Introdución á análise matemática

Introducir ao alumnado, con apoio esencial de exemplos e práctica, na comprensión da primeira estrutura da Análise Matemática: o corpo ordenado e completo dos números reais e as funcións reais dunha variable real.

Introducir e consolidar, con exemplos e exercicios, as nocións de converxencia de sucesións e series numéricas.

Presentar, practicando coas distintas notacións, as operacións cos números complexos.

Introducir as distintas nocións de límite dunha función real de variable real, e estudar a continuidade e continuidade uniforme de ditas funcións.

1. NÚMEROS REAIS (aprox. 8 clases expositivas)
1.1 Números naturais. Principio de indución.
1.2 Números racionais. Numerabilidade.
1.3 Axiomática dos números reais (R). Axioma do supremo e consecuencias.
1.4 Propiedade arquimediana de R. Densidade de Q en R.
 
2. SUCESIÓNS DE NÚMEROS REAIS (aprox. 9 clases expositivas)
2.1 Introdución intuitiva aos conceptos de sucesión e límite. Xeneralidades.
2.2 Sucesións converxentes e os seus límites. Propiedades.
2.3 Límites infinitos.
2.4 Converxencia e diverxencia de sucesións monótonas.
2.5 Subsucesións. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Límites de oscilación.
2.6 Sucesións de Cauchy. Completitude de R.
2.7 Cálculo de límites. Criterios de Stirling e Stolz.
 
3. SERIES DE NÚMEROS REAIS (aprox. 8 clases expositivas)
3.1 Introdución intuitiva aos conceptos de serie e a súa suma.
3.2 Series numéricas. Converxencia de series.
3.3 Series de termos non negativos. Criterios de converxencia.
3.4 Converxencia absoluta e condicional. Criterios de converxencia non absoluta.
3.5 Expresión decimal en R e outros sistemas de numeración.
 
4. NÚMEROS COMPLEXOS (aprox. 2 clases expositivas)
4.1 Números complexos. Forma binómica e operacións elementais.
4.2 Forma exponencial e as súas consecuencias: potencias, raíces e fórmulas de Euler e de Moivre.
 
5. LÍMITES (aprox. 7 clases expositivas)
5.1 Preliminares topolóxicos en R.
5.2 Límite dunha función nun punto.
5.3 Límites laterais.
5.4 Límites infinitos e no infinito.
5.5 Cálculo de límites: Indeterminacións.
 
6. CONTINUIDADE (aprox. 8 clases expositivas)
6.1 Continuidade dunha función nun punto.
6.2 Continuidade secuencial.
6.3 Funcións continuas: Propiedades. T
6.4 eoremas de Weierstrass e Bolzano.
6.5 Continuidade das funcións monótonas e das súas inversas.
6.6 Continuidade uniforme.
6.7 Teorema de Heine.
6.8 Teorema da extensión continua.
6.9 Criterios suficientes e criterios necesarios para a continuidade uniforme.

BÁSICA
 
[1] T.M. Apostol. Análisis Matemático (2ª Ed.). Reverté, 1979.
 
[2] R.G. Bartle, D.R. Sherbert. Introducción al Análisis Matemático de una Variable (3ª Ed.). Limusa Wiley, 2010.
 
[3] R. Figueroa Sestelo, Ó.A. Otero Zarraquiños. Números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022. Dispoñible en liña en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/o7pcup/alma99101373073540…
 
[4] R. Figueroa Sestelo, Ó.A. Otero Zarraquiños. Números complexos. Universidade de Santiago de Compostela, 2022. Dispoñible en liña en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/1sh7577/alma9910135587473…
 
[5] R. Figueroa Sestelo, Ó.A. Otero Zarraquiños. Series de números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022. Dispoñible en liña en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/1sh7577/alma9910135587472…
 
[6] R. Figueroa Sestelo, Ó.A. Otero Zarraquiños. Sucesións de números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022. Dispoñible en liña en:
https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/1sh7577/alma9910135587471…
 
[7] F. A. F. Tojo. Introducción al estudio de funciones de una variable real. Universidade de Santiago de Compostela, 2022.
Dispoñible en liña en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/o7pcup/alma99101373082020…
 
 
COMPLEMENTARIA
 
[1] T. Gowers, J. Barrow-Green, I. Leader. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2008. Dispoñible en liña en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/o7pcup/alma99101352295090…
 
[2] T. Tao. Analysis I. Second Edition, Hindustan Book Agency.  Dispoñible en liña en: https://iacobus.usc.gal/permalink/34CISUG_USC/o7pcup/alma99101346685280…
 
[3] S. Behar Jequín, R. Roldán Inguanzo, A. Arredondo Soto. Análisis matemático real: ejercicios y problemas. Universidad de La Habana, 2021.
Dispoñible en liña en: https://elibro-net.ezbusc.usc.gal/es/lc/busc/titulos/196988

Tal e como se recolle na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC en vigor, trátase dos coñecementos, competencias e habilidades ou destrezas que se detallan a continuación.

COÑECEMENTOS

Con01: Coñecer os conceptos, métodos, aplicacións e resultados máis importantes das distintas ramas das Matemáticas.
Con02: Coñecer, comprender e empregar a linguaxe matemática para elaborar e entender demostracións e formular modelos matemáticos.
Con03: Coñecer demostracións dos teoremas relevantes das distintas ramas das Matemáticas.
Con04: Asimilar a definición de obxectos matemáticos, relacionalos con outros e ser capaz de empregalos en diferentes contextos.
Con05: Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema e determinar as ferramentas matemáticas axeitadas para abordalo.


COMPETENCIAS

Comp01: Reunir e interpretar datos, información e resultados relevantes, obter conclusións e emitir informes razoados en problemas científicos, tecnolóxicos ou doutras áreas que requiran o uso de ferramentas matemáticas.
Comp02: Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, coñecementos, procedementos, resultados e ideas en Matemáticas tanto a un público especializado como non especializado.
Comp03: Estudar e aprender de forma autónoma novos coñecementos e técnicas das distintas ramas das Matemáticas.


HABILIDADES OU DESTREZAS

H/D01: Aplicar tanto os coñecementos teórico-prácticos adquiridos como a capacidade de análise e de abstracción na definición e formulación de problemas e na procura das súas solucións, tanto en contextos académicos como profesionais.
H/D02: Empregar bibliografía e ferramentas de busca de recursos bibliográficos xerais e específicos de Matemáticas.
H/D03: Organizar e planificar o traballo de forma axeitada.
H/D04: Comprobar ou contrastar argumentos e razoamentos, identificando erros e propoñendo revisións ou contraexemplos.
H/D06: Ler textos científicos tanto en lingua propia como noutras de relevancia no ámbito científico.
H/D07: Elaborar demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou refutalas.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC en vigor.

As clases expositivas consistirán basicamente en leccións impartidas polo/a profesor/a, dedicadas á exposición dos contidos teóricos e á resolución dalgúns problemas ou exercicios. Ás veces, o modelo aproximarase á lección maxistral e noutras procurarase unha maior implicación do alumnado. Traballarase, sobre todo, na adquisición dos coñecementos Con01, Con02, Con03, Con04 e Con05. Ademais, as clases expositivas servirán de exemplo para a adquisición da competencia Comp02 e estimularán o desenvolvemento da habilidade H/D07.

As clases interactivas estarán dirixidas, nuns casos, á adquisición de habilidades prácticas e, noutros, servirán para a ilustración inmediata dos contidos teórico-prácticos mediante a resolución de aplicacións da teoría, problemas ou exercicios. Traballarase, sobre todo, nas habilidades ou destrezas H/D01, H/D04 e H/D07 e nas competencias Comp01 e Comp02, aínda que tamén servirán para adquirir ou afianzar os coñecementos Con01, Con02, Con03, Con04 e Con05.

As titorías permitirán atender ao/á estudante para discutir cuestións concretas sobre as tarefas encomendadas ou resolver dúbidas sobre a materia.

Todas as tarefas do alumnado (estudo, lecturas, exercicios, prácticas…) serán orientadas polos/as docentes nas clases interactivas e nas sesións de titoría en grupos moi reducidos. Servirán para reforzar, en particular, as habilidades ou destrezas H/D02, H/D03 e H/D06 e as competencias Comp01, Comp02 e Comp03.

Empregarase o curso virtual para facer chegar ao alumnado os recursos necesarios para o desenvolvemento da materia (vídeos explicativos, apuntamentos, boletíns de exercicios, etc.) e para toda comunicación oficial do/a profesor/a ao alumnado sobre o desenvolvemento do curso.

