Métodos Matemáticos V

Esta materia forma parte do módulo “Métodos Matemáticos da Física”, co obxectivo xeral de dotar aos alumnos das ferramentas matemáticas necesarias para o desenvolvemento e comprensión das diferentes ramas da Física. Os obxectivos concretos da materia son:
• Aplicar o cálculo diferencial e integral ao estudo de curvas e superficies no espazo euclídeo tridimensional.
• Introducir os conceptos e métodos básicos necesarios para o estudo e resolución das ecuacións en derivadas parciais de interese físico.

Resultados da aprendizaxe:

Tras cursar a materia o alumno:
• Saberá cómo describir curvas e superficies utilizando os conceptos e métodos do cálculo diferencial.
• Comprenderá os aspectos básicos dos problemas de autovalores e autofuncións.
• Coñecerá os principais métodos para resolver ecuacións en derivadas parciais de interese físico.

Curvas e Superficies:
• Curvas parametrizadas e curvas regulares. Lonxitude de arco. Curvatura e torsión. Fórmulas de Frenet-Serret: ecuacións intrínsecas.
• Superficies diferenciables. Plano tanxente e recta normal. Primeira e segunda formas fundamentais: curvaturas principais.

Ecuacions diferenciáis de segunda orde: Problemas de contorno
• Problemas de Sturm-Liouville: Autovalores, autofuncións e series xeneralizadas de Fourier.
• Problemas non homoxéneos: A función de Green.

Ecuacións en Derivadas Parciais:
• Ecuacións en derivadas parciais de primeira orde: Curvas características.
• Ecuacións en derivadas parciais de segunda orde: Clasificación e formas canónicas. Condicións iniciais e de fronteira. Ecuación de ondas. Ecuación de Laplace. Ecuación de Poisson. Ecuación do calor. Método de separación de variables.

Bibliografía básica:
• Shifrin, T.: Differential Geometry: a First Course on Curves and Surfaces, Univ. of Georgia 2016.
http://alpha.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf
• Carmo, M.P. do: Geometría diferencial de curvas y superficies. Alianza Editorial, Madrid 1995.
• Lipschutz, M.M.: Geometría diferencial. McGraw-Hill, Madrid 1990.
• Simmnons, G.F.: Ecuaciones diferenciales, McGraw-Hill, Madrid 1988.
• Riley, K.F., Hobson, M.P. e Bence, S.J.: Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 2006.
• Duchateau, P. e Zachmann, D.W.: Ecuaciones diferenciales parciales. McGraw-Hill, México 1988.
• Haberman, R.: Ecuaciones en Derivadas Parciales, 3ª edición. Prentice Hall, Madrid 2003.
• Stephenson, G: Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Longman, New York, 1985.
• Aranda, P: Apuntes de Métodos Matemáticos II (EDPs), UCM, 2017. http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda/EDPs.html
• Myint-U, T. e Debnath, L: Linear partial differential equations for scientists and engineers, Birkhauser, Boston, 2007.


Bibliografía complementaria:
• Hartle, J.B.: Gravity: and introduction to Einstein’s General Relativity, 2003.
• Arfken, G.: Mathematical Methods for Physicists, 3rd edition. Academic Press, 1985.
• Stone, M. y Goldbart, P.: Mathematics for Physics. Cambridge University Press, 2009.

Recursos na rede:
• Aula Virtual: Apuntes elaborados polos profesores: Curvas diferenciables, Superficies diferenciables, Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
• Aula Virtual: Boletíns de problemas, solucións de problemas, exames de cursos anteriores.
• Aula Virtual: Enlaces a recursos online

BÁSICAS E XERAIS

CB1 - Que os estudantes demostren posuír e comprender coñecementos nunha área de estudo que parte da base da educación secundaria xeral, e adóitase atopar a un nivel que, aínda que se apoia en libros de texto avanzados, inclúe tamén algúns aspectos que implican coñecementos procedentes da vangarda do seu campo de estudo.
CB2 - Que os estudantes saiban aplicar os seus coñecementos ao seu traballo ou vocación dunha forma profesional e posúan as competencias que adoitan demostrarse por medio da elaboración e defensa de argumentos e a resolución de problemas dentro da súa área de estudo.
CB3 - Que os estudantes teñan a capacidade de reunir e interpretar datos relevantes (normalmente dentro da súa área de estudo) para emitir xuízos que inclúan unha reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica ou ética.
CG3 - Aplicar tanto os coñecementos teóricos-prácticos adquiridos como a capacidade de análise e de abstracción na definición e formulación de problemas e na procura das súas solucións tanto en contextos académicos como profesionais.

