Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Introducir al alumnado en el campo de la teoría cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), tanto desde el punto de vista teórico como práctico.

Poner de manifiesto el interés del estudio cualitativo de las EDO pues permite deducir el comportamiento de las soluciones, sin necesidad de resolver el sistema estudiado. Esta resolución puede ser muy costosa en sistemas lineales de dimensión elevada, resultando imposible en la mayoría de los sistemas no lineales.

Abordar la estabilidad e inestabilidad de los puntos críticos del sistema, caracterizándola en el caso lineal y en algunos sistemas no lineales. Deducir condiciones suficientes que garanticen la estabilidad e inestabilidad en el resto de los sistemas no lineales.

Motivar el estudio con modelo matemáticos que surgen de diferentes problemas en distintos campos científicos

Representar la evolución de las órbitas de los distintos sistemas usando distintos programas informáticos.

1.- Sistemas autónomos en R^n. Propiedades. Motivaciones y ejemplos. Retrato de fases asociado a un campo de vectores. (4 horas expositivas aproximadamente)

2.- Estabilidad y estabilidad asintótica para sistemas lineales autónomos en R^n. Aplicaciones. (3 horas expositivas aproximadamente)

3.- Estabilidad y estabilidad asintótica de soluciones de sistemas autónomos no lineales. Aplicación a problemas de física, biología o medicina:
3.1.- Método de la primera aproximación. (3 horas expositivas aproximadamente)
3.2.- Método de Lyapunov. Región de atracción. (4 horas expositivas aproximadamente)

Bibliografía básica:

AGARWAL, R. P.; O’REGAN, D.; An Introduction to Ordinary Differential Equations. Springer, 2008.

DIZ PITA, É. Sistemas de ecuacións diferenciais autónomos en R^n. Unidades Didacticas USC. Editorial: Servicio de Publicacións e Intercambio Científico USC, 2022
https://dx.doi.org/10.15304/9788418445965 ISSN/ISBN 9788418445965

DIZ PITA, É.; OTERO ESPINAR, M. V.; Estabilidade de sistemas lineares. Unidades Didacticas USC. Editorial: Servicio de Publicacións e Intercambio Científico USC, 2022
https://dx.doi.org/10.15304/9788419155719, ISSN/ISBN 978-84-19155-71-9

DIZ PITA, É.; OTERO ESPINAR, M. V.; Estabilidade de sistemas non lineares. Unidades Didacticas USC. Servicio de Publicacións e Intercambio Científico USC, 2022
https://dx.doi.org/10.15304/9788419155702, ISSN/ISBN 978-84-19155-70-2


FERNANDEZ PÉREZ, C.; Ecuaciones Diferenciales I. Pirámide, 1992.

FERNANDEZ PÉREZ, C.; VEGAS MONTANER, J. M.; Ecuaciones Diferenciales II. Pirámide, 1996.

LOGEMANN, H.; RYAN, E.; Ordinary Differential Equations. Analysis, Qualitative Theory and Control. Springer, 2014.

PRECUP, R.; Ordinary Differential Equations. De Gruyter, 2018.

Bibliografía complementaria:

BRAUER, F.; NOHEL, J. A.; Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations. Benjamin, 1969.

BRAUM, M.; Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones, Grupo Editorial Iberoamérica, 1990.

CODDINGTON, E. A.; LEVINSON, N.; Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, 1955.

CRONIN, J.; Ordinary Differential Equations. Introduction and Qualitative Theory. Chapman & Hall, 2008.

EDWARDWS, C. H.; PENNEY, D. E.; Ecuaciones Diferenciales. Prentice Hall, 2001.

GODUNOV, S. K.; Ordinary Differential Equations with Constant Coefficient. American Mathematical Society, 1997.

GUZMÁN, M.; Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Teoría de Estabilidad y Control. Alhambra, 1987.

HIRSCH, M. W.; SMALE, S.; Ecuaciones Diferenciales, Sistemas Dinámicos y Álgebra Lineal. Alianza Universidad, 1983.

JORDAN, D.W.; SMITH, P.; Nonlinear Ordinary Differential Equations. Oxford Univ. Press, 1999.

KRANTZ, S.; Differential Equations. Theory, Technique, and Practice with Boundary Value Poblems. CRC Press, 2016.

OTERO ESPINAR, M. V.; DIZ PITA, É.; Ecuacións diferenciais ordinarias: modelos esenciais aplicados a distintos ámbitos científicos. Esenciais USC. Servicio de Publicacións e Intercambio Científico USC, 2021. ISSN/ISBN 9788418445781

PEREZ GARCÍA, V. M., Problemas de Ecuaciones Diferenciales. Ariel, 2001.

SIMMONS, G. F.; Ecuaciones Diferenciales. McGraw-Hill. 1993.

SOTOMAYOR, J.; Liçoes de Equaçoes Diferenciais Ordinarias. I.M.P.A., 1979.

En esta materia, se tratará de contribuir a que el alumnado consiga las siguientes competencias recogidas en la memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.

Competencias generales
CG1 - Conocer los conceptos, métodos y resultados más importantes de las distintas ramas de las Matemáticas, junto con cierta perspectiva histórica de su desarrollo
CG2 - Reunir e interpretar datos, información y resultados relevantes, obtener conclusiones y emitir informes razonados en problemas científicos, tecnológicos o de otros ámbitos que requieran el uso de herramientas matemáticas.
CG3 - Aplicar tanto los conocimientos teórico-práctico adquiridos como la capacidad de análisis y de abstracción en la definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en contextos académicos como profesionales
CG4 - Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas en Matemáticas tanto para un público especializado como no especializado.
CG5 - Estudiar y aprender de forma autónoma, con organización de tiempo y recursos, nuevos conocimientos y técnicas en cualquier disciplina científica o tecnológica.

