Series Funcionais e Integración de Riemann en varias Variables Reais

O obxectivo xeral desta materia é comprender, coñecer e manexar os principais conceptos, resultados e métodos relativos ás sucesións e series funcionais e á teoría da integración de Riemann para funcións reais de varias variables reais.

Máis exactamente, propoñense os seguintes obxectivos:
OB1 - analizar o comportamento de sucesións e series funcionais, distinguindo as nocións de converxencia puntual e uniforme;
OB2 - coñecer condicións suficientes para que o límite (a suma) dunha sucesión (serie) funcional herde propiedades de regularidade dos termos da sucesión (serie) funcional correspondente;
OB3 - estudar o carácter converxente ou diverxente de integrais impropias e, cando sexa posible, calcular o seu valor;
OB4 - construír a teoría da integración de Riemann para funcións de varias variables reais en conxuntos Jordan-medibles;
OB5 - estudar o carácter Riemann-integrable de funcións de varias variables reais en conxuntos Jordan-medibles;
OB6 - calcular integrais múltiples en conxuntos Jordan-medibles empregando o teorema de Fubini e o teorema do cambio de variable con algunhas das transformacións máis habituais no plano e no espazo;
OB7 - empregar MAPLE como apoio para a realización das actividades co obxectivo de favorecer a comprensión conceptual, o descubrimento e o contraste de resultados propios da materia.

1 - Integrais impropias dunha variable real (6 horas expositivas)

1.1 - Integrais impropias
Integración en intervalos non compactos. Integrais converxentes e diverxentes. Propiedades da integración impropia. Condición de Cauchy para a converxencia dunha integral.

1.2 - Criterios de converxencia
Caracterización da converxencia de integrais de funcións non negativas. Criterios de comparación, comparación por cociente e comparación por paso ao límite. Estudo de algunhas integrais de referencia. Converxencia condicional e converxencia absoluta de integrais. Criterio de Dirichlet.

1.3 - Integrais impropias e series numéricas.

2 - Sucesións e series funcionais (12 horas expositivas)

2.1 - Sucesións funcionais
Converxencia puntual e converxencia uniforme. Condición de Cauchy para a converxencia uniforme. Resultados de continuidade, derivabilidade e integrabilidade da función límite.

2.2 - Series funcionais
Converxencia puntual, absoluta e uniforme dunha serie funcional. Condición de Cauchy para a converxencia uniforme dunha serie. Criterio maiorante de Weierstrass. Resultados de continuidade, derivabilidade e integrabilidade da función suma.

2.3 - Series de potencias
Radio de converxencia. Fórmula de Cauchy-Hadamard. Converxencia uniforme. Propiedades de continuidade, derivabilidade e integrabilidade da suma. Series de Taylor. Funcións analíticas.

3 - Integral múltiple de Riemann (10 horas expositivas)

3.1 - Integral de Riemann en rectángulos compactos de R^n;
Particións dun rectángulo. Sumas de Riemann. Funcións R-integrables en rectángulos compactos e integral de Riemann. Sumas superiores e inferiores. Integrais inferior e superior. Formulacións equivalentes do concepto de función integrable no sentido de Riemann. Propiedades da integral.

3.2 - Funcións integrables no sentido de Riemann en rectángulos compactos
Conxuntos de contido nulo e de medida nula. Caracterización de Lebesgue da integrabilidade no sentido de Riemann. O teorema de Fubini en rectángulos.

3.3 - Integración en conxuntos medibles no sentido de Jordan
Conxuntos J-medibles. Integración en conxuntos J-medibles. Funcións R-integrables en conxuntos J-medibles. Propiedades da integral de Riemann. O teorema de Fubini en conxuntos J-medibles.

3.4 - O teorema do cambio de variable. Algúns cambios de variable especiais.

Nota: Os contidos da materia son susceptibles de seren desenvolvidos nunha orde distinta á exposta.

Bibliografía Básica

Apostol TM. Análisis matemático. 2a ed. Barcelona: Reverté; 1979.
Bombal F, Rodríguez Marín L, Vera Botí G. Problemas de análisis matemático. 2a ed, Madrid: AC; 1994.
Fernández Viña JA, Sánchez Mañes E. Ejercicios y complementos de análisis matemático III. Madrid: Tecnos; 1992.

Bibliografía complementaria

Apostol TM. Calculus. 2a ed. Barcelona: Editorial Reverté; 1984.
Bartle RG, Sherbert DR. Introducción al análisis matemático de una variable. 2a ed. México: Limusa Wiley; 2010.
Boss, V. Lecciones de matemática. Tomo 1. Análisis. Moscú: URSS, 2008.
de Burgos J. Cálculo infinitesimal de una variable. 2a ed. Madrid: McGraw-Hill; 2006.
de Burgos J. Cálculo infinitesimal de varias variables. 2a ̇ed. Madrid: McGraw-Hill; 2008.
del Castillo F. Análisis matemático II. Madrid: Alhambra; 1980.
Fernández Viña JA. Análisis matemático III. Integración y Cálculo exterior. Madrid: Tecnos; 1992.
Spivak M. Cálculo en variedades. Barcelona: Reverté; 1982.

