Integración de Funcións dunha Variable Real

• Introducir ao alumnado, co apoio esencial de exemplos e práctica, na construción e comprensión do concepto de integral de Riemann de funcións reais limitadas en intervalos compactos.

• Coñecer e saber probar as principais propiedades da integral de Riemann, así como recoñecer o carácter integrable ou non integrable de distintas funcións.

• Comprender a relación existente entre o cálculo diferencial e o cálculo integral establecida a través do Teorema Fundamental do Cálculo. Obter primitivas e calcular integrais empregando a regra de Barrow.

• Aplicar o cálculo integral para a resolución de problemas de cálculo de áreas de figuras planas, cálculo de superficies e volumes de revolución, cálculo de lonxitudes de gráficas e resolución doutros problemas xeométricos.

• Manexar algún programa informático de cálculo simbólico de utilidade no cálculo integral.

1. O CONCEPTO DE INTEGRAL DE RIEMANN DUNHA FUNCIÓN LIMITADA NUN INTERVALO COMPACTO: FORMULACIÓNS EQUIVALENTES. EXEMPLOS DE FUNCIÓNS INTEGRABLES SEGUNDO RIEMANN (9 horas de CLE)
Particións dun intervalo compacto.
Sumas de Riemann.
Concepto de integral de Riemann dunha función limitada nun intervalo compacto.
Interpretación intuitiva da integral.
Sumas superiores e sumas inferiores.
Integral superior e integral inferior.
Formulacións equivalentes do concepto de función integrable.
Exemplos de funcións integrables: integrabilidade das funcións continuas e das funcións monótonas.

2. PROPIEDADES DA INTEGRAL E DAS FUNCIÓNS INTEGRABLES (5 horas de CLE)
Linealidade da integral.
Aditividade da integral respecto do intervalo de integración.
Monotonía da integral. Acotación modular.
Promedios. O Teorema do valor medio do Cálculo Integral.

3. O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO (5 horas CLE)
Concepto de primitiva.
Primeira formulación do Teorema Fundamental (xeralización da regra de Barrow).
A “función integral” dunha función Riemann integrable.
Segunda formulación do Teorema Fundamental.
Teoremas de cambio de variable e integración por partes para a integral de Riemann.

4. A INTEGRAL INDEFINIDA (4 horas CLE)
Concepto e propiedades.
Cálculo de primitivas por partes e por cambio de variable.
Métodos de cálculo de primitivas elementais.

5. APLICACIÓNS DA INTEGRAL DE RIEMANN (5 horas CLE)
Cálculo de áreas de certas figuras planas.
Cálculo de volumes de sólidos de revolución.
Cálculo de lonxitudes de gráficas de funcións regulares.
Cálculo de áreas laterais de corpos de revolución.

Bibliografía Básica

ABBOTT, S. (2015) Understanding Analysis. Springer (SpringerLink eBook Collection – Mathematics & Statistics, https://link-springer-com.ezbusc.usc.gal/book/10.1007/978-1-4939-2712-8)

APOSTOL, T. M. (1977) Análisis Matemático. Reverté.

BARTLE, R. G., SHERBERT, D. R. (1999) Introducción al Análisis Matemático de una variable (2ª Ed.). Limusa Wiley.

Bibliografía complementaria

LARSON, R. HOSTETLER, R. P., EDWARDS, B. H. (2006) Cálculo (8ª Ed.). McGraw-Hill.

MAGNUS, R. (2020) Fundamental Mathematical Analysis. Springer (SpringerLink eBook Collection – Mathematics & Statistics, https://link-springer-com.ezbusc.usc.gal/book/10.1007/978-3-030-46321-2).

PISKUNOV, N. (1978) Cálculo Diferencial e Integral. Montaner y Simón.

SPIVAK, M. (1978) Calculus. Reverté.

Ademais de contribuir a acadar as competencias básicas, xerais e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela (USC), e que poden consultarse en http://www.usc.es/export/sites/default/gl/servizos/sxopra/memorias_grao…, esta materia permitirá acadar as seguintes competencias específicas:

CE1 - Comprender e utilizar a linguaxe matemática;
CE2 - Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática;
CE3 - Idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou refutalas;
CE4 - Identificar erros en razoamentos incorrectos, propoñendo demostracións ou contraexemplos;
CE5 - Asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionalo con outros xa coñecidos, e ser capaz de utilizalo en diferentes contextos;
CE6 - Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais;
CE9 - Utilizar aplicacións informáticas de análise estatístico, cálculo numérico e simbólico, visualización gráfica, optimización e software científico, en xeral, para experimentar en Matemáticas e resolver problemas.

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC.

A docencia está programada en clases teóricas, prácticas en grupo reducido, prácticas con ordenador en grupo reducido e titorías. Nas clases teóricas presentaranse os contidos esenciais da disciplina, e permitirán o traballo das competencias básicas, xerais e transversais, ademais das competencias específicas CE1, CE2, CE5 e CE6. Pola súa parte, nas sesións interactivas proporanse problemas ou exercicios de realización máis autónoma, e que permitirán facer énfase na adquisición das competencias específicas CE3 e CE4. Por último as titorías dedicaranse á discusión e debate cos estudantes, e á resolución das tarefas propostas coas que se pretende que os estudantes practiquen e afiancen os coñecementos. Nas clases con ordenador utilizarase o programa MAPLE como ferramenta de estudo, traballándose deste xeito a competencia específica CE9.

Empregarase o curso virtual ou a plataforma Teams como mecanismo para achegar ó alumnado os recursos necesarios para o desenvolvemento da materia (vídeos explicativos, apuntamentos, boletíns de exercicios, etc.).

As titorías serán presenciais.

De forma xenérica, farase unha avaliación na que se combina unha avaliación continua cunha proba final.

A avaliación continua basearase nos resultados obtidos nas probas intermedias que os alumnos farán ao longo do curso, así como nas diversas actividades que se farán na materia. Permitirá comprobar o grao de consecución das competencias específicas anteriormente mencionadas, con énfase nas competencias transversais CT1, CT2, CT3 e CT5.

Con respecto a proba final e de segunda oportunidade, medirase o coñecemento acadado polo alumnado en relación ós conceptos e resultados da materia, tanto dende o punto de vista teórico como práctico, valorando tamén a claridade e o rigor lóxico mostrado na exposición dos mesmos. Avaliarase a consecución das competencias básicas, xerais e específicas ás que fai alusión a Memoria do Grao en Matemáticas da USC e que foron sinaladas anteriormente.

Tal e como se comentaba anteriormente, a avaliación realizarase combinando unha avaliación continua cunha proba final.

A avaliación continua consistirá na realización de dúas probas intermedias por parte do alumnado. A nota da avaliación continua (C), sobre 10 puntos, calcularase segundo a seguinte fórmula:

C=1/2*P1+1/2*P2,

sendo P1 e P2 as notas obtidas nas dúas probas intermedias.

Aínda que o número e a tipoloxía das probas da avaliación continua será igual para os dous grupos expositivos, o contido das mesmas poderá variar en función do grupo expositivo. Garántese a coordinación e equivalencia formativa dos dous grupos expositivos.

Coa nota da avaliación continua (C), sobre 10 puntos, e a nota da proba final presencial (F), sobre 10 puntos, calcularase a nota final na materia (NF) segundo a seguinte fórmula:

NF=max{F,0.3*C+0.7*F}.

O examen final será o mesmo para os dous grupos expositivos.

Entenderase como NON PRESENTADO quen ao final do período docente non estea en condicións de superar a materia sen realizar a proba final e non se presente a dita proba.

Na segunda oportunidade empregarase o mesmo sistema de avaliación pero coa proba correspondente á segunda oportunidade, que será un exame do mesmo tipo que o da primeira.

O examen correspondente á segunda oportunidade será o mesmo para os dous grupos expositivos.

Advertencia. Para os casos de realización fraudulenta das actividades ou probas (plaxios ou uso indebido das tecnoloxías) será de aplicación o recollido na Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións.

HORAS DE TRABALLO TOTAIS

150 horas: 58 horas presenciais e 92 horas non presenciais.

TRABALLO PRESENCIAL NA AULA

Estas horas presenciais diversifícanse en distintos tipos (28 horas CLE + 14 horas CLIS + 14 horas CLIL + 2 horas TGMR), que especificamos a continuación:

(CLE) Clases expositivas (28 horas)

(CLIS) Clases interactivas de seminario (14 horas)

(CLIL) Clases interactivas de laboratorio/titorías en grupo reducido (14 horas)

(TGMR) Titorías en grupo moi reducido (2 horas)

TEMPO DE TRABALLO PERSOAL

Estímanse 92 horas, por termo medio, malia que, obviamente, as horas de traballo persoal dependerán do traballo e da formación do alumnado.

Ter cursado a materia "Introdución á Análise Matemática" e cursar ou ter cursado a materia de "Continuidade e Derivabilidade de funcións dunha variable real".