Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 99 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Estadística, Análisis Matemático y Optimización
Áreas: Análisis Matemático
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Primer semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
Se trata de presentar los principios elementales del análisis funcional poniendo especial énfasis en los espacios de Hilbert. Así pues, se estudian propiedades fundamentales de los espacios de Hilbert, su geometría y las aplicaciones lineales y continuas (operadores) entre espacios de Hilbert. Se introducen también los conceptos y resultados básicos de la teoría espectral para operadores en espacios de Hilbert y se comenta alguna de sus múltiples aplicaciones.
1. Espacios vectoriales topológicos. (2h)
2. Espacios de Banach. (8h)
2.1. Definición y ejemplos.
2.2. Operadores lineales en espacios normados.
2.3. Teoremas fundamentales de la teoría de espacios de Banach.
2.4. Espacios duales.
2.5. Caracterizaciones de los espacios de dimensión finita / infinita.
2.6. Teorema de Ascoli-Arzelà.
3. Espacios de Hilbert. (9h)
3.1. Definición y ejemplos.
3.2. El teorema de la proyección ortogonal.
3.3. El teorema de representación de Riesz.
3.4. Isomorfismos entre espacios de Hilbert. Operadores adjuntos.
3.5. Espacios de Hilbert separables.
4. Operadores en espacios de Hilbert. (6h)
4.1. Espectro de un operador.
4.2. Teorema espectral.
4.3. Proyecciones.
4.4. Ejemplos de operadores.
4.5. Aplicaciones.
Bibliografía básica:
Friedman, A. Foundations of Modern Analysis, 2ª ed. New York: Dover, 1982. (1202 213)
Gohberg, I. e Goldberg, S. Basic Operator Theory, 1ª ed. Boston: Birkhäuser, 1981. (1202 265 A)
Gohberg, I., Goldberg, S. e Kaashoek, M. A. Basic Classes of Linear Operators, 1ª ed. Birkhäuser, 2003. (47 241)
Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with applications, John Wiley & Sons, 1978. (1202 264 A)
Megginson, H. An introduction to Banach Space Theory, Springer 1998. (1202 361 A)
Bibliografía complementaria:
Bollobás, B. Linear analysis: an introductory course, 2ª ed. Cambridge: Cambridge Mathematical Textbooks, 1999. (1202 435)
Brezis, H. Análisis Funcional, Alianza Universidad Textos 1984. (1202 37 C)
Conway, J.B. A Course in Functional Analysis, Springer 1990. (1202 289 A)
Rudin, W. Real and Complex Analysis, 3ª ed. New York: McGraw-Hill, 1987. (1202 20 F)
Vera López, A. Un curso de Análisis Funcional. Teoría y problemas, AVL 1997. (1202 195 A)
Bibliografía en línea (accesible desde Springer Link, se explica como acceder en el siguiente enlace: https://www.youtube.com/watch?v=t8hPlEwNFLg&feature=emb_logo )
Cohen, D. W. An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic.
URL https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-8841-8
Friedrichs, K. O. Spectral Theory of Operators in Hilbert Space.
URL https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-6396-8
Halmos, P., A Hilbert space problem book.
URL https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4684-9330-6
Gohberg, I. y Goldberg, S., Basic Operator Theory.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-5985-5
Gohberg, I., Goldberg, S. y Kaashoek, M. A., Basic Classes of Linear Operators.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-0348-7980-4
Krall, A. M. Hilbert Space, Boundary Value Problems and Orthogonal Polynomials.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-0348-8155-5
Kubrusly, C. The Elements of Operator Theory.
URL https://link.springer.com/book/10.1007/978-0-8176-4998-2
Lal Vasudeva, H. Elements of Hilbert Spaces and Operator Theory.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-10-3020-8
Muscat, J. Functional Analysis.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-06728-5
Schmüdgen, K. Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-007-4753-1
Siddiqi, A. Functional Analysis and Applications. URL:
https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-10-3725-2
Steeb, W. Hilbert Spaces, Wavelets, Generalised Functions and Modern Quantum Mechanics.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-011-5332-4
Sunder, V. S. Operators on Hilbert Space.
URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-10-1816-9
Weidmann, J. Linear Operators in Hilbert Spaces.
URL https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-6027-1
CG1 - Conocer los conceptos, métodos y resultados más importantes de las distintas áreas de las Matemáticas, junto con cierta perspectiva histórica de su desarrollo.
