Variedades Diferenciables

Os obxectos básicos da Xeometría Diferencial moderna son as variedades diferenciables; estas son espazos que se comportan localmente como os espazos euclidianos e posúen unha estrutura adicional que permite o desenvolvemento dos conceptos elementais do cálculo.

Nesta materia exporanse as nocións básicas da teoría das variedades diferenciables, e coñeceranse os fundamentos, métodos e finalidade da Xeometría Diferencial no contexto das variedades. Introduciranse as nocións de variedade e subvariedade, destacando o punto de vista global e, por outra parte, aprenderase a traballar con coordenadas, consideraranse os campos de vectores e as formas diferenciais en variedades, definirase a diferencial exterior de formas diferenciais e estudarase o cálculo integral de formas en variedades diferenciables, probando unha versión xeral do teorema de Stokes e mostrando algunhas aplicacións e casos particulares clásicos como o teorema de Green, o teorema da diverxencia de Gauss e o teorema de Stokes do cálculo.

Os principais obxectivos son:

• Comprender os conceptos básicos da xeometría diferencial no contexto xeral das variedades diferenciables.
• Trasladar ás variedades as destrezas adquiridas no cálculo diferencial, exterior e integral dos modelos locais, os espazos euclidianos.
• Recoñecer a teoría de variedades como unha xeneralización da teoría de curvas e superficies así como do cálculo diferencial e integral nos espazos euclidianos.
• Apreciar o poder da xeneralización e a abstracción no desenvolvemento das teorías matemáticas.

1. Variedades diferenciables. Aplicacións diferenciables entre variedades. (8 horas expositivas)
2. El espacio vectorial tangente. Aplicación lineal tanxente. (6 horas expositivas)
3. Subvariedades regulares. (5 horas expositivas)
4. Campos de vectores sobre unha variedade diferenciable. Curvas integrais. (5 horas expositivas)
5. Formas diferenciais. O exterior diferencial. (5 horas expositivas)
6. Orientacións nas variedades diferenciables. (5 horas expositivas)
7. Integración de formas en variedades. Teorema de Stokes. (8 horas expositivas)

Bibliografía básica

LEE, John M., Introduction to Smooth Manifolds, Springer, Berlin, 2003, 2013.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-9982-5

TU, Loring W., An Introduction to Manifolds, Springer, New York, 2008, 2011.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-7400-6

WARNER, Frank W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, Berlin, 1983.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-1799-0


Bibliografía complementaria

BERGER, M.; GOSTIAUX, B., Differential Geometry: Manifolds, Curves, and Surfaces. Springer, Berlin, 1988.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-1033-7

BRICKELL, F.; CLARK, R.S., Differentiable Manifolds. Van Nostrand, London, 1970.

BOOTHBY, W.M., An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Academic Press, New York, 1986.

CONLON, L., Differentiable Manifolds. A first Course. Birkhäuser, Boston, 2001.

GAMBOA, J.M; RUIZ, J.M., Introducción al estudio de las Variedades Diferenciables. Editorial Sanz y Torres, 2016.

LEE, Jeffrey M., Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society, Providence, RI, 2009.
Primeiro capítulo dispoñible en https://bookstore.ams.org/gsm-107/16

MATSUSHIMA, Y., Differentiable Manifolds. Marcel Dekker, New York, 1972.

Ademáis das competencias básicas, xerais e transversais do Grao de Matemáticas, traballaranse as seguintes competencias ESPECÍFICAS do grao:

CE1 - Comprender e utilizar a linguaxe matemática.

CE2 - Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática.

CE3 - Idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou negalas.

CE4 - Identificar erros en razoamentos incorrectos propoñendo demostracións ou contraexemplos.

CE5.- Asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionalo con outros xa coñecidos, e ser quen de utilizalo en diferentes contextos.

CE6.- Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais.

Para presentar os aspectos máis destacados da materia haberá unha explicación teórica por parte do profesor, que se complementará, ás veces na mesma sesión, suxerindo cuestións e problemas. Trataranse os problemas especialmente nas clases de laboratorio.

Haberá un curso virtual.

A docencia expositiva e a interactiva serán de carácter presencial. As tutorías poden ser presenciais ou realizarse de xeito virtual. A comunicación cos alumnos, amais de presencial, tamén se poderá facer a través dos foros do curso virtual e do correo electrónico.

Sen prexuízo do criterio xeral de avaliación para todas as materias do Grao de Matemáticas, para o cómputo da cualificación final considerase a avaliación continua e o exame final.

Avaliación continua (25%). A avaliación continua levarase a cabo a través de controis individuais escritos sobre aspectos prácticos, teóricos ou de aplicabilidade dos conceptos da materia.
A cualificación obtida na avaliación continua aplicarase nas dúas oportunidades dun mesmo curso académico.

Exame final (75%). Realizarase un exame final escrito, que permita comprobar o coñecemento adquirido en relación cos conceptos e resultados da materia e a capacidade da súa aplicación a casos concretos.
O exame escrito constará dunha parte de teoría que pode abarcar definición de conceptos, enunciado de resultados, ou proba total ou parcial deles, e outra parte que consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos ós propostos ó longo do curso.

A cualificación final será o máximo da correspondente ao exame final e a nota do exame final ponderada coa evaluación continua.

Ademais das competencias específicas da materia, avaliaranse as competencias CX1, CX3, CX4, CE1, CE2, CE3, CE4, CE5 e CE6.

Para o caso de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e revisión de cualificacións:
Artigo 16. Realización fraudulenta de exercicios ou probas: A realización fraudulenta dalgún exercicio ou proba esixida na avaliación dunha materia implicará a cualificación de suspenso na convocatoria correspondente, con independencia do proceso disciplinario que se poida seguir contra o alumno infractor. Considerarse fraudulenta, entre outras, a realización de traballos plaxiados ou obtidos de fontes accesibles ó público sen reelaboración ou reinterpretación e sen citas ós autores e das fontes.

Clases expositivas: 42 horas
Clases interactivas: 14 horas
Titorías en grupos moi reducidos: 2 horas
Actividades de avaliación: 4 horas
Tempo de traballo persoal non presencial: 88 horas

Total: 150 horas

Dado o seu carácter formativo, amais do seu valor cara a cualificación final, recoméndase a participación nas actividades de avaliación continua.

Débense ter coñecementos de topoloxía xeral e de diferenciación e integración de funcións de varias variables reais.

Para o caso de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na "Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e revisión de cualificacións".