Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue

O obxectivo xeral desta materia é comprender, coñecer e manexar os principais conceptos, resultados e métodos relativos ao cálculo vectorial e á teoría da integración de Lebesgue.

De forma máis concreta, formúlanse os seguintes obxectivos:
OB1 – manexar os conceptos de fluxo, diverxencia e rotacional dun campo vectorial, así como a súa interpretación física;
OB2 – coñecer os conceptos e propiedades da integral de liña de campos escalares e vectoriais, así como as súas aplicacións;
OB3 – coñecer os conceptos e propiedades da integral de superficie de campos escalares e vectoriais, así como as súas aplicacións;
OB4 – comprobar sobre exemplos concretos os teoremas de Green, Stokes e Gauss;
OB5 – coñecer a construción da teoría da medida e integración de Lebesgue;
OB6 – ser quen de conxecturar e demostrar o carácter Lebesgue-medible de conxuntos e funcións;
OB7 – coñecer os teoremas de converxencia da integral de Lebesgue, así como a súa utilidade e consecuencias;
OB8 – comprender a relación entre as teorías de integración de Riemann e Lebesgue, así como as vantaxes e a necesidade desta última;
OB9 – coñecer os teoremas de Fubini e cambio de variable na integral de Lebesgue.

1 - Cálculo vectorial (10 horas CLE)

1.1 - Curvas en R^n. O concepto de curva en R^n. Lonxitude dunha curva. Integrais curvilíneas de campos escalares e campos vectoriais. Campos conservativos. Principio de conservación da enerxía. Rotacional e diverxencia. Teorema de Green.

1.2 - Superficies en R^3. O concepto de superficie en R^3. Área dunha superficie. Integrais de superficie de campos escalares e campos vectoriais. Campos solenoidais. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss-Ostrogradski.

2 - Integración de Lebesgue (18 horas CLE)

2.1 - Teoría(s) da medida
Intervalos en R^n. Medida de intervalos de R^n. Conxuntos elementais en R^n. Medida de conxuntos elementais de R^n. Conxuntos Jordan-medibles en R^n. Medida de conxuntos Jordan-medibles de R^n. Conxunto de Cantor. Medida exterior de Lebesgue. Conxunto de Vitali. Conxuntos Lebesgue-medibles. Medida de Lebesgue en R^n.

2.2 - Teoría(s) da integración
Integral segundo Riemann. Integral segundo Lebesgue. Teorema fundamental de paso da medida de Lebesgue á integral de Lebesgue. Propiedades da integral de Lebesgue. Teoremas de converxencia: Teorema da converxencia monótona, Lema de Fatou e Teorema da converxencia dominada. Espazos de Lebesgue. O espazo L^1. Teorema de Lebesgue. Teorema de Luzin. Teorema de Egórov. Teorema de Riesz–Fischer. Completitude do espazo de Lebesgue. Principio de Cavalieri. Teorema de Fubini. Teorema de Tonelli.

Bibliografía Básica

del Castillo F. Análisis matemático II. Madrid: Alhambra; 1980.
Kolmogorov AN, Fomin SV. Introductory real analysis. New York: Dover Publications; 1975.
Marsden JE, Tromba AJ. Cálculo vectorial. 5a ed. Madrid: Pearson; 2004.
Wilcox HJ, Myers DL. An Introduction to Lebesgue integration and Fourier series. New York: Dover Publications; 1978.

Bibliografía Complementaria

Boss V. Lecciones de matemáticas. Tomo 5. Análisis funcional. Moscú: URSS; 2009.
Chae SB. Lebesgue integration. 2nd. ed. New York: Springer-Verlag; 1995.
Fernández Viña J. A. Análisis Matemático III. Integración y cálculo exterior. Madrid: Tecnos; 1992.
Tao T. An introduction to measure theory. Providence: American Mathematical Society; 2011.

Ademais de contribuír a acadar as competencias básicas, xerais e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela, que se poden consultar en www.usc.gal/gl/estudos/graos/ciencias/grao-matematicas, esta materia contribuirá a acadar as seguintes competencias específicas:

CE1 – comprender e empregar a linguaxe matemática;
CE2 – coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática;
CE3 – idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou refutalas;
CE4 – identificar erros en razoamentos incorrectos propoñendo demostracións ou contraexemplos;
CE5 – asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionándoo con outros xa coñecidos, e ser quen de utilizalo en diferentes contextos;
CE6 – saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas das puramente ocasionais ou circunstanciais;
CE9 – empregar aplicacións informáticas de análise estatística, cálculo numérico e simbólico, visualización gráfica, optimización e software científico, en xeral, para experimentar en Matemáticas e resolver problemas.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela.

A docencia está programada en clases expositivas e interactivas. Nas clases expositivas presentaranse os contidos esenciais da materia, e permitirán traballar as competencias básicas, xerais e transversais, ademais das competencias específicas CE1, CE2, CE5 e CE6. Nalgúns casos, o modelo aproximarase á lección maxistral e, noutros, procurarase unha maior implicación do alumnado. Nas clases interactivas proporanse e corrixiranse problemas e exercicios que permitirán poñer o foco na adquisición das competencias específicas CE3, CE4 e CE9.

A docencia será presencial e complementarase co Campus Virtual, que se empregará para a realización e entrega de certas tarefas relacionadas coa avaliación continua.

A cualificación final (CF) non será inferior á obtida empregando a seguinte fórmula: CF=max{EF, 0.7EF+0.3CC}, sendo EF a cualificación do exame final e CC a cualificación da avaliación continua. Tanto EF como CC tomarán valores entre 0 e 10.

A cualificación da avaliación continua (CC) non será inferior á obtida empregando a seguinte fórmula: EC=max{0.5P1+0.5P2, 0.6(0.5P1+0.5P2)+0.2E+0.2P}, sendo: P1 a cualificación da primeira proba intermedia, P2 a cualificación da segunda proba intermedia, E a cualificación correspondente á realización dos exercicios propostos e P a cualificación correspondente á participación activa durante o curso. Tanto P1 e P2, como E e P, tomarán valores entre 0 e 10.

O exame final (tanto na primeira como na segunda oportunidade) poderá ser distinto para os diferentes grupos expositivos. Garántese a coordinación e a equivalencia formativa de todos os grupos da materia.

Na segunda oportunidade empregarase o mesmo sistema de avaliación, mantendo a cualificación da avaliación continua e actualizando a cualificación do exame final.

Nos casos de realización fraudulenta de tarefas ou probas (plaxio ou uso indebido da tecnoloxía), aplicarase o disposto no Regulamento para a avaliación do rendemento académico do estudantado e revisión de cualificacións.

HORAS TOTAIS
150 horas: 58 horas presenciais e 92 horas non presenciais.

DOCENCIA PRESENCIAL NA AULA (26 horas CLE + 14 horas CLIS + 14 horas CLIL + 2 horas TGMR + 2 horas CLE realización de probas),

(CLE) Clases expositivas (26 horas)
(CLE) Realización de probas de avaliación (2 horas)
(CLIS) Clases interactivas de seminario (14 horas)
(CLIL) Clases interactivas de laboratorio/titorías en grupo reducido (14 horas)
(TGMR) Titorías en grupo moi reducido (2 horas)

TEMPO DE TRABALLO PERSOAL NON PRESENCIAL
Por termo medio, estímase necesario un total de 92 horas.

Recoméndase ter cursado e superado as seguintes materias: Introdución á análise matemática, Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real, Integración de funcións dunha variable real, Topoloxía dos espazos euclidianos, Diferenciación de funcións de varias variables reais e Series funcionais e integración de Riemann en varias variables.

Recoméndase estudar a materia con regularidade e intentar realizar os exercicios propostos de forma autónoma. Aconséllase consultar co equipo docente todas as dúbidas que poidan ir xurdindo ao longo do curso.

It is recommended to have completed and passed the following subjects: Introduction to Mathematical Analysis, Continuity and Differentiability of Functions of a Real Variable, Integration of Functions of a Real Variable, Topology of Euclidean Spaces, Differentiation of Functions of Several Real Variables, and Functional Series and Riemann Integration in Several Variables.

It is recommended to study the subject regularly and try to complete the proposed exercises independently. It is also recommended to consult the teaching team for any doubts that may arise throughout the course.