Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 99 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Estatística, Análise Matemática e Optimización
Áreas: Análise Matemática
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Primeiro semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
Comprender, coñecer e manexar os principais conceptos, resultados e métodos relativos ó calculo vectorial e á integral de Lebesgue de varias variables reais:
• Manexar os conceptos de fluxo, diverxencia e rotacional dun campo vectorial, así como o seu significado dinámico.
• Coñecer os conceptos e propiedades da integral de liña de campos escalares e vectoriais, e a súa aplicación práctica en exemplos concretos.
• Coñecer os conceptos e propiedades da integral de superficie de campos escalares e vectoriais, e a súa aplicación práctica en exemplos concretos.
• Comprobar sobre exemplos a verificación dos teoremas de Green, Stokes e Gauss.
• Coñecer a construción da medida e da integral de Lebesgue para funcións de varias variables reais.
• Ter a capacidade de determinar sobre exemplos o carácter Lebesgue medible de conxuntos e funcións, así como a integrabilidade de funcións en conxuntos medibles.
• Dominar os teoremas de converxencia da integral de Lebesgue e ter a capacidade de aplicalos en casos concretos.
• Comprender a relación existente entre as integrais de Riemann e Lebesgue, e a importancia do proceso de extensión que supón a consideración desta última.
• Coñecer e utilizar os teoremas de Fubini e cambio de variable na integral de Lebesgue.
Estes conceptos teñen unha importancia fundamental na Análise Matemática así como noutras materias do Grao en Matemáticas, como son as relativas á Xeometría Diferencial, ás Ecuacións Diferenciais e á Matemática Aplicada.
I) Integración de Lebesgue (18 horas expositivas):
1.1 Medida exterior dun subconxunto de Rn. Conxuntos Lebesgue medibles e medida de Lebesgue. Conxuntos de medida cero. A sigma-álxebra dos conxuntos L-medibles. Propiedades da medida de Lebesgue.
1.2 Funcións medibles. Propiedades. Funcións simples medibles. Aproximación dunha función medible por funcións simples medibles. Teorema de Egorov. Teorema de Lusin.
1.3 Integral de funcións simples medibles non negativas. Integral de funcións medibles non negativas. Propiedades. Teorema da converxencia monótona. Lema de Fatou. Funcións Lebesgue integrables e integral de Lebesgue. Propiedades da integral de Lebesgue. Teorema da converxencia dominada. O espazo L1.
1.4 Relación entre as integrais de Riemann e de Lebesgue. Teoremas de Tonelli e Fubini. Teorema de cambio de variable.
Ii) Cálculo vectorial (10 horas expositivas):
2.1 Campos escalares e vectoriais. Gradiente, diverxencia e rotacional. Identidades básicas da análise vectorial. Fluxo asociado a un campo vectorial. Campos gradientes e función potencial.
2.2 Curvas paramétricas en Rn. Curvas regulares e regulares a anacos. Vector tanxente. Integral de liña dun campo escalar. Lonxitude dunha curva. Curvas orientadas. Integral de liña dun campo vectorial. Equivalencia de curvas e de curvas orientadas. Teoremas fundamentais do cálculo para a integral de liña. Caracterización dos campos conservativos.
2.3 Superficies paramétricas en R3. Superficies regulares. Vector normal. Superficies orientables. Integral de superficie dun campo escalar. Área dunha superficie regular. Integral de superficie dun campo vectorial. Superficies equivalentes.
2.4 Teoremas de Green, Stokes e Gauss. Consecuencias e aplicacións.
Bibliografía Básica
Bartle, R.G.: "The elements of integration and Lebesgue Measure". Ed. Wisley. 1995.
Del Castillo, F.: "Análisis Matemático II". Ed. Alhambra. 1987.
Mardsen, J.E.; Tromba, A. J.: "Cálculo Vectorial". 5ª edición. Ed. Addison Wesley. 1987.
Bibliografía Complementaria
Apostol, T. M.: "Calculus, volumen 2". Ed. Reverté. 1973.
Bombal, F.; Marín, R.; Vera, G.: "Problemas de Análisis Matemático, 3. Cálculo Integral". Ed. AC. 1987.
Chae, S. B.: "Lebesgue Integration". Segunda edición, Springer-Verlag, 1995.
Fernández Viña, J. A.: "Análisis Matemático III. Integración y cálculo exterior". Ed. Tecnos. 1992.
Franks, J.: "A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration". AMS, 2009.
Kurtz, D. S., Swartz, Ch. W.: "Theories of integration. The integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and Mcshane". Series in Real Analysis, 9. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2004.
Matthews, P.C.: "Vector Calculus". Springer, 1998.
Spiegel, M. R.: "Análisis Vectorial". McGraw Hill, 1991.
Weaver, N.: "Measure Theory and Functional Analysis". World Scientific, 2013.
Ademais de contribuír a acadar as competencias básicas, xerais e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela (USC), e que poden consultarse en
http://www.usc.es/export/sites/default/gl/servizos/sxopra/memorias_grao…,
esta materia permitirá acadar as seguintes competencias específicas:
CE1 - Comprender e utilizar a linguaxe matemática;
CE2 - Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática;
CE3 - Idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou refutalas;
CE4 - Identificar erros en razoamentos incorrectos, propoñendo demostracións ou contra exemplos;
CE5 - Asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionalo con outros xa coñecidos, e ser capaz de utilizalo en diferentes contextos;
CE6 - Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais;
CE9 - Utilizar aplicacións informáticas de análise estatístico, cálculo numérico e simbólico, visualización gráfica, optimización e software científico, en xeral, para experimentar en Matemáticas e resolver problemas.
Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC.
A docencia está programada en clases expositivas, inteativas e de titoría. Nas clases expositivas presentaranse os contidos esenciais da disciplina, e permitirán o traballo das competencias básicas, xerais e transversais, ademais das competencias específicas CE1, CE2, CE5 e CE6. Pola súa parte, nas sesións interactivas proporanse problemas ou exercicios de realización máis autónoma, e que permitirán facer énfase na adquisición das competencias específicas CE3 e CE4. As titorías dedicaranse á discusión e debate cos estudantes, e á resolución das tarefas propostas coas que se pretende que os estudantes practiquen e afiancen os coñecementos.
A docencia expositiva e interactiva será presencial e complementarase co curso virtual da materia, na que o alumnado atopará materiais bibliográficos, boletíns de problemas, vídeos explicativos, etc. O curso virtual tamén se empregará para a realización de tarefas relacionadas coa avaliación continua. Utilizaranse ferramentas informáticas apropiadas para traballar a competencia específica CE9.
De forma xenérica, farase unha avaliación na que se combina unha avaliación continua cunha proba final.
A avaliación continua permitirá comprobar o grao de consecución das competencias especificadas anteriormente, con énfase nas competencias transversais CT1, CT2, CT3 e CT5.
Na proba final e de segunda oportunidade medirase o coñecemento acadado polo alumnado en relación ós conceptos e resultados da materia, tanto dende o punto de vista teórico como práctico, valorando tamén a claridade e o rigor lóxico mostrado na exposición dos mesmos. Avaliarase a consecución das competencias básicas, xerais e específicas ás que fai alusión a Memoria do Grao en Matemáticas da USC e que foron sinaladas anteriormente.
No desenvolvemento da materia, intentaremos favorecer, en gran medida, a avaliación continuada (que terá carácter presencial) para o alumnado que a desexe, de xeito que, sendo habitualmente asistentes, participativos e traballadores, terán a oportunidade de acadar unha porcentaxe da súa cualificación final mediante as distintas actividades (voluntarias) que teñan realizado (individualmente ou en grupo, nas aulas ou fóra delas, segundo proceda) e, de ser o caso, entregado ou exposto nos prazos oportunos.
Nesta modalidade de avaliación (que chamaremos Modalidade 1 e presupón a presenza activa nas aulas e a realización de, cando menos, o 80% das actividades que se propoñan ó longo do curso) o exame final (que será presencial) considérase coma unha actividade máis, cuxa realización será imprescindible para que o alumnado poida ser cualificado. Estas actividades servirán para avaliar tanto os coñecementos coma as competencias xerais, específicas e transversais acadadas polo alumnado.
A cualificación final correspondente obterase respectando as indicacións da Memoria de Grao. En todo caso, nas condicións máis favorables a porcentaxe da cualificación correspondente ao traballo do alumnado durante o curso (excluída a proba final), poderá chegar a acadar o 25% da cualificación final máxima (CF), a través dunha fórmula como a seguinte, onde E representa a cualificación do exame final e T é a cualificación obtida polas restantes actividades realizadas no curso:
CF = E + min{T/4, 10 - E}. (Tanto E como T poden tomar valores entre cero e dez).
Para tratar de respectar a autonomía e o ritmo de traballo do alumnado, ofrecerase unha segunda modalidade de avaliación (á que denominaremos Modalidade 2), consistente na realización de, polo menos, unha proba intermedia con previo aviso. Neste caso, a cualificación final obterase coa fórmula CF=máx{E, 0’7E+0’3PI}, onde PI designa a cualificación media das probas intermedias que, o mesmo que E, tomará valores entre cero e dez.
O mesmo que na Modalidade 1, será imprescindible a realización do exame final para ser cualificado nesta modalidade da avaliación.
Ó comezo do cuadrimestre, o alumnado terá a oportunidade de elixir a modalidade de avaliación que desexa, mediante unha escolla que realizará a través do Curso Virtual, nos prazos que se fixen para ese fin. De non realizar escolla nos prazos oportunos, entenderase que se opta pola Modalidade 2.
Para os alumnos do grupo expositivo CLE02 soamente estará accesible a modalidade de avaliación 2, consistente na realización de dúas probas intermedias con previo aviso. Garántese a coordinación e equivalencia formativa de todos os grupos da materia.
Non obstante, no exame final calquera estudante terá a posibilidade de acadar a máxima cualificación numérica, teña ou non realizado as actividades ou a proba intermedia durante o curso. Recibirán a cualificación de Non Presentado aqueles estudantes que non realicen o exame final.
O exame final poderá ser distinto para os grupos expositivos. Garántese a coordinación e equivalencia formativa de todos os grupos da materia.
Na segunda oportunidade empregarase o mesmo sistema de avaliación pero coa proba correspondente á segunda oportunidade, que será un exame do mesmo tipo que a da primeira.
O exame correspondente a segunda oportunidade poderá ser distinto para os grupos expositivos. Garántese a coordinación e equivalencia formativa de todos os grupos da materia.
Advertencia. Para os casos de realización fraudulenta das tarefas ou probas (plaxios ou uso indebido das tecnoloxías) será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións.
HORAS DE TRABALLO TOTAIS
150 horas: 58 horas presenciais e 92 horas non presenciais.
TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
Estas horas presenciais diversifícanse en distintos tipos (26 horas CLE + 14 horas CLIS + 14 horas CLIL + 2 horas TGMR + 2 horas CLE para a realización de probas), que especificamos a continuación:
(CLE) Clases expositivas (26 horas)
(CLE) Realización de probas (2 horas)
(CLIS) Clases interactivas de seminario (14 horas)
(CLIL) Clases interactivas de laboratorio/titorías en grupo reducido (14 horas)
(TGMR) Titorías en grupo moi reducido (2 horas)
TEMPO DE TRABALLO PERSOAL
Estímanse 92 horas, por termo medio, malia que, obviamente, as horas de traballo persoal dependerán do traballo e da formación do alumnado
Para estudar esta materia é importante dominar os contidos das seguintes: Introdución á análise matemática; Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real; Integración de funcións dunha variable real; Topoloxía dos espazos euclidianos; Diferenciación de funcións de varias variables reais; Series funcionais e integral de Riemann en varias variables.
Por outra parte, recoméndase estudar con regularidade, levando a materia ó día, e realizar todas as actividades que se propoñan nas aulas. Tamén é moi importante consultar co profesorado todas as dúbidas que poidan ir xurdindo ó longo do curso.
Rosa Mª Trinchet Soria
Coordinador/a- Departamento
- Estatística, Análise Matemática e Optimización
- Área
- Análise Matemática
- Teléfono
- 881813205
- Correo electrónico
- rosam.trinchet [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
Jorge Losada Rodriguez
- Departamento
- Estatística, Análise Matemática e Optimización
- Área
- Análise Matemática
- Teléfono
- 881813215
- Correo electrónico
- jorge.losada.rodriguez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Profesor Axudante Doutor LOU
| Luns | |||
|---|---|---|---|
| 09:00-10:00 | Grupo /CLE_01 | Galego | Aula 06 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_06 | Castelán | Aula 08 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_05 | Castelán | Aula 08 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_04 | Castelán | Aula 08 |
| Martes | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLE_01 | Galego | Aula 03 |
| Mércores | |||
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Castelán | Aula 06 |
| Xoves | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_02 | Galego | Aula 05 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_02 | Castelán | Aula 06 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_01 | Galego | Aula 05 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_03 | Galego | Aula 05 |
| Venres | |||
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIS_02 | Galego | Aula 03 |
| 09:00-10:00 | Grupo /CLIS_04 | Castelán | Aula 08 |
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIS_03 | Castelán | Aula 08 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIS_01 | Galego | Aula 02 |
| 13.01.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 26.06.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |