Introdución á Analise Matemática

Introducir ao alumno, co apoio esencial de exemplos e práctica, na comprensión da primeira estrutura da Análise Matemática: o corpo ordeado e completo dos números reais.

Introducir e consolidar, con exemplos e exercicios, as nocións de converxencia de sucesións e series numéricas.

Presentar, practicando coas distintas notacións, as operacións cos números complexos.

1. NÚMEROS REAIS (aprox. 8 clases expositivas)
1.1 Números naturais. Principio de indución.
1.2 Números racionais. Numerabilidade.
1.3 Axiomática dos números reais (R). Axioma do supremo e consecuencias.
1.4 Propiedade arquimediana de R. Densidade de Q en R. Topoloxía da recta real.

2. SUCESIÓNS DE NÚMEROS REAIS (aprox. 10 clases expositivas)
2.1 Introdución intuitiva aos conceptos de sucesión e límite. Xeneralidades.
2.2 Sucesións converxentes e os seus límites. Propiedades.
2.3 Límites infinitos.
2.4 Converxencia e diverxencia de sucesións monótonas.
2.5 Subsucesións. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Límites de oscilación.
2.6 Sucesións de Cauchy. Completitude de R.
2.7 Cálculo de límites. Criterios de Stirling e Stolz.

3. SERIES DE NÚMEROS REAIS (aprox. 8 clases expositivas)
3.1 Introdución intuitiva aos conceptos de serie e a súa suma.
3.2 Series numéricas. Converxencia de series.
3.3 Series de termos non negativos. Criterios de converxencia.
3.4 Converxencia absoluta e condicional. Criterios de converxencia non absoluta.
3.5 Expresión decimal en R e outros sistemas de numeración.

4. NÚMEROS COMPLEXOS (aprox. 2 clases expositivas)
4.1 Números complexos. Forma binómica e operacións elementais.
4.2 Forma exponencial e as súas consecuencias: potencias, raíces e fórmulas de Euler e de Moivre.

BÁSICA:

[1] T.M. Apostol. Análisis Matemático (2ª Ed.). Reverté, 1979.

[2] R.G. Bartle e D.R. Sherbert. Introducción al Análisis Matemático de una Variable (3ª Ed.). Limusa Wiley, 2010.

[3] R. Figueroa Sestelo e Ó.A. Otero Zarraquiños. Números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022.

[4] R. Figueroa Sestelo e Ó.A. Otero Zarraquiños. Números complexos. Universidade de Santiago de Compostela, 2022.

[5] R. Figueroa Sestelo e Ó.A. Otero Zarraquiños. Series de números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022.

[6] R. Figueroa Sestelo e Ó.A. Otero Zarraquiños. Sucesións de números reais. Universidade de Santiago de Compostela, 2022.

COMPLEMENTARIA:

[1] S. Behar Jequín, R. Roldán Inguanzo e A. Arredondo Soto. Análisis matemático real: ejercicios y problemas. Universidad de La Habana, 2021.
https://elibro-net.ezbusc.usc.gal/es/lc/busc/titulos/196988

[2] J. Casasayas e M.C. Cascante. Problemas de Análisis Matemático de una variable real. Edunsa, 1990.

[3] A. García López et al. Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable (2ª Ed.). Clagsa, 1994.

[4] R. Magnus. Fundamental Mathematical Analysis. Springer Cham, 2020.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-46321-2

[5] T. Radozycki. Solving problems in Mathematical Analysis, Part I. Springer Nature, 2020.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-35844-0

[6] B.S.W. Schröder. Mathematical Analysis: A Concise Introduction, John Wiley & Sons, 2007.
https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/9780470226773

[7] M. Spivak. Calculus (2ª Ed.). Reverté, 1994.

