Ecuaciones en Derivadas Parciales

Conocer algunos aspectos básicos de la resolución de las ecuaciones en derivadas parciales de tipo parabólico e hiperbólico.
Familiarizarse con el concepto de solución generalizada para una ecuación diferencial y situarlo dentro de su contexto funcional.
Conocer los principios fundamentales de la formulación variacional de una ecuación en derivadas parciales.

1.- (4 horas expositivas aproximadamente) Soluciones clásicas de Ecuaciones en Derivadas Parciales de segundo orden: Parabólicas, Hiperbólicas y Elípticas. Transformada de Fourier.
2.- (2 horas expositivas aproximadamente) Distribuciones. Cálculo con distribuciones. Espacios de Sobolev.
3.- (3 horas expositivas aproximadamente) Concepto de solución débil: Formulación variacional de problemas de frontera para ecuaciones en derivadas parciales de tipo elíptico. Problemas de evolución: la ecuación del calor y la ecuación de ondas.

A. CABADA, Problemas Resueltos de Ecuaciones en Derivadas Parciales, http://webspersoais.usc.es/export9/sites/persoais/persoais/alberto.caba…
H. BREZIS, Analyse Fonctionnelle. Théorie et applications, Masson, 1996.
H. BREZIS, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer, 2011.
M. GONZÁLEZ BURGOS, Apuntes de Ecuaciones en Derivadas Parciales. http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICMAT/LMAEDP/ApuntesAEDP1213.p…
M. GROSSINHO; S. A. TERSIAN, An Introduction to Minimax Theorems and their Applications to Differential Equations. Nonconvex Optimization and its Applications. Kluwer Academic Publishers, 2001.
R. HABERMAN, Ecuaciones en Derivadas Parciales (3ª Ed.). Prentice Hall, 2003.
F. JOHN, Partial Differential Equations (4ª Ed.), Springer-Verlag, 1982
J. JOST, Partial Differential Equations (2ª Ed.), Springer, 2007
S. KESAVAN, Topics in Functional Analysis and Applications, John Wiley & Sons, 1989.
S. KESAVAN, Nonlinear Functional Analysis. A First Course, Hindustan Book Agency, 2004.
V. P. MIJAILOV, Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, Mir. 1978.
I. PERAL, Primer curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Addison-Wesley, 1995.
P. A. RAVIART; J. M. THOMAS, Introduction à l'Analyse Numérique des Équations aux Dérivées Partielles, Masson, 1988.
I. P. STAVROULAKIS; S. A. TERSIAN, Partial Differential Equations. An introduction with Mathematica and MAPLE (2ª Ed.). World Scientific Publishing Co., 2004.
R. S. STRICHARTZ, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms (2ª Ed.). World Scientific Publishing Co., 2003.
M. STRUWE, Variational methods. Applications to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems (4ª Ed.). Springer, 2008.

En esta materia se trabajarán todas las competencias recogidas en la Memoria del Título de Máster en Matemáticas de la USC.

Competencias generales:
(CG1) Adquisición de herramientas matemáticas de alto nivel para diversas aplicaciones cubriendo las expectativas de graduados en matemáticas y otras ciencias básicas.
(CG2) Conocer el amplio panorama de la matemática actual, tanto en sus líneas de investigación, como en metodologías, recursos y problemas que aborda en diversos ámbitos.
(CG3) Capacitar para el análisis, formulación y resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos, dentro de contextos más amplios.
(CG4) Preparar para la toma de decisiones a partir de consideraciones abstractas, para organizar y planificar y para resolver cuestiones complejas.

Competencias específicas:
(CE1) Capacitar para el estudio y la investigación en teorías matemáticas en desarrollo.
(CE2) Aplicar las herramientas de la matemática en diversos campos de la ciencia, la tecnología y las ciencias sociales.
(CE3) Desarrollar las habilidades necesarias para la transmisión de la matemática, oral y escrita, tanto en lo que respecta a la corrección formal, como en cuanto a la eficacia comunicativa, enfatizando el uso de las TIC apropiadas.

Competencias transversales:
(CT1) Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet.
(CT2) Gestionar de forma óptima el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
(CT3) Potenciar la capacidad para el trabajo en entornos cooperativos y pluridisciplinares.

Además, las actividades formativas a desarrollar tienen como objetivo que el alumnado adquiera las siguientes competencias y resultados de aprendizaje relacionados Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales:
Comprender, aprender y saber expresar con rigor los conceptos y técnicas que se desarrollan en el programa.
Poder resolver explícitamente Ecuaciones en Derivadas Parciales de segundo orden lineales.
Conocer ejemplos relevantes de ecuaciones diferenciales de la física y de otras ciencias.
Traducir en términos de Ecuaciones en Derivadas Parciales algunos problemas de las ciencias aplicadas (física, química, biología, medicina, etc.).
Dominar el concepto de derivada generalizada y solución débil.
Conocer propiedades básicas de las transformadas integrales y del Análisis Funcional.
Conocer conceptos básicos de la teoría de puntos críticos.

