Curvas e Superficies

Obxectivos da materia
Usar o cálculo diferencial e integral e a topoloxía euclidiana para o estudo de curvas e superficies no plano e no espazo euclidiano 3-dimensional. Manexar o método do triedro móbil (triedro de Frenet) para o estudo da teoría local de curvas. Saber calcular lonxitude de curvas, a curvatura e a torsión. Saber traballar con superficies regulares mediante as súas coordenadas. Recoñecer a natureza dos puntos dunha superficie no espazo. Coñecer e saber calcular as curvaturas normais e principais dunha superficie, así como a curvatura de Gauss e a curvatura media. Utilizar os conceptos adquiridos para traballar coas superficies regradas e minimais.
Utilizar o software e medios informáticos necesarios para poder visualizar as curvas e superficies e calcular os seus elementos

Contidos
1.- Curvas no espazo euclidiano 3-dimensional (5 horas expositivas)
Concepto de curva parametrizada. Cambio de parámetro. Parámetro lonxitude de arco. Movementos ríxidos: curvas congruentes.

2.- Curvatura e torsión. Teorema fundamental da teoría de curvas (5 horas expositivas)
Curvatura e torsión. Fórmulas de Frenet. Curvas planas.Teorema fundamental da teoría de curvas.

3.- Superficies regulares (10 horas expositivas)
Definicións básicas. Exemplos. Cambio de parámetros. Funcións diferenciables sobre superficies. O plano tanxente. Diferencial dunha aplicación.

4.- A primeira forma fundamental (6 horas expositivas)
A primeira forma fundamental. Isometrías e xeometría intrínseca. Aplicacións.

5.- A aplicación de Gauss (10 horas expositivas)
A segunda forma fundamental. Curvaturas normais. Seccións normais. Curvatura de Gauss e Curvatura media. Clasificación dos puntos dunha superficie: puntos umbílicos.

6.- Teorema egregium de Gauss e teorema de Bonnet (6 horas expositivas)
Ecuacións de compatibilidade de Codazzi-Mainardi. Teorema egregium de Gauss. Teorema fundamental da teoría de superficies (teorema de Bonnet).

Bibliografía básica
M. do Carmo; Geometría Diferencial de curvas y superficies. Alianza Ed. Madrid 1990
A. Fedenko; Problemas de Geometría Diferencial. MIR. Moscú 1981
M. A. Hernández Cifre, J. A. Pastor González; Un curso de geometría diferencial. CSIC. Madrid 2010

Bibliografía complementaria
M. Abate, F. Tovena; Curves and Surfaces. Springer-Verlag 2012
A.F. Costa, J.M. Gamboa, A.M. Porto; Notas de Geometría Diferencial de Curvas y Superficies (Volúmenes I y II, Teoría y Ejercicios). Ed. Sanz y Torres 2005
L. A. Cordero, M. Fernández, A. Gray; Curvas y superficies con Mathematica. Addison- Wesley Iberoamericana 1994
L. M. Lipschutz; Geometría diferencial. Schaum. Colombia 1971
S. Montiel,A. Ros; Curvas y Superficies, Proyecto Sur de Ediciones, Granada, 1997
Klingenberg, W.: Curso de geometría diferencial. Edit. Alhambra, Madrid, 1978.
Struik, D.J.: Geometría diferencial clásica. Aguilar de ediciones, Madrid, 1973

COMPETENCIAS XERAIS
CX1.- Coñecer os conceptos, métodos e resultados máis importantes das distintas ramas das Matemáticas, xunto con certa perspectiva histórica do seu desenvolvemento.
CX3.- Aplicar tanto os coñecementos teórico-prácticos adquiridos como a capacidade de análise e de abstracción na definición e formulación de problemas e na procura das súas solucións tanto en contextos académicos como profesionais.
CX4.- Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, coñecementos, procedementos, resultados e ideas en Matemáticas tanto a un público especializado como non especializado.
CX5.- Estudar e aprender de forma autónoma, con organización de tempo e recursos, novos coñecementos e técnicas en calquera disciplina científica ou tecnolóxica.

