Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 99 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Xeometría e Topoloxía
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
A materia pretende ser unha introdución á Topoloxía Alxébrica que permita presentar algúns dos seus métodos e ferramentas desde unha perspectiva puramente topolóxica e aplicalos á resolución de problemas, especialmente topolóxicos e xeométricos, pero tamén alxébricos.
Tras unha formación inicial en Topoloxía Xeral, Xeometría Diferencial e Álxebra, esta materia proponse o estudo dos métodos da Topoloxía Alxébrica, combinados con outros métodos topolóxicos, para resolver de forma elegante e eficaz problemas difíciles, pero de formulación sinxela, como propiedades xeométricas das esferas, teoremas clásicos relacionados con problemas alxébricos ou dinámicos, teoremas de punto fixo ou invariancia topolóxica da dimensión.
A interrelación entre teorías diversas debe facilitar a consolidación dos coñecementos adquiridos previamente e o proceso de maduración matemática, favorecendo a súa comprensión unitaria e preparando ao estudante para posteriores desenvolvementos.
A materia consta de dúas partes. A primeira parte está adicada ao estudo das cubertas desde unha dobre perspectiva topolóxica e homotópica. A noción de cuberta regular se introduce no Tema 4 a partir do estudo previo das accións propiamente discontinuas de grupos discretos nos Temas 2 e 3. Neste tema se caracterizan as cubertas regulares de xeito intrínseco e se describen os primeiros exemplos de cubertas non regulares. No Tema 5, estúdase a propiedade de levantamento de homotopías e aplícase na descrición do grupo fundamental dunha cuberta. A adxunción de celdas como método de construción de espazos topolóxicos con boas propiedades topolóxicas e homotópicas descríbese no Tema 1 coa intención de proporcionar exemplos de interese nas dúas partes da materia, algúns ben coñecidos, pero moitos outros novos. Nesta primeira parte son esenciais os coñecementos de topoloxía cociente adquiridos no curso de Topoloxía. Xeral.
Na segunda parte da materia abórdase o estudo doutro invariante alxébrico, a homoloxía, que asocia a cada espazo topolóxico unha sucesión de grupos abelianos e que tamén foi introducido por H. Poincaré para resolver problemas de clasificación. Das moitas versións deste invariante, incluíndo a orixinal de Poincaré, escóllese a homoloxía singular, menos elemental e intuitiva que outras, pero moito máis simple de presentar e calcular. Un aspecto esencial do curso é o cálculo explícito dos grupos de homoloxía dos espazos presentados no Tema 1 e outros moitos. A súa potencia para resolver problemas xeométricos ou alxébricos ilustrarase coas aplicacións antes mencionadas.
PARTE 1 : Teoría topolóxica e homotópica de cubertas
1. Superficies e variedades (4 CLE + 1 CLIL)
Pegado de espazos e adxunción de celdas. Superficies compactas. Espazos proxectivos e espazos lente. Variedades topolóxicas e diferenciables.
2. Accións de grupos e espazos de órbitas. (4 CLE + 1 CLI)
Grupos topolóxicos e grupos de Lie. Accións de grupos. Espazos de órbitas. Exemplos: superficies compactas con curvatura de Gauss constante positiva ou nula.
3. Accións propiamente discontinuas. (2 CLE + 1 CLIL)
Accións propiamente discontinuas. Grupos discretos de isometrías.
4. Cubertas (6 CLE + 2 CLIL)
Definición de cuberta. Exemplo fundamental: acción dun subgrupo discreto dun grupo topolóxico. Grupo de automorfismos dunha cuberta. Cubertas regulares. Aplicacións: variedades cociente e superficies compactas con curvatura de Gauss constante negativa.
5. Homotopía de cubertas (6 CLE + 2 CLIL)
Homotopía de aplicacións. Retractos por deformación e espazos contráctiles. Homotopía de camiños. Propiedade de levantamento de homotopías. Grupo fundamental dunha cuberta. Clasificación das cubertas. Cuberta universal. Teorema de existencia de cubertas universais. Aplicacións.
PARTE 2 : Homoloxía singular
6. Homoloxía singular (5 CLE + 2 CLIL)
Simplices. Complexos e aplicacións simpliciais. Complexo das cadeas singulares. Homoloxía singular. Efecto das aplicacións continuas e invariancia topolóxica. Homoloxía dun espazo contráctil. Homotopía de cadeas. Invariancia homotópica. Relación co grupo fundamental.
7. Sucesión de Mayer-Vietoris (6 CLE + 3 CLIL)
Sucesión exacta de Mayer-Vietoris. Primeira aplicación: homoloxía das esferas e grao das aplicacións entre esferas. Segunda aplicación: suspensións e homoloxía das suspensións. Terceira aplicación: homoloxía das superficies compactas. Cuarta aplicación: homoloxía dos espazos proxectivos reais e complexos.
