Análise Numérica Matricial

O estudo e a aplicación de métodos numéricos para a resolución de sistemas de ecuacións lineais (cunha introdución a métodos para sistemas non lineais) e o cálculo de autovalores e autovectores dunha matriz. Ademais, nas clases de laboratorio, poranse en práctica nun ordenador os algoritmos estudados, mediante a elaboración dos correspondentes programas en FORTRAN 90 ou MATLAB.

Contidos
Temario (con indicación das horas de clase expositiva que se dedican a cada tema -28 horas-)
--------------------------------------------------------------------------------------------
Tema 1.-Presentación da materia -1 hora-.
Importancia da resolución de grandes sistemas de ecuacións lineais e do cálculo de autovalores de grandes matrices en problemas reais de investigación e innovación científica e técnica. Programa da materia. Metodoloxía a seguir.

Tema 2.- Xeneralidades sobre matrices (repaso). – 4 horas –
Operacións con matrices. Operacións por bloques. Determinantes. Inversas. Tipos especiais de matrices: triangulares, tridiagonais, hermitianas, simétricas, unitarias, ortogonais, definidas positivas, matrices de permutación, diagonal dominantes, teorema de Hadamard. Matrices dispersas, almacenamento perfil. Autovalores e autovectores: radio espectral, localización de autovalores, teorema de Gerschgorin, semellanza e redución de matrices, teorema de Schur (enunciado), diagonalización, cocientes de Rayleigh..

Tema 3.- Xeneralidades sobre os métodos de resolución de S.E.L.– 2 horas -
Sistemas de ecuacións lineais(S.E.L.): existencia e unicidade de solución. Grandes sistemas e coste operacional dos métodos. Métodos directos e métodos iterativos. Sistemas fáciles de resolver: sistemas triangulares e permutables a triangulares (método de descenso e remonte). Clasificación dos métodos directos: métodos de transformación (eliminación e ortogonalización) e métodos de factorización (LU, Cholesky e QR). Aplicación ao cálculo da inversa dunha matriz e ao cálculo de determinantes.

Tema 4.- Método de eliminación de Gauss e variantes para S.E.L. – 5 horas -
Método de eliminación de Gauss sin pivote: proceso, fórmulas, coste operacional, bases de codificación, interpretación matricial, condicións suficientes, relación coa factorización A=LU e o método asociado. Fórmulas de Doolitle para cálculo directo de L e U. Conservación do perfil: aplicación a matrices tridiagonais. Método de eliminación de Gauss con pivote parcial: proceso, fórmulas, bases de codificación, interpretación matricial, relación coa factorización PA=LU e o método asociado.

Tema 5.- Método de Choslesky para S.E.L con matriz simétrica e definida positiva – 2 horas -
Factorización de Cholesky A= BBT e método asociado para S.E.L: existencia, fórmulas, coste operacional, conservación do perfil, aplicación a matrices tridiagonais, bases de codificación.

Tema 6.- Método de eliminación de Householder – 2 horas -
Matrices de Householder elementais. Método de eliminación de Householder: proceso, fórmulas, coste operacional, bases de codificación, interpretación matricial, relación coa factorización A=QR.

Tema 7.- Normas e condicionamento de matrices – 3 horas –
Normas de matrices como vectores. Normas subordinadas a normas vectoriais. Normas compatibles e multiplicativas. Exemplos importantes: norma de Schur, norma 1, norma infinito, norma 2. Condicionamento dun sistema lineal e efecto sobre a propagación de erros.

Tema 8.- Métodos iterativos para S.E.L. – 3 horas –
Métodos iterativos consistentes e converxentes. Caracterización da converxencia. Métodos iterativos asociados a unha descomposición A=M-N (Richardson, Jacobi, Gauss-Seidel e relaxación): descrición, fórmulas, bases de codificación, condicións suficientes de converxencia (casos de matrices diagonal dominantes e simétricas definidas positivas).

Tema 9.- Aproximación numérica de autovalores e autovectores - 4 horas –
Idea xeral e clasificación dos métodos. Condicionamento do problema. Método da potencia iterada con variantes de Rayleigh para autovalor dominante: descrición, bases de codificación, converxencia. Método da potencia inversa: descrición, bases de codificación, converxencia. Método de transformación de Householder e método de factorización QR.

Tema 10.- Métodos iterativos para sistemas de ecuacións non lineais – 2 horas –
Idea xeral sobre os métodos iterativos. Métodos de punto fixo, Newton e Newton discretizado: descrición, bases de codificación, idea da converxencia.

Bibliografía básica
Bibliografía básica
CIARLET, P. G. [1999]: Introducción á análise numérica matricial e á optimización. Servicio de Publicacións da USC.
ORTEGA, J. M. [1990]: Numerical análisis: a second course. SIAM.
KINCAID, D. - CHENEY, W. [1994]: Análisis numérico: las matemáticas del cálculo científico. Addison-Wesley Iberoamericana.
STEWART, D.E. [2023]: Numerical Analysis: A Graduate Course. Springer. - Dispoñible en liña.
STOER, J. - BULIRSCH, R. [1993]: Introduction to numerical analysis. 2nd ed. Springer-Verlag – Dispoñible en liña.
VIAÑO, J.M. [2022]: Análisis numérico matricial - Notas de Curso. USC. -Dispoñible no Campus Virtual.


Bibliografía complementaria
ATKINSON, K. E. - HAN, W. [2004]: Elementary numerical analysis. John Wiley and sons.
AUBANELL, A. - BENSENY, A. - DELSHAMS, A. [1991]: Eines bàsiques de càlcul numeric: amb 87 problemes results. Manuals de la Universitat Autònoma de Barcelona.
GANDER, W. – GANDER M. J. – KWOK, F. [2014]: Scientific computing – An introduction using MAPLE and MATLAB. Springer.
GOLUB, G. H. - VAN LOAN, C. [2013]: Matrix computations. 4th ed. The Johns Hopkins University Press.
HEATH, M. T. [2005]: Scientific computing: an introductory survey. 2nd ed. McGraw Hill.
HORN, R. A. - JOHNSON, C. R. [2013]: Matrix analysis. 2nd ed. Cambridge University Press.
METCALF, M. - REID, J. - COHEN M. [2004]: Fortran 95/2003 explained. Oxford University Press.
QUARTERONI, A. [2003]: Scientific computing with MATLAB. Springer.
QUARTERONI, A. - SACCO, R. - SALERI, F. [2000]: Numerical mathematics. Springer.
TREFETHEN, Ll. N. - BAU, D. [1997]: Numerical linear algebra. SIAM.
WATKINS, D. S. [2010]: Fundamentals of matrix computations. 3rd ed. Wiley.

As recollidas na Memoria de Verificación de Título do Grao en Matemáticas. Dispoñible en:
http://www.usc.es/export9/sites/webinstitucional/gl/servizos/sxopra/mem…
No seguinte apartado indícanse as competencias traballadas con maior énfase segundo o tipo de sesión.

- Clases expositivas (CG1, CT5, CE1, CE2).
- Clases interactivas de laboratorio (CE8, CE9).
- Titorías (CG3, CG4, CT3, CE4).
- Ao longo do cuadrimestre, proporase un boletín por cada tema de teoría que incluirá programación en ordenador (en Matlab e Fortran 90) e exercicios relacionados coa teoría, co fin de que os estudantes afiancen os coñecementos adquiridos na materia e as habilidades de programación dos métodos.
- Os estudantes disporán dun Curso Virtual, con notas e material diverso como complemento da docencia presencial.

A docencia expositiva e interactiva será presencial e complementarase co curso virtual da materia, na que o alumnado atopará materiais bibliográficos diversos. O alumnado realizará tarefas para a avaliación continua, como se describe no apartado correspondente. As titorías serán presenciais ou a través do correo electrónico.

Para o cómputo da cualificación final (CF) teranse en conta a nota do exame (EF) e a nota de avaliación continua (AC).
- O exame ten unha valoración global de 10 puntos (EF), e será realizado nas dúas sesións seguintes:
1. Exame final escrito (teoría, cuestións e problemas), cualificado sobre 7.5 puntos
2. Exame final práctico (programación en FORTRAN 90 ou MATLAB), cualificado sobre 2.5 puntos.
- A avaliación continua ten tamén unha valoración global de 10 puntos (AC), resultante de 2 controis, efectuados dentro do horario de clases reservado á materia.
Para obter a cualificación final aplicarase a fórmula: CF=máx{EF, 0,7*EF+0,3*AC}
A nota AC sumarase no caso de que as ausencias inxustificadas nas sesións en grupos de laboratorio non superen o 10% e conservarase para a segunda oportunidade de avaliación.

As probas de avaliación serán idénticas para os distintos grupos.

Os mesmos instrumentos permiten avaliar ás competencias da materia especificadas máis arriba.

Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas (plaxios ou uso indebido das tecnoloxías) será de aplicación o recollido na "Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes" e de revisión de cualificacións.

Clases expositivas:28
Clases interactivas de laboratorio: 28
Titorías: 2

Total horas traballo co profesor: 58

Estudio autónomo individual ou en grupo: 30
Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio: 52
Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos: 10

Total horas traballo persoal: 92

- Estudo diario dos contidos tratados nas clases, complementados co curso virtual e a bibliografía recomendada.
- Resolución dos exercicios e programación dos algoritmos propostos nos boletíns, para o que se dispón das aulas de informática da Facultade.
- Uso das horas de titoría dos profesores para resolver todo tipo de dúbidas sobre a materia.