Geometría y Topología de Variedades

- Conocer las nociones fundamentales y las herramientas básicas de la teoría de Lie y de los espacios homogéneos.
- Usar métodos diferenciales para la obtención de resultados clásicos y el cálculo de invariantes numéricos.
- Manejo de técnicas de aproximación y de entornos tubulares.
- Estudio de los puntos críticos de las funciones reales.

Topología diferencial
Variedades topológicas y diferenciables. Variedades con borde. (1h)
Subvariedades. Teorema del rango. Teorema de Frobenius. (2h)
Teoremas de embebimiento. Teorema de Morse-Sard. Consecuencias. Funciones de Morse. (3h)
Transversalidad. Homotopías diferenciables. Teorema paramétrico de transversalidad. Teorema del entorno tubular. (3h)

Grupos y álgebras de Lie
Grupos de Lie. Homomorfismos. Propiedades topológicas. (4h)
Álgebras de Lie. El álgebra de Lie de un grupo de Lie. Aplicación exponencial. (7h)
Grupos lineales clásicos. (4h)
Subgrupos y subálgebras de Lie. Teorema de Cartan. (4h)
Grupos de Lie de transformaciones. Espacios homogéneos. (8h)
Representaciones de grupos y álgebras de Lie. (8h)

Básica
J. M. LEE, Introduction to smooth manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 218.
F. W. WARNER, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Scott, Foresman and Company, Illinois, 1971.
W. ZILLER, Lie groups. Representation theorey and symmetric spaces. Disponible en https://www.math.upenn.edu/~wziller/math650/LieGroupsReps.pdf (último acceso 26/05/2021)
Complementaria
L. CONLON, Differentiable Manifolds. A first Course. Birkhäuser, Boston, 1993.
V. GUILLEMIN, A. POLLACK, Differential topology. Reprint of the 1974 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2010.
M. W. HIRSCH, Differential topology. Corrected reprint of the 1976 original. Graduate Texts in Mathematics, 33. Springer-Verlag, New York, 1994.
A. W. KNAPP, Lie groups beyond an introduction. Second edition. Progress in Mathematics, 140. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002.
I. MADSEN, J. TORNEHAVE, From calculus to cohomology. de Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
Y. MATSUSHIMA, Differentiable Manifolds. Marcel Dekker, New York, 1972.
J. MILNOR, Morse Theory, Princeton University Press, 1963.
E. OUTERELO, J. M. RUIZ, Topología diferencial. Addison-Wesley Iberoamericana España S.A., Madrid, 1998.

CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación.
CB7 - Que los estudiantes sepan aplicar los conocimientos adquiridos y su capacidad de resolución de problemas en situaciones nuevas o poco conocidas dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con su área de estudio.
CB8 - Que los estudiantes sean capaces de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formular juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.
CB9 - Que los estudiantes sepan comunicar sus conclusiones y los conocimientos y razones últimas que las sustentan a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades.
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.
CG01 - Introducir en la investigación a los y a las estudiantes, como parte integrante de una formación profunda, preparándolos para la eventual realización posterior de una tesis de doctorado.
CG02 - Adquisición de herramientas matemáticas de alto nivel para diversas aplicaciones cubriendo las expectativas de graduados en matemáticas y otras ciencias básicas.
CG03 - Conocer el amplio panorama de la matemática actual, tanto en sus líneas de investigación, como en metodologías, recursos y problemas que aborda en diversos ámbitos.
CG04 - Capacitar para el análisis, planteamiento y resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidas, dentro de contextos más amplios.
CG05 - Preparar para la toma de decisiones a partir de consideraciones abstractas, para organizar y planificar y para resolver cuestiones complejas.
CT01 - Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet.
CT02 - Gestionar de forma óptima el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
CT03 – Potenciar la capacidad para el trabajo en entornos cooperativos y pluridisciplinarios.
CE01 - Capacitar para el estudio y la investigación en teorías matemáticas en desarrollo.
CE02 - Aplicar las herramientas de la matemática en diversos campos de la ciencia, la tecnología y las ciencias sociales.
CE03 - Desarrollar las habilidades necesarias para la transmisión de la matemática, oral y escrita, tanto en lo que respeta a la corrección formal, como en cuanto a la eficacia comunicativa, destacando el uso de las TIC apropiadas.

Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título del Máster en Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela (USC).
Un aspecto clave en la enseñanza a cualquier nivel educativo es el de la motivación de los conceptos que se van introduciendo. Así, en la docencia de las Matemáticas se hace muy necesario adoptar un enfoque metodológico que en primer lugar introduzca las nociones y resultados que se van a estudiar mediante ejemplos que ayuden a comprender la necesidad de tales contenidos. En esta fase metodológica inicial se deberá también conectar de manera natural los nuevos conceptos con conocimientos previamente asimilados por el estudiante, sean o no referidos a la misma área de conocimiento, para contribuir a generar una imagen unificadora de la Matemática. Después de esta primera fase de carácter más motivador e intuitivo, se desarrollarán de manera rigurosa las propiedades, resultados y métodos asociados a los conceptos introducidos. Finalmente, tales contenidos se avanzarán a través de más ejemplos, ejercicios y problemas de distinta dificultad y naturaleza. Además, de acuerdo con el espíritu del Espacio Europeo de Educación Superior, en el que el alumno se convenirte en sujeto activo y motor de su propio aprendizaje, buena parte de esos ejercicios y problemas deberán ser realizados por los alumnos, con el fin de consolidar y asimilar contenidos, así como de evidenciar posibles carencias sobre las que se hará preciso reincidir.
Entre las metodologías docentes presentadas en el plan de estudios, emplearemos, sobre todo:
M1 Exposiciones del profesorado
M2 Presentaciones de los estudiantes
M3 Resolución de ejercicios
M4 Lectura y estudio de los estudiantes
M5 Discusiones en clase
M9 Realización de resúmenes y trabajos propuestos
M10 Lecturas complementarias

El sistema de evaluación deberá respetar en todo caso la normativa de la USC, que se encuentra en
https://www.xunta.gal/dog/Publicados/2011/20110721/AnuncioG2018-190711-…
Sin perjuicio del criterio general de evaluación para todas las materias del Máster, para el cómputo de la calificación final se considerará la evaluación continua y el examen final. En cualquier caso, la nota no será nunca inferior a la del examen final.
Evaluación continua (40%). La evaluación continua se llevará a cabo a través de la realización de trabajos propuestos sobre aspectos prácticos, teóricos, o de aplicabilidad de los conceptos de la materia, que podrán ser individuales o en grupo, de la entrega de ejercicios escritos, y de la participación del alumnado en el aula y tutorías.
A través de las distintas actividades propuestas se evaluarán, por supuesto contextualizando la materia en el primer cuatrimestre del máster, la adquisición de competencias, la capacidad de trabajo en equipo y la de aprendizaje autónomo.
Examen final (60%). Se realizará un examen final escrito, que permita comprobar el conocimiento adquirido en relación con los conceptos y resultados de la materia, y la capacidad de su aplicación a casos concretos.
Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de calificaciones.

Trabajo presencial en el aula o telemático
Clases de encerado o telemáticas 44
Tutorías en grupo (presenciales o telemáticas) 4
Total de horas de trabajo presencial en el aula o telemáticas 48
Trabajo personal
Estudio individual o en grupo 74
Escritura de ejercicios, conclusiones y otros trabajos 22
Programación/experimentación u otros trabajos en ordenador/laboratorio 6
Total de horas de trabajo personal del alumnado 102
Total de volumen de trabajo 150

Formación en las materias de geometría y topología