Créditos ECTS Créditos ECTS: 3
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 51 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 9 Clase Interactiva: 12 Total: 75
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Álxebra
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
Proporcionar ao alumno unha formación básica en Xeometría Alxébrica, que lle permita comprender os problemas que esta aborda.
Ilustrar geométricamente ferramentas e resultados básicos do Álxebra Conmutativa.
Desenvolver a xeometría dos conxuntos de solucións de sistemas de ecuacións alxébricas no espazo afín e de sistemas de ecuacións alxébricas no espazo proxectivo. Introduciremos a noción de feixe de funcións regulares sobre un espazo topolóxico para unificar ambos os puntos de vista e varias áreas do Álxebra e a Xeometría. Comprender a utilidade da estrutura de variedade.
1. Conxuntos alxebraicos afínes e funcións regulares. (5h)
1.1 Conxuntos alxebraicos afíns no espazo afin. Topoloxía de Zariski.
1.2 Aplicacións polinómicas e aneis de coordenadas.
1.3 Exemplos de conxuntos alxebraicos afíns e aneis de coordenadas.
1.4 Variedades afíns. Funcións regulares.
2. Funcións racionais e morfismos. (5h)
2.1 Feixes de funcións.
2.2 Feixe estrutural dun conxunto algebraico afín.
2.3 Anel local dun punto e dunha subvariedade.
2.4 Morfismos regulares.
2.5 Produto de conxuntos alxebraicos.
3. Variedades. (5h)
3.1 Prevariedades. Corpo de funcións racionais.
3.2 O axioma de Hausdorff: Noción de separación.
3.3 Variedades. Morfismos dominantes. Equivalencia birracional.
3.4 Aplicacións racionais entre variedades.
4. Estudo Local. Variedades non singulares. (5h)
4.1 O teorema principal de Zariski.
4.2 Espazo tanxente e singularidade. Cono tanxente e espazo tanxente.
4.3 Puntos non singulares.
4.4 Non singularidade e diferenciais.
4.5 Variedades normais e morfismos.
5. Variedades proxectivas. (5h)
5.1 Estrutura alxebraica do espazo proxectivo n-dimensional.
5.2 O espazo proxectivo é unha variedade.
5.3 Construccións e exemplos de morfismos.
5.4 Espazos alxebraicos completos.
5.5 Variedades de Graßmann.
6. Dimensión. (3h)
6.1 Caracterización topolóxica da dimensión.
6.2 Dimensión como grao de transcendencia.
6.3 Interseccións nos espazos afín e proxectivo.
6.4 Morfismos finitos. Teorema da normalización de Nöther.
6.5 Fibras. Morfismos e dimensión.
Bibliografía básica
Gathman, A.: Algebraic Geometry, notes Technische Universität Kaiserslautern, 2022,
https://agag-gathmann.math.rptu.de/de/alggeom.php
Kempf, G. R.: Algebraic Varieties, London Math. Soc. Lecture Notes Series, 172, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Kunz, E.: Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhäuser, Boston, 1985.
J.S. Milne: Algebraic Geometry, disponible en: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ag.html
Bibliografía complementaria
Bump, Daniel.: Algebraic geometry. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, Nueva Jersey, 1998.
Dieudonné, J.: Cours de géométrie algébrique, 2/ Précis de géométrie algébrique élémentaire, Presses Univ. France, París, 1974.
Dieudonné, J.: History of Algebraic Geometry, Wadsworth Advanced Books & Software, Monterrey (California), 1985.
Fulton, W.: Algebraic Curves, W. A. Benjamin, Nueva York, 1969.
Hartshorne, R.: Algebraic Geometry, Graduate Texts in Math. 52, Springer–Verlag, Heidelberg, 1977
Hulek, K.: Elementary Algebraic Gaometry, Student Mathematical Library, Volume 20, AMS, 2003.
Mumford, D.: The Red Book of Varieties and Schemes, Lecture Notes in Math. 1358, Springer–Verlag, Heidelberg, 1988.
Perrin, D.: Algebraic geometry. An introduction. Springer-Verlag London, 2008
CG01 - Introducir na investigación aos e as estudantes, como parte integrante dunha formación profunda, preparándoos para a eventual realización posterior dunha tese doutoral
CG02 - Adquisición de ferramentas matemáticas de alto nivel para diversas aplicacións cubrindo as expectativas de graduados en matemáticas e outras ciencias básicas.
CG03 - Coñecer o amplo panorama da matemática actual, tanto nas súas liñas de investigación, como en metodoloxías, recursos e problemas que aborda en diversos ámbitos
CB6 - Posuír e comprender coñecementos que acheguen unha base ou oportunidade de ser orixinais no desenvolvemento e/ou aplicación de ideas, a miúdo nun contexto de investigación
CB10 - Que os estudantes posúan as habilidades de aprendizaxe que lles permitan continuar estudando dun modo que haberá de ser en gran medida autodirixido ou autónomo.
CE01 - Capacitar para o estudo e a investigación en teorías matemáticas en desenvolvemento.
Clases de teoría con exposición por parte do profesor.
Sesións de problemas nas que os estudantes propoñen as súas solucións e se debate conxuntamente a súa corrección coa orientación do profesor
Exposicións de temas do programa por parte dos alumnos.
Terase en conta para a cualificación do alumno:
- Participación na clase. (10%)
- Realización de exercicios propostos e exposición das súas solucións en clase. (20%)
- Exame final oral ou escrito dependendo do número de alumnos. (70%)
Por normativa: "A cualificación do alumno non será inferior á do exame final nin á obtida ponderándoa coa avaliación continua, dándolle a esta última un peso non inferior ao 25%.".
Unhas 6 horas semanais de traballo (75 horas por cuadrimestre, incluíndo nelas as clases presenciais que serán entre 2 e 3 por semana).
Son necesarios certos coñecementos previos de Álxebra Conmutativa. Son suficientes os que se imparten na materia Álxebra Conmutativa.
Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións
Leovigildo Alonso Tarrio
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Álxebra
- Teléfono
- 881813159
- Correo electrónico
- leo.alonso [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
| Mércores | |||
|---|---|---|---|
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 10 |
| Xoves | |||
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_01 | Castelán | Aula 10 |
| 28.05.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 10 |
| 07.07.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 10 |