentes de investigación que habrán acabado por conducir a la filosofía ahora vigente.
Dirección
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutoría)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutoría)
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
El cálculo de variaciones y sus aplicaciones
Autoría
H.P.R.
Grado en Matemáticas
H.P.R.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 11:30
18.07.2024 11:30
Resumen
A lo largo de este trabajo haremos una introducción a los conceptos fundamentales del cálculo de variaciones. Comenzaremos exponiendo los ejemplos clásicos que fomentaron el desarrollo posterior, lo cual nos llevará al resultado clave de la materia, la ecuación de Euler-Lagrange. Veremos algunos ejemplos concretos y su resolución, así como posibles generalizaciones a funcionales con derivadas superiores y funciones de n variables. Posteriormente, también se tratarán aplicaciones a problemas reales que surgen en la física o en la ingeniería.
A lo largo de este trabajo haremos una introducción a los conceptos fundamentales del cálculo de variaciones. Comenzaremos exponiendo los ejemplos clásicos que fomentaron el desarrollo posterior, lo cual nos llevará al resultado clave de la materia, la ecuación de Euler-Lagrange. Veremos algunos ejemplos concretos y su resolución, así como posibles generalizaciones a funcionales con derivadas superiores y funciones de n variables. Posteriormente, también se tratarán aplicaciones a problemas reales que surgen en la física o en la ingeniería.
Dirección
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Tutoría)
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO (Tutoría)
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
Transformadas integrales
Autoría
S.R.M.
Grado en Matemáticas
S.R.M.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 12:15
18.07.2024 12:15
Resumen
Este trabajo se centra en el estudio de las transformadas de Laplace y Fourier, destacando su importancia en la resolución de ecuaciones diferenciales. Se definen ambas transformadas y sus respectivas inversas, y se analizan sus propiedades principales, incluyendo su relación con el producto de convolución. Se incluyen ejemplos prácticos que demuestran su utilidad en la resolución tanto de ecuaciones diferenciales ordinarias como de ecuaciones en derivadas parciales, ilustrando su aplicabilidad en problemas reales.
Este trabajo se centra en el estudio de las transformadas de Laplace y Fourier, destacando su importancia en la resolución de ecuaciones diferenciales. Se definen ambas transformadas y sus respectivas inversas, y se analizan sus propiedades principales, incluyendo su relación con el producto de convolución. Se incluyen ejemplos prácticos que demuestran su utilidad en la resolución tanto de ecuaciones diferenciales ordinarias como de ecuaciones en derivadas parciales, ilustrando su aplicabilidad en problemas reales.
Dirección
LOPEZ SOMOZA, LUCIA (Tutoría)
LOPEZ SOMOZA, LUCIA (Tutoría)
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
Elaboración de recursos con el ordenador para la comprensión de conceptos y resultados del Análisis Matemático
Autoría
M.R.I.
Grado en Matemáticas
M.R.I.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 13:00
18.07.2024 13:00
Resumen
En este trabajo, se llevará a cabo una revisión de conceptos y resultados fundamentales en el análisis matemático. Se tratará de interpretar su sentido geométrico y elaborar códigos con la ayuda del programa Maple para facilitar su comprensión. La idea reside en el entendimiento profundo, más allá de ser capaces de realizar una demostración que pruebe su veracidad.
En este trabajo, se llevará a cabo una revisión de conceptos y resultados fundamentales en el análisis matemático. Se tratará de interpretar su sentido geométrico y elaborar códigos con la ayuda del programa Maple para facilitar su comprensión. La idea reside en el entendimiento profundo, más allá de ser capaces de realizar una demostración que pruebe su veracidad.
Dirección
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutoría)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutoría)
Tribunal
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
FEBRERO BANDE, MANUEL (Presidente/a)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN (Secretario/a)
RODRIGUEZ GARCIA, JERONIMO (Vocal)
Modelos de poblaciones de tipo Leslie-Gower: análisis de su dinámica
Autoría
A.V.R.
Grado en Matemáticas
A.V.R.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 11:00
17.07.2024 11:00
Resumen
La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales es una disciplina de las Matemáticas que describe el comportamiento de los sistemas dinámicos, los cuales en general no se pueden resolver de manera explícita. Esta rama tiene aplicaciones en diversos campos, centrándonos en particular en el estudio del modelo ecológico depredador-presa de tipo Leslie-Gower, que extiende de algún modo el modelo clásico de Lotka-Volterra y, en el cual, se analiza, además, la influencia del efecto Allee. \\ En la primera parte de este trabajo, se presentan los conceptos básicos de la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos lineales y no lineales, además de introducir nuevos resultados de estabilidad y explicar la técnica de blow-up para equilibrios degenerados. Después, se contextualiza y describe el modelo de Leslie-Gower sin efecto Allee, estudiando el comportamiento local de los equilibrios y llevando a cabo un análisis global que nos permite analizar la estabilidad de las poblaciones a largo plazo. Finalmente, se incorpora el efecto Allee al modelo anterior y se vuelve a estudiar la dinámica local y global.
