Álxebra, Números e Xeometría

Coñecer algunhas das aplicacións mais importantes das matemáticas á teoría de números e á xeometría. Estudar os corpos de números así como os seus aneis de enteiros e comprender a utilidade de traballar con estes para traballar con certos problemas clásicos como resolver ecuacións diofánticas. Coñecer os conceptos elementais de xeometría alxebraica así como algúns resultados básicos na devandita teoría.

Álxebra (14 horas)
Aneis e ideais. Localización, dependencia enteira e aneis noetherianos. Norma e traza. Aneis de valoración discreta. Dominios de Dedekind.

Números (19 horas)
Ramificación. Exemplos: corpos cuadráticos, ciclotómicos e aplicacións. Teoría xeométrica de Minkowski. Número de clases. Teorema das unidades de Dirichlet.

Xeometría (9 horas)
Variedades alxebraicas no espazo afín e proyectivo. Hipersuperficies. Puntos singulares. Teorema de Bezout para curvas planas.

Bibliografía básica:

W. Fulton, Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry. http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf

F. Kirwan, Complex Algebraic Curves, Cambridge University Press, 1992.

J. Neukirch, Algebraic Number Theory, Springer.

J.-P. Serre, Corps Locaux, Hermann (trad.: Local Fields, Springer).


Bibliografía complementaria

R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer.

D. A. Marcus, Number Fields, Springer.

H. P. F. Swinnerton-Dyer. A Brief Guide to Algebraic Number Theory, London Math. Soc.

Contribuír a alcanzar as competencias xerais, específicas e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC e, en especial, as seguintes:

Comunicación escrita e oral de coñecementos, métodos e ideas xerais relacionadas coa teoría de números e a xeometría (CG4).

Saber expoñer hipóteses e extraer conclusións usando argumentos ben razoados e sabendo identificar fallos lóxicos e falacias nas argumentacións (CG2, CE4).


Competencias específicas da materia:

Coñecer a teoría básica de factorización de ideais no contexto de aneis de enteiros algebraicos.

Aplicar devandito coñecemento á resolución de problemas clásicos como sumas de cadrados ou algúns casos do último teorema de Fermat.

Familiarizarse cos símbolos de Legendre e de Jacobi e a súa computación eficiente, así como algunhas das súas principais aplicacións.

Manexar con soltura o dicionario álxebra-xeometría. Describir operacións básicas en xeometría e describir as suas semellantes en álxebra.

Coñecer os aspectos máis importantes da teoría de curvas algebraicas planas e comprender o teorema de Bezout.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais que figuran na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC. A docencia impartirase en clases de encerado e titorías. Os alumnos poderán expoñer algúns aspectos da materia nas clases interactivas.

A avaliación continua consistirá en 2 probas realizadas durante o curso, aproximadamente a primeira sobre as dúas primeiras partes da materia (álxebra e números) e a segunda sobre a terceira parte (xeometría), cuxas cualificacións denotaremos por P1 e P2. Opcionalmente, no caso de que o número de alumnos o permíta, poderanse facer exposicións voluntarias dos alumnos durante as clases interactivas así como resolución de problemas, cuxa cualificación denotaremos E.

O exame final consistirá en dous partes, correspondentes ás dúas probas de avaliación continua, cuxas cualificacións denotaremos por F1 e F2.

O rango de posibles cualificacións de cada unha das probas anteriores conterá ao intervalo [0,10]. A nota final será:

Mín{10; máx{0,7 x máx{P1,F1} + 0,3 x máx{P2,F2}; 0,56 x máx{P1,F1} + 0,24 x máx{P2,F2} + 0,2 x E}}.

En particular, é posible obter a cualificación máxima realizando só a avaliación continua ou só o exame final, e a avaliación final non será inferior á da avaliación continua nin á do exame final.

Estas especificacións aplicaranse tamén na segunda oportunidade.

Seguindo as directrices establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC, o tempo que o estudante deberá dedicar á preparación da materia consiste en:

- 58 horas de traballo presencial.

- 92 horas de traballo persoal que comprenden as seguintes actividades:

- 52 horas de estudo autónomo.
- Elaboración de traballos e resolución de problemas: 25 horas.
- Lecturas recomendadas e procura de documentación: 5 horas.
- Preparación de presentacións orais: 10 horas.