8. Homoloxía relativa e escisión (5 CLE + 1 CLIL)
Subdivisión baricéntrica. Homoloxía relativa. Sucesión exacta larga dun par. Teorema de escisión. Interpretación dos grupos de homoloxía relativa. Retorno a Mayer-Vietoris.
9. Aplicacións (4 CLE + 1 CLIL)
Teoremas de Brouwer e Borsuk-Ulam. Teorema de Poincaré . Indice de Poincaré dunha curva pechada no plano: fórmula de Poincaré. Teoremas de Cauchy e D'Alembert. Teorema de separación de Jordan-Brouwer. Teorema de invariancia do dominio.
Bibliografía básica:
Armstrong M. A., Topología básica. Editorial Reverté. Barcelona, 1987.
Croom F.H., Basic Concepts of Algebraic Topology. Springer-Verlag, New York, 1978.
Hatcher A., Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
Munkres J. R., Elements of Algebraic Topology. Addison-Wesley, Menlo Park,1984.
Vick J. W., Homology Theory. Springer-Verlag, New York, 1994.
Bibliografía complementaria:
Bourbaki N., Éléments de Mathématique. Topologie générale, chapitres 1 à 4. C.C.L.S, Paris, 1971.
Bredon G. E., Topology and Geometry. Springer-Verlag, Berlin, 1993.
Conlon L., Differentiable Manifolds. Birkhäuser, Boston, 2009.
Dubrovin B.A., Fomenko A.T., Novikov S.P., Modern Geometry. Methods and Applications. Springer-Verlag, New York, 1985
Dugundji J., Topology. Allyn and Bacon. Boston, 1966.
Eilenberg S., Steenrod N., Foundations of Algebraic Topology. Princeton University Press, Princeton, 1951.
Godbillon C., Éléments de Topologie Algébrique. Hermann, Paris, 1971.
Greenberg M. J., Harper, J. R., Algebraic Topology: a first course. Benjamin, Massachusetts, 1981.
Kosniowski C., Topología Algebraica. Editorial Reverté, Barcelona, 1986.
Lee J.M., Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag, Berlin, 2000.
Massey, W. S., Introducción a la Topología Algebraica. Editorial Reverté, Barcelona, 1972.
Massey, W. S., A Basic Course in Algebraic Topology. Springer-Verlag, New York, 1991.
Massey W.S., Singular Homology Theory. Springer-Verlag, New York,1980.
May J.P., A Concise course in algebraic topology. University of Chicago Press, Chicago, 1999.
Spanier E., Algebraic Topology. Springer-Verlag, Berlin, 1995.
Steenrod N., The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, Princeton,1951.
Ademais das competencias xenéricas contempladas para a materia na Memoria do Grao, podemos indicar as seguintes de forma máis concreta:
- Coñecer o concepto de cuberta e as súas propiedades homotópicas e saber construir cubertas regulares e non regulares de espazos topolóxicos comúns.
- Coñecer os conceptos básicos da Topoloxía Alxébrica.
- Trasladar as destrezas adquiridas nos estudos previos de topoloxía, xeometría e álxebra ao cálculo do grupo fundamental e dos grupos de homoloxía de espazos topolóxicos comúns.
- Utilizar as técnicas homolóxicas para abordar problemas topolóxicos e xeométricos.
- Coñecer exemplos e contraexemplos de espazos que ilustren as propiedades estudadas.
As “clases expositivas” adicaranse á exposición dos aspectos teóricos e prácticos da materia por parte do profesor. As “clases interactivas de laboratorio” estarán adicadas ao estudo de exemplos e á resolución de problemas.
Haberá un dobre método de avaliación: avaliación continuada, realizada ao longo do curso e baseada no traballo de cada alumno na aula, e unha avaliación final, realizada mediante unha proba final fixada calendario da facultade. A avaliación continuada suporá un 40% da cualificación final e consistirá na entrega por escrito dun problema de cada tema. A proba final consistirá na resolución dun ou varios problemas e representará un 60% da cualificación final. Unha avaliación continuada positiva podrá eximir da realización total ou parcial da proba escrita. Dacordo coa normativa, a cualificación final no será inferior á nota do examen final (en caso de realización).
Horas de traballo presencial:
Clases expositivas 42
Clases interactivas de laboratorio 14
Titorías en grupos moi reducidos ou individualizadas 2
Total horas traballo presencial 58
Horas de traballo do estudante
Estudo teórico e práctico relacionado coa docencia presencial 42
Preparación dos exercicios e da proba escrita 50
Total horas traballo persoal 92
Fernando Alcalde Cuesta
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Xeometría e Topoloxía
- Teléfono
- 881813142
- Correo electrónico
- fernando.alcalde [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 16:00-17:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 06 |
| Xoves | |||
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 05 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 05 |
| 05.06.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 07.07.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |