Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Introducir ó alumnado no campo da teoría cualitativa das Ecuacións Diferenciais Ordinarias (EDO), tanto dende o punto de vista teórico como práctico.

Poñer de manifesto o interese do estudio cualitativo das EDO pois permite deducir o comportamento das solucións, sen necesidade de resolver o sistema estudado. Esta resolución pode ser moi custosa en sistemas lineares de dimensión elevada, resultando imposible na maioría dos sistemas non lineares.

Abordar a estabilidade e inestabilidade dos puntos críticos do sistema, caracterizándoa no caso linear e nalgúns sistemas non lineares. Deducir condicións suficientes que garanten a estabilidade e inestabilidade no resto dos sistemas non lineares.

Motivar o estudo con modelos matemáticos que xorden de diferentes problemas en distintos campos científicos

Representar a evolución das órbitas dos distintos sistemas usando distintos programas informáticos.

1.- Sistemas autónomos en R^n. Propiedades. Motivacións e exemplos. Retrato de fases asociado a un campo de vectores. (4 horas expositivas aproximadamente)

2.- Estabilidade e estabilidade asintótica para sistemas lineares autónomos en R^n. Aplicacións. (3 horas expositivas aproximadamente)

3.- Estabilidade e estabilidade asintótica de solucións de sistemas autónomos non lineares. Aplicación a problemas de física, bioloxía ou medicina:
3.1.- Método da primeira aproximación. (3 horas expositivas aproximadamente)
3.2.- Método de Lyapunov. Rexión de atracción. (4 horas expositivas aproximadamente)

Bibliografía básica:

AGARWAL, R. P.; O’REGAN, D.; An Introduction to Ordinary Differential Equations. Springer, 2008.

DIZ PITA, É. Sistemas de ecuacións diferenciais autónomos en R^n. Unidades Didacticas USC. Editorial: Servicio de Publicacións e Intercambio Científico USC, 2022
https://dx.doi.org/10.15304/9788418445965 ISSN/ISBN 9788418445965

DIZ PITA, É.; OTERO ESPINAR, M. V.; Estabilidade de sistemas lineares. Unidades Didacticas USC. Editorial: Servicio de Publicacións e Intercambio Científico USC, 2022
https://dx.doi.org/10.15304/9788419155719, ISSN/ISBN 978-84-19155-71-9

DIZ PITA, É.; OTERO ESPINAR, M. V.; Estabilidade de sistemas non lineares. Unidades Didacticas USC. Servicio de Publicacións e Intercambio Científico USC, 2022
https://dx.doi.org/10.15304/9788419155702, ISSN/ISBN 978-84-19155-70-2


FERNANDEZ PÉREZ, C.; Ecuaciones Diferenciales I. Pirámide, 1992.

FERNANDEZ PÉREZ, C.; VEGAS MONTANER, J. M.; Ecuaciones Diferenciales II. Pirámide, 1996.

LOGEMANN, H.; RYAN, E.; Ordinary Differential Equations. Analysis, Qualitative Theory and Control. Springer, 2014.

PRECUP, R.; Ordinary Differential Equations. De Gruyter, 2018.

Bibliografía complementaria:

BRAUER, F.; NOHEL, J. A.; Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations. Benjamin, 1969.

BRAUM, M.; Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, 1990.

CODDINGTON, E. A.; LEVINSON, N.; Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, 1955.

CRONIN, J.; Ordinary Differential Equations. Introduction and Qualitative Theory. Chapman & Hall, 2008.

EDWARDWS, C. H.; PENNEY, D. E.; Ecuaciones Diferenciales. Prentice Hall, 2001.

GODUNOV, S. K.; Ordinary Differential Equations with Constant Coefficient. American Mathematical Society, 1997.

GUZMÁN, M.; Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Teoría de Estabilidad y Control. Alhambra, 1987.

HIRSCH, M. W.; SMALE, S.; Ecuaciones Diferenciales, Sistemas Dinámicos y Álgebra Lineal. Alianza Universidad, 1983.

JORDAN, D.W.; SMITH, P.; Nonlinear Ordinary Differential Equations. Oxford Univ. Press, 1999.

KRANTZ, S.; Differential Equations. Theory, Technique, and Practice with Boundary Value Poblems. CRC Press, 2016.

OTERO ESPINAR, M. V.; DIZ PITA, É.; Ecuacións diferenciais ordinarias: modelos esenciais aplicados a distintos ámbitos científicos. Esenciais USC. Servicio de Publicacións e Intercambio Científico USC, 2021. ISSN/ISBN 9788418445781

PEREZ GARCÍA, V. M., Problemas de Ecuaciones Diferenciales. Ariel, 2001.

