Diferenciación de Funciones de varias Variables Reales

Se pretende proporcionar los fundamentos teóricos y las imprescindibles destrezas del cálculo diferencial en el ámbito de las funciones reales de varias variables reales. Se trata de un curso básico en el que, con la pretensión de contribuir a la formación matemática del estudiante, se proporciona la herramienta del cálculo diferencial para funciones de varias variables reales, requerida en el ámbito de los estudios del Grado en Matemáticas, así como en su aplicación a la resolución de algunos problemas sencillos de la vida real.

1. Cálculo de límites para funciones reales de varias variables reales. Límites direccionales y reiterados. Continuidad. (3 horas CLE)

2. Derivada parcial de una función en un punto. Derivada según un vector. Concepto de diferencial y de función diferenciable. Propiedades. Condiciones necesarias y suficientes de diferenciabilidad. El vector gradiente. Interpretaciones geométricas de los conceptos anteriores. (5 horas CLE)

3. Diferenciabilidad para aplicaciones con valores en R^m. Matriz jacobiana. Reglas del cálculo diferencial. (4 horas CLE)

4. El teorema de los incrementos finitos. (2 horas CLE)

5. Derivación y diferenciación de orden superior. Estudio de la diferencial segunda. La matriz hessiana. Simetría de la diferencial segunda. (4 horas CLE)

6. Funciones de clase m. Fórmula de Taylor. Extremos relativos. (4 horas CLE)

7. Los teoremas de la función implícita y de la inversa. (4 horas CLE)

8. Aplicaciones de los teoremas de la función implícita y de la inversa. Extremos condicionados. Cambios de variable. Problemas geométricos. (2 horas CLE)

Bibliografía básica:

APOSTOL, T. M., Análisis Matemático, Ed. Reverté, 1991.
FERNÁNDEZ VIÑA, J.A. Análisis Matemático II:Topologia y Cálculo diferencial. 2ª ed. Tecnos. 1993.
RODRÍGUEZ, G. Diferenciación de Funciones de Varias Variables Reales. Manuais Universitarios. Nº 4. Publicacións da Universidade de Santiago. 2003.

Bibliografía complementaria:

BARTLE, R. G., Introducción al Análisis Matemático, 1ª ed., Limusa, 1991.
BESADA, M.; GARCÍA, F. J.; MIRÁS, M. A.; VÁZQUEZ, C. Cálculo de Varias Variables. Cuestiones y Ejercicios Resueltos. Prentice Hall, 1, 2001.
BESADA, M.; GARCÍA, F. J.; MIRÁS, M. A.; VÁZQUEZ, C. Cálculo Diferencial en Varias Variables. Cuestiones Tipo Test y Ejercicios Resueltos. Garceta Grupo Editorial, 2011.
BOMBAL, F.; RODRÍGUEZ, L.; VERA, G. Problemas de Análisis Matemático 2º. Cálculo diferencial. Ed. AC. 1991.
BÚCARI, N. D., LANGONI, L., VALLEJO, D., Cálculo diferencial. https://openlibra.com/es/book/download/calculo-diferencial
BURGOS ROMAN, JUAN de. Cálculo Infinitesimal de Varias Variables. McGraw-Hill/ Interamericana de España. 2008.
FERNÁNDEZ VIÑA, J.A.; SÁNCHEZ MAÑÉS, E. Ejercicios y Complementos de análisis Matemático II. 2ª ed. Tecnos. 1993.
KRANTZ, S. G.; PARKS, H. R., The Implicit Function Theorem, 2013. https://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4614-5981-1
LARSON; HOSTETLER; EDWARDS. Cálculo II. Ed. McGraw Hill. 2006
THOMAS, G. B. Cálculo de Varias Variables. Pearson. Addison Wesley. 2005.
TRENCH, W. F., Introduction to Real Analysis, 2013. http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF

Se tratará de contribuir a que el alumnado consiga las competencias recogidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC: las competencias básicas y generales CB1, CB2, CB3, CB4, CB5, CG1, CG2, CG3, CG4, CG5, las competencias transversales CT1, CT2, CT3, CT5 y las competencias específicas CE1, CE2, CE3, CE4, CE5, CE6, CE9.

Se seguirán las indicaciones metodológicas generales establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.

La docencia está programada en clases expositivas e interactivas.
Las clases expositivas se dedicarán a la presentación y desarrollo de los contenidos esenciales de la materia.
Las clases interactivas estarán dedicadas a la presentación de ejemplos y resolución de problemas (tanto teóricos como del ámbito de las aplicaciones).
Se procurará que la participación del alumnado sea máxima en las diversas clases de docencia interactiva de laboratorio, en las que la discusión y debate con los estudiantes sobre aspectos de la materia y la resolución de las tareas propuestas tendrán como objetivo que practiquen y afiancen sus conocimientos, además de trabajar algunas de las competencias mencionadas.

Las tutorías serán presenciales o a través de correo electrónico.

Se seguirá el criterio general de evaluación establecido en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.

Para el cómputo de la calificación final (CF) se tendrá en cuenta la evaluación continua (AC) y la calificación del examen final (EF).

La calificación final se calculará mediante la siguiente fórmula:
CF=Máximo{Mínimo{0.7*EF+0.3*AC; 10}; EF}.

La evaluación continua (evaluada sobre 12 puntos) consistirá en la realización de las siguientes actividades:
- resolución de problemas, de forma individual o en grupo, durante las horas de clase con apuntes (A);
- participación en clase mediante la resolución en la pizarra de ejercicios propuestos previamente (B);
- realización de una prueba intermedia (sin apuntes) no liberatoria de materia (C).
De este modo, la nota de evaluación continua se calculará mediante la siguiente fórmula:
AC=0.6*A+0.2*B+0.4*C.

Las pruebas de evaluación continua serán similares en todos los grupos de la materia. La evaluación continua se conservará para la segunda oportunidad.

El examen final consistirá en la resolución de cuestiones teóricas y prácticas similares a las realizadas durante el curso. El examen final será el mismo en todos los grupos expositivos.

Se entenderá como no presentado quien no se presente a la prueba final de la materia.

En la segunda oportunidad se utilizará la misma fórmula para el cómputo de la nota final.

Advertencia: Para los casos de realización fraudulenta de ejercicios o pruebas será de aplicación lo recogido en la "Normativa de avaliación do rendemento académico dos estudantes e de revisión de cualificacións".

TRABAJO PRESENCIAL EN EL AULA
Clases expositivas (28 horas)
Clases interactivas de seminario (14 h)
Clases interactivas de laboratorio (14 h)

Tutorías en grupos muy reducidos o individualizadas (2 h)

Total horas trabajo presencial en el aula 58

TRABAJO PERSONAL DEL ALUMNO
Se estimarán 92 horas, de término medio, aunque, evidentemente, las horas de trabajo personal dependerán del trabajo y de la formación del alumno.

Se aconseja manejar con soltura los conceptos elementales básicos de: Introducción al Análisis Matemático, Continuidad y derivabilidad de funciones de una variable real, Topología de los espazos euclidianos y Espacios vectoriales y cálculo matricial. Asimismo, es fundamental participar activamente en el proceso de aprendizaje de la materia y asistir con regularidad a las clases tanto teóricas como prácticas, con una participación especial en las clases y tutorías en grupos reducidos. Es fundamental el trabajo diario.