CG2 - Reunir e interpretar datos, información y resultados relevantes, obtener conclusiones y
emitir informes razonados en problemas científicos, tecnológicos o de otros ámbitos que requieran del uso de herramientas matemáticas.
CG4 - Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas en Matemáticas tanto a un público especializado como no especializado.
CG5 - Estudiar y aprender de forma autónoma, con organización de tiempo y recursos, nuevos conocimientos y técnicas en cualquier disciplina científica o tecnológica.
CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
CE2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
CE3 - Idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o negarlas.
CE4 - Identificar errores en razonamientos incorrectos proponiendo demostraciones o contraejemplos.
CE5 - Asimilar la definición de un nuevo objecto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser quien de utilizarlo en diferentes contextos.
CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos substanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales.
CT1 - Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluido el acceso por Internet.
CT2 - Gestionar de forma óptima el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
CT3 - Comprobar o rechazar razonadamente los argumentos de otras personas.
CT5 - Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente en inglés.
(CG: competencia general; CE: competencia específica; CT: competencia transversal)
Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.
La docencia está programada en clases magistrales, clases interactivas y tutorías en grupos reducidos. En las clases magistrales se presentarán los contenidos esenciales de la materia; en las clases interactivas se resolverán problemas y ejercicios previamente propuestos por el profesor y las tutorías en grupos reducidos se dedicarán a la discusión y debate con los estudiantes. Se intentará fomentar la participación y pensamiento crítico del alumnado, especialmente en las clases interactivas.
La evaluación continua se conservará para la segunda oportunidad. El examen final consistirá en la resolución de cuestiones teóricas y prácticas similares a las realizadas durante el curso.
Las competencias asociadas a los contenidos declarativos de la materia (CG1, CE2, CE3, CE4, CE5, CE6) serán especialmente evaluadas en el examen final.
Pruebas de evaluación continua: Consistirá en tres pruebas escritas a realizar en horario de clase. La fecha exacta de dichas pruebas se avisará con antelación.
Cálculo de la nota final: La nota final de la oportunidad se calcula como max{E,0’4C+0’6E} donde E es la nota del examen final de la oportunidad (que tendrá lugar en las fechas marcadas por la Facultad) y C es la media de las pruebas de evaluación continua.
Se entenderá como no presentado en la oportunidad todo estudiante que no realice la prueba final de la oportunidad.
Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y revisión de calificaciones.
Tanto las pruebas de evaluación continua como el examen final serán los mismos en todos los grupos de docencia expositivos e interactivos de la materia.
TRABAJO PRESENCIAL EN El AULA
Horas expositivas (26 horas)
Horas interactivas de seminario (13 horas)
Horas interactivas de laboratorio (13 horas)
Tutorías en grupos muy reducidos o individualizadas (2 horas)
Total horas trabajo presencial en aula: 54 horas.
TIEMPO DE TRABAJO PERSOAL: Se estiman 96 horas, por término medio, aunque, obviamente, las horas de trabajo personal dependerán de la idiosincrasia del alumnado y de su formación.
Es recomendable tener superadas las materias Cálculo vectorial e integración de Lebesgue, Topología General y Series de Fourier e Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales.
Partiendo de esta situación, deberá trabajar con regularidad (a diario) y rigor. Es fundamental participar activamente en el proceso de aprendizaje de la materia. Asistir con regularidad a las clases tanto teóricas como prácticas, acudir a las clases de un modo participativo, especialmente en las clases en grupos reducidos, y formular las preguntas pertinentes que le permitan aclarar cuantas dudas le puedan surgir en relación con la materia.
Fernando Adrian Fernandez Tojo
Coordinador/a- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Correo electrónico
- fernandoadrian.fernandez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidad
Victor Cora Calvo
- Departamento
- Estadística, Análisis Matemático y Optimización
- Área
- Análisis Matemático
- Correo electrónico
- victor.cora.calvo [at] usc.es
- Categoría
- Predoutoral Xunta
| Lunes | |||
|---|---|---|---|
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 09 |
| Miércoles | |||
| 10:00-11:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 09 |
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIS_01 | Castellano | Aula 09 |
| Jueves | |||
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_01 | Castellano | Aula 09 |
| 08.01.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 13.06.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |