Análise Funcional

Entender e asimilar os principios fundamentais da Análise Funcional no contexto dos espazos de Hilbert e dos espazos normados. Introducir as aplicacións ao estudo das ecuacións diferenciais.

1. Espazos de Hilbert. (1 h)
2. Espazos normados. Exemplos. (1 h)
3. Operadores. Adxunto dun operador. (2 h)
4. Espectro dun operador. (1 h)
5. Teorema de Lax-Milgram. (1 h)
6. Descomposición espectral dos operadores compactos e autoadxuntos. (2 h)
7. Ecuaciones integrais. (2 h)
8. Distribuciones. (2 h)
9. Espazos de Sobolev. (2 h)
10. Formulación variacional de problemas de fronteira. (2 h)

Bibliografía básica:
L. Abellanas, A. Galindo, Espacios de Hilbert (Geometría, Operadores, Espectros), EUDEMA, 1987.

Bibliografía complementaria:
H. Brezis, Análisis Funcional, Alianza Universidad Textos, 1984.
B. Cascales, J.M. Mira, J. Origuela, y M. Raja, Análisis Funcional. Electrolibris : Real Sociedad Matemática Española, 2013.
J. Cerdá, Linear Functional Analysis, American Mathematical Society, 2010.

COMPETENCIAS BÁSICAS E XENERAIS
CB6 - Posuír e comprender coñecementos que acheguen unha base ou oportunidade de ser orixinais no desenvolvemento e/ou aplicación de ideas, a miúdo nun contexto de investigación.
CB7 - Que os estudantes saiban aplicar os coñecementos adquiridos e a súa capacidade de resolución de problemas en contornas novas ou pouco coñecidos dentro de contextos máis amplos (ou pluri disciplinares) relacionados coa súa área de estudo.
CB8 - Que os estudantes sexan capaces de integrar coñecementos e enfrontarse á complexidade de formular xuízos a partir dunha información que, sendo incompleta ou limitada, inclúa reflexións sobre as responsabilidades sociais e éticas vinculadas á aplicación dos seus coñecementos e xuízos.
CB9 - Que os estudantes saiban comunicar as súas conclusións e os coñecementos e razóns últimas que as sustentan a públicos especializados e non especializados dun modo claro e sen ambigüidades
CB10 - Que os estudantes posúan as habilidades de aprendizaxe que lles permitan continuar estudando dun modo que haberá de ser en gran medida auto dirixido ou autónomo.
CG01 - Introducir na investigación aos e as estudantes, como parte integrante dunha formación profunda, preparándoos para a eventual realización posterior dunha tese doutoral.
CG02 - Adquisición de ferramentas matemáticas de alto nivel para diversas aplicacións cubrindo as expectativas de graduados en matemáticas e outras ciencias básicas.
CG03 - Coñecer o amplo panorama da matemática actual, tanto nas súas liñas de investigación, como en metodoloxías, recursos e problemas que aborda en diversos ámbitos.
CG04 - Capacitar para a análise, formulación e resolución de problemas en contornas novas ou pouco coñecidos, dentro de contextos máis amplos.
CG05 - Preparar para a toma de decisións a partir de consideracións abstractas, para organizar e planificar e para resolver cuestións complexas.

COMPETENCIAS TRANSVERSAIS
CT01 - Utilizar bibliografía e ferramentas de procura de recursos bibliográficos xenerais e específicos de Matemáticas, incluíndo o acceso por Internet.
CT02 - Xestionar de forma óptima o tempo de traballo e organizar os recursos dispoñibles, establecendo prioridades, camiños alternativos e identificando erros lóxicos na toma de decisións.
CT03 - Potenciar a capacidade para o traballo en contornas cooperativas e pluridisciplinarios.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
CE01 - Capacitar para o estudo e a investigación en teorías matemáticas en desenvolvemento.
CT02 - Xestionar de forma óptima o tempo de traballo e organizar os recursos dispoñibles, establecendo prioridades, camiños alternativos e identificando erros lóxicos na toma de decisións.
CE03 - Desenvolver as habilidades necesarias para a transmisión da matemática, oral e escrita, tanto no que respecta á corrección formal, como en canto á eficacia comunicativa, salientando o uso das TIC apropiadas.


Coñecemento dos elementos fundamentais da Análise Funcional. Utilización da Análise Funcional noutros campos das Matemáticas.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Máster en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela (USC).

A docencia está programada en clases expositivas e interactivas.

Docencia Expositiva (9 horas): As clases expositivas dedicaranse á presentación e desenvolvemento dos contidos esenciais da materia.

Docencia de seminario e laboratorio (12 horas).

Seguirase o criterio xeral de avaliación establecido na Memoria do Título de Máster en Matemáticas da USC.
Avaliación continuada mediante a participación na aula, exercicios entregados e traballos realizados.
A cualificación obtida na avaliación continua será válida nas dúas oportunidades correspondentes ao curso académico.

Os alumnos deberán realizar exposicións dalgunhas partes do temario e entregarán diversos exercicios propostos. A avaliación poderase completar mediante un exame escrito ou a realización dun traballo, ademais de considerar a participación activa nas clases e a realización dos exercicios propostos.
A avaliación continua medirá a participación activa na aula e a resolución de problemas ou exercicios encargados polo profesor sobre aspectos prácticos ou teóricos da materia, que poderán ser individuais ou en grupos e exercicios periódicos escritos e orais de carácter teórico-práctico.


Para o cómputo da cualificación final (CF) teranse en conta a cualificación da avaliación continua (AC) e a cualificación proba final (PF), e aplicarase a seguinte fórmula
CF=max(PF, AC).

Na segunda oportunidade empregarase o mesmo sistema de avaliación, coa mesma cualificación da avaliación continua, pero coa nota final correspondente á segunda oportunidade, que será un exame final escrito do mesmo tipo que o da primeira.

Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións.

O especificado na Memoria dos estudos de Máster en Matemáticas pola Universidade de Santiago de Compostela, é dicir:

TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
Clases expositivas (18 horas)
Clases con ordenador/laboratorio (5 h)
Titorías en grupo (1 h)

Total horas traballo presencial na aula 24.

TRABALLO PERSOAL DO ALUMNO
Estudo autónomo individual ou en grupo (33 horas)
Escritura de exercicios, conclusións e outros traballos (15 h)
Programación/experimentación e outros traballos en ordenador/laboratorio (3 h)

Total horas traballo persoal do alumno 51.

Recoméndase dispor dun bo coñecemento do Alxebra Lineal, das propiedades topolóxicas básicas dos Espazo Métricos e coñecementos da Teoria da Medida e de Ecuacións Diferenciais Ordinarias.