Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue

Comprender, conocer y manejar los principales conceptos, resultados y métodos relativos al calculo vectorial y a la integral de Lebesgue de varias variables reales:

• Manejar los conceptos de flujo, divergencia y rotacional de un campo vectorial, así como su significado dinámico.
• Conocer los conceptos y propiedades de la integral de línea de campos escalares y vectoriales, y su aplicación práctica en ejemplos concretos.
• Conocer los conceptos y propiedades de la integral de superficie de campos escalares y vectoriales, y su aplicación práctica en ejemplos concretos.
• Comprobar sobre ejemplos la verificación de los teoremas de Green, Stokes y Gauss.
• Conocer la construcción de la medida y de la integral de Lebesgue para funciones de varias variables reales.
• Tener la capacidad de determinar sobre ejemplos el carácter Lebesgue medible de conjuntos y funciones, así como la integrabilidad de funciones en conjuntos medibles.
• Dominar los teoremas de convergencia de la integral de Lebesgue y tener la capacidad de aplicarlos en casos concretos.
• Comprender la relación existente entre las integrales de Riemann y Lebesgue, y la importancia del proceso de extensión que supone la consideración de esta última.
• Conocer y utilizar los teoremas de Fubini y cambio de variable en la integral de Lebesgue.

Estos conceptos tienen una importancia fundamental en el análisis matemático así como en otras materias del Grado en Matemáticas, como son las relativas a la geometría diferencial, a las ecuaciones diferenciales y a la matemática aplicada.

Integración de Lebesgue (18 horas CLE):

1.1 Medida exterior de un subconjunto de Rn. Conjuntos Lebesgue medibles y medida de Lebesgue. Conjuntos de medida cero. La sigma-álgebra de los conjuntos L-medibles. Propiedades de la medida de Lebesgue.
1.2 Funciones medibles. Propiedades. Funciones simples medibles. Aproximación de una función medible por funciones simples medibles. Teorema de Egorov. Teorema de Lusin.
1.3 Integral de funciones simples medibles no negativas. Integral de funciones medibles no negativas. Propiedades. Teorema de la convergencia monótona. Lema de Fatou. Funciones Lebesgue integrables e integral de Lebesgue. Propiedades de la integral de Lebesgue. Teorema de la convergencia dominada. El espacio L1.
1.4 Relación entre las integrales de Riemann y de Lebesgue. Teoremas de Tonelli y Fubini. Teorema de cambio de variable.

Cálculo vectorial (10 horas CLE):

2.1 Campos escalares y vectoriales. Gradiente, divergencia y rotacional. Identidades básicas del análisis vectorial. Flujo asociado a un campo vectorial. Campos gradientes y función potencial.
2.2 Curvas paramétricas en Rn. Curvas regulares y regulares a trozos. Vector tangente. Integral de línea de un campo escalar. Longitud de una curva. Curvas orientadas. Integral de línea de un campo vectorial. Equivalencia de curvas y de curvas orientadas. Teoremas fundamentales del cálculo para la integral de línea. Caracterización de los campos conservativos.
2.3 Superficies paramétricas en R3. Superficies regulares. Vector normal. Superficies orientables. Integral de superficie de un campo escalar. Área de una superficie regular. Integral de superficie de un campo vectorial. Superficies equivalentes.
2.4 Teoremas de Green, Stokes y Gauss. Consecuencias y aplicaciones.

Bibliografía Básica

Bartle, R.G.: "The elements of integration and Lebesgue Measure". Ed. Wisley. 1995.
Del Castillo, F.: "Análisis Matemático II". Ed. Alhambra. 1987.
Mardsen, J.E.; Tromba, A. J.: "Cálculo Vectorial". 5ª edición. Ed. Addison Wesley. 1987.

Bibliografía Complementaria

Apostol, T. M.: "Calculus, volumen 2". Ed. Reverté. 1973.
Bombal, F.; Marín, R.; Vera, G.: "Problemas de Análisis Matemático, 3. Cálculo Integral". Ed. AC. 1987.
Chae, S. B.: "Lebesgue Integration". Segunda edición, Springer-Verlag, 1995.
Fernández Viña, J. A.: "Análisis Matemático III. Integración y cálculo exterior". Ed. Tecnos. 1992.
Franks, J.: "A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration". AMS, 2009.
Kurtz, D. S., Swartz, Ch. W.: "Theories of integration. The integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and Mcshane". Series in Real Analysis, 9. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2004.
Matthews, P.C.: "Vector Calculus". Springer, 1998.
Spiegel, M. R.: "Análisis Vectorial". McGraw Hill, 1991.
Weaver, N.: "Measure Theory and Functional Analysis". World Scientific, 2013.

Además de contribuir a alcanzar las competencias básicas, generales y transversales recogidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la Universidad de Santiago de Compostela (USC), y que pueden consultarse en

http://www.usc.es/export/sites/default/gl/servizos/sxopra/memorias_grao…,

esta materia permitirá alcanzar las siguientes competencias específicas

CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático;
CE2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática;
CE3 - Idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o refutarlas;
CE4 - Identificar errores en razonamientos incorrectos, proponiendo demostraciones o contraejemplos;
CE5 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos;
CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales;
CE9 - Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización y software científico, en general, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas.

Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.

La docencia está programada en clases expositivas, interactivas y tutorías. En las clases expositivas se presentarán los contenidos esenciales de la disciplina, y permitirán el trabajo de las competencias básicas, generales y transversales, además de las competencias específicas CE1, CE2, CE5 y CE6. En las sesiones interactivas se propondrán problemas o ejercicios de realización más autónoma, y que permitirán hacer énfasis en la adquisición de las competencias específicas CE3 y CE4. Las tutorías se dedicarán a la discusión y debate con los estudiantes, y a la resolución de las tareas propuestas con las que se pretende que los estudiantes practiquen y afiancen los conocimientos.

La docencia expositiva e interactiva será presencial y se complementará con el curso virtual de la materia, en el que el alumnado encontrará materiales bibliográficos, boletines de problemas, vídeos explicativos, etc. El curso virtual también se empleará para la realización de tareas relacionadas con la evaluación continua. Se emplearán herramientas informáticas apropiadas para trabajar la competencia específica CE9.

Con carácter general se realizará una evaluación en la que se combine una evaluación continua con una prueba final.

La evaluación continua permitirá comprobar el grado de consecución de las competencias especificadas anteriormente, con énfasis en las competencias transversales CT1, CT2, CT3 y CT5.

En la prueba final y de segunda oportunidad se medirán los conocimientos adquiridos por los alumnos en relación con los conceptos y resultados de la materia, tanto desde el punto de vista teórico como práctico, valorándose también la claridad y el rigor lógico mostrado en su exposición. Se evaluará la consecución de las competencias básicas, generales y específicas a las que se refiere la Memoria del Grado en Matemáticas de la USC, que se han indicado anteriormente.

En el desarrollo de la asignatura se intentará favorecer, en gran medida, la evaluación continua (que será presencial) para aquellos alumnos que lo deseen, de forma que, siendo habitualmente asistentes, participantes y trabajadores, tendrán la oportunidad de alcanzar un porcentaje de su nota final a través de las diferentes actividades (voluntarias) que hayan realizado (individualmente o en grupo, en las aulas o fuera de ellas, según corresponda) y, en su caso, entregadas o expuestas en los términos oportunos.

En esta modalidad de evaluación (que denominaremos Modalidad 1 y que presupone la presencia activa en las aulas y la realización de al menos el 80% de las actividades propuestas a lo largo del curso) se considera el examen final (que será presencial). como una actividad más, cuya realización será fundamental para la cualificación de los alumnos. Estas actividades servirán para evaluar tanto los conocimientos como las competencias generales, específicas y transversales adquiridas por los alumnos.

La nota final correspondiente se obtendrá respetando las indicaciones de la Memoria de Grado. En todo caso, en las condiciones más favorables, el porcentaje de la calificación correspondiente al trabajo de los alumnos durante el curso (excluida la prueba final), podrá alcanzar el 25% de la calificación final máxima (CF), mediante una fórmula como la siguiente, donde E representa la calificación del examen final y T es la calificación obtenida por el resto de las actividades realizadas en el curso:

CF = E + min {T / 4, 10 - E}. (Tanto E como T pueden tomar valores entre cero y diez).

Para tratar de respetar la autonomía y el ritmo de trabajo de los alumnos, se ofrecerá una segunda modalidad de evaluación (a la que denominaremos Modalidad 2), consistente en la realización de, por lo menos, una prueba intermedia con previo aviso. En este caso, la nota final se obtendrá con la fórmula CF = max {E, 0'7E + 0'3PI}, donde PI designa la nota media de las pruebas intermedias que, al igual que E, tomará valores entre cero y diez.

Al igual que en la Modalidad 1, será imprescindible la realización del examen final para poder optar a esta modalidad de evaluación.

Al inicio del cuatrimestre, los alumnos tendrán la oportunidad de elegir la modalidad de evaluación que deseen, mediante una elección que realizarán a través del Curso Virtual, dentro de los plazos establecidos al efecto. Si no se realiza la elección en los plazos correspondientes, se entenderá que se opta por la Modalidad 2.

Para los alumnos del grupo CLE02 solamente estará accesible la modalidad de evaluación 2, consistente en la realización de dos pruebas intermedias con previo aviso. Se garantiza la coordinación y la equivalencia formativas de todos los grupos.

No obstante, en el examen final cualquier alumno tendrá la posibilidad de obtener la nota numérica más alta, haya o no realizado las actividades o la prueba intermedia durante el curso. Los estudiantes que no se presenten al examen final recibirán la calificación de No Presentado.

El examen final podrá ser distinto para los grupos expositivos. Se garantiza la coordinación y la equivalencia formativa de todos los grupos de la materia.

En la segunda oportunidad se utilizará el mismo sistema de evaluación, pero con la prueba correspondiente a la segunda oportunidad, que será un examen del mismo tipo que la primera.

El examen correspondiente a la segunda oportunidad podrá ser distinto para los grupos expositivos. Se garantiza la coordinación y la equivalencia formativa de todos los grupos de la materia.

Advertencia. Para los casos de realización fraudulenta de tareas o pruebas (plagio o uso indebido de la tecnología) será aplicable lo dispuesto en el Reglamento para la evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y revisión de calificaciones.

HORAS TOTALES

150 horas: 58 horas presenciales y 92 horas no presenciales.

DOCENCIA PRESENCIAL EN EL AULA (26 horas CLE + 14 horas CLIS + 14 horas CLIL + 2 horas TGMR + 2 horas CLE para la realización de pruebas),

(CLE) Clases expositivas (26 horas)

(CLE) Realización de pruebas de evaluación (2 horas)

(CLIS) Clases interactivas de seminario (14 horas)

(CLIL) Clases interactivas de laboratorio/tutorías en grupo reducido (14 horas)

(TGMR) Tutorías en grupo muy reducido (2 horas)

TIEMPO DE TRABAJO PERSONAL NO PRESENCIAL

Las horas de trabajo dependerá del alumnado. Por término medio se estiman 92 horas por alumno que, obviamente, dependerán del trabajo y de la formación del alumnado.

Para estudiar esta materia es importante dominar los contenidos de las siguientes: Introducción al análisis matemático; Continuidad y derivabilidad de funciones de una variable real; Integración de funciones de una variable real; Topología de los espacios euclidianos. Diferenciación de funciones de varias variables reales. Series funcionales e integral de Riemann en varias variables.

Por otra parte, se recomienda estudiar con regularidad, llevando la materia al día, y realizar todas las actividades que se propongan en las aulas. También es muy importante consultar con el profesor todas las dudas que puedan ir surgiendo a lo largo del curso.