Créditos ECTS Créditos ECTS: 6
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 99 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 24 Clase Interactiva: 24 Total: 150
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Geometría y Topología
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable
Usar el cálculo diferencial e integral y la topología euclídea para el estudio de curvas y superficies en el espacio euclídeo 3-dimensional. Saber aplicar las ecuaciones diferenciales y las integrales de línea y de superficie para determinar propiedades globales de curvas y superficies. Trabajar con campos de vectores tangentes y normales a una superficie y entender el transporte paralelo de vectores a lo largo de curvas sobre superficies. Saber reconocer las geodésicas en las superficies. Asimilar las propiedades y teoremas más destacados de la geometría diferencial global de superficies, incluyendo la orientabilidad y el teorema de Gauss-Bonnet.
0. Repaso de nociones básicas de curvas y superficies regulares (2 horas expositivas)
1. Orientación de superficies (4 horas expositivas)
1.1 Campos de vectores tangentes y normales a una superficie regular.
1.2 Orientabilidad. Atlas orientados. Caracterización da orientabilidad de las superficies regulares. Bases orientadas.
2. Derivada covariante y geodésicas (12 horas expositivas).
2.1 Derivada covariante. Campos de vectores paralelos.
2.2 Geodésicas: definición y ejemplos. Existencia y unicidad de las geodésicas en una superficie.
2.3 Curvatura geodésica.
2.4 Transporte paralelo de un vector tangente a lo largo de una curva.
3. La aplicación exponencial (9 horas expositivas).
3.1 Aplicación exponencial. Coordenadas normales y coordenadas polares geodésicas. Lema de Gauss.
3.2 Carácter minimizante de las geodésicas.
4 Teorema de Gauss-Bonnet (12 horas expositivas)
4.1 Ángulo de rotación de una curva plana regular a trozos. La curvatura geodésica en una parametrización ortogonal. Teorema local de Gauss-Bonnet.
4.2 Triangulaciones y característica de Euler-Poincaré. Teorema global de Gauss-Bonnet.
4.3 Consecuencias del Teorema de Gauss-Bonnet.
5. Superficies compactas en R^3. La rigidez de la esfera (3 horas expositivas)
5.1 Lema de Hilbert. Teorema de Liebmann. Teorema de Rigidez de la esfera.
Bibliografía básica
CARMO do, Manfredo Perdigão. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall. Englewood Cliffs, 1976. (versión castelán, Alianza Editorial, 1990).
HERNÁNDEZ CIFRE, María de los Ángeles & PASTOR GONZÁLEZ, José Antonio. Un curso de Geometría Diferencial. CSIC, Madrid, 2010.
Bibliografía complementaria
ARAÚJO, Paulo Ventura. Geometria Diferencial. Coleçao Matemática Universitaria. IMPA, Río de Janeiro 1998.
ABATE, Marco & TOVENA, Francesca. Curves and Surfaces. Springer-Verlang Italia, 2012.
ABBENA, Elsa; GRAY, Alfred & SALAMON, Simon. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Third Edition. Taylor & Francis Group 2006.
MONTIEL, Sebastián & ROS Antonio. Curvas y superficies, Proyecto Sur D.L., Granada, 1998.
RODRÍGUEZ-SANJURJO, José Manuel & RUÍZ, Jesús María. Introducción a la Geometría Diferencial II: Superficies. Ed. Sanz y Torres, 2019
COMPETENCIAS GENERALES
CX1.- Conocer los conceptos, métodos y resultados más importantes de las distintas ramas de las Matemáticas, junto con cierta perspectiva histórica de su desarrollo.
CX3.- Aplicar tanto los conocimientos teórico-prácticos adquiridos como la capacidad de análisis y de abstracción en la definición y formulación de problemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en contextos académicos como profesionales.
CX4.- Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas en Matemáticas tanto a un público especializado como no especializado.
CX5.- Estudiar y aprender de forma autónoma, con organización de tiempo y recursos, nuevos conocimientos y técnicas en cualquier disciplina científica o tecnológica.
COMPETENCIAS ESPECÍFICAS
CE1.- Comprender y utilizar el lenguaje matemático.
CE2.- Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
CE3.- Idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o negarlas.
CE4.- Identificar errores en razonamientos incorrectos proponiendo demostraciones o contraejemplos.
CE5.- Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos.
CE6.- Saber abstraer las propiedades y hechos substanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales.
COMPETENCIAS TRANSVERSALES
CT1.- Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet.
CT2.- Gestionar de forma óptima el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones.
CT3.- Comprobar o refutar razonadamente los argumentos de otras personas.
CT5.- Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa.
Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la Universidade de Santiago de Compostela (USC).
La docencia está programada en clases Expositivas, Interactivas y Tutorías (en grupos muy reducidos).
Docencia Expositiva: Las clases expositivas se dedicarán a la presentación y desarrollo de los contenidos esenciales de la materia.
Docencia Interactiva: Las clases interactivas estarán dedicadas a la presentación de ejemplos y resolución de problemas (tanto teóricos como del ámbito de las aplicaciones). Se organizarán trabajos individuales o en grupo y se propondrán problemas para que sean resueltos por el alumnado. La participación deberá ser máxima en las clases de docencia interactiva, en las que la discusión, debate y resolución con el alumnado de las tareas propuestas, tienen como objetivo que practiquen y afiancen sus conocimientos y trabajen algunas de las competencias mencionadas.
