Derivación e integración de funciones de una variable real

Comprender y aplicar los conceptos fundamentales de la derivación de funciones reales de una variable, incluyendo sus principales reglas, propiedades y teoremas asociados (Rolle, valor medio, L’Hôpital, etc.).

Analizar el comportamiento de funciones mediante derivadas de orden superior, identificando extremos relativos, puntos de inflexión y elaborando representaciones gráficas.

Comprender el concepto de integral definida a partir de su construcción formal, y aplicar sus propiedades para el cálculo efectivo de integrales.

Relacionar derivación e integración mediante el teorema fundamental del cálculo, y emplear técnicas como el cambio de variable y la integración por partes para calcular primitivas.

Aplicar el cálculo integral a problemas geométricos y analíticos, incluyendo el cálculo de áreas, longitudes, volúmenes, áreas de revolución e integrales impropias.

Los contenidos de la materia se dividen en dos bloques:

Bloque 1: Derivación de funciones de una variable.

Tema 1. Concepto de derivada y propiedades (9h CLE)
Concepto de derivada.
Regla de la cadena y derivada de la función inversa.
Derivadas de las funciones elementales.
Teoremas de Rolle y del valor medio.
Monotonía y derivación. Regla de L’Hopital.

Tema 2. Derivadas de orden superior y propiedades (9h CLE)
Extremos relativos.
El polinomio de Taylor. Fórmulas del resto.
Caracterización de extremos relativos.
Puntos de inflexión.
Representación gráfica de funciones de una variable real.

Bloque 2: Integración de funciones de una variable.

Tema 3. Integral definida y propiedades (9h CLE)
Construcción de la integral de Riemann. Sumas de Darboux. Sumas de Riemann.
Funciones integrables.
Propiedades de la integral.

Tema 4. Relación entre derivación e integración (9h CLE)
Teorema fundamental del Cálculo Integral.
Teorema del cambio de variable.
Primitivas elementales. Integración por partes.
Cálculo de primitivas.

Tema 5. Aplicaciones del cálculo integral (3h CLE)
Cálculo de áreas planas.
Longitudes de gráficas.
Volúmenes y áreas de revolución.

Tema 6. Integrales impropias (3h CLE)
Integrales impropias.
Criterios de convergencia.

Bibliografía Básica

ABBOTT, S. (2015) Understanding Analysis. Springer (SpringerLink eBook Collection – Mathematics & Statistics, https://link-springer-com.ezbusc.usc.gal/book/10.1007/978-1-4939-2712-8)

APOSTOL, T. M. (1977) Análisis Matemático. Reverté.

BARTLE, R. G., SHERBERT, D. R. (1999) Introducción al Análisis Matemático de una variable (2ª Ed.). Limusa Wiley.

Bibliografía complementaria

LARSON, R. HOSTETLER, R. P., EDWARDS, B. H. (2006) Cálculo (8ª Ed.). McGraw-Hill.

MAGNUS, R. (2020) Fundamental Mathematical Analysis. Springer (SpringerLink eBook Collection – Mathematics & Statistics, https://link-springer-com.ezbusc.usc.gal/book/10.1007/978-3-030-46321-2).

PISKUNOV, N. (1978) Cálculo Diferencial e Integral. Montaner y Simón.

SPIVAK, M. (1978) Calculus. Reverté.

Los resultados del proceso de formación y de aprendizaje de esta asignatura son:

Conocimientos:

Con01: Conocer los conceptos, métodos, aplicaciones y resultados más importantes de las distintas ramas de las Matemáticas.

Con02: Conocer, comprender y utilizar el lenguaje matemático para elaborar y entender demostraciones y plantear modelos matemáticos.

Con03: Conocer demostraciones de los teoremas relevantes de las distintas ramas de las Matemáticas.

Con04: Asimilar la definición de objetos matemáticos, relacionarlos con otros y ser capaz de utilizarlos en diferentes contextos.

Con05: Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema y determinar las herramientas matemáticas apropiadas para abordarlo.

Habilidades o destrezas:

H/D01: Aplicar tanto los conocimientos teóricos-prácticos adquiridos como la capacidad de análisis y de abstracción en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en
contextos académicos como profesionales.

H/D02: Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas.

H/D03: Organizar y planificar el trabajo de forma adecuada.

H/D04: Comprobar o contrastar argumentos y razonamientos, identificando errores y proponiendo revisiones o contraejemplos.

H/D06: Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico.

H/D07: Elaborar demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas.


Competencias:

Comp01: Reunir e interpretar datos, información y resultados relevantes, obtener conclusiones y emitir informes razonados en problemas científicos, tecnológicos o de otros ámbitos que requieran el uso de herramientas matemáticas.

Comp02: Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas en Matemáticas tanto a un público especializado como no especializado.

Comp03: Estudiar y aprender de forma autónoma nuevos conocimientos y técnicas de las diferentes ramas de las Matemáticas.

Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC en vigor.

Las clases expositivas consistirán básicamente en lecciones impartidas por el/la profesor/a, dedicadas a la exposición de los contenidos teóricos y a la resolución de algunos problemas o ejercicios. A veces, el modelo se aproximará a la lección magistral y otras se procurará una mayor implicación del alumnado. Se trabajarán, sobre todo, la adquisición de los conocimientos Con01, Con02, Con03, Con04 y Con05.

Las clases interactivas irán encaminadas, en unos casos, a la adquisición de habilidades prácticas y, en otros, servirán para la ilustración inmediata de los contenidos teórico-prácticos, mediante la resolución de aplicaciones de la teoría, problemas o ejercicios. Se trabajarán, sobre todo, las habilidades o destrezas H/D01, H/D04 yH/D07 y las competencias Comp01 y Comp02.

Las tutorías permitirán atender a los/as estudiantes para discutir cuestiones concretas sobre las tareas encomendadas o resolver dudas sobre la materia.

Todas las tareas del alumnado (estudio, lecturas, ejercicios, prácticas…) serán orientadas por los/as docentes en las clases interactivas y las sesiones de tutoría en grupo muy reducido. Servirán para reforzar, en particular, las habilidades o destrezas H/D02, H/D03 y H/D06 y las competencias Comp01, Comp02 y Comp03.

Se empleará el curso virtual o la plataforma Teams como mecanismo para hacer llegar al alumnado los recursos necesarios para el desarrollo de la materia (vídeos explicativos, apuntes, boletines de ejercicios, etc.).

Las metodologías docentes empleadas en la materia combinan distintos enfoques con el fin de favorecer una comprensión sólida y aplicada de los contenidos.

En las clases expositivas se utilizará preferentemente la clase magistral, orientada a la presentación estructurada de los conceptos teóricos fundamentales.

Las clases interactivas se centrarán en la resolución de problemas y el estudio de casos, fomentando la participación activa del alumnado y la aplicación práctica de los contenidos.

Por su parte, en las tutorías se orientará al estudiante en la resolución autónoma de problemas, promoviendo el aprendizaje independiente y el desarrollo de habilidades analíticas y críticas.

Esta combinación metodológica busca facilitar tanto la adquisición de conocimientos, como el desarrollo de competencias y habilidades.

La evaluación de la asignatura combina evaluación continua y evaluación final, de forma coordinada entre los distintos grupos expositivos. El objetivo es comprobar el grado de adquisición de los conocimientos, competencias y destrezas definidos para la materia.

Evaluación Final (EF)

La evaluación final consistirá en un examen escrito valorado sobre 10 puntos. Permitirá evaluar de forma global la comprensión de los contenidos teóricos, la capacidad de razonamiento formal, y la aplicación de técnicas matemáticas a la resolución de problemas. El examen se desglosa del siguiente modo:

* Enunciado y demostración de lemas, proposiciones, teoremas y corolarios (25%): evalúa conocimientos teóricos (Con01, Con03), manejo del lenguaje formal (Con02) y destrezas en la elaboración de demostraciones (H/D07).

* Resolución de cuestiones teóricas (25%): evalúa comprensión conceptual, capacidad de argumentación y relación entre conceptos (Con02, Con04, H/D04) y destrezas en la elaboración de demostraciones (H/D07).

* Resolución de cuestiones prácticas (25%): evalúa el dominio de técnicas específicas y su aplicación (Con05, H/D01).

* Resolución de problemas o ejercicios (25%): mide la capacidad para analizar y resolver problemas matemáticos, valorando también la claridad en la presentación (Comp01, H/D01, H/D03).

Evaluación Continua (EC)

La evaluación continua consta de dos pruebas intermedias presenciales, también valoradas sobre 10 puntos. En ellas se trabajarán progresivamente los contenidos del curso, y se valorará tanto la adquisición de conocimientos como el desarrollo de habilidades y competencias. Cada prueba incluirá:

* Cuestiones teóricas (33%): evalúan la asimilación progresiva de contenidos fundamentales y el uso adecuado del lenguaje matemático (Con01, Con02, Con04).

* Cuestiones prácticas (33%): miden la capacidad para aplicar técnicas matemáticas en la resolución de problemas concretos (Con05, H/D01, H/D04).

* Problemas o ejercicios (33%): evalúan la competencia para enfrentar situaciones nuevas, argumentar soluciones y comunicar resultados de forma clara (Comp01, Comp02, H/D01, H/D03, H/D07).

La nota de la evaluación continua se calculará con la siguiente fórmula:

EC=1/2*P1+1/2*P2,

donde P1 y P2 las notas obtenidas en las dos pruebas intermedias.

Nota Final (NF)

La nota final de la asignatura se calculará con la fórmula:

NF=max{EF, 0.3 * C + 0.7 * EF}

Esta fórmula reconoce el trabajo continuado del estudiante y su evolución a lo largo del curso, al tiempo que garantiza una evaluación final rigurosa y equitativa.

Se considerará No Presentado al estudiante que, al finalizar el periodo docente, no esté en condiciones de superar la asignatura sin realizar el examen final y no se presente a dicha prueba.

Segunda oportunidad

La evaluación en la segunda oportunidad seguirá el mismo esquema, con un examen final equivalente y común a todos los grupos, que evaluará conocimientos, habilidades y competencias en los mismos términos que en la primera convocatoria.

Consideraciones adicionales

Aunque las actividades de evaluación continua y el examen final pueden variar entre los diferentes grupos, se coordinarán para asegurar que todos los grupos de la asignatura reciban una formación equivalente.

Para los casos de realización fraudulenta de los tests o pruebas (plagios o uso indebido de las tecnologías) será de aplicación lo recogido en la normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de calificaciones.

HORAS TOTALES

225 horas: 86 horas presenciales y 139 horas no presenciales.

DOCENCIA PRESENCIAL EN EL AULA

(CLE) Clases expositivas (42 horas)

(CLIL) Clases interactivas de laboratorio (42 horas)

(TGMR) Tutorías en grupo muy reducido (2 horas)

TIEMPO DE TRABAJO PERSONAL NO PRESENCIAL

Las horas de trabajo dependerá del alumnado. Por término medio se estiman 139 horas por alumno.

Cursar la materia "Introdución á Análise Matemática".