La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales es una disciplina de las Matemáticas que describe el comportamiento de los sistemas dinámicos, los cuales en general no se pueden resolver de manera explícita. Esta rama tiene aplicaciones en diversos campos, centrándonos en particular en el estudio del modelo ecológico depredador-presa de tipo Leslie-Gower, que extiende de algún modo el modelo clásico de Lotka-Volterra y, en el cual, se analiza, además, la influencia del efecto Allee. \\ En la primera parte de este trabajo, se presentan los conceptos básicos de la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos lineales y no lineales, además de introducir nuevos resultados de estabilidad y explicar la técnica de blow-up para equilibrios degenerados. Después, se contextualiza y describe el modelo de Leslie-Gower sin efecto Allee, estudiando el comportamiento local de los equilibrios y llevando a cabo un análisis global que nos permite analizar la estabilidad de las poblaciones a largo plazo. Finalmente, se incorpora el efecto Allee al modelo anterior y se vuelve a estudiar la dinámica local y global.
Dirección
Rodríguez López, Rosana (Tutoría)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN Cotutoría
Rodríguez López, Rosana (Tutoría)
BUEDO FERNANDEZ, SEBASTIAN Cotutoría
Tribunal
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
OTERO ESPINAR, MARIA VICTORIA (Presidente/a)
GONZALEZ DIAZ, JULIO (Secretario/a)
Jeremías López, Ana (Vocal)
Espacios de Lebesgue
Autoría
T.B.R.
Grado en Matemáticas
T.B.R.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 12:00
18.07.2024 12:00
Resumen
En este Trabajo de Fin de Grado tendremos como objetivo entender las diferencias entre los espacios lp y Lp, p perteneciente a [1, infty]. Para llegar a este fin, abordaremos nociones fundamentales sobre espacios de Banach, así como trataremos de comprender el concepto de bases de Schauder y todos los resultados que conllevan. En particular, nuestro interés principal radica en ver que espacios lp y Lp, p perteneciente a [1, infty], son isomorfos entre sí.
En este Trabajo de Fin de Grado tendremos como objetivo entender las diferencias entre los espacios lp y Lp, p perteneciente a [1, infty]. Para llegar a este fin, abordaremos nociones fundamentales sobre espacios de Banach, así como trataremos de comprender el concepto de bases de Schauder y todos los resultados que conllevan. En particular, nuestro interés principal radica en ver que espacios lp y Lp, p perteneciente a [1, infty], son isomorfos entre sí.
Dirección
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Tutoría)
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Tutoría)
Tribunal
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Tutor del alumno)
LOSADA RODRIGUEZ, JORGE (Tutor del alumno)
Grupos cristalográficos afines
Autoría
A.D.A.
Grado en Matemáticas
A.D.A.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 11:00
17.07.2024 11:00
Resumen
Este trabajo se centra en el estudio de los grupos cristalográficos. Para poder definirlos es necesario dar una introducción sobre grupos topológicos, acciones de grupos y espacios recubridores. Estos grupos se caracterizan mediante los teoremas de Bieberbach, usando una perspectiva algebraica y geométrica, dado que están intrínsecamente relacionados con variedades Riemannianas, y se verá como permiten demostrar el primer apartado del 18º problemas de HIlbert. A continuación, nos abstraemos de la métrica y así surgen los grupos cristalográficos afines. Veremos que los teoremas de Bieberbach no se verifican para ellos, lo que dará lugar a enunciar una serie de generalizaciones y así llegar a las conjeturas de Milnor y Auslander, problemas aún no resueltos de la teoría de grupos.
Este trabajo se centra en el estudio de los grupos cristalográficos. Para poder definirlos es necesario dar una introducción sobre grupos topológicos, acciones de grupos y espacios recubridores. Estos grupos se caracterizan mediante los teoremas de Bieberbach, usando una perspectiva algebraica y geométrica, dado que están intrínsecamente relacionados con variedades Riemannianas, y se verá como permiten demostrar el primer apartado del 18º problemas de HIlbert. A continuación, nos abstraemos de la métrica y así surgen los grupos cristalográficos afines. Veremos que los teoremas de Bieberbach no se verifican para ellos, lo que dará lugar a enunciar una serie de generalizaciones y así llegar a las conjeturas de Milnor y Auslander, problemas aún no resueltos de la teoría de grupos.
Dirección
ALCALDE CUESTA, FERNANDO (Tutoría)
ALCALDE CUESTA, FERNANDO (Tutoría)
Tribunal
ALCALDE CUESTA, FERNANDO (Tutor del alumno)
ALCALDE CUESTA, FERNANDO (Tutor del alumno)
Una búsqueda de métodos más eficientes que los métodos clásicos para la resolución numérica de ecuaciones numéricas no lineales
Autoría
R.F.C.
Grado en Matemáticas
R.F.C.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 12:00
16.07.2024 12:00
Resumen
El objetivo de este trabajo es el de buscar métodos de resolución numérica de ecuaciones no lineales que superen a los métodos clásicos. En primer lugar, se introducen los métodos clásicos de bisección, secante y Newton-Raphson, y se realiza una serie de comparaciones entre ellos. A continuación se abordan métodos más recientes, en particular el método de Halley y los métodos híbridos de Dekker y Dekker-Brent, y se analizan sus ventajas sobre los métodos anteriores. Por último, se realizan comparaciones entre los diferentes métodos, probándolos en diferentes funciones para estudiar la velocidad de convergencia de los mismos. El código de Matlab utilizado se podrá encontrar en el anexo.
