Linguaxe Matemática, Conxuntos e Números

Esta é unha materia sobre os fundamentos das matemáticas que ofrece unha preparación para as demais materias da titulación de matemáticas. O alumnado desenvolverá bos hábitos de comprensión, comunicación e escritura matemáticas. Nela traballaranse métodos e técnicas de razoamento, principalmente de matemática discreta. Estes métodos aplicaranse para resolver varios problemas interesantes. Poderíase dicir que se trata dunha materia sobre entender e pensar, e non sobre calcular e memorizar regras.
O programa explora temas que involucran números, conxuntos e funcións. Con propiedades elementais deles, e a lóxica como base, pasamos á indución e á cardinalidade. En matemática discreta consideramos as técnicas de enumeración. O estudio dos números naturais inclúe as propiedades de divisibilidade e a aritmética modular.

1. Introdución á lóxica matemática. (1 hora expositiva)
1.1. Necesidade e importancia da linguaxe lóxica: Paraloxismos.
1.2. Lóxica proposicional: Proposicións atómicas e moleculares.
1.3. Táboas de verdade. Tautoloxías e contradicións.
1.4. O proceso de dedución. Razoamentos e demostracións formais no cálculo proposicional.

2. Conxuntos. (4 horas expositivas)
2.1. Conxuntos e elementos. Subconxuntos: Partes dun conxunto.
2.2. Representacións gráficas: Diagramas de Venn.
2.3. Conxunto referencial. Operacións con conxuntos: Propiedades. A álxebra de Boole das partes dun conxunto.
2.4. Recubrimento e partición. Unión disxunta e produto cartesiano.

3. Aplicacións. (4 horas expositivas)
3.1. Concepto de aplicación. Gráfica dunha aplicación: Exemplos.
3.2. Tipos de aplicacións: Inxectiva, sobrexectiva e bixectiva.
3.3. Composición de aplicacións: Propiedades. Aplicación inversa.
3.4. Extensións dunha aplicación ao conxunto de partes.

4. Relacións. (6 horas expositivas)
4.1. Noción de relación. Composición de relacións. Relación inversa.
4.2. Representacións gráficas.
4.3. Relacións binarias nun conxunto: Propiedades. Relación inducida.
4.4. Relacións de equivalencia: Clases de equivalencia: Propiedades. Conxunto cociente.
4.5. Factorización canónica dunha aplicación.
4.6. Relacións de orde:Representacións gráficas: Diagramas de Hasse (árbores). Orde total e parcial. Elementos destacados nun conxunto ordenado. Cadeas, retículos e conxuntos ben ordenados.

5. Conxuntos infinitos. (3 horas expositivas)
5.1. Conxuntos finitos e infinitos.
5.2. Os números naturais como clases de conxuntos finitos equipotentes.
5.3. Principio de indución. Operacións e orde en N.
5.4. Conxuntos numerables e non numerables. Os números racionais.
O procedemento diagonal e a non numerabilidade de R.
5.5. O axioma de elección e o lema de Zorn.

6. Combinatoria. (3 horas expositivas)
6.1. Variacións. Variacións con repetición.
6.2. Números factoriais. Permutacións. Permutacións con repetición.
6.3. Números combinatorios. Combinacións.
6.4. Combinacións con repetición.
6.5. Principio de inclusión-exclusión. Enumeración das aplicacións sobrexectivas.
6.6. O triángulo de Tartaglia-Pascal. O binomio de Newton.

7. Aritmética enteira e modular. (7 horas expositivas)
7.1. Operacións binarias.
7.2. Números enteiros e estrutura de (Z,+). Propiedades de Z.
7.3. Divisibilidade. Números primos e o teorema fundamental da aritmética.
7.4. Máximo común divisor e mínimo común múltiplo. Teorema de Bézout.
7.5. Algoritmo de Euclides. Algoritmo de Euclides estendido.
7.6. Aritmética modular. Os aneis Z/(n). Congruencias. Unidades módulo n. O teorema de Euler-Fermat.
7.7. Ecuacións diofánticas. Resolución de ecuacións diofánticas lineais.
7.8. Números enteiros coprimos: O teorema chinés dos restos.
7.9. Polinomios nunha variable.

Bibliografía básica:

F. Aguado, F. Gago, M. Ladra, G. Pérez, C. Vidal, A. M. Vieites: Problemas resueltos de Combinatoria. Laboratorio de Sagemath, Ed. Paraninfo, S.A., 2018.
J.P. D’Angelo, D. B. West: Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2ª ed., Prentice Hall, 2000.
V. Fernández Laguna: Teoría básica de conjuntos, Anaya, 2004.
M. A. Goberna, V. Jornet, R. Puente, M. Rodríguez: Álgebra y Fundamentos: una Introducción, Ariel, 2000.
K. H. Rosen: Matemática Discreta y sus Aplicaciones, 5ª ed., McGraw-Hill, 2004.


