Álgebra Lineal y Multilineal

- Profundizar en la comprensión de la estructura de las aplicaciones lineales.
- Conocer la forma canónica de Jordan de un endomorfismo: existencia, cálculo y utilidad.
- Estudiar la estructura de los espacios vectoriales euclidianos y hermíticos.
- Clasificar las geometrías ortogonales, simplécticas y hermíticas.
- Clasificar formas cuadráticas.
- Conocer los tensores y sus aplicaciones básicas.

1. Polinomios: divisibilidad; teorema fundamental del álxebra; irreducibilidad de polinomios. (2 horas expositivas y 1 de laboratorio)

2. Aplicaciones multilineales y determinantes. (5 horas expositivas y 2 de laboratorio)

3.- Estructura de una aplicación lineal: valores y vectores propios de una aplicación lineal; aplicaciones diagonalizables; polinomio mínimo de un endomorfismo; teorema de Cayley--Hamilton; forma de Jordan; subespacios invariantes. (10 horas expositivas y 4 de laboratorio)

4.- Formas bilineales y cuadráticas: estructuras métricas en espacios vectoriales y teorema de Sylvester; ortogonalidad; teorema espectral real y complexo; isometrías; formas cuadráticas; formas simplécticas. (16 horas expositivas y 5 de laboratorio)

5. Tensores y álgebra tensorial: tensores covariantes y contravariantes; producto exterior; producto tensorial de espacios vectoriais; álgebra tensorial y álgebra exterior. (9 horas expositivas y 2 de laboratorio)

BÁSICA:

Axler, S., Linear algebra done right.
Springer, 1995.

Castellet, M.; Llerena, I., Álgebra lineal y geometría.
Ed. Reverté, Barcelona, 1991.

Hernandez, E., Álgebra y geometría.
Ed. Addison Wesley, Madrid, 1994.

COMPLEMENTARIA:

Aroca Hernández Ros, J.M.; Fernández Bermejo, M.J. Algebra Lineal y Geometría. Secretariado de Publicaciones, Universidad de Valladolid. 1988.

Artin, E., Álgebra geométrica.
Ed. Limusa, México, 1992.

De Burgos, J., Álgebra lineal y geometría cartesiana.
Ed. MacGraw-Hill, Madrid, 1999.

Godement, R., Álgebra.
Ed. Tecnos, Madrid, 1967.

Gruenberg, K.W.; Weir, A.J., Linear Geometry.
Springer-Verlag, Berlin, 1977.

Hernandez, E., Álgebra y geometría.
Ed. Addison Wesley, Madrid, 1994.

Kostrikin, A. I.; Manin, Yu. I., Linear algebra and geometry.
Ed. Gordon and Breach, N. York, 1981.

Contribuir a alcanzar las competencias generales, específicas y transversales recogidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC y, en especial, las siguientes:

Comunicación escrita y oral de conocimientos, métodos e ideas generales relacionadas con el álgebra lineal y multilineal (CG4).

Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos sobre los temas de la asignatura, incluyendo el acceso por Internet. Manejar dichos recursos en diferentes idiomas y, especialmente, en inglés (CT1, CT5).

Utilizar programas informáticos para resolver problemas e implementar algoritmos (CE9)

Saber exponer hipótesis y extraer conclusiones usando argumentos bien razonados y sabiendo identificar fallos lógicos y falacias en las argumentaciones (CG2, CE4).


Competencias específicas de la asignatura:

- Reconocer si una matriz es diagonalizable o triangularizable. Saber calcular la forma canónica de Jordan
de un endomorfismo y aplicarla a la clasificación de endomorfismos.
- Distinguir los diferentes tipos de espacios vectoriales métricos. Saber calcular bases ortogonales en una
geometría ortogonal real o hermítica compleja.
- Trabajar con tensores y aplicar sus propiedades.

La materia se desarrollará a lo largo de un cuatrimestre, explícitamente, 14 semanas, con la cadencia semanal de tres horas teórico-prácticas y una hora de seminario para cada uno de los grupos en los que se divide cada curso.

Las clases expositivas consisten en la explicación por parte del docente de los resultados principales, que se pueden consultar en los apuntes de la asignatura y en la bibliografía recomendada. En cada tema, se propondrá un boletín de ejercicios, que se trabajará principalmente a lo largo de las clases de laboratorio.

La docencia expositiva e interactiva se realizará de manera presencial. Las tutorías pueden ser presenciales o realizarse de manera virtual. La comunicación con los alumnos, además de presencial, podrá hacerse vía los foros del aula virtual y del correo electrónico.

El sistema de evaluación será coordinado para los dos grupos de la materia.

Se prevé como criterio de evaluación la evaluación continua combinada con una prueba final. Esta prueba se celebrará en la fecha fijada por la Facultad de Matemáticas. El examen final podrá ser distinto para los grupos expositivos. Se garantiza la coordinación y la equivalencia formativa de los dos grupos de la asignatura.

La evaluación continua consistirá en la realización de un exame parcial (80%), y la participación en clase (20%), mediante la resolución de los problemas propuestos durante las clases interactivas (en grupo o de forma individual dependiendo de la sesión), o la participación activa durante las clases teóricas.

La calificación se calcula haciendo uso de la evaluación continua (AC), y la prueba final escrita (EF). La calificación final se obtiene mediante la fórmula, MÁX{35% AC + 65% EF , EF }


La calificación obtenida en la evaluación continua se aplica en las dos oportunidades de un mismo curso académico (primer semestre y Julio). Si el alumno o alumna no se presenta al examen final en ninguna de las dos oportunidades tendrá la calificación de "No Presentado" aun cuando hubiese participado en la evaluación continua.


Para el caso de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo que se recoge en la Normativa de Evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y revisión de calificaciones: Artículo 16. Realización fraudulenta de ejercicios o probas: La realización fraudulenta de algún ejercicio o prueba exigida en la evaluación de una materia implicará la calificación de suspenso en la convocatoria correspondiente, con independencia del proceso disciplinario que se pueda seguir contra el alumno infractor. Se considera fraudulenta, entre otras, la realización de trabajos plagiados u obtenidos de fuentes accesibles al público sin re elaboración de los mismos o reinterpretación y sin citas a los autores y a las fuentes.

Clases expositivas: 42 horas
Clases de laboratorio: 14 horas.
Tutorías en grupos moi reducidos : 2 horas.
Actividades de Evaluación: 4 horas
Tiempo de trabajo personal (no presencial) del alumno: 88 horas
Total: 150 horas

Asistencia regular a las clases. Trabajar individual o colectivamente todas y cada una de las cuestiones indicadas en las clases. Aprovechar las tutorías para exponer y resolver las dudas de comprensión de la materia explicada en las clases.