Topoloxía Xeral

O obxectivo do curso é estudar conceptos, métodos e propiedades básicas dos espazos topolóxicos. Tamén coñecer algúns resultados matemáticos importantes no contexto topolóxico. Trátase por último de trasladar as destrezas nos estudos previos de topoloxía e análise matemática, facendo especial fincapé na súa aplicación no estudo dos espazos cociente.

1. Espazos topolóxicos (4 CLE + 2 CLIL)
Espazos topolóxicos. Espazos métricos. Interior, clausura e fronteira. Sistemas e bases de veciñanzas. Base de topoloxía.

2. Continuidade (3 CLE + 2 CLIL)
Continuidade. Topoloxía inducida. Aplicacións abertas e pechadas. Homeomorfismos.

3. Novas construcións (8 CLE + 5 CLIL)
Subespazos: topoloxía relativa. Suma e producto de espazos topolóxicos: topoloxía suma e topoloxía producto. Espazos cociente: topoloxía de identificación. Colapsos. Subespazos e espazos cociente. Accións de grupos e espazos de órbitas.

4. Axiomas de separación e numerabilidade (5 CLE + 2 CLIL)
A propiedade de separación de Hausdorff. A propiedade de Hausdorff nos espazos cociente. Espazos normais. Espazos 1-numerables. Converxencia e caracterización dos pechados. Espazos 2-numerables. Teorema de Lindelöf.

5. Compacidade (8 CLE + 3 CLIL)
Espazos compactos. Teorema de Tychonoff. Espazos compactos Hausdorff. Compacidade en espazos métricos. Compacidade local.

Bibliografía básica:
Armstrong M. A., Topología básica. Editorial Reverté. Barcelona, 1987.
Dugundji J., Topology. Allyn and Bacon. Boston, 1966.
Munkres J. R., Topología. Prentice-Hall. Madrid, 2002. Accesible en liña.
Willard S., General Topology. Addison-Wesley. Reading, 1970.

Bibliografía complementaria:
Adams C. and Franzosa R., Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson. 2007
Bourbaki N., Éléments de Mathématique. Topologie générale, chapitres 1 à 4. C.C.L.S, Paris, 1971.
Hu S.T., Elements of General Topology. Holden-Day. San Francisco, 1969.
Krantz S. G., Essentials of Topology with Applications. CRC Press, Boca Raton, 2010.
Masa X.M., Topoloxía Xeral. Manuais Universitarios 1, USC, 1999.
Sutherland W.A., Introduction to metrics and topological spaces. Clarendon Press, Oxford, 1975.

Ademais de contribuir a acadar as competencias básicas, xerais e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela (USC), e que poden consultarse en http://www.usc.es/export/sites/default/gl/servizos/sxopra/memorias_grao…, esta materia permitirá acadar as seguintes competencias específicas:

CE1 - Comprender e utilizar a linguaxe matemática;
CE2 - Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática;
CE3 - Idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou refutalas;
CE4 - Identificar erros en razoamentos incorrectos, propoñendo demostracións ou contraexemplos;
CE5 - Asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionalo con outros xa coñecidos, e ser capaz de utilizalo en diferentes contextos;
CE6 - Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais.

As “clases expositivas” adicaranse á exposición dos aspectos teóricos e prácticos da materia por parte do profesor, que serán ilustrados con abundantes exemplos. As “clases interactivas de laboratorio” estarán adicadas á resolución de problemas e exercicios propostos no curso virtual cada semana.

A cualificación de cada estudante será mediante avaliación continua e a realización dunha proba final nas datas fixadas no calendario oficial da Facultade.

A avaliación continua representará o 30% dá cualificación final. Realizarase ao longo do curso en base á participación de cada alumno en clase, resolución e/ou presentación de problemas propostos nos diferentes boletíns, e dous controis escritos, que terán un peso do 60% na AC.

- O exame final consistirá nunha proba escrita cunha parte teórica, que poderá incluír a definición de conceptos, o enunciado de resultados e a proba total ou parcial dos mesmos, e unha parte práctica consistente na resolución de problemas e exercicios similares aos resoltos nas clases de laboratorio. Representará un 70% da cualificación final.

-A cualificación obtida na avaliación continua aplicarase nas dúas oportunidades dun mesmo curso académico (segundo semestre e xullo). Se o alumnno non se presenta ao exame final en ningunha das dúas oportunidades terá a cualificación de “Non presentado”, aínda que teña participado na avaliación continua.

-Os exames de cada grupo serán independentes pero similares.

-De acordo coa normativa aprobada, a nota final será como mínimo a nota da examen final.

Horas de traballo presencial:
Clases expositivas 28
Clases interactivas de laboratorio 14
Titorías en grupos moi reducidos ou individualizadas 2
Total horas traballo presencial 44

Horas de traballo do estudante
Estudo teórico e práctico relacionado coa docencia presencial 49
Preparación dos exercicios e da proba escrita 19
Total horas traballo persoal 68