Series Funcionais e Integración de Riemann en varias Variables Reais

Comprender, coñecer e manexar os principais conceptos, resultados e métodos relativos aos contidos do programa, que teñen unha importancia fundamental na Análise Matemática e, máis inmediatamente para o alumno, nalgunhas materias do Grao en Matemáticas, como, por exemplo, as relativas á Análise Complexa, Análise Funcional ou Integración de Lebesgue e Series de Fourier.

Os mencionados contidos pódense englobar en dous grandes bloques. Nun destes bloques, introdúcense as sucesións e as series de funcións, para as que se estudarán distintas formas de converxencia. No outro bloque, ampliaranse os coñecementos (adquiridos no primeiro curso) relativos á integración de funcións reais, presentando os conceptos e técnicas básicas das integrais impropias de funcións reais dunha variable real e das integrais múltiples no sentido de Riemann.

A consecución dos obxectivos pasará por coñecer os contidos teóricos da materia e ser quen de relacionalos e saber aplicalos na práctica en problemas concretos de diversos tipos, ocasionalmente, se cadra, coa axuda do ordenador. Cando se requira o uso dalgún programa informático, farase uso do programa MAPLE (a nivel de usuario).

I) INTEGRAIS IMPROPIAS DE FUNCIÓNS DUNHA VARIABLE REAL (6 horas expositivas)

1.1 Integrais impropias
Integración en intervalos non compactos. Integrais converxentes e diverxentes. Propiedades da integral impropia. Condición de Cauchy para a converxencia dunha integral.
1.2 Criterios de converxencia
Caracterización da converxencia de integrais de funcións non negativas. Criterios de comparación, comparación por cociente e comparación por paso ao límite. Estudo dalgunhas integrais de referencia. Converxencia condicional e converxencia absoluta de integrais. Criterio de Dirichlet.
1.3 Integrais impropias e Series numéricas.

II) SUCESIÓNS E SERIES FUNCIONAIS (12 horas expositivas)

2.1 Sucesións de funcións
Converxencia puntual e converxencia uniforme. Condición de Cauchy para a converxencia uniforme. Resultados de continuidade, derivabilidade e integrabilidade da función límite.
2.2 Series de funcións
Converxencia puntual, absoluta e uniforme dunha serie de funcións. Condición de Cauchy para a converxencia uniforme dunha serie. Criterio maiorante de Weierstrass. Resultados de continuidade, derivabilidade e integrabilidade da función suma.
2.3 Series de potencias
Raio de converxencia. Fórmula de Cauchy-Hadamard. Converxencia uniforme. Propiedades de continuidade, derivabilidade e integrabilidade da suma. Series de Taylor. Funcións analíticas.

III) INTEGRAL MÚLTIPLE DE RIEMANN (10 horas expositivas)

3.1 Integral de Riemann en rectángulos compactos de Rn
Particións dun rectángulo. Sumas de Riemann. Funcións R-integrables en rectángulos compactos e integral de Riemann. Sumas superiores e inferiores. Integrais inferior e superior. Formulacións equivalentes do concepto de función integrable no sentido de Riemann. Propiedades da integral.
3.2 Funcións integrables no sentido de Riemann en rectángulos compactos
Conxuntos de contido nulo e de medida nula. Caracterización de Lebesgue da integrabilidade no sentido de Riemann. O Teorema de Fubini en rectángulos
3.3 Integración en conxuntos medibles no sentido de Jordan
Conxuntos J-medibles. Integración en conxuntos J-medibles. Funcións R-Integrables en conxuntos J-medibles. Propiedades da integral de Riemann. O teorema de Fubini en conxuntos J-medibles
3.4 O teorema de cambio de variable. Algúns cambios de variable especiais.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

T. M. Apostol: "Análisis Matemático". Ed. Reverté. 1977.
T. M. Apostol: "Calculus, volumen 2". Ed. Reverté. 1973.
R. G. Bartle, D. R. Sherbert: "Introducción al Análisis Matemático de una variable". Ed. Limusa.
R. G. Bartle: "Introducción al Análisis Matemático". Ed. Limusa.
F. Bombal, L .R. Marín, G.Vera: "Problemas de Análisis Matemático. Vol. 3: Cálculo integral". Ed. AC.
J. de Burgos: "Cálculo infinitesimal de una variable". Ed. McGraw-Hill.
J. de Burgos: "Cálculo infinitesimal de varias variables". Ed. McGraw-Hill.
F. del Castillo: "Análisis Matemático II". Ed. Alhambra. 1980.
J.A. Fernández Viña: "Análisis Matemático III, Integración y Cálculo exterior". Ed. Tecnos 1992.
J.A. Fernández Viña, Eva Sánchez Mañes: "Ejercicios y Complementos de Análisis Matematico III". Ed. Tecnos, 1994.
M. Spivak: "Cálculo en Variedades". Ed. Reverté. 1988.

Ademais das competencias básicas, o desenvolvemento da materia contribuirá a acadar, en diferentes medidas, as competencias recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela (USC) (dispoñible na web da Facultade). A saber: CG1, CG2, CG3, CG4 e CG5; CT1, CT2, CT3 e CT5; CE1, CE2, CE3, CE4, CE5, CE6 e CE9.