SIMMONS, G. F.; Ecuaciones Diferenciales. McGraw-Hill. 1993.

SOTOMAYOR, J.; Liçoes de Equaçoes Diferenciais Ordinarias. I.M.P.A., 1979.

Nesta materia, tratarase de contribuír a que o alumnado consiga as seguintes competencias recollidas na memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC.

Competencias xerais:
CG1 - Coñecer os conceptos, métodos e resultados máis importantes das distintas ramas das Matemáticas, xunto con certa perspectiva histórica do seu desenvolvemento
CG2 - Reunir e interpretar datos, información e resultados relevantes, obter conclusións e emitir informes razoados en problemas científicos, tecnolóxicos ou doutros ámbitos que requiran o uso de ferramentas matemáticas.
CG3 - Aplicar tanto os coñecementos teórico-práctico adquiridos como a capacidade de análise e de abstracción na definición e formulación de problemas e na procura das súas solucións tanto en contextos académicos como profesionais
CG4 - Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, coñecementos, procedementos, resultados e ideas en Matemáticas tanto para un público especializado como non especializado.
CG5 - Estudar e aprender de forma autónoma, con organización de tempo e recursos, novos coñecementos e técnicas en calquera disciplina científica ou tecnolóxica.

Competencias específicas:
CE1 - Comprender e utilizar a linguaxe matemática
CE2 - Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática.
CE3 - Idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou negalas.
CE4 - Identificar erros en razoamentos incorrectos propoñendo demostracións ou contraexemplos.
CE5 - Asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionalo con outros xa coñecidos, e ser capaz de utilizalo en diferentes contextos
CE6 - Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais
CE7 - Propoñer, analizar, validar e interpretar modelos de situacións reais sinxelas, utilizando as ferramentas matemáticas máis adecuadas aos fins que se persigan
CE8 - Planificar e executar algoritmos e métodos matemáticos para resolver problemas no ámbito académico, técnico, financeiro ou social
CE9 - Utilizar aplicacións informáticas de análise estatística, cálculo numérico e simbólico, visualización gráfica, optimización e software científico, en xeral, para experimentar en Matemáticas e resolver problemas

Competencias transversais:
CT1 - Utilizar bibliografía e ferramentas de procura de recursos bibliográficos xenerais e específicos de Matemáticas, incluíndo o acceso por Internet
CT2 - Xestionar de forma excelente o tempo de traballo e organizar os recursos dispoñibles, establecendo prioridades, camiños alternativos e identificando erros lóxicos na toma de decisións
CT3 - Comprobar ou refutar razoadamente os argumentos doutras persoas
CT5 - Ler textos científicos tanto en lingua propia como noutras de relevancia no ámbito científico, especialmente a inglesa.

Ademais, as actividades formativas a desenvolver teñen como obxectivo que o alumnado adquira as seguintes competencias e resultados de aprendizaxe relacionados co módulo de Ecuacións Diferenciais:
Comprender, aprender e saber expresar con rigor os conceptos e técnicas que se desenvolven no programa.
Extraer información cualitativa, sen necesidade da súa resolución, das solucións dunha Ecuación Diferencial Ordinaria.
Dominar a caracterización da estabilidade de sistemas lineares.
Coñecer técnicas de estudo da estabilidade de sistemas non lineares.
Coñecer exemplos relevantes de ecuacións diferenciais da física e doutras ciencias.
Traducir en termos de ecuacións diferenciais ordinarias algúns problemas das ciencias aplicadas (física, química, bioloxía, medicina, etc.).
Utilizar as técnicas matemáticas estudadas, para facer o estudo dinámico das ecuacións obtidas (diagramas de fases, estabilidade, etc.) e interpretar os resultados, avaliando as fortalezas e debilidades do modelo proposto.

Traballaranse de forma especial: A expresión rigorosa e clara, tanto oral como escritura, o razoamento lóxico e identificación de erros nos procedementos, a capacidade de abstracción, a creatividade, o traballo en equipo, o desenvolvemento da capacidade de análise na resolución de problemas e a actitude crítica ante diferentes solucións.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela (USC).
A docencia está programada en clases expositivas e interactivas, algunhas das cales consistirán en prácticas con ordenador.

Docencia Expositiva (14 horas): As clases expositivas dedicaranse á presentación e desenvolvemento dos contidos esenciais da materia.

Docencia de seminario e laboratorio (28 horas): As clases interactivas de seminario (14 horas) estarán dedicadas á presentación de exemplos e resolución de problemas (tanto teóricos como do ámbito das aplicacións). Nas clases interactivas de laboratorio (14 horas) organizaranse traballos individuais ou en grupo e propoñeranse problemas para que sexan resoltos polo alumnado. Nestas clases, a discusión e debate co alumnado, así como a resolución e exposición pola súa banda das tarefas propostas, é fundamental para que se practiquen e afiancen os coñecementos e se traballen algunhas das competencias mencionadas. O alumnado manexará paquetes informáticos de cálculo simbólico relativas aos contidos da materia.

