Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 99 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Estadística, Análisis Matemático y Optimización
Áreas: Análisis Matemático
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
Comprender, conocer y manejar los principales conceptos, resultados y métodos relativos a los contenidos del programa, que tienen una importancia fundamental en el Análisis Matemático y, más inmediatamente para el alumnado, en algunas materias del Grado en Matemáticas, como por ejemplo, las relativas al Análisis Complejo, Análisis Funcional, Integración de Lebesgue y Series de Fourier.
Los mencionados contenidos se pueden englobar en dos grandes bloques. En uno de estos bloques, se introducen las sucesiones y las series de funciones, para las que se estudiarán distintas formas de convergencia. En el otro bloque, se ampliarán los conocimiementos (adquiridos en el primer curso) relativos a la integración de funciones reales, presentando los conceptos y técnicas básicas de las integrales impropias de funciones reales de una variable real y de las integrales múltiples en el sentido de Riemann.
La consecución de los objetivos pasará por conocer los contenidos teóricos de la materia y ser capaces de relacionarlos y saber aplicarlos en la práctica en problemas concretos de diversos tipos, ocasionalmente, quizás, con la ayuda del ordenador. Cuando se requiera el uso de algún programa informático, se utilizará el programa MAPLE (a nivel de usuario).
I) INTEGRALES IMPROPIAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL (6 horas expositivas)
1.1 Integrales impropias
Integración en intervalos no compactos. Integrales convergentes y divergentes. Propiedades de la integral impropia. Condición de Cauchy para la convergencia de una integral.
1.2 Criterios de convergencia
Caracterización de la convergencia de integrales de funciones no negativas. Criterios de comparación, comparación por cociente y comparación por paso al límite. Estudio de algunas integrales de referencia. Convergencia condicional y convergencia absoluta de integrales. Criterio de Dirichlet.
1.3 Integrales impropias y Series numéricas.
II) SUCESIONES Y SERIES FUNCIONALES (12 horas expositivas)
2.1 Sucesiones de funciones
Convergencia puntual y convergencia uniforme. Condición de Cauchy para la convergencia uniforme. Resultados de continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la función límite.
2.2 Series de funciones
Convergencia puntual, absoluta y uniforme de una serie de funciones. Condición de Cauchy para la convergencia uniforme de una serie. Criterio maiorante de Weierstrass. Resultados de continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la función suma.
2.3 Series de potencias
Radio de convergencia. Fórmula de Cauchy-Hadamard. Convergencia uniforme. Propiedades de continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la suma. Series de Taylor. Funciones analíticas.
III) INTEGRAL MÚLTIPLE DE RIEMANN (10 horas expositivas)
3.1 Integral de Riemann en rectángulos compactos de Rn
Particiones de un rectángulo. Sumas de Riemann. Funciones R-integrables en rectángulos compactos e integral de Riemann. Sumas superiores e inferiores. Integrales inferior y superior. Formulaciones equivalentes del concepto de función integrable en el sentido de Riemann. Propiedades de la integral.
3.2 Funciones integrables en el sentido de Riemann en rectángulos compactos
Conjuntos de contenido nulo y de medida nula. Caracterización de Lebesgue de la integrabilidade en el sentido de Riemann. El Teorema de Fubini en rectángulos
3.3 Integración en conjuntos medibles en el sentido de Jordan
Conjuntos J-medibles. Integración en conjuntos J-medibles. Funciones R-Integrables en conjuntos J-medibles. Propiedades de la integral de Riemann. El teorema de Fubini en conjuntos J-medibles
3.4 El teorema de cambio de variable. Algunos cambios de variable especiales.
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
T. M. Apostol: "Análisis Matemático". Ed. Reverté. 1977.
T. M. Apostol: "Calculus, volumen 2". Ed. Reverté. 1973.
R. G. Bartle, D. R. Sherbert: "Introducción al Análisis Matemático de una variable". Ed. Limusa.
R. G. Bartle: "Introducción al Análisis Matemático". Ed. Limusa.
F. Bombal, L .R. Marín, G.Vera: "Problemas de Análisis Matemático. Vol. 3: Cálculo integral". Ed. AC.
J. de Burgos: "Cálculo infinitesimal de una variable". Ed. McGraw-Hill.
J. de Burgos: "Cálculo infinitesimal de varias variables". Ed. McGraw-Hill.
F. del Castillo: "Análisis Matemático II". Ed. Alhambra. 1980.
J.A. Fernández Viña: "Análisis Matemático III, Integración y Cálculo exterior". Ed. Tecnos 1992.
