Derivación e integración de funcións de unha variable real

Comprender e aplicar os conceptos fundamentais da derivación de funcións reais dunha variable, incluíndo as súas principais regras, propiedades e teoremas asociados (Rolle, valor medio, L’Hôpital, etc.).

Analizar o comportamento de funcións mediante derivadas de orde superior, identificando extremos relativos, puntos de inflexión e elaborando representacións gráficas.

Comprender o concepto de integral definida a partir da súa construción formal, e aplicar as súas propiedades para o cálculo efectivo de integrais.

Relacionar derivación e integración mediante o teorema fundamental do cálculo, e empregar técnicas como o cambio de variable e a integración por partes para calcular primitivas.

Aplicar o cálculo integral a problemas xeométricos e analíticos, incluíndo o cálculo de áreas, lonxitudes, volumes, áreas de revolución e integrais impropias.

Os contidos da materia divídense en dous bloques:

Bloque 1: Derivación de funcións dunha variable.

Tema 1. Concepto de derivada e propiedades (9h CLE)
Concepto de derivada.
Regra da cadea e derivada da función inversa.
Derivadas das funcións elementais.
Teoremas de Rolle e do valor medio.
Monotonía e derivación. Regra de L’Hôpital.

Tema 2. Derivadas de orde superior e propiedades (9h CLE)
Extremos relativos.
O polinomio de Taylor. Fórmulas do resto.
Caracterización dos extremos relativos.
Puntos de inflexión.
Representación gráfica de funcións dunha variable real.

Bloque 2: Integración de funcións dunha variable.

Tema 3. Integral definida e propiedades (9h CLE)
Construción da integral de Riemann. Sumas de Darboux. Sumas de Riemann.
Funcións integrables.
Propiedades da integral.

Tema 4. Relación entre derivación e integración (9h CLE)
Teorema fundamental do Cálculo Integral.
Teorema do cambio de variable.
Primitivas elementais. Integración por partes.
Cálculo de primitivas.

Tema 5. Aplicacións do cálculo integral (3h CLE)
Cálculo de áreas planas.
Lonxitudes de gráficas.
Volumes e áreas de revolución.

Tema 6. Integrais impropias (3h CLE)
Integrais impropias.
Criterios de converxencia.

Bibliografía Básica

ABBOTT, S. (2015) Understanding Analysis. Springer (SpringerLink eBook Collection – Mathematics & Statistics, https://link-springer-com.ezbusc.usc.gal/book/10.1007/978-1-4939-2712-8)

APOSTOL, T. M. (1977) Análisis Matemático. Reverté.

BARTLE, R. G., SHERBERT, D. R. (1999) Introducción al Análisis Matemático de una variable (2ª Ed.). Limusa Wiley.

Bibliografía complementaria

LARSON, R. HOSTETLER, R. P., EDWARDS, B. H. (2006) Cálculo (8ª Ed.). McGraw-Hill.

MAGNUS, R. (2020) Fundamental Mathematical Analysis. Springer (SpringerLink eBook Collection – Mathematics & Statistics, https://link-springer-com.ezbusc.usc.gal/book/10.1007/978-3-030-46321-2).

PISKUNOV, N. (1978) Cálculo Diferencial e Integral. Montaner y Simón.

SPIVAK, M. (1978) Calculus. Reverté.

Os resultados do proceso de formación e de aprendizaxe desta materia son:

Coñecementos:

Con01: Coñecer os conceptos, métodos, aplicacións e resultados máis importantes das distintas ramas das Matemáticas.

Con02: Coñecer, comprender e empregar a linguaxe matemática para elaborar e entender demostracións e formular modelos matemáticos.

Con03: Coñecer demostracións dos teoremas relevantes das distintas ramas das Matemáticas.

Con04: Asimilar a definición de obxectos matemáticos, relacionar uns con outros e ser capaz de utilizalos en diferentes contextos.

Con05: Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema e determinar as ferramentas matemáticas axeitadas para abordalo.

Habilidades ou destrezas:

H/D01: Aplicar tanto os coñecementos teórico-prácticos adquiridos como a capacidade de análise e abstracción na definición e formulación de problemas e na procura das súas solucións, tanto en contextos académicos como profesionais.

H/D02: Empregar bibliografía e ferramentas de busca de recursos bibliográficos xerais e específicos de Matemáticas.

H/D03: Organizar e planificar o traballo de xeito axeitado.

H/D04: Verificar ou contrastar argumentos e razoamentos, identificando erros e propoñendo revisións ou contraexemplos.

H/D06: Ler textos científicos tanto en lingua propia como noutras de relevancia no ámbito científico.

H/D07: Elaborar demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou refutalas.

Competencias:

Comp01: Recompilar e interpretar datos, información e resultados relevantes, obter conclusións e emitir informes razoados en problemas científicos, tecnolóxicos ou doutras áreas que requiran o uso de ferramentas matemáticas.

Comp02: Comunicar, tanto por escrito como oralmente, coñecementos, procedementos, resultados e ideas en Matemáticas a públicos especializados e non especializados.

Comp03: Estudar e aprender de maneira autónoma novos coñecementos e técnicas das diferentes ramas das Matemáticas.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xenerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC vixente.

As clases expositivas consistirán basicamente en leccións impartidas polo/a profesor/a, dedicadas á exposición dos contidos teóricos e á resolución dalgúns problemas ou exercicios. Ás veces, o modelo aproximarase á lección maxistral e outras procurarase unha maior implicación do alumnado. Traballaranse, sobre todo, a adquisición dos coñecementos Con01, Con02, Con03, Con04 e Con05.