Titorías (2 horas): As sesións de titorías están deseñadas para estimular a actividade do alumnado fóra da clase. Estas titorías en grupos moi reducidos servirán para que o alumnado poida examinar en cada momento o seu proceso de aprendizaxe.

Todas as actividades formativas realizadas en cada grupo estarán coordinadas para garantir a equivalencia formativa de todos os grupos da materia.

De forma xenérica empregarase o curso virtual ou a plataforma Teams como mecanismo para achegar ó alumnado os recursos necesarios para o desenvolvemento da materia (apuntamentos, boletíns de exercicios, etc.).

A docencia expositiva e interactiva será presencial e complementarase co curso virtual da materia ou a plataforma MS Teams, na que o alumnado atopará materiais bibliográficos, boletíns de problemas, e outros materiais didácticos.

As titorías serán presenciais, se ben poderán realizarse parcialmente a través do correo electrónico ou mediante MS Teams.

Para o cómputo da cualificación final teranse en conta a cualificación da avaliación continua e a cualificación do exame final.

A avaliación continua estará formada por, entre unha e dúas tarefas intermedias, que consistirán na realización dun traballo ao longo do curso ou probas intermedias en datas anunciadas coa suficiente antelación e coordinadas co resto das materias do curso.

A través das distintas actividades propostas avaliaranse, por suposto contextualizando a materia en 3º curso de grao, a adquisición de competencias, como CB2, CB3, CB4, CG2, CG3, CG4, CT1, CT2, CT3, CE7, CE8, CE9 ou a capacidade de traballo en equipo e a de aprendizaxe autónoma. A cualificación obtida na avaliación continua aplicarase nas dúas oportunidades dun mesmo curso académico (primeiro semestre e xullo).

Realizarase un exame final escrito, que permita comprobar o coñecemento adquirido en relación cos conceptos e resultados da materia e a capacidade da súa aplicación a casos concretos, tanto de carácter teórico como aplicado. Co exame escrito que consistirá en cuestións teóricas ou prácticas, ademais das competencias específicas da materia, avaliaranse as competencias CB1, CB2, CB4, CB5, CG1, CG3, CG4, CE1, CE2, CE3, CE4, CE5, CE6.

Se ben non serán os mesmos nos distintos grupos, tanto as actividades de avaliación continua como o exame final estarán coordinadas para garantir a equivalencia formativa de todos os grupos da materia.

Coa nota da avaliación continua formativa (C) e a nota da proba final presencial (F) calcularase a nota final na materia (NF) segundo a seguinte fórmula:

NF=max{F,0.4*C+0.6*F}

Entenderase como NON PRESENTADO quen non se presente á proba final.

Na segunda oportunidade empregarase o mesmo sistema de avaliación pero coa proba correspondente á segunda oportunidade, que será un exame final escrito do mesmo tipo que a da primeira.

As tarefas da avaliación continua poderán ser realizadas e/ou entregadas presencialmente ou a través da aula virtual ou MS Teams segundo corresponda en cada caso.

A proba final realizarase presencialmente.

TRABALLO PRESENCIAL NO AULA
Clases expositivas (14 h)
Clases de seminario (14 h)
Clases de laboratorio (14 h)
Titorías en grupos moi reducidos (2 h)

Total horas traballo presencial no aula: 44

TRABALLO PERSOAL DO ESTUDANTE
Estudo autónomo individual ou en grupo (42 h)
Escritura de exercicios, conclusións e outros traballos (15 h)
Programación/experimentación e outros traballos en ordenador (7.5 h)
Lecturas aconselladas, actividades en biblioteca ou similar (5h)

Total horas traballo persoal do estudante: 68.5

TOTAL: 112,5 horas

O alumnado deberá manexar con soltura os temas estudados nas materias “Introdución á Análise Matemática”, “Continuidade e Diferenciabilidade de Funcións Dunha Variable Real”, “Integración de Funcións Dunha Variable Real”, “Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais” e “Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias”.

Partindo desta situación, deberá traballar con regularidade (a diario) e rigor. É fundamental participar activamente no proceso de aprendizaxe da materia, asistir con regularidade ás clases, tanto teóricas como prácticas, dun modo participativo, especialmente nas clases en grupos reducidos e titorías, formulando as preguntas pertinentes que lle permitan aclarar as dúbidas que lle poidan xurdir en relación coa materia.