Ademais de contribuir a acadar as competencias básicas, xerais e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela (USC), e que poden consultarse en http://www.usc.es/export/sites/default/gl/servizos/sxopra/memorias_grao…, esta materia permitirá acadar as seguintes competencias específicas:

CE1 - Comprender e utilizar a linguaxe matemática;
CE2 - Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática;
CE3 - Idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou refutalas;
CE4 - Identificar erros en razoamentos incorrectos, propoñendo demostracións ou contraexemplos;
CE5 - Asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionalo con outros xa coñecidos, e ser capaz de utilizalo en diferentes contextos;
CE6 - Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC.

A docencia está programada en clases teóricas, prácticas en grupo reducido e titorías.

Nas clases teóricas presentaranse os contidos esenciais da disciplina e permitirán o traballo das competencias básicas, xerais e transversais, ademais das competencias específicas CE1, CE2, CE5 e CE6. Pola súa parte, nas sesións interactivas proporanse problemas ou exercicios de realización máis autónoma, e que permitirán facer énfase na adquisición das competencias específicas CE3 e CE4, así como nas competencias transversais CT1, CT2, CT3 e CT5. Por último, as titorías dedicaranse á discusión e debate cos estudantes e á resolución das tarefas propostas coas que se pretende que os estudantes practiquen e afiancen os coñecementos e as competencias transversais anteriormente citadas.

A docencia expositiva e interactiva será presencial e complementarase co curso virtual da materia, no que o alumnado atopará material docente como apuntamentos, boletíns de problemas, etc.

As titorías serán presenciais ou a través do correo electrónico ou de MS TEAMS.

A avaliación realizarase combinando unha avaliación continua formativa cunha proba final.

A avaliación continua consistirá nunca proba de carácter teórico-práctico e polo menos unha entrega dunha actividade breve realizada en clase.

Na proba entrarán os contidos dos temas 1 e 2 e terá un peso do 70% dentro da nota da avaliación continua. As actividades realizadas na clase terán un peso do 30% da cualificación da avaliación continua.

No exame final escrito, medirase o coñecemento conseguido polo alumnado en relación aos conceptos e resultados da materia, tanto desde o punto de vista teórico como práctico, valorando tamén a claridade e o rigor lóxico mostrado na exposición dos mesmos.

Tanto na avaliación continua como no exame final avaliaranse as competencias específicas desde a CE1 ata a CE6.

Para o cómputo da cualificación final (CF) teranse en conta a cualificación da avaliación continua (EC) e a cualificación do exame final (EF), e aplicarase a fórmula CF = EC/3 + (1- EC/30) EF. Para detalles desta formulación pode consultarse o traballo:
Xavier Bardina, Eduardo Liz, "Matemáticas e avaliación", MATerials MATemàtics, 2011, 6, 19 pp.
http://www.mat.uab.cat/matmat/pdfv2011/v2011 n06.pdf

As probas de avaliación continua poderán non coincidir para os dous grupos expositivos, pero, en calquera caso, os profesores de ambos os grupos coordinaranse para garantir a equivalencia formativa de todo o alumnado da materia. A proba final de cada oportunidade será a mesma para os dous grupos expositivos.

Entenderase como non presentado todo/a estudante que non realizase o exame final.

Na segunda oportunidade utilizarase o mesmo sistema de avaliación, pero coa proba correspondente á segunda oportunidade, que será un exame do mesmo tipo que o da primeira.

Advertencia. Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas (plaxios ou uso indebido das tecnoloxías) será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións.

TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
Clases expositivas (28 horas)
Clases interactivas de seminario (14 horas)
Clases interactivas de laboratorio (14 horas)
Titorías en grupos moi reducidos (2 horas)
Total de horas de traballo presencial na aula: 58

TRABALLO PERSOAL DO ALUMNO
Estudo autónomo individual ou en grupo (57 horas)
Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos (20 horas)
Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio (10 horas)
Lecturas recomendadas, actividades en biblioteca ou similar (5 horas)
Total de horas de traballo persoal do alumno: 92

Estudar diariamente coa utilización de material bibliográfico. Ler atenta e coidadosamente a parte teórica ata asimilala e, a continuación, dar resposta ás cuestións, exercicios ou problemas correspondentes. Seguir as indicacións que poida dar o profesor ao longo do curso.