TRANSVERSAIS

CT1 - Adquirir capacidade de análise e síntese.
CT2 - Ter capacidade de organización e planificación.
CT5 - Desenvolver o razoamento crítico.

ESPECÍFICAS

CE2 - Ser capaz de manexar claramente as ordes de magnitude e realizar estimacións adecuadas co fin de desenvolver unha clara percepción de situacións que, aínda que fisicamente diferentes, mostren algunha analoxía, permitindo o uso de solucións coñecidas a novos problemas.
CE5 - Ser capaz de realizar o esencial dun proceso ou situación e establecer un modelo de traballo do mesmo así como realizar as aproximacións requiridas co obxecto de reducir o problema ata un nivel manexable. Demostrará posuír pensamento crítico para construír modelos físicos.
CE6 - Comprender e dominar o uso dos métodos matemáticos e numéricos máis comunmente utilizados en Física.
CE8 - Ser capaz de manexar, buscar e utilizar bibliografía, así como calquera fonte de información relevante e aplicala a traballos de investigación e desenvolvemento técnico de proxectos.

Activarase un curso na plataforma Moodle da Campus Virtual, á que se subirá información de interese para o alumno e material docente diverso.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Física da USC. A docencia será presencial e está programada en clases teóricas (32 horas), prácticas en grupo reducido (24 horas) e titorías en grupos moi reducidos (4 horas).
Nas clases teóricas e prácticas presentaranse os contidos básicos da materia e resolveranse algúns exercicios.
Os contidos e problemas máis avanzados serán propostos ao estudante para o seu traballo persoal contando co apoio das horas de titoría.
As titorías poderán ser presenciais ou telemáticas, se son telemáticas requirirán de cita previa o que tamén é recomendable para as presenciais.

A cualificación dos alumnos consta de dúas partes:

• Un exame final presencial que se realizará nas datas oficiais fixadas polo centro, con cualificación NEF.

• A avaliación continua que consistirá en:
- Asistencia e participación activa nas clases presenciais e titorías, así como entrega de exercicios. Esta parte dará lugar á nota APC.
- Realización de dous controis escritos presenciais que permitan avaliar as competencias e os coñecementos adquiridos. Estes controis darán lugar a unha cualificación C.

A puntuación conxunta destas actividades de avaliación continua dará lugar a unha “nota de curso” NC=APC*0.35+C*0.65.

A cualificación final (NOTA) obterase como a máxima entre a nota do exame final e a que resulta de promediar a nota de curso NC coa nota obtida no exame final NEF mediante a fórmula NOTA= NEF*0.6 + Max(NC,NEF)*0.4. Isto aplícase tanto á primeira como á segunda oportunidade.

A avaliación continua é válida durante o curso académico, non se conserva para cursos posteriores.

Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións”.

32 horas de clases expositivas presenciais ou telemáticas.
24 horas de clases interactivas presenciais ou telemáticas.
4 horas de titorías presenciais ou telemáticas.

Resulta difícil determinar o tempo de estudio necesario para asimilar a materia, xa que depende moito da dedicación e capacidade de cada estudante. Como indicación xeral, na Memoria do Título de Grao en Física da USC estímase o traballo persoal do alumno en 75 horas, sen contar a docencia presencial ou telemática, e a escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos en 15 horas. Total 90 horas.

Asistencia e participación activa nas clases teóricas e prácticas. Aproveitamento das titorías.
Materias que se aconsella cursar previamente: Métodos Matemáticos I, II, III y IV.