Diferenciación de Funciones de varias Variables Reales

Se pretende proporcionar los fundamentos teóricos y las imprescindibles destrezas del cálculo diferencial en el ámbito de las funciones reales de varias variables reales. Se trata de un curso básico en el que, con la pretensión de contribuir a la formación matemática del estudiante, se proporciona la herramienta del cálculo diferencial para funciones de varias variables reales, requerida en el ámbito de los estudios del Grado en Matemáticas, así como en su aplicación a la resolución de algunos problemas sencillos de la vida real.

1. Límites y continuidad de funciones de un subconjunto de R^n en R^m [3 h CLE]
- Límites direccionales, iterados y por subconjuntos de funciones escalares
- Continuidad de funciones escalares
- El caso de las funciones vectoriales
2. Diferenciabilidad de primer orden de funciones escalares de varias variables reales [5h CLE]
- Derivadas parciales y direccionales
- Diferencial de una función y funciones diferenciables
- Condiciones necesarias y suficientes de diferenciabilidad
- Vector gradiente
3. Diferenciabilidad de primer orden de funciones vectoriales de varias variables reales [4h CLE]
- Matriz jacobiana
- Reglas del cálculo diferencial
4. El teorema de los incrementos finitos [2h CLE]
- El teorema de los incrementos finitos para funciones escalares
- Una generalización para campos vectoriales
5. Diferenciabilidad de orden superior [4h CLE]
- Diferencial segunda y matriz hessiana
- Simetría de la diferencial segunda
- Funciones de clase k
6. El teorema de Taylor y sus consecuencias [4h CLE]
- Polinomios de Taylor
- Aproximación de funciones regulares por polinomios: el teorema de Taylor
- Cálculo de los extremos de una función escalar
7. Los teoremas de la función implícita y de la función inversa [4h CLE]
- Resolviendo ecuaciones localmente: el teorema da función implícita
- Invirtiendo funciones localmente: el teorema da función inversa
8. Aplicaciones de los teoremas de la función implícita y de la función inversa [2h CLE]
- Cambios de variable
- Cálculo de extremos condicionados de una función escalar
- Problemas geométricos

Bibliografía básica:

[1] Apostol, T. M. (1979). Análisis matemático (2ª ed.). Reverté.
[2] Fernández Viña, J. A. (1984). Análisis matemático (Vol. II). Tecnos.
[3] Rodríguez López, G. (2003). Diferenciación de funciones de varias variables reales. Universidade de Santiago de Compostela, Servicio de Publicacións e Intercambio Científico.

Bibliografía complementaria:

[4] Bartle, R. G. (1991). Introducción al análisis matemático (1ª ed.). Limusa.
[5] Besada Morais, M., García Cutrín, F. J., Mirás Calvo, M. A., y Vázquez Pampín, C. (2001). Cálculo de varias variables: cuestiones y ejercicios resueltos. Prentice Hall.
[6] Besada Morais, M., García Cutrín, F. J., y Mirás Calvo, M. A. (2011). Cálculo diferencial en varias variables: Problemas y ejercicios tipo test resueltos. Garceta.
[7] Bombal Gordon, F., Rodríguez Marín, L., y Vera Botí, G. (1994). Problemas de análisis matemático (2ª ed.). AC.
[8] Burgos, J. de (2008). Cálculo infinitesimal de varias variables (2a ed.). McGraw-Hill Interamericana.
[9] Fernández Viña, J. A., y Sánchez Mañes, E. (1992). Ejercicios y complementos de análisis matemático (Vol. II). Tecnos.
[10] Krantz, S. G., y Parks, H. R. (2003). The implicit function theorem: history, theory, and applications (1ª ed.). Springer Science+ Business Media, LLC. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0059-8
[11] Larson, R., Hostetler, R. P., y Edwards, B. H. (2006). Cálculo (8a ed.) (Vol II). McGraw Hill.
[12] Thomas, G. B. (2015). Cálculo. Varias variables (13ª ed.). Pearson Educación.