Bibliografía complementaria:

M. Anzola, J. Caruncho: Problemas de Álgebra (Conjuntos-Estructuras), BUMAR, 1982.
E. D. Bloch: Proofs and Fundamentals A First Course in Abstract Mathematics, Springer, 2011.
T. S. Blyth, E. F. Robertson: Sets, Relations and Mappings, Cambridge University Press, 1984.
R. Courant, H. Robbins: What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 1941
(2ª ed., rev. por Ian Stewart, Oxford University Press, 1996). Tr.: ¿Qué es la Matemática?, FCE, 2003.
D. E. Ernts: An Introduction to Proof via Inquiry-Based Learning, AMS/MAA Textbooks Vol. 73, 2022.
H. Rademacher, O. Toeplitz: Números y Figuras. Alianza editorial, 1970.

CB1 - Que os estudantes demostrasen posuír e comprender coñecementos nunha área de estudo que parte da base da educación secundaria xeral, e adóitase atopar a un nivel que, aínda que se apoia en libros de texto avanzados, inclúe tamén algúns aspectos que implican coñecementos procedentes da vangarda do seu campo de estudo.
CB2 - Que os estudantes saiban aplicar os seus coñecementos ao seu traballo ou vocación dunha forma profesional e posúan as competencias que adoitan demostrarse por medio da elaboración e defensa de argumentos e a resolución de problemas dentro da súa área de estudo.
CB4 - Que os estudantes poidan transmitir información, ideas, problemas e solucións a un público tanto especializado como non especializado.
CB5 - Que os estudantes desenvolvesen aquelas habilidades de aprendizaxe necesarias para emprender estudos posteriores cun alto grao de autonomía.
CG2 - Reunir e interpretar datos, información e resultados relevantes, obter conclusións e emitir informes razoados en problemas científicos, tecnolóxicos ou doutros ámbitos que requiran o uso de ferramentas matemáticas.
CG5 - Estudar e aprender de forma autónoma, con organización de tempo e recursos, novos coñecementos e técnicas en calquera disciplina científica ou tecnolóxica.
CT1 - Utilizar bibliografía e ferramentas de procura de recursos bibliográficos xenerais e específicos de Matemáticas, incluíndo o acceso por Internet.
CT2 - Xestionar de forma óptima o tempo de traballo e organizar os recursos dispoñibles, establecendo prioridades, camiños alternativos e identificando erros lóxicos na toma de decisións.
CT3 - Comprobar ou refutar razoadamente os argumentos doutras persoas.
CT4 - Traballar en equipos interdisciplinares, achegando orde, abstracción e razoamento lóxico.
CT5 - Ler textos científicos tanto en lingua propia como noutras de relevancia no ámbito científico, especialmente a inglesa.
CE1 - Comprender e utilizar a linguaxe matemática.
CE6 - Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais.
CE7 - Propoñer, analizar, validar e interpretar modelos de situacións reais sinxelas, utilizando as ferramentas matemáticas máis adecuadas aos fins que se persigan.

A distribución semanal da materia será a seguinte: 2 horas de clases expositivas, 1 hora de clase de seminario e 1 hora de laboratorio.
As clases expositivas en grupo grande adicaranse á exposición dos contidos fundamentais da disciplina, coa exposición da teoría, resolución de problemas e presentación dalgúns exercicios.
As clases de seminarios en grupo reducido tratarán de aspectos complementarios da materia, realización de problemas e exercicios e a súa corrección por parte dos profesores.
Nos laboratorios en grupo reducido o protagonismo fundamental será dos alumnos, que deberán presentar exercicios e exposicións relacionados coa materia.
Nas titorías en grupo moi reducido farase un seguimento personalizado da aprendizaxe dos alumnos e o desenvolvemento das competencias especificadas.

O sistema de avaliación será coordinado para os dous grupos da materia.

Prevese como criterio de avaliación a avaliación continua combinada cunha proba final. Esta proba final celebrarase na data fixada pola Facultade de Matemáticas para ese efecto. A proba será a mesma para todos os alumnos da materia.

Ao longo do curso poderase realizar exercicios cualificables nas clases. A avaliación continua consistirá na resolución individual de tarefas (unha ou dúas no curso) e probas (unha ou dúas no curso), probas que puideran non coincidir para os distintos grupos pero estarán coordinadas e serán similares.

Para o cómputo da cualificación final (F) terase en conta a avaliación continua (C) e a cualificación do exame final (E) e aplicarase a seguinte fórmula:

F=max (E, 0.25*C+0.75*E)

Estas mesmas porcentaxes serán tamén de aplicación no período extraordinario de xullo.

As probas escritas conterán preguntas de teoría, cuestións teórico-prácticas e exercicios con obxecto de avaliar os coñecementos e competencias adquiridas.

Considerarase "Non presentado" o estudante que non acuda a ningunha das dúas oportunidades correspondentes.

Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na Normativa de Avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións.

Horas presenciais:
- Clases expositivas: 28 horas.
- Clases interactivas de seminario: 14 horas.
- Clases interactivas de laboratorio: 14 horas.
- Titorías en grupo moi reducido: 2 horas.
Total horas presenciais: 58

Horas de traballo persoal do alumno:
- Estudo autónomo individual o en grupo: 47 horas.
- Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos: 45 horas.


Total volume de traballo: 150 horas.

Asistencia continuada ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases. Aproveitar as titorías tan pronto como xurdan dificultades.