J.A. Fernández Viña, Eva Sánchez Mañes: "Ejercicios y Complementos de Análisis Matematico III". Ed. Tecnos, 1994.
M. Spivak: "Cálculo en Variedades". Ed. Reverté. 1988.
Además de las competencias básicas, el desarrollo de la materia contribuirá a alcanzar, en diferentes medidas, las competencias recogidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la Universidade de Santiago de Compostela (USC) (disponible en la web de la Facultad). A saber: CG1, CG2, CG3, CG4 y CG5; CT1, CT2, CT3 y CT5; CE1, CE2, CE3, CE4, CE5, CE6 y CE9.
Estas competencias acadaranse realizando, entre outras, actividades como as seguintes:
• Análisis de sucesiones y series funcionales, distinguiendo las nociones de convergencia puntual y uniforme, y mostrando bajo que condiciones el límite (la suma) de una sucesión (serie) funcional hereda las propiedades de regularidad de los términos de la sucesión (serie) funcional correspondiente.
• Estudio del carácter convergente o divergente de integrales impropias y, cuando sea posible, cálculo de su valor.
• Construcción de la integral de Riemann de funciones de varias variables en conjuntos medibles en el sentido de Jordan.
• Estudio del carácter integrable en el sentido de Riemann de funciones de varias variables en conjuntos medibles en el sentido de Jordan.
• Cálculo de integrales múltiples en conjuntos medibles en el sentido de Jordan, empleando el teorema de Fubini, en distintos ordenamientos de las variables, y el teorema de cambio de variable con algunas de las transformaciones más habituales en el plano y en el espacio.
• Empleo del programa MAPLE como apoyo para la realización de actividades relacionadas con los contenidos de la materia, con el objetivo, entre otras cosas, de favorecer la comprensión conceptual, el descubrimiento y el contraste de resultados propios de la materia.
De forma genérica, se empleará el curso virtual como mecanismo para proporcionar al alumnado los recursos necesarios para el desarrollo de la materia (notas, vídeos explicativos, documentos, carpetas de trabajo, etc.).
Los contenidos de la materia son susceptibles de ser desarrollados en diferentes órdenes; el orden expuesto en el programa se seguirá con flexibilidad durante el curso según las diversas circunstancias lo aconsejen, en las horas presenciales destinadas por la Facultad a estos efectos.
En la medida de las posibilidades, el desarrollo de la materia tenderá a potenciar tanto el propio aprendizaje de los alumnos como la evaluación continua, mediante diversas propuestas de trabajo (de carácter voluntario) a lo largo del cuatrimestre. Al mismo tiempo, se procurará fomentar la participación del alumnado en las distintas sesiones.
En las clases con ordenador se utilizará el programa MAPLE cómo herramienta de trabajo.
Para facilitar el aprendizaje, se elaborarán materiales didácticos (en gallego) de diverso tipo: notas sobre los contenidos del curso; vídeos explicativos; hojas de trabajo de Maple (con utilidades diseñadas y preparadas para que el alumnado pueda experimentar con algunos de los conceptos más relevantes de la materia) y varios otros, que en ningún caso pretenden sustituir el uso de los libros. Estos materiales estarán a disposición del alumnado en el Curso Virtual de la materia.
En el desarrollo de la materia, intentaremos favorecer, en gran medida, la evaluación continua (que tendrá carácter presencial) para aquellos alumnos que la deseen, de suerte que, siendo habitualmente asistentes, participativos y trabajadores, tendrán la oportunidad de conseguir un porcentaje de su calificación final mediante las distintas actividades (voluntarias) que hayan realizado (individualmente o en grupo, en las aulas o fuera de ellas, segundo proceda) y, de ser el caso, entregado o expuesto en los plazos oportunos.
En esta modalidad de evaluación (que llamaremos Modalidad 1 y presupone la presencia activa en las aulas y la realización de, cuando menos, el 80% de las actividades que se propongan a lo largo del curso) el examen final (que será presencial) se considera como una actividad más, cuya realización será imprescindible para que el alumnado pueda ser calificado. Estas actividades servirán para evaluar tanto los conocimientos como las competencias generales, específicas y transversales conseguidas por el alumnado.