As clases interactivas irán encamiñadas, nuns casos, á adquisición de habilidades prácticas e, noutros, servirán para a ilustración inmediata dos contidos teórico-prácticos, mediante a resolución de aplicacións da teoría, problemas ou exercicios. Traballaranse, sobre todo, as habilidades ou destrezas H/D01, H/D04 e H/D07 e as competencias Comp01 e Comp02.

As titorías permitirán atender ao alumnado para discutir cuestións concretas sobre as tarefas encomendadas ou resolver dúbidas sobre a materia.

Todas as tarefas do alumnado (estudo, lecturas, exercicios, prácticas…) serán orientadas polos/as docentes nas clases interactivas e nas sesións de titoría en grupo moi reducido. Servirán para reforzar, en particular, as habilidades ou destrezas H/D02, H/D03 e H/D06 e as competencias Comp01, Comp02 e Comp03.

Empregarase o curso virtual ou a plataforma Teams como mecanismo para facer chegar ao alumnado os recursos necesarios para o desenvolvemento da materia (vídeos explicativos, apuntes, boletíns de exercicios, etc.).

As metodoloxías docentes empregadas na materia combinan distintos enfoques co fin de favorecer unha comprensión sólida e aplicada dos contidos.

Nas clases expositivas utilizarase preferentemente a clase maxistral, orientada á presentación estruturada dos conceptos teóricos fundamentais.

As clases interactivas centraránse na resolución de problemas e no estudo de casos, fomentando a participación activa do alumnado e a aplicación práctica dos contidos.

Por outra banda, nas titorías orientarase ao estudante na resolución autónoma de problemas, promovendo o aprendizaxe independente e o desenvolvemento de habilidades analíticas e críticas.

Esta combinación metodolóxica busca facilitar tanto a adquisición de coñecementos como o desenvolvemento de competencias e habilidades.

A avaliación da materia combina avaliación continua e avaliación final, de forma coordinada entre os distintos grupos expositivos. O obxectivo é comprobar o grao de adquisición dos coñecementos, competencias e destrezas definidos para a materia.

Avaliación Final (AF)

A avaliación final consistirá nun exame escrito valorado sobre 10 puntos. Permitiralle avaliar de forma global a comprensión dos contidos teóricos, a capacidade de razoamento formal e a aplicación de técnicas matemáticas á resolución de problemas. O exame desglósase do seguinte xeito:

* Enunciado e demostración de lemas, proposicións, teoremas e corolarios (25%): avalía coñecementos teóricos (Con01, Con03), manexo da linguaxe formal (Con02) e destrezas na elaboración de demostracións (H/D07).

* Resolución de cuestións teóricas (25%): avalía comprensión conceptual, capacidade de argumentación e relación entre conceptos (Con02, Con04, H/D04) e destrezas na elaboración de demostracións (H/D07).

* Resolución de cuestións prácticas (25%): avalía o dominio de técnicas específicas e a súa aplicación (Con05, H/D01).

* Resolución de problemas ou exercicios (25%): mide a capacidade para analizar e resolver problemas matemáticos, valorando tamén a claridade na presentación (Comp01, H/D01, H/D03).

Avaliación Continua (AC)

A avaliación continua consta de dúas probas intermedias presenciais, tamén valoradas sobre 10 puntos. Nelas traballaranse progresivamente os contidos do curso, e valoraranse tanto a adquisición de coñecementos como o desenvolvemento de habilidades e competencias. Cada proba incluirá:

* Cuestións teóricas (33%): avalían a asimilación progresiva de contidos fundamentais e o uso axeitado da linguaxe matemática (Con01, Con02, Con04).

* Cuestións prácticas (33%): miden a capacidade para aplicar técnicas matemáticas na resolución de problemas concretos (Con05, H/D01, H/D04).

* Problemas ou exercicios (33%): avalían a competencia para afrontar situacións novas, argumentar solucións e comunicar resultados de forma clara (Comp01, Comp02, H/D01, H/D03, H/D07).

A nota da avaliación continua calcularase coa seguinte fórmula:

AC = 1/2 * P1 + 1/2 * P2,

onde P1 e P2 son as notas obtidas nas dúas probas intermedias.

Nota Final (NF)

A nota final da materia calcularase coa fórmula:

NF = max{AF, 0.3 * AC + 0.7 * AF}

Esta fórmula recoñece o traballo continuado do estudante e a súa evolución ao longo do curso, ao tempo que garante unha avaliación final rigorosa e equitativa.

Considerarase Non Presentado ao estudante que, ao finalizar o período docente, non estea en condicións de superar a materia sen realizar o exame final e non se presente a dita proba.

Segunda Oportunidade

A avaliación na segunda oportunidade seguirá o mesmo esquema, cun exame final equivalente e común a todos os grupos, que avaliará coñecementos, habilidades e competencias nos mesmos termos que na primeira convocatoria.

Consideracións adicionais

Aínda que as actividades de avaliación continua e o exame final poden variar entre os diferentes grupos, coordinaranse para garantir que todos os grupos da materia reciban unha formación equivalente.

Nos casos de realización fraudulenta das probas ou exames (plaxios ou uso indebido das tecnoloxías), aplicarase o recollido na normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión das cualificacións.

HORAS TOTAIS

225 horas: 86 horas presenciais e 139 horas non presenciais.

DOCENCIA PRESENCIAL NA AULA

(CLE) Clases expositivas (42 horas)

(CLIL) Clases interactivas de laboratorio (42 horas)

(TGMR) Tutorías en grupo moi reducido (2 horas)

TEMPO DE TRABALLO PERSONAL NON PRESENCIAL

As horas de traballo dependerán do alumnado. Por termo medio, estímase que cada alumno/a deberá realizar 139 horas de traballo.

Cursar a materia "Introdución á Análise Matemática"