Matemáticas para Economistas I

El objetivo fundamental de la materia es proporcionar conocimientos instrumentales acerca de los fundamentos del álgebra lineal y del cálculo diferencial de una variable que serán necesarios para el aprendizaje del resto de las materias del grado que precisen de contenidos cuantitativos, así como para el futuro profesional.
Se pretende que se comprendan los conceptos básicos presentados y los resultados que los relacionan, y que se apliquen correctamente y con rigor estos conocimientos para la resolución práctica de problemas.
Además se hará un énfasis especial en la interpretación de los resultados obtenidos y en la aplicación de los contenidos a problemas de naturaleza económica.
Finalmente también se pretende una aproximación al manejo de herramientas informáticas para la resolución de problemas matemáticos.

Bloque I - Álgebra lineal
Tema 1 - Espacios vectoriales
1.1. El espacio vectorial Rn
1.2. Subespacios vectoriales
1.3. Combinación lineal. Sistema de generadores
1.4. Dependencia e independencia lineal
1.5. Base y dimensión de un espacio vectorial
Tema 2 – Matrices y determinantes
2.1. Definiciones básicas y tipos de matrices
2.2. Operaciones con matrices
2.3. Determinantes: concepto y cálculo
2.4. Propiedades de los determinantes
2.5. Rango de una matriz
2.6. Inversa de una matriz
Tema 3 – Aplicaciones lineales
3.1. Definición y tipos de aplicaciones lineales
3.2. Operaciones con aplicaciones lineales
3.3. Núcleo, imagen e inversa de una aplicación lineal
3.4. Matriz asociada a una aplicación lineal
Tema 4 - Sistemas de ecuaciones lineales
4.1. Definiciones. Tipos de sistemas y de soluciones
4.2. Sistemas homogéneos
4.3. Sistemas de Cramer
4.4. Resolución general de un sistema compatible

Bloque II - Cálculo diferencial
Tema 5: El espacio euclídeo n-dimensional
5.1. Producto interior, norma y distancia
5.2. Nociones topológicas en R y Rn
5.3. Sucesiones de números reales. Límite de una sucesión
5.4. Sucesiones en Rn
Tema 6: Funciones de R en R: límites y continuidad
6.1. Funciones reales de variable real: concepto y operaciones con funciones
6.2. Límite de una función
6.3. Operaciones con límites y cálculo de límites
6.4. Continuidad de una función
6.5. Teoremas relativos a las funciones continuas
Tema 7: Funciones de R en R: diferenciabilidad
7.1. Concepto de derivada
7.2. Cálculo de derivadas
7.3. Diferencial de una función en un punto
7.4. Teoremas relativos a las funciones diferenciables
7.5. Derivadas sucesivas. Funciones de clase n
7.6. Teorema de Taylor
7.7. Representación y estudio de la gráfica de una función

Bibliografía básica:
- Jarne, G.; Pérez-Grasa, I.; Minguillón, E.(1997): Matemáticas para la Economía. Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial. Ed. McGraw-Hill
- Pallas, J; Miranda, F; Ramos, A.; De Miguel, J.C.(2003): Manual de Álgebra Lineal. Tórculo Ed.

Bibliografía complementaria:
- Alegre, P.; Ortí, F.J.; Sáez, J.B.; Sancho, T.; Rodríguez, G.; González-Vila, L.M. (1995): Matemáticas empresariales. Ed. AC
- Arvesú, J.; Marcellán, F.J.; Sánchez, J. (2015): Problemas resueltos de Álgebra Lineal. Ed. Thomson Paraninfo
- Arya, J.C.; Lardner, R.W. (2009): Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Ed. Prentice-Hall
- Caballero, R.; Calderón, S.; Galache, T.P.; González, A.C.; Rey, Mª.L.; Ruiz, F. (2000): Matemáticas aplicadas a la economía y a la empresa. 434 ejercicios resueltos y comentados. Ed. Pirámide
- Caballero, R.; González, A.C.; Triguero, F.A. (1992): Métodos matemáticos para la Economía. Ed. McGraw-Hill
- Calvo, M.E.; Escribano, M.C.; Fernández, G.M.; García, M.C.; Ibar, R.; Ordás; M.P. (2003): Problemas resueltos de Matemáticas aplicadas a la Economía y la Empresa. Ed. AC
- Camacho, E. (Coord.) (2005): Fundamentos de Cálculo para Economía y Empresa. Ed. Delta
- Chiang, A.C. (2006): Métodos Fundamentales de Economía Matemática. Ed. McGraw-Hill
- García, M.T.; Ruiz, A.; Saiz, J.A. (1993): Álgebra. Teoría y Ejercicios. Ed. Thomson Paraninfo
- López Cachero, M.; Vegas, Á. (2000): Curso básico de Matemáticas para la Economía y Dirección de Empresas. II. Ejercicios. Ed. Pirámide
- Minguillón, E.; Pérez-Grasa, I.; Jarne, G.(2004): Matemáticas para la Economía. Álgebra Lineal y Cálculo Diferencial. Libro de ejercicios. Ed. McGraw-Hill
- Sydsaeter, K.; Hammond, P.; Carvajal, A. (2012): Matemáticas para el Análisis Económico. Ed. Pearson-Prentice-Hall
- Sydsaeter, K.; Strom, A.; Berck, P. (2005): Economists’ Mathematical Manual. Ed. Springer

Competencias de la titulación a las que contribuye la materia:
- Aportar conocimientos instrumentales, en particular elementos básicos de álgebra lineal y cálculo diferencial.
- Derivar de los datos información relevante imposible de conocer por no profesionales.
- Aplicar al análisis de los problemas criterios profesionales basados en el manejo de instrumentos técnicos.
- Contribuír a que el alumno adquiera capacidad de síntesis, organización de la información y resolución de problemas, así como a desarrollar su capacidad análitica y de abstracción y un pensamiento lógico y riguroso.

Competencias específicas de la materia:
- Conocer los conceptos de álgebra lineal necesarios para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y para el desarrollo teórico del cálculo diferencial e integral.
- Manejar y utilizar aplicaciones lineales, matrices e determinantes.
- Comprender los conceptos básicos del cálculo diferencial de funciones de una variable real y utilizar correctamente el concepto de derivada en aplicaciones al campo de la economía.
- Saber formular y resolver ejercicios con las técnicas de álgebra lineal y de cálculo diferencial que aparecen en el programa de la materia.
- Utilizar algún programa informático para obtener (e interpretar) límites, gráficas de funciones, derivadas, y también para trabajar con matrices y resolver sistemas de ecuaciones.

La metodología docente se estructura en base a 4 componentes:
1) Sesiones expositivas: En estas sesiones (en grupo grande) el docente explicará los contenidos teóricos de cada uno de los temas que conforman la materia, combinándolos con ejercicios prácticos que permitan asimilar y comprender con más facilidad dichos contenidos. En este tipo de sesiones se fomentará la participación del alumnado. Para estas sesiones, se facilitará al alumnado apuntes y esquemas de los contenidos teóricos que serán puestos su disposición en el Campus Virtual con anterioridad a la sesión.
2) Sesiones interactivas: En estas sesiones (en grupos reducidos), donde la participación del alumnado es preferente, serán propuestos distintos ejercicios y/o problemas que sirvan de aplicación a los contenidos teóricos presentados en las sesiones expositivas. Estará disponible en el Campus Virtual de la materia con antelación a la sesión el material que se considere necesario. Durante estas sesiones y siempre que el tema lo permita, se primará la resolución de ejercicios y problemas con una aplicación económica, a fin de que el alumnado pueda ver su utilidad práctica. Finalmente, estas sesiones también pueden ser utilizadas para introducir al alumnado en herramientas informáticas que apliquen los conceptos del programa, así como para la realización de pruebas de evaluación continua.
3) Trabajo autónomo: En la medida en que el tiempo de las aulas es limitado, y para una mejor comprensión y asimilación de los conceptos de la materia, es preciso que el alumnado dedique un tiempo adicional fuera del aula docente al estudio de los diferentes temas y a la preparación y resolución de ejercicios y actividades adicionales. Este tiempo de estudio será variable y dependerá de los conocimientos previos del alumnado, de la facilidad de asimilación de conceptos formales de ámbito matemático,... En cualquiera caso teniendo en cuenta el empleo de un lenguaje formal específico se estima que, en promedio, cada alumno debería dedicar entre 1 y 1,5 horas por hora docente al trabajo autónomo.
4) Tutorías: Supondrán otro medio de transmisión de conocimientos. A través de ellas el alumnado podrá resolver aquellas dudas que le surjan con respeto a la materia en cuanto a los conceptos presentados en las sesiones expositivas, a los ejercicios o actividades realizados en las aulas interactivas o en el desarrollo del trabajo autónomo.

Los recursos disponibles que se podrán emplear para desarrollar dichas metodologías serán los siguientes:
- Aula docente
- Aula de informática
- Campus Virtual de la USC
- Despacho del profesor
- Biblioteca

Los criterios que se seguirán para establecer la cualificación final persiguen tanto una asimilación de los conocimientos teóricos y prácticos del temario como una precisa utilización e interpretación del lenguaje matemático.

El sistema de evaluación que se presenta a continuación es válido tanto para la 1ª cómo para la 2ª oportunidad.

