Ecuacións diferenciais Ordinarias/Sistemas Dinámicos

I. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS DE VALOR INICIAL ASOCIADOS A ECUACIÓNS DIFERENCIAIS ORDINARIAS (EDO):
1. Coñecer os métodos máis comúns para a resolución numérica de problemas de valor inicial para EDO.
2. Familiarizarse cos conceptos de converxencia e orde, relacionados coa precisión, e co de estabilidade numérica, relacionado coa explosión do erro.
3. Observar os fenómenos do punto anterior, así como o efecto dos erros de redondeo sobre a converxencia, mediante a implementación en ordenador dalgún dos métodos estudados.

II. SISTEMAS DINÁMICOS:
1. Manexar con soltura algúns métodos analíticos de integración de ecuacións diferenciais ordinarias.
2. Entender e saber analizar os sistemas dinámicos de baixa dimensión.
3. Entender os conceptos elementais de bifurcacións e saber aplicalos a problemas concretos.
4. Usar os sistemas dinámicos para modelar e analizar problemas de interese industrial.

I. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS DE VALOR INICIAL ASOCIADOS A ECUACIÓNS DIFERENCIAIS ORDINARIAS (EDO):

1. Preliminares: fórmulas básicas de derivación e integración numéricas, teorema da aplicación contractiva, resolución de sistemas de ecuacións non lineais mediante os métodos de punto fixo e de Newton, criterios de parada de tipo épsilon e de tipo delta.

2. Concepto de problema de valor inicial (PVI) para EDO. Teorema de existencia e unicidade de solución dun PVI. Idea de solución numérica para PVI.

3. Descrición e interpretación dos métodos de Euler: explícito e implícito.

4. Familia dos theta-métodos. Regra do trapecio.

5. Converxencia. Orde de converxencia. Consistencia e estabilidade.

6. Influencia do redondeo.

7. Comandos de MATLAB® para resolver PVI.

8. Exemplo de problema ríxido. Estabilidade numérica.

9. Métodos de orde alta:
9.a. Métodos dun paso non lineais: métodos Runge-Kutta (RK).
9.b. Métodos lineais multipaso (MLM):
9.b.i. Concepto de MLM. Arranque. Teorema da orde.
9.b.ii. MLM baseados en integración numérica:
• Métodos de Adams-Bashforth.
• Métodos de Adams-Moulton.
• Métodos de Nyström.
• Métodos de Milne-Simpson.
9.b.iii. MLM baseados en derivación numérica: métodos BDF.

II. SISTEMAS DINÁMICOS:

1. Conceptos básicos: curva diferenciable parametrizada, autovalor, autovector, multiplicidade alxébrica, multiplicidade xeométrica.

2. Sistemas dinamicos lineais en R^n:
2.a. Sistemas desacoplados, retrato de fases, punto de equilibrio, subespazo estable, subespazo inestable.
2.b. Sistemas con matriz diagonalizable.
2.c. Sistemas con matriz xenérica (non necesariamente diagonalizable), teorema fundamental para sistemas lineais, exponencial dunha matriz, resolución de sistemas lineais, sistemas lineais de orde superior.
2.d. Sistemas lineais en R^2:
2.d.i. Clasificación da orixe para sistemas con matriz regular: selas, nodos (estables e inestables), focos (estables e inestables) e centros; sumidoiros e fontes.
2.d.ii. Exemplos con matriz singular, puntos de equilibrio dexenerados.
2.e. Caracterización de sumidoiro e fonte.

3. Sistemas dinámicos non lineais en R^n:
3.a. Sistemas autónomos.
3.b. Teorema fundamental de existencia e unicidade.
3.c. Linealización.
3.d. Puntos de equilibrio hiperbólicos. Teorema de Hartman-Grobman.
3.e. Clasificación dos puntos de equilibrio hiperbólicos: sumidoiros, fontes e selas.
3.f. Puntos de equilibrio estables, asintoticamente estables e inestables.
3.g. Método das funcións de Liapunov.
3.h. Concepto de bifurcación; concepto de caos.

I. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS DE VALOR INICIAL ASOCIADOS A ECUACIÓNS DIFERENCIAIS ORDINARIAS:
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:
1. Ascher, U. M. e Petzold, L. R. (1998) Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. Philadelphia, PA: SIAM.
2. Hairer, E., Nørsett, S. P. e Wanner, G. (1993) Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, 2.ª ed. revisada. Berlin: Springer. (Primeira edición: 1987). Dispoñible en liña.
3. Isaacson, E. e Keller, H.B. (1994) Analysis of Numerical Methods. New York, NY: Dover Publications. (Reimpresión da edición de 1966 publicada por Wiley).
4. Iserles, A. (2008) A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, 2.ª ed. Cambridge: Cambridge University Press. (Publicado por primeira vez en 1997). Dispoñible en liña.
5. Lambert, J. D. (1991) Numerical Methods for Ordinary Differential Systems: The Initial Value Problem. Chichester, UK: Wiley.
6. Stoer, J. e Bulirsch, R. (2002) Introduction to Numerical Analysis, 3.ª ed. New York, NY: Springer. (Primeira edición: 1980). Dispoñible en liña.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:
1. Butcher, J. Ch. (2016) Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, 3.ª ed. Chichester, UK: Wiley. (Primeira edición: 2003). Dispoñible en liña.
2. Crouzeix, M. e Mignot, A. L. (1989) Analyse Numérique des Équations Différentielles, 2.ª ed. Paris: Masson. (Primeira edición: 1984).
3. Dekker, K. e Verwer, J. G. (1984) Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Nonlinear Differential Equations. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B. V.
4. Hairer, E. e Wanner, G. (1996) Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems, 2.ª ed. Berlin: Springer. (Primeira edición: 1991). Dispoñible en liña.
5. Henrici, P. (1962) Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations. New York, NY: Wiley.
6. Kincaid, D. R. e Cheney, E. W. (1991) Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing. Pacific Grove, CA: Brooks/Cole.
7. Lambert, J. D. (1988) Computational Methods in Ordinary Differential Equations. London: Wiley. (Reimpresión da 1.ª ed. 1973).
8. Quarteroni, A., Sacco, R. e Saleri, F. (2007) Numerical Mathematics, 2.ª ed. New York, NY: Springer. (Primeira edición: 2000). Dispoñible en liña.