A avaliación da materia combina avaliación continua e avaliación final, de forma coordinada entre os distintos grupos expositivos. O obxectivo é comprobar o grao de adquisición dos coñecementos, competencias e destrezas definidos para a materia.


AVALIACIÓN FINAL (AF)

A avaliación final consistirá nun exame escrito único para todos os grupos expositivos, valorado sobre 10 puntos. Permitirá avaliar de forma global a comprensión dos contidos teóricos, a capacidade de razoamento formal e a aplicación de técnicas matemáticas na resolución de problemas. Os contidos do exame desglósanse como se indica a continuación, tendo cada apartado un peso aproximado na nota do 25%:

Enunciado e demostración de lemas, proposicións, teoremas e corolarios: avalía coñecementos teóricos (Con01, Con03), manexo da linguaxe formal (Con02) e destrezas na elaboración de demostracións (H/D07).
Resolución de cuestións teóricas: avalía comprensión conceptual, capacidade de argumentación e relación entre conceptos (Con02, Con04, H/D04).
Resolución de cuestións prácticas: avalía o dominio de técnicas específicas e a súa aplicación (Con05, H/D01).
Resolución de problemas ou exercicios: mide a capacidade para analizar e resolver problemas matemáticos, valorando tamén a claridade na presentación (Comp01, H/D01, H/D03).


AVALIACIÓN CONTINUA (AC)

A avaliación continua consta de dúas probas intermedias presenciais, tamén valoradas sobre 10 puntos. Nelas traballaranse progresivamente os contidos do curso e valorarase tanto a adquisición de coñecementos como o desenvolvemento de habilidades e competencias. Os contidos de cada proba desglósanse como se indica a continuación, tendo cada apartado un peso aproximado na nota do 33%:

Cuestións teóricas: avalían a asimilación progresiva de contidos fundamentais e o uso adecuado da linguaxe matemática (Con01, Con02, Con04).
Cuestións prácticas: miden a capacidade para aplicar técnicas matemáticas na resolución de problemas concretos (Con05, H/D01, H/D04).
Problemas ou exercicios: avalían a competencia para afrontar situacións novas, argumentar solucións e comunicar resultados de forma clara (Comp01, Comp02, H/D01, H/D03, H/D07).
A nota da avaliación continua calcularase como:

AC = 1/2 * P1 + 1/2 * P2,

onde P1 e P2 son as notas obtidas nas dúas probas intermedias.

Aínda que a estrutura e o tipo de actividades será o mesmo en todos os grupos expositivos, o contido poderá adaptarse a cada grupo, garantindo a coordinación e equivalencia formativa.


NOTA FINAL (NF)

A nota final da materia calcularase coa fórmula:

NF = max {AF, 0.3 * AC + 0.7 * AF}

Esta fórmula recoñece o traballo continuado do estudante e a súa evolución ao longo do curso, ao tempo que garante unha avaliación final rigorosa e equitativa.

Considerarase Non Presentado ao estudante que ao remate do período docente non se presente ao exame da avaliación final.


SEGUNDA OPORTUNIDADE

A avaliación na segunda oportunidade seguirá o mesmo esquema, mantendo a mesma nota de avaliación continua que se aplicase na primeira oportunidade. O exame final da segunda oportunidade será equivalente e común para todos os grupos, e avaliará coñecementos, habilidades e competencias nos mesmos termos ca na primeira convocatoria.


CONSIDERACIÓNS ADICIONAIS

Nos casos de realización fraudulenta das probas ou exames (plaxios ou uso indebido das tecnoloxías), aplicarase o disposto na normativa de avaliación do rendemento académico do alumnado e de revisión de cualificacións.

TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
Clases expositivas (42 horas)
Clases interactivas de laboratorio (42 horas)
Titorías en grupos moi reducidos (2 horas)
Total de horas de traballo presencial na aula: 86

TRABALLO PERSOAL DO ALUMNADO
Estudo autónomo individual ou en grupo (77 horas)
Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos (40 horas)
Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio (12 horas)
Lecturas recomendadas, actividades en biblioteca ou similares (10 horas)
Total de horas de traballo persoal do alumnado: 139