Ecuaciones Algebraicas

Tras el estudio de los tópicos habituales en teoría de cuerpos, la asignatura se centra en estudio de la Teoría de Galois que relaciona las ecuaciones algebraicas con la teoría de cuerpos y la de grupos. Además, permite resolver, de forma sencilla, los problemas geométricos clásicos de construcciones con regla y compás: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, la cuadratura del círculo y la constructibilidad de polígonos regulares.

1. Extensiones de cuerpos. (CLE: 6 horas)
El grado de una extensión.
Extensiones algebraicas y finitas.

2. Aplicación a los problemas geométricos clásicos. (CLE: 4 horas)
Construcciones con regla y compás:
Una aproximación algebraica.

3. Cuerpos de escisión. Clausura algebraica. (CLE: 7 horas)
Teorema de Kronecker.
Existencia y unicidad del cuerpo de escisión de un polinomio.
Clausura algebraica de un cuerpo.

4. Extensiones separables y normales. (CLE: 7 horas)
Multiplicidad de las raíces de un polinomio. Separabilidad.
Cuerpos finitos.
Teorema del elemento primitivo.
Extensiones normales.

5. Teoría de Galois. (CLE: 6 horas)
Extensiones de Galois.
Teorema fundamental de la Teoría de Galois.
Extensiones ciclotómicas.


6. Resolubilidad de ecuaciones por radicales. (CLE: 9 horas)
Grupos resolubles.
Grupo de Galois de un polinomio. El gran teorema de Galois.
Resolubilidad de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas.
Irresolubilidad de la quíntica.

7. Aplicaciones. (CLE: 3 horas)
Constructibilidad de polígonos regulares. Teorema de Gauss-Wantzel.
Teorema fundamental del Álgebra.

Bibliografía básica:

F. Chamizo: ¡Qué bonita es la la Teoría de Galois!
http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/libreria/fich/APalgebraII04…

D. A. Cox: Galois theory. 2ª ed., John Wiley & Sons, NJ, 2012.

T. Leinster, Galois Theory, University of Edinburgh, 2023.
https://www.maths.ed.ac.uk/~tl/gt/gt.pdf

M. P. López, N. Rodríguez, E. Villanueva: Notas para un curso de Teoría de Galois,
https://www.usc.es/regaca/apuntes/Galois.pdf

J. S. Milne: Fields and Galois Theory,
https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf



Bibliografía complementaria:

D. S. Dummit, R. M. Foote: Abstract algebra. 2ª ed., John Wiley & Sons, NJ, 2004.

M. H. Fenrick: Introduction to the Galois Correspondence, Birkäuser, 1992.

J. B. Fraleigh: A first course in abstract algebra (historical notes by Victor Katz). 8ª ed., Person, 2021.

D. J. H. Garling: A course in Galois Theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1986.

J. M. Howie: Fields and Galois Theory, SUMS Springer, London, 2006.

J. Rotman: Galois Theory, Springer-Verlag, NJ, 1998.

I. Stewart: Galois Theory, 4ª ed., CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.

Contribuir a alcanzar las competencias generales, específicas y transversales recogidas en la Memoria del Titulo de Grado en Matemáticas de la USC y, en especial, las siguientes (CG3, CG4, CG5, CE4, CT1, CT2 y CT5):

- Aplicar los conocimientos adquiridos y la capacidad de análisis y abstracción para la formulación de problemas y la búsqueda de sus soluciones.

- Comunicación escrita y oral de conocimientos, métodos, ideas y resultados.

- Identificación de errores en razonamientos incorrectos.

- Utilización de recursos bibliográficos sobre los temas de la asignatura.

Se seguirán las indicaciones metodológicas generales que figuran en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.

Las clases expositivas consistirán básicamente en la presentación de los conceptos teóricos, algunos ejemplos y la demostración de los resultados correspondientes (trabajando las competencias CE1, CE2, CE5 y CE6).

En las clases interactivas de laboratorio habrá una mayor implicación del alumno, primando una pedagogía más activa y personalizada, estas clases se dedicarán a la resolución de problemas por los alumnos bajo la supervisión de los profesores, sirviendo además para la adquisición de habilidades prácticas (competencias CG3, CG4, CT3, CE1, CE3, CE4 y CE6).

Se harán propuestas de de cuestiones relacionadas con la el largo del cuatrimestre (competencias CG4, CG5, CT1, CT5, CE1 y CE3).

En las tutorías en grupos muy reducidos se hará un seguimiento del aprendizaje de los alumnos y de su trabajo fuera de la clase. También se propondrán problemas, para realizar en presencia de los profesores.
(competencias CG3, CG4, CT3 y CE1).

Existirá un curso virtual de apoyo a la docencia de esta materia.

Se propondrán boletines de problemas en el curso virtual programándolos de forma escalonada en relación con la teoría.

El sistema de evaluación será coordinado para los dos grupos de la materia.

Se prevé como criterio de evaluación la evaluación continua combinada con una prueba final. Esta prueba final se celebrará en la fecha fijada por la Facultad de Matemáticas a tal efecto. La prueba será la misma para todos los alumnos de la materia.

La evaluación continua consistirá en la resolución individual de tareas (una o dos en el curso) y pruebas (una o dos en el curso), pruebas que serán las mismas para los distintos grupos.




CÓMPUTO DE LA CALIFICACIÓN FINAL

La prueba final será presencial tanto en la primera oportunidad como en la segunda. Por lo menos un 40% de la prueba final estará dedicada a la evaluación de los conocimientos teóricos adquiridos por el alumno en las clases expositivas; el alumno tendrá que ser capaz de demostrar resultados teóricos y responder a cuestiones relacionadas. El resto de la prueba final consistirá en la resolución de problemas.

Para el cómputo de la calificación final (F) se tendrá en cuenta a evaluación continua (C) y la calificación del examen final (E) y se aplicará la fórmula F= máx(E, 0,3*C+0,7*E).

Estos mismos porcentajes serán también de aplicación en el período extraordinario de julio.

Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de calificaciones.

Se considerará "No presentado" el estudiante que no acuda a ninguna de las pruebas finales de las dos oportunidades correspondientes a la convocatoria del curso académico.

Siguiendo las directrices establecidas en la Memoria del Título de Grado de Matemáticas de la USC, el estudiante deberá dedicar a la preparación de la materia el siguiente tiempo:

- 58 horas de trabajo presencial:
- CLE: 42 horas.
- CIL: 14 horas.
- TIT grupos reducidos: 2 horas.

- 92 horas de trabajo personal, para la realización de las siguientes actividades:
- Estudio autónomo (50 horas).
- Resolución de problemas y elaboración de trabajos (37 horas).
- Búsqueda bibliográfica y lecturas recomendadas (5 horas) .

Haber cursado previamente la asignatura Estructuras algebraicas.

Se recomienda la asistencia y participación activa en las clases y tutorías, complementada con en trabajo diario necesario para asimilar los conceptos de la materia y realizar las actividades (problemas, trabajos) que se irán proponiendo periódicamente.