Se tratará de contribuir a que el alumnado consiga las competencias recogidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC: las competencias básicas y generales CB1, CB2, CB3, CB4, CB5, CG1, CG2, CG3, CG4, CG5, las competencias transversales CT1, CT2, CT3, CT5 y las competencias específicas CE1, CE2, CE3, CE4, CE5, CE6, CE9.

Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.

La docencia está programada en clases expositivas e interactivas.

Las clases expositivas se dedicarán a la presentación y desarrollo de los contenidos esenciales de la materia.

Las clases interactivas estarán dedicadas a la presentación de ejemplos y resolución de problemas (tanto teóricos como del ámbito de las aplicaciones). Se procurará que la participación del alumnado sea máxima en las diversas clases de docencia interactiva de laboratorio, en las que la discusión y debate con los estudiantes sobre aspectos de la materia y la resolución de las tareas propuestas tendrán como objetivo que practiquen y afiancen sus conocimientos, además de trabajar algunas de las competencias previamente mencionadas.

Las tutorías serán presenciales o a través de correo electrónico.

Se seguirá el criterio general de evaluación establecido en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.

Para el cómputo de la calificación final (CF) se tendrá en cuenta la calificación de la evaluación continua (EC) y la calificación del examen final (EF). De hecho, la CF se calculará mediante la siguiente fórmula:
CF=Máximo{0.7*EF+0.3*EC; EF}.

La nota de la evaluación continua se basará
- en la calificación (0-10 puntos) obtenida por la resolución de problemas con apuntes (RPA), de forma individual o en grupo, en horas de clase;
- en la calificación (0-10 puntos) obtenida en una prueba intermedia no liberatoria de materia y realizada sin apuntes (PI) en una clase expositiva.
En particular, la nota de evaluación continua se calculará mediante la siguiente fórmula:
AC=Mínimo{0.5*RPA+0.7*PI; 10}.

Las actividades de evaluación continua serán similares en todos los grupos de la materia y la calificación obtenida en ella se conservará para la segunda oportunidad.

No se valorará la asistencia a clase salvo en las sesiones en las que se realicen actividades de evaluación continua, que se desarrollarán de forma presencial y cuyas fechas serán comunicadas al alumnado con la suficiente antelación. Concretamente, la no asistencia a una actividad de evaluación continua sin la debida justificación implicará que dicha actividad sea evaluada con una calificación de 0 puntos.

El examen final (calificado entre 0 e 10 puntos) consistirá en la resolución de cuestiones teóricas y prácticas similares a las realizadas durante el curso y será el mismo en todos los grupos expositivos.

Se entenderá como no presentado quien no se presente a la prueba final de la materia.

En la segunda oportunidad se utilizará la misma fórmula para el cómputo de la nota final.

Advertencia: Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la "Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións".

TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA
Clases expositivas (28 h)
Clases interactivas de seminario (14 h)
Clases interactivas de laboratorio (14 h)

Tutorías en grupos muy reducidos o individualizadas (2 h)

Total horas trabajo presencial en el aula: 58

TRABAJO PERSONAL DEL ALUMNO
Se estimarán 92 horas, de término medio, aunque, evidentemente, las horas de trabajo personal dependerán del trabajo y de la formación del alumno.

Se aconseja manejar con soltura los conceptos elementales básicos de las materias "Introducción al Análisis Matemático", "Continuidad y Derivabilidad de Funciones de una Variable Real", "Topología de los Espacios Euclidianos" y "Espacios Vectoriales y Cálculo Matricial". Asimismo, es fundamental participar activamente en el proceso de aprendizaje de la materia y asistir con regularidad a las clases tanto teóricas como prácticas, con una participación especial en las clases y tutorías en grupos reducidos. Además, es fundamental el trabajo diario.