Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Traballo do Alumno/a ECTS: 99 Horas de Titorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Linguas de uso Castelán, Galego
Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Estatística, Análise Matemática e Optimización
Áreas: Análise Matemática
Centro Facultade de Matemáticas
Convocatoria: Primeiro semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
Trátase de presentar os principios elementais da análise funcional pondo especial énfase nos espazos de Hilbert. Estúdanse entón as propiedades fundamentais dos espazos de Hilbert, a súa xeometría e as aplicacións lineais e continuas (operadores) entre espazos de Hilbert. Introdúcense tamén conceptos e resultados básicos da teoría espectral para operadores en espazos de Hilbert e coméntase algunha das súas múltiples aplicacións.
1. Espacios vectoriales topolóxicos. (2h)
2. Espacios de Banach. (8h)
2.1. Definición e exemplos.
2.2. Operadores lineares en espazos normados.
2.3. Teoremas fundamentais da teoría de espacios de Banach.
2.4. Espacios duais.
2.5. Caracterizaciones dos espazos de dimensión finita / infinita.
2.6. Teorema de Ascoli-Arzelà.
3. Espazos de Hilbert. (9h)
3.1. Definición e exemplos.
3.2. O teorema da proxección ortogonal.
3.3. O teorema de representación de Riesz.
3.4. Isomorfismos entre espazos de Hilbert. Operadores adxuntos.
3.5. Espazos de Hilbert separables.
4. Operadores en espazos de Hilbert. (6h)
4.1. Espectro dun operador.
4.2. Teorema espectral.
4.3. Proxeccións.
4.4. Exemplos de operadores.
4.5. Aplicacións.
Bibliografía básica:
Friedman, A. Foundations of Modern Analysis, 2ª ed. New York: Dover, 1982. (1202 213)
Gohberg, I. e Goldberg, S. Basic Operator Theory, 1ª ed. Boston: Birkhäuser, 1981. (1202 265 A)
Gohberg, I., Goldberg, S. e Kaashoek, M. A. Basic Classes of Linear Operators, 1ª ed. Birkhäuser, 2003. (47 241)
Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with applications, John Wiley & Sons, 1978. (1202 264 A)
Megginson, H. An introduction to Banach Space Theory, Springer 1998. (1202 361 A)
Bibliografía complementaria:
Bollobás, B. Linear analysis: an introductory course, 2ª ed. Cambridge: Cambridge Mathematical Textbooks, 1999. (1202 435)
Brezis, H. Análisis Funcional, Alianza Universidad Textos 1984. (1202 37 C)
Conway, J.B. A Course in Functional Analysis, Springer 1990. (1202 289 A)
Rudin, W. Real and Complex Analysis, 3ª ed. New York: McGraw-Hill, 1987. (1202 20 F)
Vera López, A. Un curso de Análisis Funcional. Teoría y problemas, AVL 1997. (1202 195 A)
Bibliografía en liña (accesible dende Springer Link, explícase como acceder no seguinte enlace: https://www.youtube.com/watch?v=t8hPlEwNFLg&feature=emb_logo )
Cohen, D. W. An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic.
URL https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-8841-8
Friedrichs, K. O. Spectral Theory of Operators in Hilbert Space.
URL https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-6396-8
Halmos, P., A Hilbert space problem book.
URL https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-9330-6
Gohberg, I. y Goldberg, S., Basic Operator Theory.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-5985-5
Gohberg, I., Goldberg, S. y Kaashoek, M. A., Basic Classes of Linear Operators.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-0348-7980-4
Krall, A. M. Hilbert Space, Boundary Value Problems and Orthogonal Polynomials.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-0348-8155-5
Kubrusly, C. The Elements of Operator Theory.
URL https://link.springer.com/book/10.1007/978-0-8176-4998-2
Lal Vasudeva, H. Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-10-3020-8
Muscat, J. Functional Analysis.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-06728-5
Schmüdgen, K. Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-007-4753-1
Siddiqi, A. Functional Analysis and Applications. URL:
https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-10-3725-2
Steeb, W. Hilbert Spaces, Wavelets, Generalised Functions and Modern Quantum Mechanics.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-011-5332-4
Sunder, V. S. Operators on Hilbert Space.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-10-1816-9
Weidmann, J. Linear Operators in Hilbert Spaces.
URL https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-6027-1
CX1 - Coñecer os conceptos, métodos e resultados máis importantes das distintas áreas das Matemáticas, xunto con certa perspectiva histórica do seu desenvolvemento.
