Ecuacións Alxébricas

Despois do estudo dos tópicos habituais en teoría de corpos, a materia está centrada no estudo da Teoría de Galois que relaciona as ecuacións alxébricas coa teoría de corpos e a de grupos. Ademais, permite resolver, de forma sinxela, as conxecturas xeométricas clásicas de construcións con regra e compás: a duplicación do cubo, a trisección do ángulo, a cuadratura do círculo e a construtibilidade de polígonos regulares.

1. Extensións de corpos. (CLE: 6 horas)
O grao dunha extensión.
Extensións alxébricas e finitas.

2. Aplicación ós problemas xeométricos clásicos. (CLE: 4 horas)
Construcións con regra e compás:
Unha aproximación alxébrica.

3. Corpos de escisión. Clausura alxébrica. (CLE: 7 horas)
Teorema de Kronecker.
Existencia e unicidade do corpo de escisión dun polinomio.
Clausura alxébrica dun corpo.

4. Extensións separables e normais. (CLE: 7 horas)
Multiplicidade das raíces dun polinomio. Separabilidade.
Corpos finitos.
Teorema do elemento primitivo.
Extensións normais.

5. Teoría de Galois. (CLE: 5 horas)
Extensións de Galois.
Teorema fundamental da Teoría de Galois.
Extensións ciclotómicas.

6. Resolubilidade de ecuacións por radicais. (CLE: 10 horas)
Grupos resolubles.
Grupo de Galois dun polinomio. O gran teorema de Galois.
Resolubilidade de ecuacións cuadráticas, cúbicas e cuárticas.
Irresolubilidade da quíntica.

7. Aplicacións. (CLE: 3 horas)
Constructibilidade de polígonos regulares. Teorema de Gauss-Wantzel.
Teorema fundamental da Álxebra.

Bibliografía básica:

F. Chamizo: ¡Qué bonita es la la Teoría de Galois!
http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/libreria/fich/APalgebraII04…

D. A. Cox: Galois theory. 2ª ed., John Wiley & Sons, NJ, 2012.

T. Leinster, Galois Theory, University of Edinburgh, 2023.
https://www.maths.ed.ac.uk/~tl/gt/gt.pdf

M. P. López, N. Rodríguez, E. Villanueva: Notas para un curso de Teoría de Galois,
https://www.usc.es/regaca/apuntes/Galois.pdf

J. S. Milne: Fields and Galois Theory,
https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf



Bibliografía complementaria:

D. S. Dummit, R. M. Foote: Abstract algebra. 2ª ed., John Wiley & Sons, NJ, 2004.

M. H. Fenrick: Introduction to the Galois Correspondence, Birkäuser, 1992.

J. B. Fraleigh: A first course in abstract algebra (historical notes by Victor Katz). 8ª ed., Person, 2021.

D. J. H. Garling: A course in Galois Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1986.

J. M. Howie: Fields and Galois Theory, SUMS Springer, London, 2006.

J. Rotman: Galois Theory, Springer-Verlag, NJ, 1998.

I. Stewart: Galois Theory, 4ª ed., CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

Contribuír a acadar as competencias xerais, específicas e transversais recollidas na Memoria do Titulo de Grao en Matemáticas da USC e, en especial, as seguintes (CG3, CG4, CG5, CE4, CT1, CT2 e CT5):


- Aplicar tanto os coñecementos adquiridos como a capacidade de análise e de abstracción na formulación de problemas e na procura das súas solucións.

- Comunicación escrita e oral de coñecementos, métodos, ideas e resultados de Matemáticas.

- Identificación de erros en razoamentos incorrectos.

- Utilización de recursos bibliográficos sobre os temas da materia.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais que figuran na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC.

As clases expositivas consistirán basicamente na presentación dos conceptos teóricos, algúns exemplos e a demostración dos resultados correspondentes (traballando as competencias CE1, CE2, CE5 e CE6).

Nas clases interactivas de laboratorio haberá unha maior implicación do alumno, primando unha pedagoxía máis activa e personalizada, estas clases dedicaranse á resolución de problemas polos alumnos baixo a supervisión dos profesores, servindo ademais para a adquisición de habilidades prácticas (competencias CG3, CG4, CT3, CE1, CE3, CE4 e CE6).

Faranse propostas de cuestións relacionadas coa materia o longo do cuadrimestre (competencias CG4, CG5, CT1, CT5, CE1 e CE3).

Nas titorías en grupos moi reducidos farase un seguimento da aprendizaxe dos alumnos e do seu traballo fóra da clase. Tamén se propoñerán problemas, para realizar en presenza dos profesores (competencias CG3, CG4, CT3 e CE1).

Existirá un curso virtual de apoio á docencia desta materia.

Propoñeranse boletíns de problemas no curso virtual programándoos de forma graduada en relación coa teoría.

O sistema de avaliación será coordinado para os dous grupos da materia.

Prevese como criterio de avaliación a avaliación continua combinada cunha proba final. Esta proba final celebrarase na data fixada pola Facultade de Matemáticas para ese efecto. A proba será a mesma para todos os alumnos da materia.

A avaliación continua consistirá na resolución individual de tarefas (unha ou dúas no curso), e probas (unha ou dúas no curso) que serán as mesmas para os dous grupos.

CÓMPUTO DA CUALIFICACIÓN FINAL

A proba final será presencial tanto na primeira oportunidade como na segunda. Polo menos un 40% da proba final dedicarase á avaliación dos coñecementos teóricos adquiridos polo alumno nas clases expositivas; o alumno terá que ser capaz de demostrar resultados teóricos e responder a cuestións relacionadas. O resto da proba final consistirá na resolución de problemas.

Para o cómputo da cualificación final (F) terase en conta a avaliación continua (C) e a cualificación do exame final (E) e aplicarase a fórmula F=máx(E, 0,3*C+0,7*E).

Estas mesmas porcentaxes serán tamén de aplicación no período extraordinario de xullo.

Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na Normativa de Avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións.

Considerarase "Non presentado" o estudante que non acuda a ningunha das probas finais das dúas oportunidades correspondentes á convocatoria do curso académico.

Seguindo as directrices establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC, o estudante deberá dedicar á preparación da materia o seguinte tempo :

- 58 horas de traballo presencial:
- CLE: 42 horas.
- CIL: 14 horas.
- TIT grupos reducidos: 2 horas.

- 92 horas de traballo persoal, para a realización das seguintes actividades:
- Estudo autónomo (50 horas).
- Resolución de problemas e elaboración de traballos (37 horas).
- Procura de documentación e lecturas recomendadas (5 horas).

Ter cursado previamente a materia Estruturas alxébricas.

Recoméndase a asistencia e participación activa nas clases e titorías, complementada co traballo diario necesario para asimilar os conceptos da materia e realizar as actividades (problemas, traballos) que se irán propoñendo periodicamente.