Créditos ECTS Créditos ECTS: 5
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 85 Horas de Titorías: 5 Clase Expositiva: 20 Clase Interactiva: 15 Total: 125
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Departamento externo vinculado ás titulacións, Estatística, Análise Matemática e Optimización
Áreas: Área externa M.U en Técnicas Estatísticas (2ªed), Estatística e Investigación Operativa
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
O obxectivo do curso é que o alumnado adquira uns coñecementos xerais dos Procesos Estocásticos, a través do estudo de procesos tipo, as súas aplicacións na modelización de fenómenos aleatorios e como ferramenta de probabilidade para a Estatística.
TEMA 1. INTRODUCIÓN AOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS
1.1 Definición e conceptos básicos.
1.2 Tipos básicos de procesos.
1.3 Dous procesos importantes: o proceso de Poisson e o movemento Browniano.
TEMA 2. CADEAS DE MARKOV EN TEMPO DISCRETO
2.1 Definicións e propiedades básicas.
2.2 Probabilidades de transición. Ecuacións de Chapman-Kolmogorov.
2.3 Clasificación de estados.
2.4 Existencia da distribución estacionaria e teoremas de converxencia.
2.5 Condición de equilibrio detallado.
TEMA 3. CADEAS DE MARKOV EN TEMPO CONTINUO
3.1 Definición e propiedades básicas. Exemplos: procesos de Poisson, procesos de nacemento e morte, modelos multiestado.
3.2 Tasas instantáneas de salto e ecuacións de Kolmogorov.
3.3 Comportamento asintótico. Condición de equilibrio detallado.
TEMA 4. MARTINGALAS
4.1 Elementos de Probabilidade e Esperanza condicionada.
4.2 Definición de martingala.
4.3 Propiedades básicas.
4.4 Teorema do tempo de parada opcional.
4.5 Converxencia de martingalas.
4.6 Martingalas en tempo continuo.
TEMA 5. MOVEMENTO BROWNIANO
5.1 Movemento Browniano: motivación e definición.
5.2 Propiedades básicas.
5.3 Simulación do movemento browniano.
5.4 Propiedades do movemento browniano como martingala.
5.5 Propiedades markovianas do movemento browniano. O principio de reflexión.
TEMA 6. CONVERXENCIA DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS
6.1 Recordatorio da converxencia en distribución de variables aleatorias.
6.2 Converxencia en distribución en espazos métricos.
6.3 Exemplos notables: o espazo euclideo e o espazo C[0,1].
6.4 Compacidade relativa e tightness. O Teorema de Prohorov.
6.5 O espazo de Skorohod, D[0,1].
6.6 O teorema de Donsker.
6.7 Converxencia de procesos empíricos.
TEMA 7. INTEGRACIÓN ESTOCÁSTICA
7.1 Definición da integral de Itô.
7.2 Propiedades básicas.
7.3 Fórmula de Itô e aplicacións.
TEMA 8. ECUACIÓNS DIFERENCIAIS ESTOCÁSTICAS
8.1 Modelo xeral e exemplos notables de ecuacións diferenciais estocásticas.
8.2 Simulación de ecuacións diferenciais estocásticas.
8.2 Estimación de ecuacións diferenciais estocásticas.
Bibliografía básica
BILLINGSLEY, P. (1999). Convergence of Probability Measures (second edition). Wiley.
DURRETT, R. (2012). Essentials of Stochastic Processes (second edition). Springer.
IACUS, S.M. (2008). Simulation and inference for stochastic differential equations. Springer.
Bibliografía complementaria
BASS, R.F. (2011). Stochastic Processes. Cambridge University Press.
BATH, U. N. (2002). Elements of Applied Stochastic Processes (third edition). John Wiley & Sons.
BATTACHARYA, R.N. y WAYMIRE, E.C. (2009). Stochastic Processes with Applications (revised edition). Siam.
GRINSTEAD, C.M. y SNELL, J.L. (1997). Introduction to Probability. American Mathematical Society.
KARLIN, S. y TAYLOR, H.M. (1975). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press.
KARLIN, S. y TAYLOR, H.M. (1981). A Second Course in Stochastic Processes. Academic Press.
KULKARNI, V.G. (2010). Modeling and Analysis of Stochastic Systems (second edition). Chapman & Hall.
MIKOSCH, T. (1998). Elementary Stochastic Calculus, with Finance in View. World Scientific Publishing.
MÖRTERS, P. y PERES, Y. (2010). Brownian Motion. Wiley.
ROSS, S.M. (1996). Stochastic Processes (2nd Edition). John Wiley & Sons.
STEELE, J.M. (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer.
WILLIAMS, D. (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press.
Nesta materia traballaranse as competencias básicas, xerais e transversais recollidas na memoria do título. Indícanse a continuación cales son as competencias específicas que se potenciarán nesta materia:
[CE1] Coñecer, identificar, modelar, estudar e resolver problemas complexos de Estatística e Investigación operativa, nun contexto científico, tecnolóxico ou profesional, xurdidos en aplicacións reais.
[CE3] Adquirir coñecementos avanzados dos fundamentos teóricos subxacentes ás distintas metodoloxías da Estatística e a Investigación Operativa, que permitan o seu desenvolvemento profesional especializado.
[CE4] Adquirir as destrezas necesarias no manexo teórico-práctico da teoría da probabilidade e as variables aleatorias que permitan o seu desenvolvemento profesional no ámbito científico/académico, tecnolóxico ou profesional especializado e multidisciplinar.
[CE5] Afondar nos coñecementos nos fundamentos teórico-prácticos especializados do modelado e estudo de distintos tipos de relacións de dependencia entre variables estatísticas.
[CE6] Adquirir coñecementos teórico-prácticos avanzados de distintas técnicas matemáticas, orientadas específicamente á axuda na toma de decisións, e desenvolver a capacidade de reflexión para avaliar e decidir entre distintas perspectivas en contextos complexos.
[CE8] Adquirir coñecementos teórico-prácticos avanzados das técnicas destinadas á realización de inferencias e contrastes relativos a variables e parámetros dun modelo estatístico, e saber aplicalos con autonomía suficiente nun contexto científico, tecnolóxico ou profesional.
[CE10] Adquirir coñecementos avanzados sobre metodoloxías para a obtención e o tratamento de datos desde distintas fontes, como enquisas, internet, ou entornos "na nube".
A actividade presencial do alumnado será de 35 horas entre docencia expositiva e interactiva, distribuídas en sesións de dúas horas. Na parte expositiva o profesorado fará uso de presentacións multimedia, mentras que na parte interactiva o alumnado resolverá distintas cuestións plantexadas sobre os contidos da materia. Tamén se resolverán algúns problemas tipo, de maneira que o alumnado poida traballar sobre os boletíns de exercicios que se lle facilitarán. Desenvolverase na clase algún exemplo de simulación utilizado o loxical R.
Respecto ao material para o seguimento da materia, a maiores da bibliografía recomendada, o alumnado disporá de material docente elaborado para a materia dispoñible a través de plataforma web do máster.
De acordo coa organización das sesións expositivas e interactivas en función dos temas (véxase apartado de metodoloxía docente), a avaliación da aprendizaxe realizarase como se detalla a continuación:
- Avaliación continua (exercicios, cuestións, pequenos proxectos): 40%
- Exame escrito: 60%
Na segunda oportunidade de avaliación (recuperación), efectuarase un exame e a nota final será o máximo de tres cantidades: a nota da avaliación ordinaria, a nota do novo exame, e a media ponderada do novo exame e a avaliación continua.
Presentación á avaliación: considérase que o alumno concorre a unha convocatoria cando participa en actividades que lle permitan obter, cando menos, un 50% da avaliación final.
As competencias básicas e transversais avalíanse tanto nos procesos de avaliación continua como no exame. As competencias xerais CG1, CG2, CG4 e CG5, as básicas CB6, CB7 e CB9 e as transversais CT1 e CT3 avalíanse no exame e na avaliación continua, mentres que a competencia xeral CG3, as básicas CB8 e CB10 e as transversais CT4 e CT5 avalíanse na avaliación continua. Das competencias específicas, tanto a avaliación continua como o exame atenden ás competencias CE1, CE3, CE4, CE5, CE6, CE8, mentres que a avaliación continua atende á competencia CE10.
O tempo de traballo necesario para superar esta materia, depende obviamente da destreza e habilidades do alumnado, así como dos seus coñecementos de probabilidade. En xeral, sobre 1.5 horas por cada hora de sesión expositiva (para revisión de conceptos e consulta bibliográfica) e unha hora de traballo por cada hora de docencia interactiva, debería resultar suficiente. Para os exercicios que se proporán, considéranse 10 horas de traballo persoal. Para o exame final (completar a avaliación), contabilízanse 3 horas.
A asistencia ás sesións expositivas e interactivas é fundamental para o seguimento e superación da materia. O alumnado deberá realizar tódalas actividades recomendadas polo profesorado (resolución de problemas, revisión de bibliografía e exercicios prácticos) para superar con éxito a materia.
Infórmase de que os contidos desta materia inclúen demostracións de probabilidade con alto contenido matemático. Recoméndase polo tanto acudir á materia cun alto nivel de destreza e interese polos resultados matemáticos relacionados coa Probabilidade.
O desenvolvemento dos contidos da materia levarase a cabo tendo en conta que as competencias a adquirir polo alumnado deben cumprir co nivel MECES3. Os contidos que se inclúen nesta materia son técnicamente avanzados e analizaranse cun enfoque eminentemente teórico, se ben se presentarán algunhas aplicacións de carácter práctico.
Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas, será de aplicación o recollido nas respectivas normativas das universidades participantes no Máster en Técnicas Estatísticas.
Esta guía e os criterios e metodoloxías nela descritos están suxeitos ás modificacións que se deriven de normativas e directrices das universidades participantes no Máster en Técnicas Estatísticas.
Cesar Andres Sanchez Sellero
Coordinador/a- Departamento
- Estatística, Análise Matemática e Optimización
- Área
- Estatística e Investigación Operativa
- Teléfono
- 881813208
- Correo electrónico
- cesar.sanchez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
| 20.05.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 04 |
| 04.07.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 04 |