Competencias específicas
CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático
CE2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
CE3 - Idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o negarlas.
CE4 - Identificar errores en razonamientos incorrectos proponiendo demostraciones o contraejemplos.
CE5 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos
CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales
CE7 - Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan
CE8 - Planificar y ejecutar algoritmos y métodos matemáticos para resolver problemas en el ámbito académico, técnico, financiero o social
CE9 - Utilizar aplicaciones informáticas de análisis estadístico, cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización y software científico, en general, para experimentar en Matemáticas y resolver problemas

Competencias transversales
CT1 - Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos generales y específicos de Matemáticas, incluyendo el acceso por Internet
CT2 - Gestionar de forma excelente el tiempo de trabajo y organizar los recursos disponibles, estableciendo prioridades, caminos alternativos e identificando errores lógicos en la toma de decisiones
CT3 - Comprobar o refutar razonadamente los argumentos de otras personas
CT5 - Leer textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico, especialmente la inglesa.


Además, las actividades formativas a desarrollar tienen como objetivo que el alumnado adquiera las siguientes competencias y resultados de aprendizaje relacionados con el módulo de Ecuaciones Diferenciales:
Comprender, aprender y saber expresar con rigor los conceptos y técnicas que se desarrollan en el programa.
Extraer información cualitativa, sin necesidad de su resolución, de las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria.
Dominar la caracterización de la estabilidad de sistemas lineales.
Conocer técnicas de estudio de la estabilidad de sistemas no lineales.
Conocer ejemplos relevantes de ecuaciones diferenciales de la física y de otras ciencias.
Traducir en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias algunos problemas de las ciencias aplicadas (física, química, biología, medicina, etc.).
Utilizar las técnicas matemáticas estudiadas, para hacer el estudio dinámico de las ecuaciones obtenidas (diagramas de fases, estabilidad, etc.) e interpretar los resultados, evaluando las fortalezas y debilidades del modelo propuesto.

Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.

La docencia está programada en clases expositivas e interactivas.
Las clases expositivas se dedicarán a la presentación y desarrollo de los contenidos esenciales de la materia.
Las clases interactivas estarán dedicadas a la presentación de ejemplos y resolución de problemas (tanto teóricos como del ámbito de las aplicaciones).
Se procurará que la participación del alumnado sea máxima en las diversas clases de docencia interactiva de laboratorio, en las que la discusión y debate con los estudiantes sobre aspectos de la materia y la resolución de las tareas propuestas tendrán como objetivo que practiquen y afiancen sus conocimientos, además de trabajar algunas de las competencias mencionadas.

Las tutorías serán presenciales o a través de correo electrónico.

Se seguirá el criterio general de evaluación establecido en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.

Para el cómputo de la calificación final (CF) se tendrá en cuenta la evaluación continua (AC) y la calificación del examen final (EF).

La calificación final se calculará mediante la siguiente fórmula:
CF=Máximo{0.6*EF+0.4*AC; EF}.

La evaluación continua consistirá en la realización de las siguientes actividades:
- resolución de problemas, de forma individual o en grupo, durante las horas de clase con apuntes (A);
- realización de una prueba intermedia (sin apuntes) no liberatoria de materia (B).
De este modo, la nota de evaluación continua se calculará mediante la siguiente fórmula:
AC=0.5*A+0.5*B.

Las pruebas de evaluación continua serán similares en todos los grupos de la materia. La evaluación continua se conservará para la segunda oportunidad.

El examen final consistirá en la resolución de cuestiones teóricas y prácticas similares a las realizadas durante el curso. El examen final será el mismo en todos los grupos expositivos.

Se entenderá como no presentado quien no se presente a la prueba final de la materia.

En la segunda oportunidad se utilizará la misma fórmula para el cómputo de la nota final.

Advertencia: Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la "Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións".

TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA
Clases expositivas (14 horas)
Clases de seminario (14 h)
Clases de laboratorio (14 h)
Tutorías en grupos muy reducidos (2 h)

Total horas trabajo presencial en el aula: 44

TRABAJO PERSONAL DEL ESTUDIANTE
Estudio autónomo individual o en grupo (42 horas)
Escritura de ejercicios, conclusiones y otros trabajos (15 h)
Programación/experimentación y otros trabajos en ordenador (7.5 h)
Lecturas aconsejadas, actividades en biblioteca o similar (5h)

Total horas trabajo personal del estudiante: 68.5

TOTAL: 112,5 horas

El alumnado deberá manejar con soltura los temas estudiados en las materias “Introdución al Análisis Matemático”, “Continuidad y Diferenciabilidad de Funciones de Una Variable Real”, “Integración de Funciones de Una Variable Real”, “Diferenciación de Funciones de Varias Variables Reales” e “Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”.

Partiendo de esta situación, deberá trabajar con regularidad y rigor. Es fundamental participar activamente en el proceso de aprendizaje de la materia, asistir con regularidad a las clases, tanto teóricas como prácticas, de un modo participativo, especialmente en las clases en grupos reducidos y tutorías, formulando las preguntas pertinentes que le permitan aclarar cuantas dudas le puedan surgir en relación con la materia.