Se trabajarán de forma especial: La expresión rigurosa y clara, tanto oral como escritura, el razonamiento lógico e identificación de errores en los procedimientos, la capacidad de abstracción, la creatividad, el trabajo en equipo, el desarrollo de la capacidad de análisis en la resolución de problemas y la actitud crítica ante diferentes soluciones.

Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Máster en Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela (USC).

La docencia está programada en clases expositivas e interactivas.

Docencia Expositiva (9 horas): Las clases expositivas se dedicarán a la presentación y desarrollo de los contenidos esenciales de la materia.

Docencia de seminario y laboratorio (12 horas): Las clases interactivas de seminario (6 horas) estarán dedicadas a la presentación de ejemplos y resolución de problemas (tanto teóricos como del ámbito de las aplicaciones). En las clases interactivas de laboratorio (6 horas) se organizarán trabajos individuales o en grupo y se propondrán problemas para que sean resueltos por el alumnado. En estas clases, la discusión y debate con el alumnado, así como la resolución y exposición por su parte de las tareas propuestas, es fundamental para que se practiquen y afiancen los conocimientos y se trabajen algunas de las competencias mencionadas.

La docencia expositiva e interactiva será presencial y se complementará con el curso virtual de la materia, en la que el alumnado encontrará materiales bibliográficos, boletines de problemas, vídeos explicativos, etc. Mediante el curso virtual el alumnado también podrá realizar test y pruebas para la evaluación continua, como se describe en el apartado correspondiente.

Las tutorías serán presenciales o a través del correo electrónico o la plataforma Teams.

Se seguirá el criterio general de evaluación establecido en la Memoria del Título de Máster en Matemáticas de la USC.

Para el cómputo de la calificación final (CF) se tendrán en cuenta la calificación de la evaluación continua (AC) y la calificación del examen final (EF), y se aplicará la fórmula CF = AC/2 (1-AC/20)*EF.

Este cómputo será aplicable en las dos oportunidades.

La evaluación continua se basará en los resultados obtenidos en los controles escritos o trabajos encargados por el profesor sobre aspectos prácticos o teóricos de la materia, que podrán ser individuales o en grupo. Más concretamente, el alumnado deberá entregar dos trabajos a lo largo del curso, cuya valoración será la nota de la evaluación continua AC. Permitirá comprobar el grado de consecución de las competencias específicas anteriormente mencionadas.

El examen final consistirá en una exposición individual de un tema propuesto con suficiente antelación. Se medirá el conocimiento conseguido por el alumnado en relación a los conceptos y resultados de la materia, tanto desde el punto de vista teórico cómo práctico, valorando también la claridad y el rigor lógico mostrado en la exposición de los mismos. Se evaluará la consecución de las competencias básicas, generales y específicas a las que hace alusión la Memoria del Máster en Matemáticas de la USC y que fueron señaladas anteriormente.

Se entenderá como NO PRESENTADO quien al final del período docente no esté en condiciones de superar la materia sin realizar la prueba final y no se presente a dicha prueba.

En la segunda oportunidad se empleará el mismo sistema de evaluación pero con la prueba correspondiente a la segunda oportunidad, que será un examen del mismo tipo que el de la primera.

TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA
Clases expositivas (9 h)
Clases de seminario (6 h)
Clases de laboratorio (6 h)

Total horas trabajo presencial en el aula: 21

TRABAJO PERSONAL DEL ESTUDIANTE
Estudio autónomo individual o en grupo (45 h)
Escritura de ejercicios, conclusiones y otros trabajos (9 h)


Total horas trabajo personal del estudiante: 54

TOTAL:75 horas

El alumnado deberá manejar con soltura los temas estudiados en las materias del grado en matemáticas relacionadas con la ecuaciones diferenciales y el análisis funcional. También debe dominar las materias del Máster “Análisis Funcional” y “Análisis Real y Complejo”.

Partiendo de esta situación, deberá trabajar con regularidad (a diario) y rigor. Es fundamental participar activamente en el proceso de aprendizaje de la materia, asistir con regularidad a las clases, tanto teóricas como prácticas, de un modo participativo, especialmente en las clases interactivas, formulando las preguntas pertinentes que le permitan aclarar cuantas dudas le puedan surgir en relación con la materia.

Students must handle with ease the topics studied in the subjects of the degree in mathematics related to differential equations and functional analysis. You must also master the subjects of the Master "Functional Analysis" and "Real and Complex Analysis".

Starting from this situation, you must work regularly (daily) and rigorously. It is essential to participate actively in the process of learning the subject, regularly attend classes, both theoretical and practical, in a participatory way, especially in interactive classes, asking the relevant questions that allow you to clarify any doubts that may arise in relation to the subject.