Series de Fourier e Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales

Introducir al alumnado en el estudio y en la resolución práctica de las ecuaciones en derivadas parciales, con énfasis en aquellas que regulan procesos físicos reales tales como vibración de cuerdas, transmisión de calor y distribución de potencial. Como herramienta necesaria para alcanzar dicho objetivo, se presentan previamente los conceptos básicos relativos a las series de Fourier y se lleva a cabo un estudio introductorio sobre su convergencia, tanto puntual como uniforme en el intervalo de trabajo, y su relación con el análisis funcional en espacios de Hilbert en general y con el espacio L^2 en particular.

TEMA 1. Series de Fourier de funciones de L^1(- L, L), con L>0. Núcleos de Dirichlet. Criterios de convergencia puntual de Dini, de los límites laterales de la derivada y de Carleson. Teorema de Fejér, funciones absolutamente continuas y un primer resultado de convergencia uniforme de las series de Fourier. Presentación de los espacios de Hilbert y de sus propiedades fundamentales, con énfasis en el espacio L^2(- L, L). Completitud del sistema trigonométrico y convergencia de las series de Fourier en media cuadrática. El espacio de funciones H^1(- L, L) y otros resultados de convergencia uniforme de las series de Fourier. (5 sesiones expositivas.)

TEMA 2. Ecuación de ondas en dimensión espacial uno. Solución general como superposición de ondas. Fórmulas de d'Alembert para resolver problemas de valor inicial. Condiciones de compatibilidad y fórmulas de d’Alembert para resolver problemas iniciales que incluyen condiciones de frontera homogéneas (de tipo Dirichlet, Neumann y mixtas). Unicidad de solución por el método de la energía. Dependencia continua de la solución respeto de los datos iniciales. Expresión en serie de las soluciones de d’Alembert mediante series de Fourier. Resolución de algunos problemas no homogéneos. (4 sesiones expositivas.)

TEMA 3. Ecuación del calor en dimensión espacial uno. Resolución por el método de Fourier de separación de variables. Aplicación del método de separación de variables a otros tipos de ecuaciones con diversas condiciones de frontera homogéneas (Dirichlet, Neumann y periódicas). Principio del máximo para la ecuación del calor y consecuencias: unicidad y dependencia continua de la solución en problemas iniciales con condiciones de frontera de tipo Dirichlet. Resolución de algunos problemas no homogéneos. (3 sesiones expositivas.)

TEMA 4. Ecuación de Laplace en dos dimensiones. Teoría fundamental de las funciones armónicas. Ejemplo de Hadamard. Resolución por separación de variables con distintos tipos de condiciones de frontera en dominios rectangulares del plano. Principio del máximo y consecuencias: unicidad y dependencia continua. (2 sesiones expositivas.)

Bibliografía básica:

CAO LABORA, D., FERREIRO SUBRIDO, M. e LÓPEZ POUSO, R. (2023). Series de Fourier: introducción ás ecuacións en derivadas parciais. Esenciais, USC Editora.
LÓPEZ POUSO, R. (2019). Series de Fourier y ecuaciones en derivadas parciales. Manuais Universitarios, USC Editora.
MYINT-U, T. e DEBNATH, L. (2007). Linear partial differential equations for scientists and engineers, Cuarta Edición. Boston. Birkhäuser. Dispoñible en liña a través de SpringerLink.


Bibliografía complementaria:

EVANS, L. (2002). Partial differential equations. Providence, American Mathematical Society.
HABERMAN, R. (2003). Ecuaciones en derivadas parciales con series de Fourier y problemas de contorno, Tercera Edición. Madrid. Pearson Educación S. A.
KOLMOGOROV, A. N. e FOMÍN, S. V. (1978). Elementos de la Teoría de Funciones y del Análisis Funcional, Ed. Mir.
STROMBERG, K. R. (1981). Introduction to classical real analysis. Belmont, CA, Wadsworth Inc.
WEINBERGER, H. F. (1979). Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales: con métodos de variable compleja y de transformaciones integrales. Barcelona, Reverté.

En este apartado y en los siguientes vamos a tener en cuenta a lista de competencias y sus correspondientes referencias según se recogen en la memoria del Grado en Matemáticas de la USC, y que se puede encontrar en
http://www.usc.eres/export/sites/default/gl/servicios/sxopra/memorias_g…

Cursada esta materia, deberían comprenderse y saber expresar con rigor los conceptos estudiados en ella y aplicar las técnicas que se desarrollan en la resolución de los problemas. En particular, se debería estar en condiciones de manejar los resultados relativos a los distintos tipos de convergencia de series de Fourier, en ejemplos y aplicaciones, y dominar el método de Fourier en el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden clásicas de la física. En particular, se debería ser capaz de resolver ecuaciones en derivadas parciales lineales, en casos concretos con significado físico que modelan procesos tales como las vibraciones de una cuerda con extremos fijos, la transmisión del calor en una barra y la distribución del potencial en una placa.

En las clases expositivas se impartirá la teoría de la materia, ilustrándola con ejemplos para hacerla más comprensible. También se reservará algún tiempo para resolver ejercicios, y a veces se propondrán cuestiones para implicar a los estudiantes en su discusión. En esta dinámica se trabajarán las competencias básicas CB1 hasta CB5, las competencias generales CG1 hasta CG5, y competencias específicas CE1 hasta CE6.

Por lo que respecta a la docencia en grupos reducidos, se pretende lograr una mayor participación del alumnado. Se abordarán problemas y aspectos de la materia no tratados en las clases expositivas y se analizarán exhaustivamente las partes que suelen resultar de más difícil comprensión. En esas sesiones se trabajarán las mismas competencias que en las clases expositivas y, además, las competencias específicas CE7 y CE8.

Por último, en las clases de laboratorio en las aulas de informática del centro se emplearán MAPLE o SAGE para realizar cálculos y representaciones gráficas, lo que servirá de apoyo para la resolución de problemas y para la comprensión de la materia. En estas sesiones se trabajarán las competencias específicas CE7 hasta CE9 y las competencias transversales CT1 y CT4.

La docencia expositiva e interactiva será presencial y se complementará con el curso virtual de la materia, en el que el alumnado encontrará materiales bibliográficos, boletines de problemas, vídeos explicativos, etc.

Las tutorías serán presenciales o a través del correo electrónico o de la herramienta institucional MS Teams.

La evaluación se realizará combinando una evaluación continua formativa con una prueba final.

La evaluación continua formativa consistirá en la recogida de 3 tareas realizadas en las clases a lo largo del curso. Las tareas de evaluación continua consistirán en la realización de ejercicios tipo, redacción de demostraciones de resultados teóricos, pruebas en el curso virtual, etc. Las fechas de todas ellas serán anunciadas con antelación para garantizar el máximo de participación y aprovechamiento, pues no solamente son instrumentos de evaluación, sino, principalmente, ejercicios de formación y refuerzo de las competencias trabajadas en las sesiones inmediatamente anteriores. Cada estudiante recibirá por cada tarea una nota comprendida entre 0 y 10 puntos. La falta de asistencia a estas sesiones solamente serán recuperables en casos debidamente justificados. Las pruebas de evaluación continua serán similares en todos los grupos de la materia.

La nota de la evaluación continua formativa será el promedio de las notas de las tareas.

La prueba final será un examen en el que la parte teórica de la materia supondrá, como mínimo, 3 puntos de los 10 totales. El examen será el mismo en los dos grupos de la materia.

Con la nota de la evaluación continua formativa (C) y la nota de la prueba final (F) se calculará la nota final en la materia (NF) según la siguiente fórmula:

NF= max{ F,0.65* C+0.35* F}

NOTA. ES posible superar la materia sin presentarse a la prueba final (fórmula anterior con F=0) y en ese caso se entenderá que se ha superado la materia en primera convocatoria. Se entenderá como NO PRESENTADO quien al final del período docente no esté en condiciones de superar la materia sin realizar la prueba final y no se presente a dicha prueba.

En la segunda oportunidad se empleará la misma fórmula para el cómputo de la nota final.

TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA
Clases expositivas (14 h)
Clases de seminario (14 h)
Clases de laboratorio (14 h)
Tutorías en grupos muy reducidos (2 h)
Total horas trabajo presencial en el aula: 44

TRABAJO PERSONAL DEL ESTUDIANTE
Estudio autónomo individual o en grupo (42 h)
Escritura de ejercicios, conclusiones y otros trabajos (15 h)
Programación/experimentación y otros trabajos en ordenador (7.5 h)
Lecturas aconsejadas, actividades en biblioteca o similar (5h)

Total horas trabajo personal del estudiante: 68.5

TOTAL: 112,5 horas

Para cursar esta materia el alumno deberá manejar con soltura los temas estudiados en las materias siguientes: "Diferenciación de funciones de varias variables reales", Cálculo vectorial e Integración de Lebesgue”.
Partiendo de esta situación, deberá trabajar con regularidad y rigor, así como acudir a las clases y participar de una manera activa, preguntando, tanto en la clase como en las tutorías, cuantas dudas le puedan surgir en relación con la materia.