Ademais de contribuír a acadar as competencias básicas, xerais e transversais recollidas na Memoria do Título do Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela, que poden consultarse en www.usc.gal/gl/estudos/graos/ciencias/grao-matematicas, esta materia contribuirá a acadar as seguintes competencias específicas:

CE1 – comprender e empregar a linguaxe matemática;
CE2 – coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática;
CE3 – idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou refutalas;
CE4 – identificar erros en razoamentos incorrectos propoñendo demostracións ou contraexemplos;
CE5 – asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionándoo con outros xa coñecidos, e ser capaz de utilizalo en diferentes contextos;
CE6 – saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais;
CE9 – empregar aplicacións informáticas de análise estatística, cálculo numérico e simbólico, visualización gráfica, optimización e software científico, en xeral, para experimentar en Matemáticas e resolver problemas.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título do Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela.

A docencia está programada en clases expositivas e interactivas. Nas clases expositivas presentaranse os contidos esenciais da materia, e permitirán o traballo das competencias básicas, xerais e transversais, ademais das competencias específicas CE1, CE2, CE5 e CE6. Ás veces, o modelo aproximarase á lección maxistral e, noutras ocasións, procurarase unha maior implicación do alumnado. Nas clases interactivas proporanse e corrixiranse problemas e exercicios que permitirán poñer o foco na adquisición das competencias específicas CE3, CE4 e CE9.

A docencia será presencial e complementarase co Campus Virtual, que se empregará para a realización e entrega dalgunhas tarefas relacionadas coa avaliación continua.

Na medida do posible, o desenvolvemento da materia tenderá a potenciar tanto a aprendizaxe autónoma do alumnado como a avaliación continua mediante diversas propostas de traballo (de carácter voluntario) ao longo do cuadrimestre. Ao mesmo tempo, procurarase fomentar a participación do alumnado nas distintas sesións. Para facilitar a aprendizaxe, elaboraranse materiais didácticos (en galego) de diverso tipo: apuntamentos sobre os contidos do curso; vídeos explicativos; follas de traballo con Maple (con utilidades deseñadas e preparadas para que o alumnado poida experimentar con algúns dos conceptos máis relevantes da materia) e outros materiais varios, que en ningún caso pretenden substituír o uso dos libros. Estes materiais estarán á disposición do alumnado no Campus Virtual da materia.

Nas clases con ordenador empregarase o programa MAPLE como ferramenta de traballo.

Para o alumnado do grupo CLE01 proponse dúas modalidades de avaliación: Modalidade 1 e Modalidade 2. Ao comezo do curso, no prazo establecido e a través do Campus Virtual, o alumnado deberá elixir individualmente a modalidade que considere oportuna. Co fin de que o profesorado poida organizar e programar co debido tempo as actividades de avaliación continua, será imprescindible que o alumnado que opte por calquera das dúas modalidades realice a escolla correspondente de modalidade de avaliación no Campus Virtual, nos prazos oportunos.

A Modalidade 1 require unha participación activa na clase e a realización de, polo menos, o 80% das actividades propostas, sexan individuais ou en grupo. O exame final, tamén presencial, é obrigatorio e considérase nesta modalidade como unha actividade máis. A cualificación final (CF) calcularase segundo a seguinte fórmula: CF=E+mín{T/4, 10-E}, onde E é a nota do exame final e T a das actividades realizadas durante o curso (ambas entre 0 e 10). O traballo durante o curso poderá representar ata o 25% da nota final.

A Modalidade 2, pensada para quen prefira maior autonomía, consta dunha proba intermedia (PI) cuxa data de realización será previamente fixada e anunciada. A cualificación final calcularase segundo a seguinte fórmula: CF=máx{E, 0.7E+0.3PI}, onde E é a nota do exame final e PI a da proba intermedia.

Para o alumnado do grupo CLE02, só estará dispoñible a Modalidade 2, consistente na realización de dúas probas intermedias cuxa data de realización será tamén previamente fixada e anunciada. A cualificación final non será inferior á obtida empregando a seguinte fórmula: CF=máx{E, 0.7E+0.3PI}, onde E é a nota do exame final e PI é a media aritmética das dúas probas intermedias.

O exame final poderá ser diferente para os distintos grupos expositivos. En calquera caso, garántese a coordinación e a equivalencia formativa de todos os grupos.

Na segunda oportunidade empregarase o mesmo sistema de avaliación, manténdose a cualificación das actividades e probas intermedias realizadas durante o curso e actualizándose a cualificación do exame final.

Nos casos de realización fraudulenta de tarefas ou probas (plaxio ou uso indebido da tecnoloxía), aplicarase o disposto no Regulamento para a avaliación do rendemento académico do estudantado e revisión de cualificacións.

Recibirán a cualificación de "Non Presentado" aquelas persoas que non realicen o exame final.

HORAS TOTAIS
150 horas: 58 horas presenciais e 92 horas non presenciais.

DOCENCIA PRESENCIAL NA AULA (26 horas CLE + 14 horas CLIS + 14 horas CLIL + 2 horas TGMR + 2 horas CLE realización de probas)

(CLE) Clases expositivas (26 horas)
(CLE) Realización de probas de avaliación (2 horas)
(CLIS) Clases interactivas de seminario (14 horas)
(CLIL) Clases interactivas de laboratorio/titorías en grupo reducido (14 horas)
(TGMR) Titorías en grupo moi reducido (2 horas)

TEMPO DE TRABALLO PERSOAL NON PRESENCIAL
Por termo medio, estímase que serán necesarias 92 horas.

Recoméndase ter cursado e superado as seguintes materias: Introdución á análise matemática, Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real, Integración de funcións dunha variable real, Topoloxía dos espazos euclidianos e Diferenciación de funcións de varias variables reais.

Recoméndase estudar a materia con regularidade e tentar realizar os exercicios propostos de forma autónoma. Aconséllase consultar co equipo docente todas as dúbidas que poidan ir xurdindo ao longo do curso.