Créditos ECTS Créditos ECTS: 3
Horas ECTS Criterios/Memorias Trabajo del Alumno/a ECTS: 51 Horas de Tutorías: 3 Clase Expositiva: 9 Clase Interactiva: 12 Total: 75
Lenguas de uso Castellano, Gallego
Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007 - 822/2021
Departamentos: Matemáticas
Áreas: Álgebra
Centro Facultad de Matemáticas
Convocatoria: Segundo semestre
Docencia: Con docencia
Matrícula: Matriculable | 1ro curso (Si)
Proporcionar al alumno una formación básica en Geometría Algebraica, que le permita comprender los problemas que ésta aborda.
Ilustrar geométricamente herramientas y resultados básicos del Álgebra Conmutativa.
Desarrollar la geometría de los conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones algebraicas en el espacio afín y de sistemas de ecuaciones algebraicas en el espacio proyectivo. Introduciremos la noción de haz de funciones regulares sobre un espacio topológico para unificar ambos puntos de vista y varias áreas del Álgebra y la Geometría. Comprender la utilidad de la estructura de variedad
1. Conjuntos algebraicos afines y funciones regulares. (5h)
1.1 Conjuntos algebraicos afines. Topología de Zariski.
1.2 Funciones regulares y anillos de coordenadas.
1.3 Ejemplos.
1.4 Variedades afines. Aplicaciones regulares.
2. Funciones racionales y morfismos. (5h)
2.1 Haces de funciones.
2.2 Haz estructural de un conjunto algebraico afín.
2.3 Anillo local de un punto y de una subvariedad.
2.4 Morfismos regulares.
2.5 Producto de conjuntos algebraicos.
3. Variedades. (5h)
3.1 Prevariedades. Cuerpo de funciones racionales.
3.2 El axioma de Hausdorff: Noción de separación.
3.3 Variedades. Morfismos dominantes. Equivalencia birracional.
3.4 Aplicaciones racionales entre variedades.
4. Estudio Local. Variedades no singulares. (6h)
4.1 Estudio local de curvas.
4.2 Espacio tangente y singularidad. Cono tangente y espacio tangente.
4.3 Puntos no singulares.
4.4 No singularidad y diferenciales.
4.5 Variedades normales y morfismos.
5. Variedades proyectivas. (6h)
5.1 Estructura algebraica del espacio proyectivo n-dimensional.
5.2 El espacio proyectivo es una variedad.
5.3 Construcciones y ejemplos de morfismos.
5.4 Espacios algebraicos completos.
5.5 Variedades de Graßmann.
6. Dimensión. (3h)
6.1 Caracterización topológica de la dimensión.
6.2 Dimensión como grado de transcendencia.
6.3 Intersecciones en el espacio afín y proyectivo.
6.4 Morfismos finitos.Teorema de normalización de Nöther.
6.5 Fibras. Morfismos y dimensión.
Bibliografía básica
Gathman, A.: Algebraic Geometry, notes Technische Universität Kaiserslautern, 2022,
https://agag-gathmann.math.rptu.de/de/alggeom.php
Kempf, G. R.: Algebraic Varieties, London Math. Soc. Lecture Notes Series, 172, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Kunz, E.: Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhäuser, Boston, 1985.
J.S. Milne: Algebraic Geometry, disponible en: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ag.html
Bibliografía complementaria
Bump, Daniel.: Algebraic geometry. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, Nueva Jersey, 1998.
Dieudonné, J.: Cours de géométrie algébrique, 2/ Précis de géométrie algébrique élémentaire, Presses Univ. France, París, 1974.
Dieudonné, J.: History of Algebraic Geometry, Wadsworth Advanced Books & Software, Monterrey (California), 1985.
Fulton, W.: Algebraic Curves, W. A. Benjamin, Nueva York, 1969.
Hartshorne, R.: Algebraic Geometry, Graduate Texts in Math. 52, Springer–Verlag, Heidelberg, 1977
Hulek, K.: Elementary Algebraic Gaometry, Student Mathematical Library, Volume 20, AMS, 2003.
Mumford, D.: The Red Book of Varieties and Schemes, Lecture Notes in Math. 1358, Springer–Verlag, Heidelberg, 1988.
Perrin, D.: Algebraic geometry. An introduction. Springer-Verlag London, 2008
CG01 - Introducir en la investigación a los y las estudiantes, como parte integrante de una formación profunda, preparándolos para la eventual realización posterior de una tesis doctoral
CG02 - Adquisición de herramientas matemáticas de alto nivel para diversas aplicaciones cubriendo las expectativas de graduados en matemáticas y otras ciencias básicas.
CG03 - Conocer el amplio panorama de la matemática actual, tanto en sus líneas de investigación, como en metodologías, recursos y problemas que aborda en diversos ámbitos
CB6 - Poseer y comprender conocimientos que aporten una base u oportunidad de ser originales en el desarrollo y/o aplicación de ideas, a menudo en un contexto de investigación
CB10 - Que los estudiantes posean las habilidades de aprendizaje que les permitan continuar estudiando de un modo que habrán; de ser en gran medida autodirigido o autónomo.
CE01 - Capacitar para el estudio y la investigación en teorías matemáticas en desarrollo.
- Clases de teoría con exposición por parte del profesor.
- Sesiones de problemas en las que los estudiantes proponen sus soluciones y se debaten conjuntamente las correcciones con la orientación del profesor.
- Exposiciones de temas del programa por parte de los alumnos.
Se tendrá en cuenta para la calificación del alumno:
- Asistencia y participación en clase. (10%)
- Realización de ejercicios propuestos y exposición de sus soluciones en clase. (20%)
- Examen final oral o escrito dependiendo del número de alumnos. (70%)
Por normativa: "La calificación del alumno no será inferior a la del examen final ni a la obtenida ponderándola con la evaluación continua, dándole a esta última un peso no inferior al 25%.".
Unas 6 horas semanales de trabajo (75 horas por cuatrimestre, incluyendo en ellas las clases presenciales que serán entre 2 y 3 por semana).
Son necesarios conocimientos previos de Álgebra, en especial de Álgebra Conmutativa. Son suficientes los que se imparten en la asignatura Álxebra Conmutativa de este máster.
Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de cualificaciones.
Leovigildo Alonso Tarrio
Coordinador/a- Departamento
- Matemáticas
- Área
- Álgebra
- Teléfono
- 881813159
- Correo electrónico
- leo.alonso [at] usc.es
- Categoría
- Profesor/a: Titular de Universidad
| Miércoles | |||
|---|---|---|---|
| 13:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Castellano | Aula 10 |
| Jueves | |||
| 13:00-14:00 | Grupo /CLIL_01 | Castellano | Aula 10 |
| 28.05.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 10 |
| 07.07.2025 10:00-14:00 | Grupo /CLE_01 | Aula 10 |