Para esta materia existen dos sistemas de evaluación:

1) Sistema de evaluación general
- El sistema de evaluación general será el que se aplique a todo el alumnado (tanto de primera matrícula como de 2ª y sucesivas matrículas) que no disponga de un reconocimiento oficial de dispensa de asistencia a clase.
- En este sistema de evaluación existen dos componentes de evaluación: evaluación continua y evaluación final.
- La cualificación final de la materia será el resultado de la suma de las cualificaciones obtenidas en cada una de esas componentes.
- La evaluación continua evaluará la participación activa del alumnado durante las clases, así como la realización de ejercicios, problemas y/o pruebas que se propongan a lo largo de las sesiones. Estos ejercicios, trabajos y pruebas se podrán desarrollar en el aula docente, en el aula de informática o utilizando las herramientas telemáticas que se encuentran disponibles en el Campus Virtual.
- La evaluación final consistirá en una prueba única y obligatoria que se desarrollará de manera presencial en la fecha oficial aprobada por la facultad.
La distribución de la cualificación final de la materia entre ambos componentes de la evaluación será igual al 100% y las ponderaciones de cada componente serán las siguientes:
a. Evaluación Continua – 30% de la cualificación final de la materia
b. Evaluación Final – 70% de la cualificación final de la materia

2) Sistema de evaluación para el alumnado con dispensa de asistencia
- En virtud de la Instrucción nº 1/2017 de la Secretaría General de la USC, el alumnado con dispensa de asistencia a clase concedida podrá obtener el 100% de su cualificación a través exclusivamente de la evaluación final.

- La evaluación final consistirá en una prueba única y obligatoria que se desarrollará de manera presencial en la fecha oficial aprobada por la facultad.



Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación el recogido en la Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de cualificaciones.

Como se indicó en el apartado de trabajo autónomo en la sección de metodologías de aprendizaje, además de la asistencia a las actividades docentes se considera que se necesita como mínimo un promedio de 4 horas semanales de trabajo personal autónomo para asimilar los contenidos vistos en la sesiones y para realizar ejercicios y problemas que permitan un manejo adecuado de los conceptos trabajados en la materia. Este tiempo dependerá en gran medida de las capacidades y conocimientos previos de cada alumno, pero debe tenerse en cuenta la dificultad que puede suponer el empleo preciso de un lenguaje específico del ámbito matemático.

Se establecen una serie de recomendaciones para una adecuada asimilación de los conceptos de la materia y para un correcto desarrollo de las habilidades y competencias señaladas en esta programación:
- En primer lugar, se recomienda la asistencia y participación activa en las aulas.
- Esta materia es una materia acumulativa y progresiva, lo que supone la comprensión de conceptos previos para poder estudiar los nuevos. De esta manera en la mayor parte de los casos los contenidos de un tema suponen una base sin la que no se puede comprender y asimilar el siguiente. Por este motivo es fundamental un trabajo regular fuera del aula para asentar los contenidos explicados en las sesiones docentes y preparar las actividades, para no quedar descolgado del temario y perder la oportunidad de mejorar la calificación que suponen las actividades y pruebas de evaluación continua.
- Se debe aprender a diferenciar lo que es propiamente estudio y memorización de lo que es la asimilación y comprensión de lo explicado. Para dominar los conceptos y las definiciones, especialmente en un ámbito como el matemático, no es suficiente con aprender de memoria los conceptos y ejercicios. Es mucho más eficaz y eficiente ahondar en su significado realizando el trabajo personal correspondiente.
- También se recomienda realizar un esfuerzo inicial para habituarse al empleo de un lenguaje matemático preciso, especialmente para aquel alumnado que tenga una mayor dificultad con las materias de este ámbito.
- Si el alumnado tiene dificultad con la formalización matemática de los conceptos, es aconsejable que primero trate de comprenderlos intuitivamente para después familiarizarse con su expresión matemática.
- Esta materia, y especialmente aquellos conceptos nuevos que entrañen más dificultad, debe estudiarse con bolígrafo y papel. Se considera fundamental, para una idónea asimilación de la materia y el desarrollo de la intuición, saber escribir correctamente en el lenguaje matemático y representar geométricamente, en la medida de lo posible, todos aquellos conceptos y situaciones que se formulen durante el curso. Visualizar geométricamente cualquier nuevo concepto será de una gran ayuda para su comprensión y mejorará la capacidad de razonamiento lógico.
- Se aconseja el empleo de la bibliografía recomendada, tanto básica como complementaria, donde el alumnado tiene a su disposición material suficiente, tanto de carácter teórico como práctico, para un correcto desarrollo del trabajo autónomo.
- Se recomienda para resolver todas aquellas dudas que vayan surgiendo y que no puedan ser resueltas con el trabajo autónomo acudir a las tutorías.
- Se pueden encontrar en la red recursos adicionales que permitan la asimilación de conocimientos previos y/o básicos relacionados con la materia. A modo de ejemplo:
a. Red Educativa Descartes (2008): Proyecto Descartes: Matemáticas. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Accesible en https://proyectodescartes.org/descartescms/matematicas
b. Jarne, G.; Minguillón, E.; Zabal, T. (2009): Curso básico de Matemáticas para estudiantes de Económicas y Empresariales. Universidad de Zaragoza. Accesible en www.unizar.es/aragon_tres
c. Osborne, M.J. (1997): Mathematical methods for economic theory. Universidad de Toronto. Accesible en https://mjo.osborne.economics.utoronto.ca/index.php/tutorial/index/1/in…
d. Dawkins, P. (2003): Paul’s online math notes. Universidad de Lamar. Accesible en https://tutorial.math.lamar.edu/

La lengua prioritaria para impartir la docencia será el gallego.