Estruturas Alxébricas

Establecer as estruturas alxébricas fundamentais das matemáticas que van ser usadas noutras disciplinas.

Coñecer as nocións básicas de teoría de grupos.

Estudar a xeralización do concepto de divisibilidade nos aneis de enteiros e de polinomios a outros aneis, empregando os resultados para obter os teoremas de estrutura de módulos sobre estes aneis.

Coñecer a linguaxe de módulos sobre aneis conmutativos.

Obter os teoremas de estructura de módulos de tipo finito sobre dominios de ideais principais.

TEMA 1 GRUPOS (11 horas expositivas)

Grupos. Subgrupos. Subgrupos normais. Homomorfismos de grupos. Grupos cociente. Teoremas de isomorfía. Accións de grupos sobre conxuntos. Simetrías e permutacións: grupo simétrico. Teorema de Cayley. Teoría de Sylow.

TEMA 2 ANEIS (10 horas expositivas)

Aneis. Subaneis. Ideais. Homomorfismos de aneis. Anel cociente. Teoremas de isomorfía. Corpos. Característica dun corpo. Ideais primos e maximais. Operacións con ideais. Teorema chino dos restos. Radical de Jacobson. Dominios e corpos de fraccións. Elementos irreducibles. Dominios de factorización única. Dominios de ideais principais. Dominios euclídeos. Aneis de polinomios.

TEMA 3 MODULOS (10 horas expositivas)

Módulos. Submódulos. Módulo cociente. Homomorfismos de módulos. Teoremas de isomorfía. Módulos cíclicos. Produto directo e suma directa. Módulos libres. Xeradores e relacións.

TEMA 4 TEOREMA DE ESTRUTURA DE MÓDULOS SOBRE UN D.I.P. (11 horas expositivas)

Equivalencia de matrices. Diagonalización. O teorema de estrutura. Módulos de torsión e compoñentes primarias. Invariantes.

Básica:

Chamizo Lorente, Fernando. Apuntes de Álgebra II. U.A.M. 2005.http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/libreria/fich/APalgebraII04…
Cohn, P. M. Algebra, Vol. 1 (2ª Ed.). Wiley and Sons, Chichester, 1982.
Jacobson, N. Basic Algebra I, Freeman and Company, San Francisco, 1985.
Lang, S. Algebra. Addison-Wesley, New York, 1993.
Rotman, J. J.Advanced Modern Algebra (2ª Ed.). Prentice Hall, New Jersey, 2003.


Complementaria:

Atiyah, M. F., I. G., Macdonald, An Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Massachusetts, 1969.
Gardiner, C. F. A First Course in Group Theory. Springer-Verlag, New York, 1980.
Hartley, B., T. O. Hawkes. Rings, Modules and Linear Algebra.Chapman and Hall, London,1970.
Hilton, P. J., Yel-Chiang Wu. Curso de Álgebra Moderna. Reverté, Barcelona, 1977.
Rotman, J. J. An Introduction to the Theory of Groups.Springer,New York, 1994.

Contribuir a acadar as competencias xerais, específicas e transversais recollidas na Memoria do Titulo de Grao en Matemáticas da USC e, en especial, as seguintes (CG3, CG4, CE4, CT1 e CT5):


Aplicar tanto os coñecementos adquiridos como a capacidade de análise e de abstracción na formulación de problemas e na procura das súas solucións.

Comunicación escrita e oral de coñecementos, métodos, ideas e resultados de matemáticas.

Identificación de erros en razoamentos incorrectos.

Utilización de recursos bibliográficos sobre os temas da materia.


Competencias específicas:

Coñecer e comprender os conceptos fundamentais da teoría de grupos e manexalos.

Coñecer e comprender os conceptos fundamentais da teoría de aneis e ideais e manexalos.

Coñecer e comprender os conceptos fundamentais da teoría de módulos e manexalos.

Utilizaranse as clases expositivas para a presentación dos contidos básicos que compoñen esta materia (CE1, CE2, CE6, CG1, CG4).

Nas clases interactivas de laboratorio en grupos moi reducidos traballaranse de forma individual e/ou en grupo cuestións e problemas propostos (CB2, CB3, CE3, CE4) e levaranse a cabo presentacións (CB4, CG4).

Nas titorías na aula en grupos moi reducidos farase un seguimento personalizado da aprendizaxe dos alumnos e do seu traballo fóra da clase (CG5, CG4, CT5).

Colgaranse boletins de problemas no curso virtual programándoos de forma escalonada e sempre en relación coa teoría.

Prevese como criterio de avaliación a avaliación continua combinada cunha proba final. Esta proba final celebrarase na data fixada pola Facultade de Matemáticas para ese efecto.

A avaliación continua consistirá nunha proba presencial. Poidera non coincidir para os diferentes grupos pero estará coordinada e será similar.

A proba final será a mesma para os dous grupos expositivos.

Cómputo da cualificación final:
A cualificación tanto da primeira oportunidade como da segunda será o max{F; 0,3xC + 0,7xF} onde C denota a cualificación da avaliación continua e F a nota da correspondente proba final.

Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións.

Enténderase por Non Presentado o alumno que non se presente á proba final tanto na primeira como na segunda oportunidade.

Traballo presencial na aula:

Clases expositivas: 42 horas
Clases de Laboratorio: 14 horas
Titorías en grupos moi reducidos: 2 horas
Total: 58 horas

Traballo persoal do alumno: 92 horas


Total horas de traballo: 150 horas

Estudar diariamente coa axuda de material bibliográfico. Ler atentamente a parte teórica ata asimilala e tratar de responder ás cuestións, exercicios ou problemas presentados nos boletíns