Teoría Global de Superficies

Usar o cálculo diferencial e integral e a topoloxía euclidiana para o estudo de curvas e superficies no espazo euclidiano 3-dimensional. Saber aplicar as ecuacións diferenciais e as integrais de liña e de superficie para determinar propiedades globais de curvas e superficies. Traballar con campos de vectores tanxentes e normais a unha superficie e entender o transporte paralelo de vectores ao longo de curvas sobre superficies. Saber recoñecer as xeodésicas nas superficies. Asimilar as propiedades e teoremas máis destacados da xeometría diferencial global de superficies, incluíndo a orientabilidade e o teorema de Gauss-Bonnet.

0. Repaso de nocións básicas de curvas e superficies regulares (2 horas expositivas)

1. Orientación de superficies (4 horas expositivas)
1.1 Campos de vectores tanxentes e normais a unha superficie regular.
1.2 Orientabilidade. Atlas orientados. Caracterización da orientabilidade das superficies regulares. Bases orientadas.

2. Derivada covariante e xeodésicas (12 horas expositivas)
2.1 Derivada covariante. Campos de vectores paralelos.
2.2 Xeodésicas: definición e exemplos. Existencia e unicidade das xeodésicas nunha superficie.
2.3 Curvatura xeodésica.
2.4 Transporte paralelo dun vector tanxente ó longo dunha curva.

3. A aplicación exponencial (9 horas expositivas)
3.1 Aplicación exponencial. Coordenadas normais e coordenadas polares xeodésicas. Lema de Gauss.
3.2 Carácter minimizante das xeodésicas.

4 Teorema de Gauss-Bonnet (12 horas expositivas)
4.1 Ángulo de rotación dunha curva plana regular a cachos. A curvatura xeodésica nunha parametrización ortogonal. Teorema local de Gauss-Bonnet.
4.2 Triangulacións e característica de Euler-Poincaré. Teorema global de Gauss-Bonnet.
4.3 Consecuencias do Teorema de Gauss-Bonnet.

5. Superficies compactas en R^3. A rixidez da esfera (3 horas expositivas)
5.1 Lema de Hilbert. Teorema de Liebmann. Teorema da Rixidez da esfera.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
CARMO do, Manfredo Perdigão. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall. Englewood Cliffs, 1976. (versión castelán, Alianza Editorial, 1990).

HERNÁNDEZ CIFRE, María de los Ángeles & PASTOR GONZÁLEZ, José Antonio. Un curso de Geometría Diferencial. CSIC, Madrid, 2010.


BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

ARAÚJO, Paulo Ventura. Geometria Diferencial. Coleçao Matemática Universitaria. IMPA, Río de Janeiro 1998.

ABATE, Marco & TOVENA, Francesca. Curves and Surfaces. Springer-Verlang Italia, 2012.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-1941-6

ABBENA, Elsa; GRAY, Alfred & SALAMON, Simon. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition. Taylor & Francis Group 2006

MONTIEL, Sebastián & ROS Antonio. Curvas y superficies, Proyecto Sur D.L., Granada, 1998.

RODRÍGUEZ-SANJURJO, José Manuel; RUÍZ, Jesús María. Introducción a la Geometría Diferencial II: Superficies. Ed. Sanz y Torres, 2019

COMPETENCIAS XERAIS
CX1.- Coñecer os conceptos, métodos e resultados máis importantes das distintas ramas das Matemáticas, xunto con certa perspectiva histórica do seu desenvolvemento.
CX3.- Aplicar tanto os coñecementos teórico-prácticos adquiridos como a capacidade de análise e de abstracción na definición e formulación de problemas e na procura das súas solucións tanto en contextos académicos como profesionais.
CX4.- Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, coñecementos, procedementos, resultados e ideas en Matemáticas tanto a un público especializado como non especializado.
CX5.- Estudar e aprender de forma autónoma, con organización de tempo e recursos, novos coñecementos e técnicas en calquera disciplina científica ou tecnolóxica.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
CE1.- Comprender e utilizar a linguaxe matemática.
CE2.- Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática.
CE3.- Idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou negalas.
CE4.- Identificar erros en razoamentos incorrectos propoñendo demostracións ou contra exemplos.
CE5.- Asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionalo con outros xa coñecidos, e ser quen de utilizalo en diferentes contextos.
CE6.- Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais.

COMPETENCIAS TRANSVERSAIS
CT1.- Utilizar bibliografía e ferramentas de busca de recursos bibliográficos xenerais e específicos de Matemáticas, incluíndo o acceso por Internet.
CT2.- Xestionar de forma óptima o tempo de traballo e organizar os recursos dispoñibles, establecendo prioridades, camiños alternativos e identificando erros lóxicos na toma de decisións.
CT3.- Comprobar ou refutar razoadamente os argumentos doutras persoas.
CT5.- Ler textos científicos tanto en lingua propia como noutras de relevancia no ámbito científico, especialmente a inglesa.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela (USC).

A docencia está programada en clases Expositivas, Interactivas e Titorías (en grupos moi reducidos).

Docencia Expositiva: As clases expositivas dedicaranse á presentación e desenvolvemento dos contidos esenciais da materia.

Docencia Interactiva: As clases interactivas estarán dedicadas á presentación de exemplos e resolución de problemas (tanto teóricos como do ámbito das aplicacións). Organizaranse traballos individuais ou en grupo e proporanse problemas para que sexan resoltos polo alumnado. A participación deberá ser máxima nas clases de docencia interactiva, nas que a discusión, debate e resolución co alumnado das tarefas propostas teñen como obxectivo que practiquen e afiancen os seus coñecementos e traballen algunhas das competencias mencionadas.

Titorías: As sesións de titorías están deseñadas especialmente para estimular a actividade do alumnado fóra da clase. Estas servirán para que o alumnado interesado poida examinar en cada momento o seu proceso de aprendizaxe, así como para que o profesorado realice o seguimento directo desta aprendizaxe, o que lle permitirá detectar insuficiencias e dificultades que poderán ser corrixidas cando se producen.

A distribución semanal da materia será aproximadamente a seguinte: 3 horas de clase expositiva, 1 hora de clase interactiva. Ao longo do curso haberá 2 horas de titorías (en grupos moi reducidos).

A docencia expositiva e interactiva será, esencialmente, de carácter presencial, sempre de acordo coa fórmula que defina a Facultade de Matemáticas. As titorías e comunicación co alumnado poden ser presenciais ou realizarse de xeito virtual. No caso virtual poderase facer a través dos foros do curso virtual, o correo electrónico ou a través da plataforma Microsoft Teams.

Haberá un curso virtual, onde aparecen detallados tódolos aspectos teóricos da materia e exercicios resoltos.

Sen prexuízo do criterio xeral de avaliación para todas as materias do Grao de Matemáticas, para o cómputo da cualificación final considérase a avaliación continua e o exame final.

A avaliación continua (25%) consistirá nunha proba que se realizará en clase na que cada estudante deberá resolver os exercicios que se lle indique dos que se lle propuxeron con anterioridade. Ademais poderá ser valorada, dentro da avaliación continua, a participación nas clases expositivas e interactivas e nas titorías. A cualificación obtida na avaliación continua aplicarase nas dúas oportunidades dun mesmo curso académico (segundo semestre e xullo). Se o/a alumno/a non se presenta ao exame final en ningunha das dúas oportunidades terá a cualificación de “Non presentado”, aínda que teña participado na avaliación continua.

Exame final escrito (75%). Realizarase un exame final escrito, que permita comprobar o coñecemento adquirido en relación cos conceptos e resultados da materia e a capacidade da súa aplicación a casos concretos. O exame terá unha parte de teoría, que pode abarcar a definición de conceptos, o enunciado de resultados ou a súa demostración total ou parcial. A outra parte consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso. Cada unha das partes (teoría-exercicios) terá un peso de entre un 40% e un 60% do total.

O sistema de avaliación (continua e exame escrito) será equivalente, pero non necesariamente o mesmo, para os dous grupos. A cualificación obtida polo estudante non será inferior á cualificación do exame final.

A través das distintas actividades propostas avaliaranse, por suposto contextualizando a materia en 3º curso de grao, a adquisición de competencias, como CX3, CX4, CX5, CE1, CE3, CE4, CE5,CE6, CT1, CT2, CT3 e CT5, ou a capacidade de traballo en equipo e a de aprendizaxe autónomo.
Ademais das competencias específicas da materia, avaliaranse as competencias CX1, CX3, CX4, CE1, CE2, CE3, CE4, CE5 e CE6.
Para o caso de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na

Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e revisión de cualificacións:
Artigo 16. Realización fraudulenta de exercicios ou probas: A realización fraudulenta dalgún exercicio ou proba esixida na avaliación dunha materia implicará a cualificación de suspenso na convocatoria correspondente, con independencia do proceso disciplinario que se poida seguir contra o alumno infractor. Considerarse fraudulenta, entre outras, a realización de traballos plaxiados ou obtidos de fontes accesibles ó público sen reelaboración ou reinterpretación e sen citas ós autores e das fontes.

Horas TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
Clases expositivas: 42 h.
Clases interactivas de laboratorio: 14 h.
Titorías en grupos moi reducidos ou individualizadas: 2 h.

Total horas traballo presencial na aula 58

Horas TRABALLO PERSOAL
Estudo autónomo individual ou en grupo: 55 h.
Escritura de exercicios, conclusións e outros traballos: 27 h.
Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/ laboratorio: 5 h.
Lecturas aconselladas, actividades en biblioteca ou similar: 5 h.

Total de horas de traballo persoal do alumnado 92

Total volume de traballo: 150 horas

Aconséllase ter cursadas previamente as seguintes materias:
- Álxebra Linear e Multilinear
- Topoloxía
- Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais,
- Integración de Funcións de Varias Variables Reais
- Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias
- Curvas e Superficies