Métodos Matemáticos II

En esta materia, el alumno aprenderá los conceptos y técnicas básicas del álgebra lineal. El lenguaje de conjuntos y aplicaciones se introduce para familiarizarse con el aspecto formal que está presente en todas las ramas de las matemáticas. Con la teoría de espacios vectoriales, aprenderá a manejar vectores algorítmicamente. El ejemplo de referencia es Rn, pero también pueden mostrarse otros ejemplos de espacios vectoriales. Se estudiarán las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales y su relación con las matrices y la solución de sistemas de ecuaciones lineales, así como el criterio de diagonalización de matrices. Como una aplicación más geométrica se hace una breve introducción a la geometría analítica del plano y del espacio con una aplicación al estudio de las cónicas.


Resultados del aprendizaje:
Tras cursar la materia, el alumno habrá aprendido a:
1. Poseer conocimientos en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y relacionar las soluciones con los objetos geométricos del plano y el espacio.
2.- Saber calcular matrices asociadas a aplicaciones lineales.
3.- Saber calcular bases de subespacios a partir de sistemas de generadores.
4.- Saber cuándo una matriz es diagonalizable; calcular bases donde diagonaliza y la relación entre ellas.
5.- Manejará con soltura rectas y planos en el espacio. Así mismo conocerá las cónicas, y sus ecuaciones y el paso, en el plano y en el espacio, de una ecuación cuadrática cualquiera a su ecuación reducida.

1. Nociones básicas de Conjuntos y Aplicaciones.
Conjuntos. Relaciones de equivalencia. Aplicaciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. (4 horas expositivas).
2. Espacios Vectoriales.
Grupos. Espacios vectoriales. Ejemplos. Subespacio vectorial. Dependencia e independencia lineal. Sistemas de generadores. Bases. Dimensión. Coordenadas de un vector respecto de una base. Coordenadas y dependencia lineal. Cambios de base. Ecuaciones paramétricas y cartesianas de un subespacio. Intersección y suma de subespacios. Suma directa. Fórmula de Grassmann de las dimensiones. (9 horas expositivas).
3. Aplicaciones Lineales y Matrices.
Definición. Ejemplos. Núcleo e imagen. Aplicaciones lineales inyectivas, sobreyectivas e isomorfismos. Operaciones con aplicaciones lineales. Clasificación de los espacios vectoriales. Matriz asociada a una aplicación lineal respecto a bases dadas. Cálculo del núcleo e imagen a partir de la matriz asociada. Matrices y operaciones con aplicaciones lineales. Matrices asociadas y cambios de base. (7 horas expositivas).
4. Determinantes.
Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades de los determinantes. Matriz inversa. Rango. (2 horas expositivas).
5. Sistemas de Ecuaciones Lineales.
Sistemas de ecuaciones lineales. Discusión de un sistema. Teorema de Rouché-Frobenius. Regla de Cramer. (2 horas expositivas).
6. Diagonalización de Endomorfismos.
Autovectores y autovalores. El polinomio característico. Diagonalización. Teorema de Cayley-Hamilton. (3 horas expositivas).
7. Geometría analítica del plano y del espacio. Cónicas.
Ecuaciones de rectas y planos. Posición relativa. El Espacio Euclídeo. Cónicas. Clasificación. (5 horas expositivas).

Básica.
M. Castellet, I. Llerena. Álgebra Lineal y Geometría. Editorial Reverté.
G. Jerónimo, J. Sabia, S. Tesauri. Álgebra Lineal. http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/AlgebraLineal.pdf
L. Merino, E. Santos: Álgebra Lineal con Métodos Elementales. Editorial Thomson.

Complementaria.

E. Hernández. Álgebra y Geometría. Addison-Wesley
J. Arvesú Carballo, F. Marcellán Español, J. Sánchez Ruiz. Problemas Resueltos de Álgebra Lineal. Editorial Thomson.

BÁSICAS Y GENERALES
CB1 - Que los estudiantes hayan demostrado poseer y comprender conocimientos en un área de estudio que parte de la base de la educación secundaria general, y se suele encontrar a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia de su campo de estudio.
CB2 - Que los estudiantes sepan aplicar sus conocimientos a su trabajo o vocación de una forma profesional y posean las
competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas
dentro de su área de estudio.
CB5 - Que los estudiantes hayan desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores con un alto grado de autonomía.
CG3 - Aplicar tanto los conocimientos teóricos-prácticos adquiridos como la capacidad de análisis y de abstracción en la
definición y planteamiento de problemas y en la búsqueda de sus soluciones tanto en contextos académicos como
profesionales.

TRANSVERSALES
CT1 - Adquirir capacidad de análisis y síntesis.
CT2 - Tener capacidad de organización y planificación.
CT5 - Desarrollar el razonamiento crítico.

ESPECÍFICAS
CE5 - Ser capaz de realizar lo esencial de un proceso o situación y establecer un modelo de trabajo del mismo, así como realizar las aproximaciones requeridas con el objeto de reducir el problema hasta un nivel manejable. Demostrará poseer pensamiento crítico para construir modelos físicos.
CE6 - Comprender y dominar el uso de los métodos matemáticos y numéricos más comúnmente utilizados en Física
CE8 - Ser capaz de manejar, buscar y utilizar bibliografía, así como cualquier fuente de información relevante y aplicarla a trabajos de investigación y desarrollo técnico de proyectos

Se utilizarán las clases expositivas para la presentación de los contenidos básicos que componen esta materia.

Las clases interactivas de seminario servirán para la ilustración de los contenidos teóricos, se dedicarán a la resolución de cuestiones y problemas por parte do profesor con la participación de los alumnos.

El sistema de evaluación tendrá en cuenta la evaluación contínua combinada con una prueba final. Esta prueba final se celebrara en la fecha fijada por la Facultad de Física.
La evaluación continua consistirá en una prueba escrita durante el curso.

Cómputo de la calificación final:

La prueba final, que será obligatoria, será presencial. La calificación continua contará sólo para aquellos que obtengan una nota igual o superior al 4 en el examen final (en primera o segunda oportunidad). En ese caso, la calificación, tanto de la primera oportunidad como la de la segunda, será max{F; 0,25xC + 0,75xF}, donde C denota la calificación de la evaluación continua y F la nota de la prueba final.
En caso de que la nota final no llegue al 4, la evaluación continua no se tendrá cuenta.

Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de la revisión de calificaciones.

Tanto en la primera como en la segunda oportunidad, se entenderá por No Presentado aquel alumno que no se presente a la prueba final.

Además de las clases expositivas, interactivas y de tutorias en grupos reducidos, la memoria de la titulación especifica que el alumno deberá dedicar 90 horas de trabajo personal para el estudio de la teoría y la resolución de ejercicios.

Estudiar diariamente con la ayuda del material bibliográfico. Leer atentamente la parte teórica hasta asimilarla y tratar de responder a las cuestiones, ejercicios o problemas.