II. SISTEMAS DINÁMICOS:
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:
1. Perko, L. (2000) Differential Equations and Dynamical Systems, 3.ª ed. Texts in Applied Mathematics, vol. 7. New York, NY: Springer. Dispoñible en liña.
2. Hirsch, M. W. e Smale, S. (1974) Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Pure and Applied Mathematics. New York, NY: Academic Press. Dispoñible en liña.


BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:
1. Guckenheimer, J. e Holmes, P. (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. New York, NY: Springer. Dispoñible en liña.
2. Hale, J. K. e Koçak, H. (1991) Dynamics and Bifurcations. New York, NY: Springer. Dispoñible en liña.
3. Hairer, E., Nørsett, S. P. e Wanner, G. (1993) Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, 2.ª ed. revisada. Berlin: Springer. (Primeira edición: 1987). Dispoñible en liña.

Básicas e xerais:
CG1 - Posuír coñecementos que aporten unha base ou oportunidade de ser orixinais no desenvolvemento e/ou aplicación de ideas, a miúdo nun contexto de investigación, sabendo traducir necesidades industriais en términos de proxectos de I+D+i no campo da Matemática Industrial.
CG4 - Saber comunicar as conclusións, xunto cos coñecementos e razóns últimas que as sustentan, a públicos especializados e non especializados dun xeito claro e sen ambigüidades.
CG5 - Posuír as habilidades de aprendizaxe que lles permitan continuar estudando dun xeito que haberá de ser en grande medida autodirixido o autónomo, e poder emprender con éxito estudos de doutoramento.

Específicas:
CE3 - Determinar se un modelo dun proceso está ben proposto matematicamente e ben formulado desde o punto de vista físico.

De especialidade “Modelización”:
CM1 - Ser capaz de extraer, empregando diferentes técnicas analíticas, información tanto cualitativa como cuantitativa dos modelos.

As competencias anteriores, así como as descritas na páxina 8 da memoria da titulación no enlace

https://assets.usc.gal/sites/default/files/plan/2021-09/Matema%CC%81tic…,

trabállanse na aula e avalíanse segundo o sistema descrito no apartado “Sistema de avaliación da aprendizaxe”.

1. Planificación dos contidos de cada clase.
2. Explicación en encerado (lección maxistral) ou equivalente mediante o emprego de videoconferencia.
3. Programación no ordenador dalgúns métodos.

CRITERIOS PARA A 1.ª OPORTUNIDADE DE AVALIACIÓN:
As competencias CG1, CG4 e CG5, así como a CE3 e a CM1, avalíanse mediante o proceso que se describe a continuación:

Para superar a materia será obrigatorio entregar os exercicios e as prácticas de programación encargadas polos profesores nos prazos que estes marquen. A cualificación final resultará dun exame escrito no que:

• Cada unha das dúas partes da materia, é dicir, Métodos Numéricos para EDO por unha banda e Sistemas Dinámicos pola outra, teñen un peso do 50% na nota final.
• A parte do exame dedicada a Métodos Numéricos para EDO reserva un 30% do seu valor para preguntas relacionadas coas prácticas de programación.

Os exames das dúas partes da materia non se realizan o mesmo día: un faise cando se remate de explicar a primeira parte (adoita ser a comezos de novembro) e o outro ao final do semestre.

Faise notar que, ao final do semestre, só se avalía a segunda parte da materia, e que non se fai outro exame sobre a primeira parte.

A asistencia ou non asistencia ás clases non terá incidencia algunha na cualificación.

CRITERIOS PARA A 2.ª OPORTUNIDADE DE AVALIACIÓN:
Os mesmos que para a primeira oportunidade de avaliación. Nesta ocasión, o exame escrito das dúas partes da materia realízase na mesma data.

As cualificacións parciais obtidas na primeira oportunidade non se gardan para a segunda. En particular, no caso de que unha/un estudante aprobe un dos dous exames, pero suspenda a materia, terá que examinarse de toda a materia na segunda oportunidade de avaliación.

Horas de traballo persoal, incluíndo horas de clase: aproximadamente 150h (25 horas por ECTS).

As prácticas de programación faranse en MATLAB®.

A orde na que se explican as dúas partes da materia, é dicir, Métodos Numéricos para EDO por unha banda e Sistemas Dinámicos pola outra, darase a coñecer a comezos de cada curso.

Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas, será de aplicación o recollido na “Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións” da USC.