Estructuras Algebraicas

Establecer las estructuras algebraicas fundamentales de las matemáticas que van ser usadas en otras disciplinas.

Conocer las nociones básicas de la teoría de grupos.

Estudiar la generalización del concepto de divisibilidad de los anillos de enteros y los anillos de polinomios a otros anillos, empleando los resultados para obtener los teoremas de estructura de módulos sobre estos anillos.

Conocer el lenguaje de módulos sobre anillos conmutativos.

Obtener los teoremas de estructura de módulos de tipo finito sobre dominios de ideales principales.

TEMA 1 GRUPOS (11 horas expositivas)

Grupos. Subgrupos. Subgrupos normales. Homomorfismos de grupos. Grupos cociente. Teoremas de isomorfía. Acciones de grupos sobre conjuntos. Simetrías y permutaciones: grupo simétrico. Teorema de Cayley. Teoremas de Sylow.

TEMA 2 ANILLOS (10 horas expositivas)

Anillos. Subanillos. Ideales. Homomorfismos de anilos. Anillos cociente. Teoremas de isomorfía. Cuerpos Característica de un cuerpo. Ideales primos y maximales. Operaciones con ideales. Teorema chino de los restos. Radical de Jacobson. Dominios y cuerpos de fracciónes. Elementos irreducibles. Anillos de factorización única. Dominios de ideales principales. Dominios euclídeos. Anillos de polinomios.

TEMA 3 MÓDULOS (10 horas expositivas)

Módulos. Submódulos. Módulo cociente. Homomorfismos de módulos. Teoremas de isomorfía. Módulos cíclicos. Producto directo y suma directa de módulos. Módulos libres. Generadores y relaciones.

TEMA 4 TEOREMA DE ESTRUCTURA DE MÓDULOS SOBRE UN D.I.P. (11 horas expositivas)

Equivalencia de matrices. Diagonalización. El teorema de estructura. Módulos de torsión y componentes primarias. Invariantes.

Básica:

Chamizo Lorente, Fernando. Apuntes de Álgebra II. U.A.M. 2005.http://matematicas.uam.es/~fernando.chamizo/libreria/fich/APalgebraII04…
Cohn, P. M. Algebra, Vol. 1 (2ª Ed.). Wiley and Sons, Chichester, 1982.
Jacobson, N. Basic Algebra I, Freeman and Company, San Francisco, 1985.
Lang, S. Algebra. Addison-Wesley, New York, 1993.
Rotman, J. J.Advanced Modern Algebra (2ª Ed.). Prentice Hall, New Jersey, 2003.


Complementaria:

Atiyah, M. F., I. G., Macdonald, An Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Massachusetts, 1969.
Gardiner, C. F. A First Course in Group Theory. Springer-Verlag, New York, 1980.
Hartley, B., T. O. Hawkes. Rings, Modules and Linear Algebra.Chapman and Hall, London,1970.
Hilton, P. J., Yel-Chiang Wu. Curso de Álgebra Moderna. Reverté, Barcelona, 1977.
Rotman, J. J. An Introduction to the Theory of Groups.Springer,New York, 1994.

Contribuir a alcanzar las competencias generales, específicas y transversales recogidas en la Memoria de Titulo de Grado en Matemáticas de la USC y, en especial, las siguientes (CG3, CG4, CE4, CT1 e CT5):


Aplicar tanto los conocimientos adquiridos como la capacidad de análisis y de abstracción en la formulación de problemas y en la busqueda de sus soluciones.

Comunicación escrita y oral de conocimientos, métodos, ideas y resultados de matemáticas.

Identificación de errores en razonamientos incorrectos.

Utilización de recursos bibliográficos sobre los temas de la materia.


Competencias específicas:

Conocer y comprender los conceptos fundamentales de la teoría de grupos y manejarlos.

Conocer y comprender los conceptos fundamentales de la teoría de anillos y manejarlos.

Conocer y comprender los conceptos fundamentales de la teoría de módulos y manejarlos.

Se utilizarán las clases expositivas para la presentación de los contenidos básicos que componen esta materia (CE1, CE2, CE6, CG1, CG4).

En las clases interactivas de laboratorio en grupos muy reducidos se trabajarán de forma individual y/o en grupo cuestiones y problemas propuestos (CB2, CB3, CE3, CE4) y se llevaran a cabo presentaciones (CB4, CG4).

En las tutorías en el aula en grupos muy reducidos se hará un seguimiento personalizado de la aprendizaje de los alumnos y de su trabajo fuera de la clase (CG5, CG4, CT5).

Se colgarán boletines de problemas en el curso virtual programándolos de forma escalonada y siempre en relación con la teoría.

Se prevé como criterio de evaluación la evaluación continua combinada con una prueba final. Esta prueba final se celebrará en la fecha fijada por la facultad de Matemáticas para ese efecto.

La evaluación continua consistirá en una prueba presencial. Pudiera no coincidir para los distintos grupos pero estará coordinada y será similar.

La prueba final será la misma para los dos grupos expositivos.

Cómputo de la calificación final:
La calificación tanto de la primera oportunidad como de la segunda será el max{F; 0,3xC + 0,7xF} donde C denota la calificación de la evaluación continua y F la nota de la correspondiente prueba final.

Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de calificaciones.

Se entenderá por No Presentado aquel alumno que no se presente a la prueba final tanto en la primera como en la segunda oportunidad.

Trabajo presencial en el aula:

Clases expositivas: 42 horas
Clases de Laboratorio: 14 horas
Tutorías en grupos muy reducidos: 2 horas
Total: 58 horas

Trabajo personal del alumno alumno: 92 horas


Total horas de trabajo: 150 horas

Estudiar diariamente con la ayuda de material bibliográfico. Leer atentamente la parte teórica hasta asimilarla y tratar de responder a las cuestiones, ejercicios o problemas presentados en los boletines.