La calificación final correspondiente se obtendrá respetando las indicaciones de la Memoria de Grado. En todo caso, en las condiciones más favorables el porcentaje de la calificación correspondiente al trabajo del alumnado durante lo curso (excluida la prueba final), podrá llegar a conseguir el 25% de la calificación final máxima (CF), a través de una fórmula como la siguiente, donde E representa la calificación del examen final y T es la calificación obtenida por las restantes actividades realizadas en el curso: CF = E + mín{T/4, 10 - E}. (Tanto E como T pueden tomar valores entre cero y diez).
Para tratar de respetar la autonomía y el ritmo de trabajo del alumnado, se ofrecerá una segunda modalidad de evaluación (a la que denominaremos Modalidad 2), consistente en la realización de, por lo menos, una prueba intermedia con previo aviso. En este caso, la calificación final se obtendrá con la fórmula CF=máx{E, 0’7E+0’3PI}, donde PI designa la nota media de las dos pruebas intermedias que, al igual que E, tomará valores entre cero y diez
Al igual que en la Modalidad 1, será imprescindible la realización del examen final para ser calificado en esta modalidad de la evaluación.
Al comienzo del cuatrimestre, el alumnado tendrá la oportunidad de elegir la modalidad de evaluación que desee, mediante una elección que realizará a través del Curso Virtual, en los plazos que se fijen para ese fin. De no realizar elección en los plazos oportunos, se entenderá que se opta por la Modalidad 2.
Para los alumnos del grupo CLE02 solamente estará accesible la modalidad de evaluación 2, consistente en la realización de dos pruebas intermedias con previo aviso. Se garantiza la coordinación y la equivalencia formativas de todos los grupos.
No obstante, en el examen final cualquier estudiante tendrá la posibilidad de conseguir la máxima calificación numérica, haya realizado o no las actividades (o la prueba intermedia) durante el curso. Recibirán la calificación de No Presentado aquellos estudiantes que no realicen el examen final.
El sistema de evaluación será el mismo en ambas oportunidades. En cada caso, el examen final podrá ser diferente para los grupos expositivos. Se garantiza la coordinación y equivalencia formativa de todos los grupos de la materia.
150 horas: 58 horas de clases y 92 horas no presenciales.
Para estudiar esta materia es importante tener un buen conocimiemento de los contenidos de las siguientes materias: "Introducción al Análisis Matemático"; "Continuidad y derivabilidad de funciones de una variable real"; "Integración de funciones de una variable real"; "Diferenciación de funciones de varias variables reales".
Por otra parte, se recomienda estudiar con regularidad, llevando la materia al día, y realizar todas las actividades que se propongan en las aulas (presenciales o virtuales). También es muy importante consultar todas las dudas que vayan surgiendo a lo largo del estudio.
Rosa Mª Trinchet Soria
Coordinador/a- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Teléfono
- 881813205
- Correo electrónico
- rosam.trinchet [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidad
Jorge Losada Rodriguez
- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Teléfono
- 881813215
- Correo electrónico
- jorge.losada.rodriguez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Profesor Ayudante Doctor LOU
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 16:00-17:00 | Grupo /CLE_02 | Castellano | Aula 03 |
| 19:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego | Aula 02 |
| Miércoles | |||
| 15:00-16:00 | Grupo /CLIL_05 | Castellano | Aula de informática 3 |
| 16:00-17:00 | Grupo /CLIS_01 | Gallego | Aula 02 |
| 16:00-17:00 | Grupo /CLIL_06 | Castellano | Aula de informática 3 |
| 17:00-18:00 | Grupo /CLIS_02 | Gallego | Aula 03 |
| 17:00-18:00 | Grupo /CLIL_04 | Castellano | Aula de informática 3 |
| Jueves | |||
| 15:00-16:00 | Grupo /CLIS_04 | Castellano | Aula 09 |
| 15:00-16:00 | Grupo /CLIL_03 | Gallego | Aula de informática 3 |
| 16:00-17:00 | Grupo /CLIS_03 | Castellano | Aula 08 |
| 16:00-17:00 | Grupo /CLIL_01 | Gallego | Aula de informática 3 |
| 17:00-18:00 | Grupo /CLIL_02 | Gallego | Aula de informática 4 |
| 20.05.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 10.07.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |