Series Funcionales e Integración de Riemann en varias Variables Reales

El objetivo general de esta asignatura es comprender, conocer y manejar los principales conceptos, resultados y métodos relativos a las sucesiones y series funcionales y a la teoría de integración de Riemann para funciones reales de varias variables reales.

Más exactamente, se plantean los siguientes objetivos:
OB1 - analizar el comportamiento de sucesiones y series funcionales, distinguiendo las nociones de convergencia puntual y uniforme;
OB2 - conocer condiciones suficientes para que el límite (la suma) de una sucesión (serie) funcional herede propiedades de regularidad de los términos de la sucesión (serie) funcional correspondiente;
OB3 - estudiar del carácter convergente o divergente de integrales impropias y, cuando sea posible, calcular de su valor;
OB4 - construir la teoría de integración de Riemann para funciones de varias variables reales en conjuntos Jordan-medibles;
OB5 - estudiar del carácter Riemann-integrable de funciones de varias variables reales en conjuntos Jordan-medibles;
OB6 - cálcular integrales múltiples en conjuntos Jordan-medibles empleando el teorema de Fubini y el teorema de cambio de variable con algunas de las transformaciones más habituales en el plano y en el espacio;
OB7 - emplear MAPLE como apoyo para la realización de las actividades actividades con el objetivo de favorecer la comprensión conceptual, el descubrimiento y el contraste de resultados propios de la asignatura.

1 - Integrales impropias de una variable real (6 horas expositivas)

1.1 - Integrales impropias
Integración en intervalos no compactos. Integrales convergentes y divergentes. Propiedades de la integración impropia. Condición de Cauchy para la convergencia de una integral.
1.2 - Criterios de convergencia
Caracterización de la convergencia de integrales de funciones no negativas. Criterios de comparación, comparación por cociente y comparación por paso al límite. Estudio de algunas integrales de referencia. Convergencia condicional y convergencia absoluta de integrales. Criterio de Dirichlet.
1.3 - Integrales impropias y Series numéricas.

2 - Sucesiones y series funcionales (12 horas expositivas)

2.1 - Sucesiones funcionales
Convergencia puntual y convergencia uniforme. Condición de Cauchy para la convergencia uniforme. Resultados de continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la función límite.
2.2 - Series funcionales
Convergencia puntual, absoluta y uniforme de una serie de funciones. Condición de Cauchy para la convergencia uniforme de una serie. Criterio maiorante de Weierstrass. Resultados de continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la función suma.
2.3 - Series de potencias
Radio de convergencia. Fórmula de Cauchy-Hadamard. Convergencia uniforme. Propiedades de continuidad, derivabilidad e integrabilidad de la suma. Series de Taylor. Funciones analíticas.

3 - Integral múltiple de Riemann (10 horas expositivas)

3.1 - Integral de Riemann en rectángulos compactos de R^n
Particiones de un rectángulo. Sumas de Riemann. Funciones R-integrables en rectángulos compactos e integral de Riemann. Sumas superiores e inferiores. Integrales inferior y superior. Formulaciones equivalentes del concepto de función integrable en el sentido de Riemann. Propiedades de la integral.
3.2 - Funciones integrables en el sentido de Riemann en rectángulos compactos
Conjuntos de contenido nulo y de medida nula. Caracterización de Lebesgue de la integrabilidade en el sentido de Riemann. El Teorema de Fubini en rectángulos
3.3 - Integración en conjuntos medibles en el sentido de Jordan
Conjuntos J-medibles. Integración en conjuntos J-medibles. Funciones R-Integrables en conjuntos J-medibles. Propiedades de la integral de Riemann. El teorema de Fubini en conjuntos J-medibles
3.4 - El teorema de cambio de variable. Algunos cambios de variable especiales.

Nota: Los contenidos de la materia son susceptibles de ser desarrollados en orden distinto al expuesto.

Bibliografía Básica

Apostol TM. Análisis matemático. 2a ed. Barcelona: Reverté; 1979.
Bombal F, Rodríguez Marín L, Vera Botí G. Problemas de análisis matemático. 2a ed, Madrid: AC; 1994.
Fernández Viña JA, Sánchez Mañes E. Ejercicios y complementos de análisis matemático III. Madrid: Tecnos; 1992.

Bibliografía complementaria

Apostol TM. Calculus. 2a ed. Barcelona: Editorial Reverté; 1984.
Bartle RG, Sherbert DR. Introducción al análisis matemático de una variable. 2a ed. México: Limusa Wiley; 2010.
Boss, V. Lecciones de matemática. Tomo 1. Análisis. Moscú: URSS, 2008.
de Burgos J. Cálculo infinitesimal de una variable. 2a ed. Madrid: McGraw-Hill; 2006.
de Burgos J. Cálculo infinitesimal de varias variables. 2a ed. Madrid: McGraw-Hill; 2008.
del Castillo F. Análisis matemático II. Madrid: Alhambra; 1980.
Fernández Viña JA. Análisis matemático III. Integración y Cálculo exterior. Madrid: Tecnos; 1992.
Spivak M. Cálculo en variedades. Barcelona: Reverté; 1982.

Además de contribuir a alcanzar las competencias básicas, generales y transversales recogidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la Universidade de Santiago de Compostela que pueden consultarse en www.usc.gal/es/estudios/grados/ciencias/grado-matematicas esta asignatura contribuirá a alcanzar las siguientes competencias específicas:

CE1 - comprender y utilizar el lenguaje matemático;
CE2 - conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática;
CE3 - idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o negarlas;
CE4 - identificar errores en razonamientos incorrectos proponiendo demostraciones o contraejemplos;
CE5 - asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos;
CE6 - saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales;
CE9 - utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización y software científico, en general, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.

Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la Universidade de Santiago de Compostela.

La docencia está programada en clases expositivas e interactivas. En las clases expositivas se presentarán los contenidos esenciales de la asignatura, y permitirán el trabajo de las competencias básicas, generales y transversales, además de las competencias específicas CE1, CE2, CE5 y CE6. A veces el modelo se aproximará a la lección magistral y otras, se procurará una mayor implicación del alumno. En las clases interactivas se propondrán y corregirán problemas y ejercicios que permitirán hacer énfasis en la adquisición de las competencias específicas CE3, CE4 y CE9.

La docencia será presencial y se complementará en el Campus Virtual, que se empleará para la realización y entrega de algunas tareas relacionadas con la evaluación continua.

En la medida de las posibilidades, el desarrollo de la asignatura tenderá a potenciar tanto el propio aprendizaje de los alumnos como la evaluación continua mediante diversas propuestas de trabajo (de carácter voluntario) a lo largo del cuatrimestre. Al mismo tiempo, se procurará fomentar la participación del alumnado en las distintas sesiones. Para facilitar el aprendizaje, se elaborarán materiales didácticos (en gallego) de diverso tipo: notas sobre los contenidos del curso; vídeos explicativos; hojas de trabajo de Maple (con utilidades diseñadas y preparadas para que el alumnado pueda experimentar con algunos de los conceptos más relevantes de la materia) y varios otros, que en ningún caso pretenden sustituir el uso de los libros. Estos materiales estarán a disposición del alumnado en el Campus Virtual de la materia.

En las clases con ordenador se utilizará el programa MAPLE cómo herramienta de trabajo.

Para estudiantes del grupo CLE01 se proponen dos modalides de evaluación: Modalidad 1 y Modalidad 2. Al inicio del curso, en el plazo establecido y a través del Campus Virtual, el alumnado deberá elegir individualmente la modalidad que estime oportuna. Con el fin de que el profesorado pueda organizar y programar con la debida antelación las actividades de evaluación continua, será imprescindible que el alumnado que opte por cualquiera de las dos modalidades realice la correspondiente elección de modalidad de evaluación en el Campus Virtual, en los plazos oportunos.

La Modalidad 1 requiere una participación activa en clase y la realización de al menos el 80% de las actividades propuestas, individuales o grupales. El examen final, también presencial, es obligatorio y se considera en esta modalidad como una actividad más. La calificación final (CF) se calculará de acuerdo con la siguiente fórmula: CF=E+mín{T/4, 10-E}, donde E es la nota del examen final y T la de las actividades realizadas durante el curso (ambas entre 0 y 10). El trabajo durante el curso podrá representar hasta el 25% de la nota final.

La Modalidad 2, pensada para quienes prefieran mayor autonomía, consta una prueba intermedia (PI) cuya fecha de realización será previamente fijada y anunciada. La calificación final se calculará de acuerdo con la siguiente fórmula: CF=máx{E,0.7E+0.3PI}, donde E es la nota del examen final y PI la de la prueba intermedia.

Para estudiantes del grupo CLE02 sólo estará accesible la Modalidad 2, consistente en la realización de dos pruebas intermedias cuya fecha de realización será previamente fijada y anunciada. La calificación final no será inferior a la obtenida empleando la siguiente fórmula: CF=máx{E,0.7E+0.3PI}, donde E es la nota del examen final y PI es la media aritmética la de las dos pruebas intermedias.

El examen final podrá ser diferente para los grupos expositivos. En cualquier caso, se garantiza la coordinación y la equivalencia formativas de todos los grupos.

En la segunda oportunidad se empleará el mismo sistema de evaluación, manteniéndose la calificación de las actividades y pruebas intermedias realizadas durante el curso y actualizando la calificación del examen final.

En los casos de realización fraudulenta de tareas o pruebas (plagio o uso indebido de la tecnología), se aplicará lo dispuesto en el Reglamento para la evaluación del rendimiento académico del estudiantado y revisión de calificaciones.

Recibirán la calificación de "No Presentado" quienes no realicen el examen final.

HORAS TOTALES
150 horas: 58 horas presenciales y 92 horas no presenciales.

DOCENCIA PRESENCIAL EN EL AULA (26 horas CLE+14 horas CLIS+14 horas CLIL+2 horas TGMR+2 horas CLE realización de pruebas),

(CLE) Clases expositivas (26 horas)
(CLE) Realización de pruebas de evaluación (2 horas)
(CLIS) Clases interactivas de seminario (14 horas)
(CLIL) Clases interactivas de laboratorio/tutorías en grupo reducido (14 horas)
(TGMR) Tutorías en grupo muy reducido (2 horas)

TIEMPO DE TRABAJO PERSONAL NO PRESENCIAL
Por término medio, se estiman necesarias 92 horas.

Se recomienda haber cursado y superado las siguientes asignaturas: Introducción al análisis matemático, Continuidad y derivabilidad de funciones de una variable real, Integración de funciones de una variable real, Topología de los espacios euclidianos y Diferenciación de funciones de varias variables reales.

Se recomienda estudiar la asignatura con regularidad e intentar realizar los ejercicios propuestos de forma autónoma. Se recomienda consultar con el equipo docente todas las dudas que puedan ir surgiendo a lo largo del curso.