Estas competencias acadaranse realizando, entre outras, actividades como as seguintes:
• Análise de sucesións e series funcionais, distinguindo as nocións de converxencia puntual e uniforme, mostrando baixo que condicións o límite (a suma) dunha sucesión (serie) funcional herda as propiedades de regularidade dos termos da sucesión (serie) funcional correspondente.
• Estudo do carácter converxente ou diverxente de integrais impropias e, cando sexa posible, cálculo do seu valor.
• Construción da integral de Riemann de funcións de varias variables en conxuntos medibles no sentido de Jordan.
• Estudo do carácter integrable no sentido de Riemann de funcións de varias variables en conxuntos medibles no sentido de Jordan.
• Cálculo de integrais múltiples en conxuntos medibles no sentido de Jordan, empregando o teorema de Fubini, en distintos ordenamentos das variables, e o teorema de cambio de variable con algunhas das transformacións máis habituais no plano e no espazo.
• Emprego do programa MAPLE como apoio para a realización de actividades relacionadas cos contidos da materia, favorecendo entre outras cousas, a comprensión conceptual, o descubrimento e o contraste de resultados propios da materia.

De forma xenérica, empregarase o curso virtual como mecanismo para achegar ó alumnado os recursos necesarios para o desenvolvemento da materia (apuntamentos, vídeos explicativos, documentos, cartafoles de traballo, etc.).

Os contidos da materia son susceptibles de seren desenvolvidos en diferentes ordes; a orde exposta no programa seguirase con flexibilidade durante o curso, segundo as diversas circunstancias o aconsellen, nas horas presenciais destinadas pola Facultade a estes efectos.
Na medida das posibilidades, o desenvolvemento da materia tenderá a potenciar tanto a propia aprendizaxe do alumnado coma a avaliación continuada, mediante diversas propostas de traballo (de carácter voluntario) ó longo do cuadrimestre. Asemade, procurarase fomentar a participación do alumnado nas distintas sesións.
Nas clases co ordenador utilizarase o programa MAPLE como ferramenta de traballo.
Para facilitar a aprendizaxe, elaboraranse materiais didácticos (en galego) de diverso tipo: apuntamentos sobre os contidos do curso; vídeos explicativos; follas de traballo de Maple con utilidades deseñadas e preparadas para que o alumnado poida experimentar con algúns dos conceptos máis relevantes da materia e varios outros, que en ningún caso pretenden substituír o uso dos libros. Estes materiais estarán a disposición do alumnado no Curso Virtual da materia.

No desenvolvemento da materia, intentaremos favorecer, en gran medida, a avaliación continuada (que terá carácter presencial) para aquelas persoas que a desexen, de xeito que, sendo habitualmente asistentes, participativas e traballadoras, terán a oportunidade de acadar unha porcentaxe da súa cualificación final mediante as distintas actividades (voluntarias) que teñan realizado (individualmente ou en grupo, nas aulas ou fóra delas, segundo proceda) e, de ser o caso, entregado ou exposto nos prazos oportunos.

Nesta modalidade de avaliación (que chamaremos Modalidade 1 e presupón a presenza activa nas aulas e a realización de, cando menos, o 80% das actividades que se propoñan ó longo do curso) o exame final (que será presencial) considérase coma unha actividade máis, cuxa realización será imprescindible para que o alumnado poida ser cualificado. Estas actividades servirán para avaliar tanto os coñecementos coma as competencias xerais, específicas e transversais acadadas polo alumnado.

A cualificación final correspondente obterase respectando as indicacións da Memoria de Grao. En todo caso, nas condicións máis favorables a porcentaxe da cualificación correspondente ao traballo do alumnado durante o curso (excluída a proba final), poderá chegar a acadar o 25% da cualificación final máxima (CF), a través dunha fórmula como a seguinte, onde E representa a cualificación do exame final e T é a cualificación obtida polas restantes actividades realizadas no curso:
CF = E + min{T/4, 10 - E}. (Tanto E como T poden tomar valores entre cero e dez).

Para tratar de respectar a autonomía e o ritmo de traballo do alumnado, ofrecerase unha segunda modalidade de avaliación (á que denominaremos Modalidade 2), consistente na realización de, polo menos, unha proba intermedia con previo aviso. Neste caso, a cualificación final obterase coa fórmula CF=máx{E, 0’7E+0’3PI}, onde PI designa a cualificación media das probas intermedias realizadas que, o mesmo que E, tomará valores entre cero e dez
O mesmo que na Modalidade 1, será imprescindible a realización do exame final para ser cualificado nesta modalidade da avaliación.

Ó comezo do cuadrimestre, o alumnado terá a oportunidade de elixir a modalidade de avaliación que desexa, mediante unha escolla que realizará a través do Curso Virtual, nos plazos que se fixen para ese fin. De non realizar escolla nos prazos oportunos, entenderase que se opta pola Modalidade 2.

Para os alumnos do grupo expositivo CLE02 soamente estará accesible a modalidade de avaliación 2, consistente na realización de dúas probas intermedias con previo aviso. Garántese a coordinación e equivalencia formativa de todos os grupos da materia.

Non obstante, no exame final calquera estudante terá a posibilidade de acadar a máxima cualificación numérica, teña ou non realizado as actividades ou a(s) proba(s) intermedia(s) durante o curso. Recibirán a cualificación de Non Presentado aqueles estudantes que non realicen o exame final.

O sistema de avaliación será o mesmo nas dúas oportunidades. En cada caso, o exame final poderá ser distinto para os grupos expositivos. Garántese a coordinación e equivalencia formativa de todos os grupos da materia.

150 horas: 58 horas de clases e 92 horas non presenciais.

Para estudar esta materia é importante ter un bo coñecemento dos contidos das seguintes: “Introdución á Análise Matemática”; “Continuidade e Derivabilidade de funcións dunha variable real”; “Integración de funcións dunha variable real”; “Diferenciación de funcións de varias variables reais”.
Por outra parte, recoméndase estudar con regularidade, levando a materia ó día, e realizar todas as actividades que se propoñan nas aulas (presenciais ou virtuais). Tamén é moi importante consultar todas as dúbidas que vaian xurdindo durante o estudo da materia.