Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais

Introducir ao alumnado no estudo e na resolución práctica das ecuacións en derivadas parciais, con énfase naquelas que regulan procesos físicos reais tales como vibración de cordas, transmisión de calor e distribución de potencial. Como ferramenta necesaria para acadar dito obxectivo, preséntanse previamente os conceptos básicos relativos ás series de Fourier e lévase a cabo un estudo introdutorio sobre a súa converxencia, tanto puntual coma uniforme no intervalo de traballo, e a súa relación coa análise funcional en espazos de Hilbert en xeral e co espazo L^2 en particular.

TEMA 1. Series de Fourier de funcións de L^1(-L,L), con L>0. Núcleos de Dirichlet. Criterios de converxencia puntual de Dini, dos límites laterais da derivada e de Carleson. Teorema de Fejér, funcións absolutamente continuas e converxencia uniforme das series de Fourier. Presentación dos espazos de Hilbert e das súas propiedades fundamentais, con énfase no espazo L^2(-L,L). Completitude do sistema trigonométrico e converxencia das series de Fourier en media cuadrática. O espazo de funcións H^1(-L,L) e outros resultados de converxencia uniforme das series de Fourier. (5 sesións expositivas.)

TEMA 2. Ecuación de ondas en dimensión espacial un. Solución xeral como superposición de ondas. Fórmulas de d'Alembert para resolver problemas de valor inicial. Condicións de compatibilidade e fórmulas de d’Alembert para resolver problemas iniciais que inclúen condicións de fronteira homoxéneas (de tipo Dirichlet, Neumann e mixtas). Unicidade de solución polo método da enerxía. Dependencia continua da solución respecto dos datos iniciais. Expresión en serie das solucións de d’Alembert mediante series de Fourier. Resolución dalgúns problemas non homoxéneos. (4 sesións expositivas.)

TEMA 3. Ecuación da calor en dimensión espacial un. Resolución polo método de Fourier de separación de variables. Aplicación do método de separación de variables a outros tipos de ecuacións con diversas condicións de fronteira homoxéneas (Dirichlet, Neumann e periódicas). Principio do máximo para a ecuación da calor e consecuencias: unicidade e dependencia continua da solución en problemas iniciais con condicións de fronteira de tipo Dirichlet. Resolución dalgúns problemas non homoxéneos. (3 sesións expositivas.)

TEMA 4. Ecuación de Laplace en dúas dimensións. Teoría fundamental das funcións harmónicas. Exemplo de Hadamard. Resolución por separación de variables con distintos tipos de condicións de fronteira en dominios rectangulares do plano. Principio do máximo e consecuencias: unicidade e dependencia continua. (2 sesións expositivas.)

Bibliografía básica:

CAO LABORA, D., FERREIRO SUBRIDO, M. e LÓPEZ POUSO, R. (2023). Series de Fourier: introducción ás ecuacións en derivadas parciais. Esenciais, USC Editora.
LÓPEZ POUSO, R. (2019). Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. Manuais Universitarios, USC Editora.
MYINT-U, T. e DEBNATH, L. (2007). Linear partial differential equations for scientists and engineers, Cuarta Edición. Boston. Birkhäuser. Dispoñible en liña a través de SpringerLink.

Bibliografía complementaria:

EVANS, L. (2002). Partial differential equations. Providence, American Mathematical Society.
HABERMAN, R. (2003). Ecuaciones en derivadas parciales con series de Fourier y problemas de contorno, Tercera Edición. Madrid. Pearson Educación S. A.
KOLMOGOROV, A. N. e FOMÍN, S. V. (1978). Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional, Ed. Mir.
STROMBERG, K. R. (1981). Introduction to classical real analysis. Belmont, CA, Wadsworth Inc.
WEINBERGER, H. F. (1979). Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: con métodos de variable compleja y de transformaciones integrales. Barcelona, Reverté.

Neste apartado e nos seguintes imos ter en conta a listaxe de competencias e as súas referencias segundo se recollen na memoria do Grao en Matemáticas da USC, e que se pode atopar na páxina web da Facultade de Matemáticas da USC.

Cursada esta materia, deberían comprenderse os conceptos estudados nela e aplicar as técnicas que se desenvolven na resolución dos problemas. En particular, o alumnado debería estar en condicións de manexar os resultados relativos aos distintos tipos de converxencia de series de Fourier, en exemplos e aplicacións, e dominar o método de Fourier para a resolución das ecuacións en derivadas parciais de segunda orde clásicas da física. En particular, debería ser quen de resolver ecuacións en derivadas parciais lineais, en casos concretos con significado físico que modelan procesos tales como as vibracións dunha corda cos seus extremos fixos, a transmisión da calor nunha barra e a distribución do potencial nunha placa.

Nas clases expositivas impartirase a parte teórica da materia, ilustrándoa con exemplos para facela máis comprensible. Asemade reservarase algún tempo para resolver exercicios, e as veces proporanse cuestións para implicar aos estudantes na súa discusión. Nesta dinámica traballaranse as competencias básicas CB1 ata CB5, as competencias xerais CG1 ata CG5, e competencias específicas CE1 ata CE6.

Polo que respecta á docencia en grupos reducidos, preténdese lograr unha maior participación do alumnado. Abordaránse problemas e aspectos da materia non tratadas nas clases expositivas e analizaranse polo miudo as partes que adoitan resultar de máis difícil comprensión. Nesas sesións traballaranse as mesmas competencias que nas clases expositivas e, ademais, as competencias específicas CE7 e CE8.

Por último, nas clases de laboratorio nas aulas de informática do centro empregarase MAPLE ou SAGE para realizar cálculos e representacións gráficas, o que servirá de apoio para a resolución de problemas e para a comprensión da materia. Nestas sesións traballaranse as competencias específicas CE7 ata CE9 e as competencias transversais CT1 e CT4.

A docencia expositiva e interactiva será presencial e complementarase co curso virtual da materia, no que o alumnado atopará materiais bibliográficos, boletíns de problemas, vídeos explicativos, etc.

As titorías serán presenciais ou a través do correo electrónico ou da ferramenta institucional MS Teams.

A avaliación realizarase combinando unha avaliación continua formativa cunha proba final.

A avaliación continua formativa consistirá na recollida de 3 tarefas realizadas nas clases ao longo do curso. As tarefas de avaliación continua consistirán na realización de exercicios tipo, redacción de demostracións de resultados teóricos, probas no curso virtual, etc. As datas de todas elas serán anunciadas con antelación para garantir o máximo de participación e aproveitamento, pois non soamente son instrumentos de avaliación, senón, principalmente, exercicios de formación e reforzo das competencias traballadas nas sesións inmediatamente anteriores. Cada estudante recibirá por cada tarefa unha nota comprendida entre 0 e 10 puntos. A falta de asistencia a estas sesión soamente será recuperable en casos debidamente xustificados. As probas de avaliación continua serán similares en todos os grupos da materia.

A nota da avaliación continua formativa será o promedio das notas das tarefas.

A proba final será un exame no que a parte teórica da materia suporá, como mínimo, 3 puntos dos 10 totais. O exame será o mesmo nos dous grupos da materia.

Coa nota da avaliación continua formativa (C) e a nota da proba final (F) calcularase a nota final na materia (NF) segundo a seguinte fórmula:

NF=max{F,0.65*C+0.35*F}

NOTA. É posible superar a materia sen presentarse á proba final (fórmula anterior con F=0) e nese caso entenderase que ten superada a materia na primeira oportunidade. Entenderase como NON PRESENTADO quen ao final do período docente non estea en condicións de superar a materia sen realizar a proba final e non se presente a dita proba.

Na segunda oportunidade empregarase a mesma fórmula para o cómputo da nota final.

TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
Clases expositivas (14 h)
Clases de seminario (14 h)
Clases de laboratorio (14 h)
Titorías en grupos moi reducidos (2 h)
Total horas traballo presencial na aula: 44

TRABALLO PERSOAL DO ESTUDANTE
Estudo autónomo individual ou en grupo (42 h)
Escritura de exercicios, conclusións e outros traballos (15 h)
Programación/experimentación e outros traballos en ordenador (7.5 h)
Lecturas aconselladas, actividades en biblioteca ou similar (5h)

Total horas traballo persoal do estudante: 68.5

TOTAL: 112,5 horas

Para cursar esta materia deberanse manexar con soltura os temas estudados nas materias seguintes: "Diferenciación de funcións de varias variables reais", "Cálculo vectorial e Integración de Lebesgue".
Partindo desta situación, deberase traballar con regularidade e rigor, así como acudir ás clases e participar dun xeito activo, preguntando, tanto na clase como nas titorías, cantas dúbidas se teñan en relación coa materia.