El objetivo de este trabajo es el de buscar métodos de resolución numérica de ecuaciones no lineales que superen a los métodos clásicos. En primer lugar, se introducen los métodos clásicos de bisección, secante y Newton-Raphson, y se realiza una serie de comparaciones entre ellos. A continuación se abordan métodos más recientes, en particular el método de Halley y los métodos híbridos de Dekker y Dekker-Brent, y se analizan sus ventajas sobre los métodos anteriores. Por último, se realizan comparaciones entre los diferentes métodos, probándolos en diferentes funciones para estudiar la velocidad de convergencia de los mismos. El código de Matlab utilizado se podrá encontrar en el anexo.
Dirección
RODRIGUEZ IGLESIAS, CARMEN (Tutoría)
RODRIGUEZ IGLESIAS, CARMEN (Tutoría)
Tribunal
RODRIGUEZ IGLESIAS, CARMEN (Tutor del alumno)
RODRIGUEZ IGLESIAS, CARMEN (Tutor del alumno)
Las transformadas integrales de Laplace y de Fourier
Autoría
S.M.E.
Grado en Matemáticas
S.M.E.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 10:00
16.07.2024 10:00
Resumen
En este trabajo, profundizaremos en las transformadas de Laplace y Fourier, definiendo cada una, calculando ejemplos y explicando sus propiedades fundamentales. Además, mostraremos cómo estas herramientas matemáticas se pueden emplear para resolver ecuaciones integrales y diferenciales, tanto ordinarias como parciales. También ilustramos su aplicabilidad para resolver problemas de la vida cotidiana a través de la resolución del problema mecánico de Abel y de la ecuación del calor.
En este trabajo, profundizaremos en las transformadas de Laplace y Fourier, definiendo cada una, calculando ejemplos y explicando sus propiedades fundamentales. Además, mostraremos cómo estas herramientas matemáticas se pueden emplear para resolver ecuaciones integrales y diferenciales, tanto ordinarias como parciales. También ilustramos su aplicabilidad para resolver problemas de la vida cotidiana a través de la resolución del problema mecánico de Abel y de la ecuación del calor.
Dirección
Rodríguez López, Jorge (Tutoría)
Rodríguez López, Jorge (Tutoría)
Tribunal
Rodríguez López, Jorge (Tutor del alumno)
Rodríguez López, Jorge (Tutor del alumno)
Una introducción a la interpolación de funciones
Autoría
S.M.C.
Grado en Matemáticas
S.M.C.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 13:00
16.07.2024 13:00
Resumen
En esta memoria se introducen tres tipos de interpolación. Primero, la interpolación polinómica de Lagrange. A continuación, se analiza la interpolación racional y, finalmente, la interpolación utilizando funciones spline. Daremos resultados, métodos y algún código que nos ayudará a encontrar la expresión de la función de interpolación, en los tres tipos de interpolación. Mientras tanto, compararemos alguno de los tipos de interpolación con otros, para comprobar cuál es más eficiente en cada caso, y lo mostraremos con tablas y gráficos. También estudiaremos el error que se comete al interpolar una función determinada en el caso de la interpolación polinómica de Lagrange.
En esta memoria se introducen tres tipos de interpolación. Primero, la interpolación polinómica de Lagrange. A continuación, se analiza la interpolación racional y, finalmente, la interpolación utilizando funciones spline. Daremos resultados, métodos y algún código que nos ayudará a encontrar la expresión de la función de interpolación, en los tres tipos de interpolación. Mientras tanto, compararemos alguno de los tipos de interpolación con otros, para comprobar cuál es más eficiente en cada caso, y lo mostraremos con tablas y gráficos. También estudiaremos el error que se comete al interpolar una función determinada en el caso de la interpolación polinómica de Lagrange.
Dirección
RODRIGUEZ IGLESIAS, CARMEN (Tutoría)
RODRIGUEZ IGLESIAS, CARMEN (Tutoría)
Tribunal
RODRIGUEZ IGLESIAS, CARMEN (Tutor del alumno)
RODRIGUEZ IGLESIAS, CARMEN (Tutor del alumno)
La Transformada Rápida de Fourier. Una aplicación al análisis espectral de señales periódicas.
Autoría
G.M.D.C.
Grado en Matemáticas
G.M.D.C.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 09:00
16.07.2024 09:00
Resumen
En el mundo del procesamiento de señales, la Transformada Rápida de Fourier emerge como una herramienta fundamental para analizar señales periódicas. Este algoritmo calcula la Transformada Discreta de Fourier, permitiendo un análisis espectral más eficiente y rápido. El presente trabajo aborda el análisis y la aplicación de la Transformada Rápida de Fourier. Partiendo de una revisión histórica, se examinan los fundamentos del Análisis de Fourier y su evolución a través de las contribuciones de matemáticos como D’Alembert, Euler, Bernoulli y Gauss, quienes establecieron las bases teóricas de esta disciplina. Se describen los fundamentos de la Transformada Discreta de Fourier y su capacidad para convertir señales discretas del dominio del espacio o tiempo al dominio de la frecuencia, facilitando un análisis preciso de sus componentes frecuenciales. El estudio también explora las propiedades fundamentales de la Transformada Discreta de Fourier y los posibles errores en su aplicación, abordando consideraciones importantes para su uso efectivo. El enfoque de la Transformada Rápida de Fourier se centra en su eficiencia y rapidez, fundamentada en el principio de ''divide y vencerás''. Se presenta un ejemplo práctico de implementación en MATLAB, demostrando su aplicabilidad en el análisis espectral de señales periódicas.
En el mundo del procesamiento de señales, la Transformada Rápida de Fourier emerge como una herramienta fundamental para analizar señales periódicas. Este algoritmo calcula la Transformada Discreta de Fourier, permitiendo un análisis espectral más eficiente y rápido. El presente trabajo aborda el análisis y la aplicación de la Transformada Rápida de Fourier. Partiendo de una revisión histórica, se examinan los fundamentos del Análisis de Fourier y su evolución a través de las contribuciones de matemáticos como D’Alembert, Euler, Bernoulli y Gauss, quienes establecieron las bases teóricas de esta disciplina. Se describen los fundamentos de la Transformada Discreta de Fourier y su capacidad para convertir señales discretas del dominio del espacio o tiempo al dominio de la frecuencia, facilitando un análisis preciso de sus componentes frecuenciales. El estudio también explora las propiedades fundamentales de la Transformada Discreta de Fourier y los posibles errores en su aplicación, abordando consideraciones importantes para su uso efectivo. El enfoque de la Transformada Rápida de Fourier se centra en su eficiencia y rapidez, fundamentada en el principio de ''divide y vencerás''. Se presenta un ejemplo práctico de implementación en MATLAB, demostrando su aplicabilidad en el análisis espectral de señales periódicas.
Dirección
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Tutoría)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Tutoría)
Tribunal
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Tutor del alumno)
SALGADO RODRIGUEZ, MARIA DEL PILAR (Tutor del alumno)
Fórmulas de Derivación Numérica
Autoría
A.S.M.
Grado en Matemáticas
A.S.M.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 16:00
16.07.2024 16:00
Resumen
Este estudio trata sobre las fórmulas de derivación numérica, desde los resultados necesarios para su obtención, hasta los posibles errores que cometemos al realizar la aproximación. Se definirá el concepto de fórmula de derivación numérica, centrándonos en las fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio polinómico, entregando ejemplos de fórmulas y estudiando distintos casos de especial relevancia. A su vez, se hará una investigación, con ejemplos de Matlab, del error que se comete al usar este tipo de fórmulas para el cálculo diferencial de una función, su posible influencia en el resultado y posibles expresiones de este.
Este estudio trata sobre las fórmulas de derivación numérica, desde los resultados necesarios para su obtención, hasta los posibles errores que cometemos al realizar la aproximación. Se definirá el concepto de fórmula de derivación numérica, centrándonos en las fórmulas de derivación numérica de tipo interpolatorio polinómico, entregando ejemplos de fórmulas y estudiando distintos casos de especial relevancia. A su vez, se hará una investigación, con ejemplos de Matlab, del error que se comete al usar este tipo de fórmulas para el cálculo diferencial de una función, su posible influencia en el resultado y posibles expresiones de este.
Dirección
López Pouso, Óscar (Tutoría)
López Pouso, Óscar (Tutoría)
Tribunal
López Pouso, Óscar (Tutor del alumno)
López Pouso, Óscar (Tutor del alumno)
Modelos de Series Temporales
Autoría
M.S.C.
Grado en Matemáticas
M.S.C.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
18.07.2024 10:00
18.07.2024 10:00
Resumen
Este trabajo se centra en el análisis de series temporales centrándose en los modelos autorregresivos y en los de medias móviles. Primero, se introducirá el concepto de serie de tiempo así como algunos modelos simples y sus respectivas propiedades. Después se profundizará en los otros dos modelos, estudiando sus características y las predicciones futuras que proporcionan. Todo esto será aplicado a diferentes conjuntos de datos para tratar de predecir los valores futuros de los mismos y comparar las predicciones obtenidas por ambos modelos.
Este trabajo se centra en el análisis de series temporales centrándose en los modelos autorregresivos y en los de medias móviles. Primero, se introducirá el concepto de serie de tiempo así como algunos modelos simples y sus respectivas propiedades. Después se profundizará en los otros dos modelos, estudiando sus características y las predicciones futuras que proporcionan. Todo esto será aplicado a diferentes conjuntos de datos para tratar de predecir los valores futuros de los mismos y comparar las predicciones obtenidas por ambos modelos.
Dirección
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Tutoría)
Bolón Rodríguez, Diego Cotutoría
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Tutoría)
Bolón Rodríguez, Diego Cotutoría
Tribunal
Bolón Rodríguez, Diego (Tutor del alumno)
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Tutor del alumno)
Bolón Rodríguez, Diego (Tutor del alumno)
RODRIGUEZ CASAL, ALBERTO (Tutor del alumno)
Introducción a las ecuaciones diferenciales de orden fraccionario
Autoría
I.V.D.
Grado en Matemáticas
I.V.D.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 10:00
16.07.2024 10:00
Resumen
Este trabajo hace un recorrido por el cálculo fraccionario, detallando las diversas definiciones de derivadas fraccionarias y sus usos. Por otra parte, se introducen resultados correspondientes a las ecuaciones diferenciales de orden fraccionario, a sus aplicaciones;así como a su utilidad y relevancia actual.
Este trabajo hace un recorrido por el cálculo fraccionario, detallando las diversas definiciones de derivadas fraccionarias y sus usos. Por otra parte, se introducen resultados correspondientes a las ecuaciones diferenciales de orden fraccionario, a sus aplicaciones;así como a su utilidad y relevancia actual.
Dirección
Nieto Roig, Juan José (Tutoría)
Nieto Roig, Juan José (Tutoría)
Tribunal
Nieto Roig, Juan José (Tutor del alumno)
Nieto Roig, Juan José (Tutor del alumno)
La Transformada de Fourier y sus aplicaciones.
Autoría
M.D.C.
Grado en Matemáticas
M.D.C.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
03.07.2024 12:00
03.07.2024 12:00
Resumen
Las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) son herramientas fundamentales para modelar fenómenos físicos y naturales que varían en espacio y tiempo. Estas ecuaciones tienen una amplia aplicación en disciplinas como la física, ingeniería y matemáticas aplicadas. Para abordar su resolución, la Transformada de Fourier surge como una herramienta esencial. Esta transformación matemática permite trasladar el problema desde el dominio del tiempo o espacio al dominio de la frecuencia, lo que simplifica la resolución de las ecuaciones originales. Este trabajo se centra en el concepto de la Transformada de Fourier, explorando sus propiedades y resultados más significativos, y se analiza cómo esta herramienta desempeña un papel fundamental en la resolución de las Ecuaciones en Derivadas Parciales.
Las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDPs) son herramientas fundamentales para modelar fenómenos físicos y naturales que varían en espacio y tiempo. Estas ecuaciones tienen una amplia aplicación en disciplinas como la física, ingeniería y matemáticas aplicadas. Para abordar su resolución, la Transformada de Fourier surge como una herramienta esencial. Esta transformación matemática permite trasladar el problema desde el dominio del tiempo o espacio al dominio de la frecuencia, lo que simplifica la resolución de las ecuaciones originales. Este trabajo se centra en el concepto de la Transformada de Fourier, explorando sus propiedades y resultados más significativos, y se analiza cómo esta herramienta desempeña un papel fundamental en la resolución de las Ecuaciones en Derivadas Parciales.
Dirección
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutor del alumno)
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutor del alumno)
La optimización matemática en la gestión de recursos
Autoría
T.P.T.
Grado en Matemáticas
T.P.T.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
03.07.2024 09:30
03.07.2024 09:30
Resumen
En la actualidad, la optimización matemática se ha convertido en una herramienta clave para la gestión eficiente de recursos en diversas áreas, como la publicidad, la investigación en laboratorios y la gestión de emergencias, incluyendo los incendios forestales. La asignación óptima de recursos no solo maximiza los beneficios económicos, sino que también reduce los costes y el tiempo necesario para completar las tareas. Este Trabajo de Fin de Grado (TFG) se centra en la aplicación de técnicas de programación matemática, especialmente la programación lineal y la programación entera, para resolver problemas prácticos relacionados con la distribución y asignación de recursos.
En la actualidad, la optimización matemática se ha convertido en una herramienta clave para la gestión eficiente de recursos en diversas áreas, como la publicidad, la investigación en laboratorios y la gestión de emergencias, incluyendo los incendios forestales. La asignación óptima de recursos no solo maximiza los beneficios económicos, sino que también reduce los costes y el tiempo necesario para completar las tareas. Este Trabajo de Fin de Grado (TFG) se centra en la aplicación de técnicas de programación matemática, especialmente la programación lineal y la programación entera, para resolver problemas prácticos relacionados con la distribución y asignación de recursos.
Dirección
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutoría)
SAAVEDRA NIEVES, PAULA Cotutoría
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutoría)
SAAVEDRA NIEVES, PAULA Cotutoría
Tribunal
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutor del alumno)
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Tutor del alumno)
Teoremas de Tonelli e Fubini en espacios de medida
Autoría
M.S.P.
Grado en Matemáticas
M.S.P.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
04.07.2024 18:00
04.07.2024 18:00
Resumen
Este trabajo se centra en los teoremas de Tonelli y Fubini dentro del contexto de los espacios de medida. Primero, se explican conceptos relacionados con los espacios de medida, cómo se generan las medidas, y la medida producto, que servirán para entender mejor estos teoremas. Luego, se analizan las secciones de conjuntos y funciones, además de algunas definiciones y lemas necesarios para poder presentar una demostración detallada de los teoremas de Tonelli y Fubini en diferentes tipos de espacios de medida. Finalmente, se discute el ejemplo específico de los teoremas en el espacio de medida de Lebesgue en Rn, mostrando su utilidad en este espacio de medida concreto.
Este trabajo se centra en los teoremas de Tonelli y Fubini dentro del contexto de los espacios de medida. Primero, se explican conceptos relacionados con los espacios de medida, cómo se generan las medidas, y la medida producto, que servirán para entender mejor estos teoremas. Luego, se analizan las secciones de conjuntos y funciones, además de algunas definiciones y lemas necesarios para poder presentar una demostración detallada de los teoremas de Tonelli y Fubini en diferentes tipos de espacios de medida. Finalmente, se discute el ejemplo específico de los teoremas en el espacio de medida de Lebesgue en Rn, mostrando su utilidad en este espacio de medida concreto.
Dirección
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutoría)
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutoría)
Tribunal
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutor del alumno)
FERNANDEZ FERNANDEZ, FRANCISCO JAVIER (Tutor del alumno)
Introducción a los problemas de localización
Autoría
L.G.A.
Grado en Matemáticas
L.G.A.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 10:00
16.07.2024 10:00
Resumen
En este trabajo, se introduce al lector en los problemas de localización. Mediante una breve introducción histórica y una explicación de los conceptos básicos, que se emplean a lo largo del trabajo, se ubica al lector en el marco de la teoría de localización. A posteriori, se expone una formulación general para los problemas de localización, a partir de la cual, es posible escribir todos los problemas realizando simples modificaciones en ella. Se estudian las componentes básicas que forman un problema y se enumeran los diferentes tipos de problemas de localización existentes en función de sus objetivos. Se finaliza el trabajo centrándose en un problema concreto, el problema de la p-mediana, analizándolo y explicando cómo resolverlo mediante dos algoritmos diferentes.
En este trabajo, se introduce al lector en los problemas de localización. Mediante una breve introducción histórica y una explicación de los conceptos básicos, que se emplean a lo largo del trabajo, se ubica al lector en el marco de la teoría de localización. A posteriori, se expone una formulación general para los problemas de localización, a partir de la cual, es posible escribir todos los problemas realizando simples modificaciones en ella. Se estudian las componentes básicas que forman un problema y se enumeran los diferentes tipos de problemas de localización existentes en función de sus objetivos. Se finaliza el trabajo centrándose en un problema concreto, el problema de la p-mediana, analizándolo y explicando cómo resolverlo mediante dos algoritmos diferentes.
Dirección
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Tutoría)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Tutoría)
Tribunal
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Tutor del alumno)
CASARES DE CAL, MARIA ANGELES (Tutor del alumno)
Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales en dos y tres dimensiones
Autoría
P.L.D.
Grado en Matemáticas
P.L.D.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
17.07.2024 10:30
17.07.2024 10:30
Resumen
El objetivo principal de este trabajo es extender conceptos e ideas sobre las series de Fourier y sus aplicaciones a las ecuaciones en derivadas parciales al caso de dimensiones superiores. Primero, se introducen nociones y resultados sobre las series de Fourier en una y más variables. Se estudiarán los teoremas más relevantes sobre la convergencia, en particular la convergencia uniforme. Los capítulos restantes están dedicados a las ecuaciones de calor, de Laplace y de ondas. Estos problemas serán abordados desde la formulación de sus modelos matemáticos hasta su resolución utilizando la técnica de separación de variables y el principio de superposición. Además, se incluirán en esta parte algunos resultados o fenómenos que afectan a estas ecuaciones.
El objetivo principal de este trabajo es extender conceptos e ideas sobre las series de Fourier y sus aplicaciones a las ecuaciones en derivadas parciales al caso de dimensiones superiores. Primero, se introducen nociones y resultados sobre las series de Fourier en una y más variables. Se estudiarán los teoremas más relevantes sobre la convergencia, en particular la convergencia uniforme. Los capítulos restantes están dedicados a las ecuaciones de calor, de Laplace y de ondas. Estos problemas serán abordados desde la formulación de sus modelos matemáticos hasta su resolución utilizando la técnica de separación de variables y el principio de superposición. Además, se incluirán en esta parte algunos resultados o fenómenos que afectan a estas ecuaciones.
Dirección
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutoría)
Tribunal
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutor del alumno)
LOPEZ POUSO, RODRIGO (Tutor del alumno)
Una introducción a la Teoría de la Medida abstracta
Autoría
F.J.R.T.
Grado en Matemáticas
F.J.R.T.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 18:30
16.07.2024 18:30
Resumen
La teoría de la medida es un área esencial del análisis matemático, proporcionando las bases para la integración y el análisis funcional. En este estudio, se revisan los conceptos básicos y se desarrollan formalmente las ideas centrales, como las álgebras y las sigma-álgebras, las medidas y sus propiedades, y la integración de funciones medibles. Además, se destacan las contribuciones de Henri Lebesgue, cuya integral proporciona una extensión y generalización de la integral de Riemann, permitiendo una mayor flexibilidad y aplicabilidad en el análisis matemático. El trabajo se divide en dos partes principales: la primera ofrece una revisión histórica y conceptual de la evolución de la integral, donde aparece por primera vez el concepto de medida, y la segunda se enfoca en la formalización y abstracción de los conceptos clave, proporcionando una base sólida para comprender y aplicar la teoría de la medida en diversos contextos matemáticos.
La teoría de la medida es un área esencial del análisis matemático, proporcionando las bases para la integración y el análisis funcional. En este estudio, se revisan los conceptos básicos y se desarrollan formalmente las ideas centrales, como las álgebras y las sigma-álgebras, las medidas y sus propiedades, y la integración de funciones medibles. Además, se destacan las contribuciones de Henri Lebesgue, cuya integral proporciona una extensión y generalización de la integral de Riemann, permitiendo una mayor flexibilidad y aplicabilidad en el análisis matemático. El trabajo se divide en dos partes principales: la primera ofrece una revisión histórica y conceptual de la evolución de la integral, donde aparece por primera vez el concepto de medida, y la segunda se enfoca en la formalización y abstracción de los conceptos clave, proporcionando una base sólida para comprender y aplicar la teoría de la medida en diversos contextos matemáticos.
Dirección
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutoría)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutoría)
Tribunal
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutor del alumno)
TRINCHET SORIA, ROSA Mª (Tutor del alumno)
Modelos de epidemias usando ecuaciones diferenciales ordinarias
Autoría
S.E.C.
Grado en Matemáticas
S.E.C.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 10:30
16.07.2024 10:30
Resumen
Los modelos compartimentales tipo SIR en epidemiología dividen a la población en Susceptibles, Infectadas y Recuperadas. Es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y sirven para estudiar cómo evoluciona una epidemia mediante modelos sencillos. Se estudiarán las principales propiedades y se aplicarán a algún caso real y concreto.
Los modelos compartimentales tipo SIR en epidemiología dividen a la población en Susceptibles, Infectadas y Recuperadas. Es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y sirven para estudiar cómo evoluciona una epidemia mediante modelos sencillos. Se estudiarán las principales propiedades y se aplicarán a algún caso real y concreto.
Dirección
Nieto Roig, Juan José (Tutoría)
Nieto Roig, Juan José (Tutoría)
Tribunal
Nieto Roig, Juan José (Tutor del alumno)
Nieto Roig, Juan José (Tutor del alumno)
La regresión multinomial
Autoría
N.A.T.
Grado en Matemáticas
N.A.T.
Grado en Matemáticas
Fecha de la defensa
16.07.2024 17:00
16.07.2024 17:00
Resumen
Los modelos de regresión son una herramienta estadística muy utilizada en la práctica para poder establecer la relación entre una variable dependiente o variable respuesta (que se denota habitualmente por Y) y una o varias variables explicativas o independientes (que se denota habitualmente por X). El escenario más habitual es aquel en el que tanto la variable respuesta como las variables explicativas son continuas y además la relación entre ambas es lineal. A lo largo de este Trabajo Fin de Grado abordaremos una extensión del modelo lineal clásico en el cual asumiremos que la variable respuesta es una variable categórica o cualitativa. Surgen así los modelos de regresión multinomial que son un caso particular de los conocidos como modelos lineales generalizados (modelos GLM, por sus siglas en inglés). La estimación de los parámetros asociados a un modelo multinomial es consecuencia de la aplicación de procedimientos de máxima verosimilitud. Veremos en este TFG la estimación de dichos parámetros así como la aplicación de técnicas de Inferencia sobre los mismos. Además, las diferentes técnicas presentadas serán ilustradas utilizando una base de datos reales.
Los modelos de regresión son una herramienta estadística muy utilizada en la práctica para poder establecer la relación entre una variable dependiente o variable respuesta (que se denota habitualmente por Y) y una o varias variables explicativas o independientes (que se denota habitualmente por X). El escenario más habitual es aquel en el que tanto la variable respuesta como las variables explicativas son continuas y además la relación entre ambas es lineal. A lo largo de este Trabajo Fin de Grado abordaremos una extensión del modelo lineal clásico en el cual asumiremos que la variable respuesta es una variable categórica o cualitativa. Surgen así los modelos de regresión multinomial que son un caso particular de los conocidos como modelos lineales generalizados (modelos GLM, por sus siglas en inglés). La estimación de los parámetros asociados a un modelo multinomial es consecuencia de la aplicación de procedimientos de máxima verosimilitud. Veremos en este TFG la estimación de dichos parámetros así como la aplicación de técnicas de Inferencia sobre los mismos. Además, las diferentes técnicas presentadas serán ilustradas utilizando una base de datos reales.
Dirección
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Tutoría)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Tutoría)
Tribunal
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Tutor del alumno)
CONDE AMBOAGE, MERCEDES (Tutor del alumno)
Aprendizaje semi-supervisado para detección de objetos
Autoría
C.L.A.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
C.L.A.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
18.07.2024 16:30
18.07.2024 16:30
Resumen
La detección de objetos es uno de los principales problemas que se abordan en el campo de la visión por computador. Los detectores tradicionales requieren de una gran cantidad de imágenes etiquetadas para entrenar. Esto supone una limitación importante, pues la anotación de imágenes es costosa y la disponibilidad de los datos es, a menudo, limitada. En este contexto, surge el aprendizaje semi-supervisado para detección de objetos, que aborda el escenario en el que existen pocas imágenes etiquetadas pero una gran cantidad de imágenes sin etiquetar. Este trabajo se enmarca en esta área y se centra en el estudio de arquitecturas de tipo Teacher-Student. Concretamente, se estudia el detector Unbiased Teacher v2. El objetivo de este trabajo es estudiar diferentes técnicas beneficiosas en otros contextos de aprendizaje y analizar su aplicabilidad a este detector. Específicamente, se analizarán las siguientes propuestas: incorporación de módulos propios de arquitecturas few-shot( concretamente Gradient Decoupled Layer (GDL) y Prototypical Calibration Block (PCB) propuestos en el detector DeFRCN); sustitución de la estrategia de umbral fijo para filtrar pseudo-etiquetas por una estrategia de umbral flexible; y uso de una estrategia de asignación de etiquetas basada en Optimal Transport Assignment (OTA). Los experimentos realizados muestran que el uso de GDL resulta beneficioso para el rendimiento del detector. Además, aunque el resto de propuestas no mejoraron el detector, la experimentación reveló varias dificultades que surgen al adaptar estas estrategias a un detector de las características de Unbiased Teacher v2. Esta información puede resultar relevante para futuros análisis del problema.
La detección de objetos es uno de los principales problemas que se abordan en el campo de la visión por computador. Los detectores tradicionales requieren de una gran cantidad de imágenes etiquetadas para entrenar. Esto supone una limitación importante, pues la anotación de imágenes es costosa y la disponibilidad de los datos es, a menudo, limitada. En este contexto, surge el aprendizaje semi-supervisado para detección de objetos, que aborda el escenario en el que existen pocas imágenes etiquetadas pero una gran cantidad de imágenes sin etiquetar. Este trabajo se enmarca en esta área y se centra en el estudio de arquitecturas de tipo Teacher-Student. Concretamente, se estudia el detector Unbiased Teacher v2. El objetivo de este trabajo es estudiar diferentes técnicas beneficiosas en otros contextos de aprendizaje y analizar su aplicabilidad a este detector. Específicamente, se analizarán las siguientes propuestas: incorporación de módulos propios de arquitecturas few-shot( concretamente Gradient Decoupled Layer (GDL) y Prototypical Calibration Block (PCB) propuestos en el detector DeFRCN); sustitución de la estrategia de umbral fijo para filtrar pseudo-etiquetas por una estrategia de umbral flexible; y uso de una estrategia de asignación de etiquetas basada en Optimal Transport Assignment (OTA). Los experimentos realizados muestran que el uso de GDL resulta beneficioso para el rendimiento del detector. Además, aunque el resto de propuestas no mejoraron el detector, la experimentación reveló varias dificultades que surgen al adaptar estas estrategias a un detector de las características de Unbiased Teacher v2. Esta información puede resultar relevante para futuros análisis del problema.
Dirección
MUCIENTES MOLINA, MANUEL FELIPE (Tutoría)
CORES COSTA, DANIEL Cotutoría
MUCIENTES MOLINA, MANUEL FELIPE (Tutoría)
CORES COSTA, DANIEL Cotutoría
Tribunal
VAZQUEZ CENDON, MARIA ELENA (Presidente/a)
CHAVES FRAGA, DAVID (Secretario/a)
SUAREZ GAREA, JORGE ALBERTO (Vocal)
VAZQUEZ CENDON, MARIA ELENA (Presidente/a)
CHAVES FRAGA, DAVID (Secretario/a)
SUAREZ GAREA, JORGE ALBERTO (Vocal)
Dental diagnosis: Clasificación automática de imágenes RX panorámicas orales mediante técnicas de aprendizaje profundo
Autoría
E.P.V.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
E.P.V.
Dobre Grado en Ingeniería Informática y en Matemáticas (2ªed)
Fecha de la defensa
18.07.2024 12:30
18.07.2024 12:30
Resumen
En el ámbito del análisis de imágenes médicas, la clasificación de radiografías dentales es esencial para la detección de patologías, permitiendo etiquetar cada imagen con la presencia o ausencia de una condición específica. Recientemente, las redes neuronales convolucionales (CNN) han destacado por su eficacia en este campo. Este trabajo de fin de grado desarrolla un modelo basado en arquitecturas ResNet para clasificar radiografías dentales panorámicas. Utilizando un conjunto de datos proporcionado por el OSRG de la Universidad de Santiago de Compostela, que incluye 8 clases de patologías, se aplicaron técnicas de aumento de datos y balanceo de clases para abordar el desbalanceo. Se exploraron diferentes arquitecturas ResNet y se ajustaron hiperparámetros como el tamaño del lote y la resolución de las imágenes. Esta memoria detalla los experimentos, resultados, conclusiones y posibles ampliaciones.
En el ámbito del análisis de imágenes médicas, la clasificación de radiografías dentales es esencial para la detección de patologías, permitiendo etiquetar cada imagen con la presencia o ausencia de una condición específica. Recientemente, las redes neuronales convolucionales (CNN) han destacado por su eficacia en este campo. Este trabajo de fin de grado desarrolla un modelo basado en arquitecturas ResNet para clasificar radiografías dentales panorámicas. Utilizando un conjunto de datos proporcionado por el OSRG de la Universidad de Santiago de Compostela, que incluye 8 clases de patologías, se aplicaron técnicas de aumento de datos y balanceo de clases para abordar el desbalanceo. Se exploraron diferentes arquitecturas ResNet y se ajustaron hiperparámetros como el tamaño del lote y la resolución de las imágenes. Esta memoria detalla los experimentos, resultados, conclusiones y posibles ampliaciones.
Dirección
VILA BLANCO, NICOLAS (Tutoría)
CARREIRA NOUCHE, MARIA JOSE Cotutoría
TOMAS CARMONA, INMACULADA Cotutoría
VILA BLANCO, NICOLAS (Tutoría)
CARREIRA NOUCHE, MARIA JOSE Cotutoría
TOMAS CARMONA, INMACULADA Cotutoría
Tribunal
VIDAL AGUIAR, JUAN CARLOS (Presidente/a)
DOSIL LAGO, RAQUEL (Secretario/a)
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Vocal)
VIDAL AGUIAR, JUAN CARLOS (Presidente/a)
DOSIL LAGO, RAQUEL (Secretario/a)
SAAVEDRA NIEVES, ALEJANDRO (Vocal)