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
CE1.- Comprender e utilizar a linguaxe matemática. Coñecer demostracións rigorosas dalgúns teoremas clásicos en distintas áreas da Matemática.
CE2.- Idear demostracións de resultados matemáticos, formular conxecturas e imaxinar estratexias para confirmalas ou negalas.
CE3.- Identificar erros en razoamentos incorrectos propoñendo demostracións ou contraexemplos.
CE4.- Asimilar a definición dun novo obxecto matemático, relacionalo con outros xa coñecidos, e ser quen de utilizalo en diferentes contextos. Saber abstraer as propiedades e feitos substanciais dun problema, distinguíndoas daquelas puramente ocasionais ou circunstanciais.

COMPETENCIAS TRANSVERSAIS
CT1.- Utilizar bibliografía e ferramentas de busca de recursos bibliográficos xenerais e específicos de Matemáticas, incluíndo o acceso por Internet.
CT2.- Xestionar de forma óptima o tempo de traballo e organizar os recursos dispoñibles, establecendo prioridades, camiños alternativos e identificando erros lóxicos na toma de decisións.
CT3.- Comprobar ou refutar razoadamente os argumentos doutras persoas.
CT5.- Ler textos científicos tanto en lingua propia como noutras de relevancia no ámbito científico, especialmente a inglesa

Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da Universidade de Santiago de Compostela (USC).

A docencia está programada en clases Expositivas, Interactivas e Titorías (en grupos moi reducidos).

Docencia Expositiva: As clases expositivas dedicaranse á presentación e desenvolvemento dos contidos esenciais da materia.

Docencia Interactiva: As clases interactivas estarán dedicadas á presentación de exemplos e resolución de problemas (tanto teóricos como do ámbito das aplicacións). Organizaranse traballos individuais ou en grupo e proporanse problemas para que sexan resoltos polo alumnado. A participación deberá ser máxima nas clases de docencia interactiva, nas que a discusión, debate e resolución co alumnado das tarefas propostas, teñen como obxectivo que practiquen e afiancen os seus coñecementos e traballen algunhas das competencias mencionadas.

Titorías: As sesións de titorías están deseñadas especialmente para estimular a actividade do alumnado fóra da clase. Estas servirán para que o alumnado interesado poida examinar en cada momento o seu proceso de aprendizaxe, así como para que o profesorado realice o seguimento directo desta aprendizaxe, o que lle permitirá detectar insuficiencias e dificultades que poderán ser corrixidas cando se producen.

A distribución semanal da materia será aproximadamente a seguinte: 3 horas de clase expositiva, 1 hora de clase interactiva. Ao longo do curso haberá 2 horas de titorías (en grupos moi reducidos).

Sen prexuízo do criterio xeral de avaliación para todas as materias do Grao de Matemáticas, para o cómputo da cualificación final considérase a avaliación continua e o exame final.



Avaliación continua (25%). Realizarase un control escrito.

Exame final (75%). Realizarase un exame final escrito, que permita comprobar o coñecemento adquirido en relación cos conceptos e resultados da materia e a capacidade da súa aplicación a casos concretos.
O exame escrito constará dunha parte de teoría que pode abarcar definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial deles, e outra parte que consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso.

A nota final será a máxima das correspondentes ao exame final e a nota do exame final ponderada coa da avaliación continua.

Ademais das competencias específicas da materia, avaliaranse as competencias CX1, CX3, CX4, CE1, CE2, CE3, CE4, CE5 e CE6.

O sistema de avaliación será o mesmo para as dúas oportunidades da convocatoria.

Para os casos de realización fraudulenta de exercicios ou probas será de aplicación o recollido na "Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións”.


OS EXÁMENES NOS DOUS GRUPOS SERÁN DIFERENTES PERO EQUIVALENTES

Horas TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
Clases expositivas: 42 h.
Clases interactivas de laboratorio con ordenador: 2 h.
Clases interactivas de laboratorio/titorías en grupo reducido: 12 h.
Titorías en grupos moi reducidos ou individualizadas: 2 h.

Total horas traballo presencial na aula 58

Horas TRABALLO PERSOAL
Estudo autónomo individual ou en grupo: 55 h.
Escritura de exercicios, conclusións e outros traballos: 25 h.
Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/ laboratorio: 2 h.
Lecturas aconselladas,actividades en biblioteca ou similar: 10 h.

Total de horas de traballo persoal do alumnado 92

Total volume de traballo: 150 horas

Materias que se aconsella cursar previamente:
Álgebra linear e multilinear, Topoloxía dos espazos euclidianos, Diferenciación de funcións de varias variables reais
Ter cursado ou estar cursando Introducción ás ecuacións diferenciais ordinarias.