Tutorías: Las sesiones de tutorías están diseñadas especialmente para estimular la actividad do alumnado fuera de la clase. Estas servirán para que el alumnado interesado pueda examinar en cada momento su proceso de aprendizaje, así como para que el profesorado realice el seguimiento directo de este aprendizaje, lo que le permitirá detectar insuficiencias y dificultades que podrán ser corregidas cuando se producen.
La distribución semanal de la materia será aproximadamente la siguiente: 3 horas de clase expositiva, 1 hora de clase interactiva. A lo largo del curso habrá 2 horas de tutorías (en grupos muy reducidos).
La docencia expositiva e interactiva será, esencialmente, de carácter presencial, siempre de acuerdo con la fórmula que defina la Facultad de Matemáticas. Las tutorías y comunicación con el alumnado pueden ser presenciales o realizarse de manera virtual. En el caso virtual se podrá hacer a través de los foros del curso virtual el correo electrónico o a través de la plataforma Microsoft Teams.
Habrá un curso virtual, donde aparecen detallados todos los aspectos teóricos de la materia y ejercicios resueltos.
Sin perjuicio del criterio general de evaluación para todas las materias del Grado de Matemáticas, para el cómputo de la calificación final considerara la evaluación continua y el examen final.
La evaluación continua (25%) consistirá en una prueba que se realizará en clase en la que cada estudiante deberá resolver los ejercicios que se le indique de los que se le propusieron con anterioridad. Además podrá ser valorada, dentro de la evaluación continua, la participación en las clases expositivas y interactivas y en las tutorías. La calificación obtenida en la evaluación continua se aplicará en las dos oportunidades de un mismo curso académico (segundo semestre y julio). Si el/la alumno/a no se presenta al examen final en ninguna de las dos oportunidades tendrá la calificación de “No presentado”, aunque haya participado en la evaluación continua.
Examen final escrito (75%). Se realizará un examen final escrito, que permita comprobar el conocimiento adquirido en relación con los conceptos y resultados de la materia y la capacidad de su aplicación a casos concretos. El examen tendrá una parte de teoría, que puede abarcar la definición de conceptos, el enunciado de resultados o su demostración total o parcial. La otra parte consistirá en la resolución de ejercicios, que serán análogos a los propuestos a lo largo del curso. Cada una de las partes (teoría-ejercicios) tendrá un peso de entre un 40% y un 60% del total.
El sistema de evaluación (continua y examen escrito) será equivalente, pero no necesariamente el mismo, para los dos grupos. La calificación obtenida por el estudiante no será inferior a la calificación del examen final.
A través de las distintas actividades propuestas se evaluará, por supuesto contextualizando la materia en 3º curso de grado, la adquisición de competencias, como CX3, CX4, CX5, CE1, CE3, CE4, CE5, CE6, CT1, CT2, CT3 e CT5, o la capacidad de trabajo en equipo y la de aprendizaje autónomo.
Además de las competencias específicas de la materia, se evaluarán las competencias CX1, CX3, CX4, CE1, CE2, CE3, CE4, CE5 y CE6.
Para el caso de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la
Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y revisión de calificaciones:
Artículo 16. Realización fraudulenta de ejercicios o pruebas: La realización fraudulenta de algún ejercicio o prueba exigido en la evaluación de una materia implicará la calificación de suspenso en la convocatoria correspondiente, con independencia del proceso disciplinario que se pueda seguir contra el alumno infractor. Considerarse fraudulenta, entre otras, la realización de trabajos plagiados u obtenidos de fuentes accesibles al público sin reelaboración o reinterpretación y sin citas a los autores y de las fuentes.
Horas TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA
Clases expositivas: 42 h.
Clases interactivas de laboratorio: 14 h.
Tutorías en grupos muy reducidos o individualizadas: 2 h.
Total horas trabajo presencial en el aula 58
Horas TRABAJO PERSONAL
Estudio autónomo individual o en grupo: 55 h.
Escritura de ejercicios, conclusiones y otros trabajos: 27 h.
Programación/experimentación u otros trabajos en ordenador/ laboratorio: 5 h.
Lecturas aconsejadas, actividades en biblioteca o similar: 5 h.
Total de horas de trabajo personal del alumnado 92
Total volumen de trabajo: 150 horas
Se aconseja haber cursado previamente las siguientes materias:
- Álgebra Lineal y Multilineal
- Topología
- Diferenciación de Funciones de Varias Variables Reales,
- Integración de Funciones de Varias Variables Reales
- Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
- Curvas y Superficies
María Elena Vázquez Abal
- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813143
- Correo electrónico
- elena.vazquez.abal [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
Jose Carlos Diaz Ramos
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Geometría y Topología
- Teléfono
- 881813363
- Correo electrónico
- josecarlos.diaz [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Catedrático/a de Universidad
| Martes | |||
|---|---|---|---|
| 11:00-12:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego | Aula 03 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_02 | Gallego | Aula 06 |
| Miércoles | |||
| 12:00-13:00 | Grupo /CLE_01 | Gallego | Aula 03 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_02 | Gallego | Aula 02 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_01 | Gallego | Aula 03 |
| Jueves | |||
| 11:00-12:00 | Grupo /CLIL_05 | Gallego | Aula 06 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_06 | Gallego | Aula 03 |
| 12:00-13:00 | Grupo /CLIL_02 | Gallego | Aula 09 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_04 | Gallego | Aula 06 |
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_03 | Gallego | Aula 09 |
| 19.05.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |
| 04.07.2025 16:00-20:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 06 |