Variedades Diferenciables

Los objetos básicos de la Geometría Diferencial moderna son las variedades diferenciables; estas son espacios que se comportan localmente como los espacios euclidianos y poseen una estructura adicional que permite desarrollar en ellas los conceptos elementales del cálculo.
En esta materia se expondrán las nociones básicas de la teoría de las variedades diferenciables, y se conocerán los fundamentos, métodos y fines de la Geometría Diferencial en el contexto de las variedades. Se introducirán las nociones de variedad y subvariedad, destacando el punto de vista global y, por otra parte, se aprenderá a trabajar con coordenadas, se considerarán los campos de vectores y las formas diferenciales en variedades, se definirá la diferencial exterior de formas diferenciales y se estudiará el cálculo integral de formas en variedades diferenciables, probando una versión general del teorema de Stokes y mostrando algunas aplicaciones y casos particulares clásicos como el teorema de Green, el teorema de la divergencia de Gauss y el teorema de Stokes del cálculo.

Los principales objetivos son:

• Comprender los conceptos básicos de la geometría diferencial en el contexto general de las variedades diferenciables.
• Trasladar a las variedades las destrezas adquiridas en el cálculo diferencial, exterior e integral de los modelos locales, los espacios euclidianos.
• Reconocer la teoría de variedades como una generalización de la teoría de curvas y superficies así como del cálculo diferencial e integral en espacios euclidianos.
• Apreciar el poder de la generalización y la abstracción en el desarrollo de las teorías matemáticas.

1. Variedades diferenciables. Aplicaciones diferenciables entre variedades. (8 horas expositivas)
2. El espacio vectorial tangente. Aplicación lineal tangente. (6 horas expositivas)
3. Subvariedades regulares. (5 horas expositivas)
4. Campos de vectores sobre una variedad diferenciable. Curvas integrales. (5 horas expositivas)
5. Formas diferenciales. La diferencial exterior. (5 horas expositivas)
6. Orientaciones en las variedades diferenciables. (5 horas expositivas)
7. Integración de formas en variedades. Teorema de Stokes. (8 horas expositivas)

Bibliografía básica

LEE, John M., Introduction to Smooth Manifolds, Springer, Berlin, 2003, 2013.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-9982-5

TU, Loring W., An Introduction to Manifolds, Springer, New York, 2008, 2011.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-7400-6

WARNER, Frank W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, Berlin, 1983.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-1799-0


Bibliografía complementaria

BERGER, M.; GOSTIAUX, B., Differential Geometry: Manifolds, Curves, and Surfaces. Springer, Berlin, 1988.
https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-1033-7

BRICKELL, F.; CLARK, R.S., Differentiable Manifolds. Van Nostrand, London, 1970.

BOOTHBY, W.M., An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. Academic Press, New York, 1986.

CONLON, L., Differentiable Manifolds. A first Course. Birkhäuser, Boston, 2001.

GAMBOA, J.M; RUIZ, J.M., Introducción al estudio de las Variedades Diferenciables. Editorial Sanz y Torres, 2016.

LEE, Jeffrey M., Manifolds and Differential Geometry, American Mathematical Society, Providence, RI, 2009.
Primer capítulo disponible en https://bookstore.ams.org/gsm-107/16

MATSUSHIMA, Y., Differentiable Manifolds. Marcel Dekker, New York, 1972.

Además de las competencias básicas, generales y transversales del Grado de Matemáticas, se trabajarán las siguientes competencias ESPECÍFICAS del grado:

CE1 - Comprender y utilizar el lenguaje matemático.

CE2 - Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.

CE3 - Idear demostraciones de resultados matemáticos, formular conjeturas e imaginar estrategias para confirmarlas o negarlas.

CE4 - Identificar errores en razonamientos incorrectos proponiendo demostraciones o contraejemplos.

CE5 - Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, relacionarlo con otros ya conocidos, y ser capaz de utilizarlo en diferentes contextos.

CE6 - Saber abstraer las propiedades y hechos sustanciales de un problema, distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales o circunstanciales.

Para presentar los aspectos más destacados de la materia habrá una explicación teórica por parte del profesor, que se complementará, en ocasiones en la misma sesión, con la propuesta de preguntas y problemas. Los problemas se abordarán especialmente en las clases de laboratorio.

Habrá un curso virtual.

La docencia expositiva e interactiva será presencial. Las tutorías pueden ser presenciales o virtuales. La comunicación con los alumnos, además de la presencial, también se puede realizar a través de los foros virtuales del curso y del correo electrónico.

Sin perjuicio de los criterios generales de evaluación de todas las asignaturas del Grado en Matemáticas, para el cómputo de la nota final se considera la evaluación continua y el examen final.

Evaluación continua (25%). La evaluación continua se realizará mediante pruebas escritas individuales sobre aspectos prácticos, teóricos o aplicables a los conceptos de la materia.
La calificación obtenida en la evaluación continua se aplicará en las dos oportunidades de un mismo curso académico.

Examen final (75%). Se realizará un examen final escrito, que permitirá comprobar los conocimientos adquiridos en relación con los conceptos y resultados de la materia y la capacidad de su aplicación a casos concretos.
El examen escrito constará de una parte de teoría que podrá incluir definición de conceptos, exposición de resultados o demostración total o parcial de los mismos, y otra parte que consistirá en la resolución de ejercicios, que serán análogos a los propuestos a lo largo del curso.

La nota final será la máxima de las correspondientes a la del examen final y la nota del examen final ponderada con la evaluación continua.

Además de las competencias específicas de la asignatura, se evaluarán las competencias CX1, CX3, CX4, CE1, CE2, CE3, CE4, CE5 y CE6.

En el caso de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas, se estará a lo dispuesto en la Normativa para la evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y revisión de calificaciones:
Artículo 16. Realización fraudulenta de ejercicios o pruebas: La realización fraudulenta de cualquier ejercicio o prueba exigida en la evaluación de una asignatura supondrá la calificación de suspenso en la correspondiente convocatoria, con independencia del proceso disciplinario que pueda seguirse contra el alumno infractor. Se considera fraudulento, entre otras cosas, la realización de obras plagiadas u obtenidas de fuentes accesibles al público sin reelaboración o reinterpretación y sin citas a los autores y fuentes.

Clases expositivas: 42 horas
Clases interactivas: 14 horas
Tutorías en grupos muy reducidos: 2 horas
Actividades de evaluación: 4 horas
Tiempo de trabajo personal no presencial: 88 horas

Total: 150 horas

Dado su carácter formativo, además de su valor para la calificación final, se recomienda la participación en las actividades de evaluación continua en cualquiera de los escenarios.

Se deben tener conocimientos de topología general y de diferenciación e integración de funciones de varias variables reales.

En el caso de ejercicios o pruebas fraudulentas se aplicará lo dispuesto en la “Normativa de evaluación del rendimiento académico de los estudiantes y de revisión de calificaciones”.