CX2 - Reunir e interpretar datos, información e resultados relevantes, obter conclusións e emitir informes razoados en problemas científicos, tecnolóxicos ou doutros ámbitos que requiran do uso de ferramentas matemáticas.
CX4 - Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, coñecementos, procedementos, resultados e ideas en Matemáticas tanto a un público especializado como non especializado.
CX5 - Estudar e aprender de forma autónoma, con organización de tempo e recursos, novos coñecementos e técnicas en calquera disciplina científica ou tecnolóxica.
CE1 - Comprender e utilizar a linguaxe matemática.
CE2 - Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática.
CE3 - Idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou negalas.
CE4 - Identificar erros en razoamentos incorrectos propoñendo demostracións ou contraexemplos.
CE5 - Asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionalo con outros xa coñecidos, e ser quen de utilizalo en diferentes contextos.
CE6 - Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais.
CT1 - Utilizar bibliografía e ferramentas de busca de recursos bibliográficos xerais e específicos de Matemáticas, incluíndo o acceso por Internet.
CT2 - Xestionar de forma óptima o tempo de traballo e organizar os recursos dispoñibles, establecendo prioridades, camiños alternativos e identificando erros lóxicos na toma de decisións.
CT3 - Comprobar ou refutar razoadamente os argumentos doutras persoas.
CT5 - Ler textos científicos tanto en lingua propia como noutras de relevancia no ámbito científico, especialmente a inglesa.
(CX: competencia xeral; CE: competencia específica; CT: competencia transversal)
Seguiránse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC.
A docencia está programada en clases maxistrais, clases interactivas e titorías en grupos reducidos. Nas clases maxistrais presentaranse os contidos esenciais da materia; nas clases interactivas resolveranse problemas e exercicios previamente propostos polo profesor e as titorías en grupos reducidos adicaranse á discusión e debate cos estudantes. Intentarase fomentar a participación e pensamento crítico do alumnado, especialmente nas clases interactivas.
A avaliación continua conservarase para a segunda oportunidade. O exame final consistirá na resolución de cuestións teóricas e prácticas similares ás realizadas durante o curso.
As competencias asociadas aos contidos declarativos da materia (CX1, CE1, CE2, CE3, CE4, CE5, CE6) serán especialmente avaliadas no exame final.
Probas de avaliación continua: Consistirá en tres probas escritas a realizar en horario de clase. A data exacta de ditas probas avisarase con antelación.
Cálculo da nota final: A nota final da oportunidade calcularase coma max{E,0’4C+0’6E} onde E é a nota do exame final da oportunidade (que terá lugar nas datas fixadas pola Facultade) e C é a media das probas de avaliación continua.
Entenderase como non presentado na oportunidade todo estudante que non realice a proba final da oportunidade.
Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións.
Tanto as probas de avaliación continua como o exame final serán os mesmos en todos os grupos de docencia expositivos e interactivos da materia.
TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
Horas expositivas (26 horas)
Horas interactivas de seminario (13 horas)
Horas interactivas de laboratorio (13 horas)
Titorías en grupos moi reducidos ou individualizadas (2 horas)
Total horas traballo presencial en aula: 54 horas.
TRABALLO PERSONAL DO ALUMNADO
Estímanse 96 horas, por termo medio, malia que, obviamente, as horas de traballo persoal dependerán da idiosincrasia do alumnado e da súa formación.
É recomendable ter superadas as materias Cálculo Vectorial e integración de Lebesgue, Topoloxía Xeral e Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas parciais.
Partindo desta situación, deberá traballar con regularidade (a diario) e rigor. É fundamental participar activamente no proceso de aprendizaxe da materia. Asistir e participar con regularidade nas clases tanto teóricas como prácticas, especialmente nas clases en grupos reducidos, e formular as preguntas pertinentes que lle permitan aclarar cantas dúbidas lle poidan xurdir en relación coa materia.
Fernando Adrian Fernandez Tojo
Coordinador/a- Departamento
- Estatística, Análise Matemática e Optimización
- Área
- Análise Matemática
- Correo electrónico
- fernandoadrian.fernandez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidade
Victor Cora Calvo
- Departamento
- Estatística, Análise Matemática e Optimización
- Área
- Análise Matemática
- Correo electrónico
- victor.cora.calvo [at] usc.es
- Categoría
- Predoutoral Xunta
| Luns | |||
|---|---|---|---|
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 09 |
| Mércores | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLE_01 | Castelán | Aula 09 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIS_01 | Castelán | Aula 09 |
| Xoves | |||
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_01 | Castelán | Aula 09 |
| 08.01.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 13.06.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |