Créditos ECTS Créditos ECTS: 3
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 51 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 9 Clase Interactiva: 12 Total: 75
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Geometría y Topología
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
Este es un curso de introducción a los métodos cohomológicos en la teoría de variedades diferenciables.
Se pretende que el estudiante profundice en el uso de métodos algebraicos en geometría y topología, aplicándolos a problemas concretos para apreciar su potencia y sofisticación y adquirir cierta habilidad para calcular con estas herramientas.
Los conocimientos que proporciona permiten abordar varias líneas de investigación que se desarrollan en las Áreas de Geometría y Topología y Álgebra. El curso también puede ser de interés para aplicaciones en Física Teórica.
1. Cohomología de De Rham (2 horas expositivas)
1.1. Complejos de cocadenas y cohomología.
1.2. Formas diferenciaies.
1.3. Cohomología de De Rham de una variedad diferenciable.
1.4. Cohomología de De Rham con soporte compacto.
1.5 Orientación. Integración en variedades. Teorema de Stokes.
1.6. Homotopía. Lema de Poincaré.
2. Métodos de cálculo (2 horas expositivas)
2.1. Sucesión de Mayer-Vietoris.
2.2. Cálculo en ejemplos.
2.3. Dimensión finita.
2.4. Dualidad de Poincaré.
2.5. Fórmula de Künneth y teorema de Leray-Hirsch.
2.6. Isomorfismo de Thom.
3. Aplicaciones geométrica (2 horas expositivas)
3.1. Grado de una aplicación.
3.2. Característica de Euler.
3.3. Teorema de Hopf.
3.4. Fórmula de Leftschetz.
4. Clases características (3 horas expositivas)
4.1. Fibrados por esferas y vectoriales.
4.2. Doble complejo de Cech-de Rham.
4.3. Clase de Euler de un fibrado en esferas.
4.4. Clases de Chern de fibradoos vectoriaies complejos.
4.5. Principio de escisión y variedades de banderas.
4.6. Clases de Pontrjagin de fibrados vectoriales reaies.
4.7. Grasmannianas y clasificación de fibrados vectoriaies
Básica.
Bott, R., Tu, L.W.: Differential forms in algebraic topology. Springer-Verlag (1982) (Sinaturas 1210 73, 57 191). URL https://link-springer-com.ezbusc.usc.gal/book/10.1007/978-1-4757-3951-0
Complementaria.
Davis, J.F., Kirk, P.: Lecture notes in algebraic topology. American Mathematical Society (2001) (Signatura 55 270).
Dodson, C.T.J., Parker, P.E.: A user's guide to algebraic topology. Kluwer Academic Publishers (1997) (Signatura 55 238).
Hatcher, A.: Algebraic topology. Cambridge University Press (2002) (Signaturas 1210 83, 55 279). URL https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf
Karoubi, M., Leruste, C.: Algebraic topology via differential geometry. Cambridge University Press (1987) (Signatura 55 170).
Madsen, I., Tornehave, J.: From calculus to cohomology: de Rham cohomology and characteristic classes. Cambridge University Press (1997) (Signatura 55 245).
Tu, L.W.: Differential geometry. Connections, curvature, and characteristic classes. Springer (2017). URL https://link-springer-com.ezbusc.usc.gal/book/10.1007/978-3-319-55084-8
Tu, L.W.: An introduction to manifolds. Springer (2011). URL https://link-springer-com.ezbusc.usc.gal/book/10.1007/978-1-4419-7400-6
COMPETENCIAS GENERALES
CG01 - Adquisición de herramientas matemáticas de alto nivel para diversas aplicaciones satisfaciendo las expectativas de los licenciados en matemáticas y otras ciencias básicas.
CG02 - Conocer el amplio panorama de las matemáticas actuales, tanto en sus líneas de investigación, como en las metodologías, recursos y problemas que aborda en diversos ámbitos.
CG03 - Capacitarse para el análisis, formulación y resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos, dentro de contextos más amplios.
CG04 - Prepararse para tomar decisiones basadas en consideraciones abstractas, organizar y planificar y resolver cuestiones complejas.
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
CE01 - Capacitarse para el estudio y la investigación en el desarrollo de teorías matemáticas.
CE02 - Aplicar las herramientas de las matemáticas en diversos campos de la ciencia, la tecnología y las ciencias sociales.
CE03 - Desarrollar las habilidades necesarias para la transmisión de las matemáticas, oral y escrita, tanto en términos de corrección formal como de eficacia comunicativa, haciendo hincapié en el uso de las TIC adecuadas.
COMPETENCIAS TRANSVERSALES
CT01 - Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluido el acceso a Internet.
CT02 - Gestionar de forma óptima el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
CT03 - Potenciar la capacidad de trabajo en entornos cooperativos y multidisciplinares.
El desenvolvimiento de la materia consistirá en exposiciones de las línas generales, los resultados principales de la materia, y las ideas principales de las demostraciones. Se incentivá el trabajo personal de los alumnos y su participación en la clase. Los estudiantes irán resolviendo problemas, y tendrán que exponer ellos mismos alguno de los temas, entregando las notas que preparen para exponerlo.
Cada alumno deberá resolver los problemas propuestos y realizar una exposición de alguna parte del temario. La evaluación tendrá en cuenta la participación activa en las clases, la resolución de problemas, y, sobre todo, la presentación que hagan de algún tema, así como las notas que preparen para presentarlo. En este escenario, la calificación final será la suma del 30%
de la calificación de evaluación continua y el 70% de la calificación de la exposición y el trabajo presentado.
En la segunda oportunidad, se mantendrán las mismas condiciones de
evaluación y la nota de la evaluación continua de la primera oportunidad.
Para casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas, las disposiciones de la
Regulaciones para evaluar el rendimiento académico de los estudiantes y revisar las calificaciones.
TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA (Horas)
Clases de pizarra 21 (9 horas expositivas y 12 horas de laboratorio)
Clases con ordenador/laboratorio
Tutorías en grupo 3
Total horas trabajo presencial en el aula 24
TRABAJO PERSONAL DEL ALUMNO/A (Horas)
Estudio autónomo individual o en grupo 33
Escritura de ejercicios, conclusiones u otros trabajos 15
Programación/experimentación u otros trabajos en ordenador/laboratorio 3
Total horas trabajo personal del alumno 51
El tema central es la cohomología de De Rham y sus aplicaciones geométricas, lo que supone un conocimiento elemental de la teoría de variedades diferenciables (Geometría y topología de variedades, máster, primer cuatrimestre).
Es recomendable, aunque no imprescindible, haber cursado Topología algebraica (grado).
Jesús Antonio Álvarez López
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813149
- Correo electrónico
- jesus.alvarez [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 10:00-11:00 | Grupo /CLIL_01 | Gallego | Aula 10 |
| 04.06.2024 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 10 |
| 14.07.2024 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 10 |